文档内容
第 1 讲 素养提升之立体几何选填专项冲刺
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：空间几何体外接球
突破二：空间几何体内切球
突破三：用基底表示向量
突破四：向量模及最值
突破五：向量数量积最值
突破六：空间向量的平行与垂直
突破七：异面直线所成角
突破八：直线与平面所成角
突破九：二面角
突破十：空间距离
突破十一：立体几何综合问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、空间向量的数量积
1.1、定义：已知两个非零向量 ， ，则 叫做 ， 的数量积，记作 ；即
．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
1.2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式 可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式 可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
1.3、向量 的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 共线的向量 ， 向量 称为向量 在向量 上的投影向量．类似地，可以将向量 向直线 投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别
为 ， ，得到 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量．这时，向量 ， 的夹角就是
向量 所在直线与平面 所成的角．
1.4、空间向量数量积的几何意义：向量 ， 的数量积等于 的长度 与 在 方向上的投影
的乘积或等于 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积.
2、空间向量运算的坐标表示
设 ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
3、空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
3.1、两个向量的平行与垂直
平行（ ）
垂直（ ） （ 均 为非零向量）
特别提醒：在 中，应特别注意，只有在 与三个坐标平面都不平行时，才能写成 .例如，若 与坐标平面 平行，则 ，这样 就没有意义了.
3.2、向量长度的坐标计算公式
若 ，则 ，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的
体对角线的长度
3.3、两个向量夹角的坐标计算公式
设 ，则
3.4、两点间的距离公式
已知 ，则
4、用向量法求空间距离
4.1、点到直线的距离
已知直线 的单位方向向量为 ， 是直线 上的定点， 是直线 外一点.设 ，则向量 在直线
上的投影向量 ，在 中，由勾股定理得：
4.2、点到平面的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.5、用向量法求空间角
5.1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为 ，则
①
② .
5.2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的角为 ，则有
①
② .（注意此公式中最后的形式是： ）
5.3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若 于A， 于B，平面PAB交 于E，则∠AEB为二面角 的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.若 分别为面 ， 的法向量
①
② 根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
第二部分：重难点题型突破
突破一：空间几何体外接球
1．（2022·四川成都·一模（理））已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 把 折
起，使二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，三棱锥 中， ，平面 平面 ，
取BD中点E，连接CE，AE，则 ，而平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，因此平面 平面 ，同理平面 平面 ，
令点 分别为正 ，正 的中心，在平面 内分别过点 作 的垂线，它们交于
点O，连OC，
因此 平面 ， 平面 ，而 分别为三棱锥 的外接球被平面 ，平面
所截得的小圆圆心，
则 是三棱锥 的外接球的球心，而 ， ，显然四边形 为正方形， ，则球半径 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 .
故选：A
2．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）已知正三棱锥 ，
若 平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图一所示：
因为 平面 ，
平面 ，
所以 ， ，
又因为几何体为正三棱锥，
所以 ,
，
又因为 ,
所以 ，
所以 ,
所以 ，
所以 ，
即 两两垂直，
将三棱锥补成以 为邻边的正方体，如图二所示：则三棱锥的外接球即为补形后的正方体的外接球，
所以 ，
即 ，
所以 = .
球
故选：B.
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）三棱锥 中， 平面
，其外接球表面积为 ，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，三角形ABC的平面图如图1：
图1
其中 是等腰 的外接圆的圆心， 是AC的垂直平分线， 是BC的垂直平分线， 在
的外部，
依题意有 ， ；
三棱锥的直观图如图2：
图2
外接圆的圆心为PB的中点D，
过 作垂直于平面ABC的垂线，过D作垂直于平面PAB的垂线，两垂线必相交于外接球的球心O，外接球的半径 ，三棱锥P-ABC的高为PA，
则有 ，在 中， ，
三棱锥的体积为 ；
故选：D.
4．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，
侧面 为正三角形，则其外接球体积最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设二面角 的大小为 ， 中点为 ，正方形 的中心为 ，
则 ， ， ，则 ， 到底面的距离为 ，
设球心 到底面的距离为 ，而正方形的外接圆半径为 ，
则 ，而
由 得 ， ，
恒成立，故 最小值为 ， ，
即外接球体积最小值为 ，
故选：C
5．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知点 是长方体 的外接球球
心， 为球面上一点， ，若 与 所成的角为 ，则四棱锥 的体积的最大值
为__________．
【答案】
【详解】连接 ，根据长方体的性质可知 ，所以 是 与 所成角，所以 ，
由于 ，所以四边形 是正方形，
所以 ，所以三角形 是等边三角形，
所以 ，所以 ，
所以长方体 是正方体，
设外接球的半径为 ，则 ，
球心 到平面 的距离为 ，
所以四棱锥 的体积的最大值为 .
故答案为：
6．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）三棱锥 中，
，则三棱锥的外接球表面积为___________.
【答案】
【详解】解：由题意，
如图，
在△ 中， ，
∴ ，
∵ ， 面 ， ，∴ ⊥面 ，又 面 ，
∴
在△ 中，
同理可得， ，∵ 面 ， ，
∴ 面 ， 又 面 ，
∴
∴棱 中点为外接球球心，
外接球半径为 ，
∴外接球表面积为 .
故答案为： .
7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）在正四面体 中， 为 边的中点，过点 作该正四面体外
接球的截面，记最大的截面面积 ，最小的截面面积为 ，则 __________；若记该正四面体内切球和
外接球的体积分别为 和 ，则 __________．
【答案】
【详解】将正四面体 放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四面体的外接球，
外接球的球心O为正方体的体对角线DF的中点，
设正四面体 的棱长为 ，则正方体的棱长为 ，
因为外接球的直径等于正方体的对角线长，
所以外接球的半径为 ，
E为BC边的中点，过E作该正四面体外接球的截面，
当截面过球心O时，截面面积最大，最大值为 ，
当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值，此时球心O到截面的距离为 ，可得截面圆的半径为 ，
从而截面面积的最小值为 ．所以 ；
设正四面体内切球的球心为G，半径为 ，
取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四面体的高，G在AH上，H在DE上，
正四面体的每个面的面积为 ，
，正四面体的高 ，
故正四面体的体积为 ，
连接G与正四面体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个正三棱锥体积为 ，则
，
所以 ，求得 ，
故正四面体内切球的体积 ，
正四面体外接球的半径为 ，外接球的体积为 ，
．
故答案为： ；27．
突破二：空间几何体内切球
1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一
为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个长
方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，堑堵的内切球（与各面均相切）半径为 ，
所以直角三角形 的内切圆半径为 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
，
当且仅当 时等号成立，
则 ，
所以鳖臑体积 .
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体 中，截面 经过四面体的内切球（与四个面都相
切的球）球心 ，且与 、 分别截于 、 .如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥
与三棱锥 的表面积分别为 ， ，则必有（ ）
A． B． C． D． 的大小不能确定
【答案】C【详解】解：连接 、 、 、 ， ， ，
则 ， ，
又 ，
而以上等式右边的每个三（四）棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面 公共，
故 ，即 .
故选：C．
3．（2022·福建·高三阶段练习）已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的正切值为 ， ，
这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为三棱锥 为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为 ，所以可得正三棱锥的高 ，侧面的高 ；
设正三棱锥底面中心为 ，其外接球的半径为 ，内切球半径为 ，
则有 ，也即 ，解得： ，
正三棱锥的体积 ，
也即 ，解得： ，
所以 ，故选：B.
4．（2022·河北张家口·高二期中）球O为正四面体 的内切球， ， 是球O的直径，点M在
正四面体 的表面运动，则 的最大值为__________．
【答案】 ##
【详解】
如图， 为 中点， 为 中心， 平面 ，
设球O的半径为r， ，
正四面体 中，易求得
所以正四面体 的高为 ，
所以根据体积公式 得：
，解得 ，
因为点M在正四面体 的表面运动，
所以 ，
所以
．
故答案为： ．
5．（2022·湖南·雅礼中学高二阶段练习）如图，已知球 是棱长为 的正方体 的内切球，
则球 的体积为________，平面 截球 的截面面积为________．【答案】
【详解】 正方体内切球半径是该正方体棱长的一半， 球 的半径 ，
球 的体积 ；
是边长为 的等边三角形，球 与平面 、 、 分别相切于 的中点，
平面 截球 所得的截面为 的内切圆，
的内切圆半径 ，
所求截面面积 .
故答案为： ； .
突破三：用基底表示向量
1．（2022·甘肃·测试·编辑教研五高二期末（理））如图，空间四边形 中， ， ，
，且 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】由题意知，
故选：C.
2．（2022·内蒙古·包头一中高二期中（理））已知空间四边形ABCO中， ， ， ，M
为OA中点，点N在BC上，且 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图所示：
点N在BC上，且 ，∴ ，
由 ， ，
，
为 中点， ， ，
．
故选：D．
3．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图，在三棱柱 中，G是 与 的交
点，若 ， ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 为三棱柱，所以 ，
.
故选： .
4．（2022·四川·射洪中学高二期中（理））如图，在三棱锥 中，设 ， ， ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
，，
，
故选：A.
突破四：向量模及最值
1．（2022·四川南充·高三期中（文））如图所示，正方体 的棱长为 ， 、 分别是棱
、 的中点，动点 在正方形 （包括边界）内运动，若 面 ，则线段 长度的最小
值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐
标系，
则 、 、 ， ，设点 ，其中 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，取 ，可得 ，
，因为 平面 ，则 ，
所以， ，
所以，
，
当且仅当 时， 的长度取最小值 .
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体 的棱长为4，点E是棱 的中点，动点P在
正方形 内（包括边界）运动，且 平面 ，则 长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】以D为原点，以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
．则 ， ， ， ， ， ， ， ，
.
取 的中点为H，连接 ， .
在正方体 中， 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 .
又 面 ， 面 ，
所以 面 .
同理可证： 面 .又 ，所以平面 平面 ．
因为 平面 ，所以点P只能在线段 上运动．易知 ，设 （ ），
，则 ， ，
，
．
当 时， 取得最小值 ；当 时， 取得最大值36．
故PC长度的取值范围为 ．
故选：C
3．（2022·江苏·高二课时练习）如图，正方体 的棱长为2，点 在 上，点 在
上，且 ， 面 ，则 的长为（ ）．
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】因为该几何体 为正方体，所以以 为坐标原点，
为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系.因为正方体 的棱长为2，所以 ， ，
平面 的一个法向量为 .
因为点 在 上，且 ，所以点 .
因为点 在 上，所以设 ，则 ，
因为 平面 ，所以 ，
有 ， ，故 ，
.
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，
点 在底面 上（包括边界）移动，且满足 ，则线段 的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则 （0，0，2），E（1，2，0）， （2，2，2），
＝（a−2，b−2，−2）， ＝（1，2，−2），
∵ P⊥ E，
，
∴a＋2b−2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段，
，
由二次函数的性质可得当 时， 可取到最大值9，
∴线段 P的长度的最大值为3．
故选：D．
5．（2022·辽宁·沈阳市第十中学高二阶段练习）向量 ，若 ，则
__________．
【答案】
【详解】由题意知向量 ， ， ，且 ，
所以 且 ，解得 ，
故 ， ，则 ，
所以 ，
故答案为： .
6．（2022·河南·高二阶段练习）设 ，向量 ，且 ，则
___________.【答案】
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，则 .
因为 ，所以 ，解得 ，则 .
.
故答案为：
7．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知 、 是空间内两个单位向量，且 ，如果空
间向量 满足 ，且 ， ，则对于任意的实数 、 ， 的最小值为
______．
【答案】
【详解】因为 、 是空间内两个单位向量，且 ，
所以， ，因为 ，则 ，
不妨设 ， ，
设 ，则 ， ，解得 ，则 ，
因为 ，可得 ，
则 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此，对于任意的实数 、 ， 的最小值为 .
故答案为： .
突破五：向量数量积最值
1．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）在棱长为2的正四面体 中，点 满足，点 满足 ，当 、 最短时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为 ，
可得 平面 ， ，
当 ， 最短时， 面 ，且 ，
则正四面体 中， 为 的中心， 为 的中点，如图所示，
又因为正四面体的棱长为2，在正三角形 中，由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：C．
2．（2022·浙江台州·高二期中）已知点P是棱长为1的正方体 的底面 上一点（包
括边界），则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C【详解】
如图，以 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设点 ， ， ，
则 ， ，
，
当 或 ， 或 时， 最大，为1.
故选：C.
3．（2022·贵州·高二期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖
臑 中， 平面 ， ， ，E是BC的中点，H是 内的
动点（含边界），且 平面ACD，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.
易得 ， ，
因为 平面 ， 平面 ， ， ，所以平面 平面
.
因为 平面 ，所以H为线段FG上的点.
由 平面 ， 平面 ，得 ，
又 ，则 ，
由 平面 ，得 平面 ，因为 ，所以 平面 ， ， .
因为 ，
所以 ， .
.
因为 ，所以 .
故选：B.
4．（2022·广东·江门市广雅中学高二期中）如图所示，在棱长为1的正方形 中，点P是
的中点，点M，N是矩形 内（包括边界）的任意两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正方体 的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知， ，
，那么 ，又 ，
所以 .当 与 反向，且 时， 有最小值，此时 ；
当 与 同向，且 时， 有最大值，此时 ，即
的取值范围为 ．
故选：B
5．（2022·上海·高二专题练习）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体
的棱长是2，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正方体内切球的球心为 ，则 ,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以 ， ，
所以 ，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当 为正方体顶点时， 最大，且最大值为 ；
当 为内切球与正方体的切点时， 最小 ，且最小为 ；
所以 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：B
6．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）在棱长为1的正方体 中，点E为底面
内一动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则 ， ，设 则 ， ，所以
， ，所以
，因为 ， ，所以
， ，所以 ，
故选：A
突破六：空间向量的平行与垂直
1．（2022·安徽·亳州二中高二期中）设 ，向量 ， ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【详解】因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 ，故 ， ，
故 ，故 ，
故选：D.
2．（2022·山东·聊城市茌平区第二中学高二阶段练习）已知 ， ， ，
， ，则 与 夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ，
所以 ，
解得 ， ，
故 , , ，
又因为 ，所以 ，即 ，解得 ．
所以 ,4, ， , , ，
所以 ,2, ， , , ，
所以 ，
，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ．
故选：A.
3．（2022·黑龙江·大庆二中高二阶段练习）已知两个向量 ， ，且 ，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】∵ ，∴ ，使 ，得 ，解得： ，所以
故选：C
4．（2022·河南·北大公学禹州国际学校高二开学考试）如图，平面 平面 是等边三角
形，四边形 是矩形，且 ，E是 的中点，F是 上一点，当 时， （ ）A．3 B． C． D．2
【答案】C
【详解】分别取 的中点O，G，连接 ，
以O为坐标原点， 的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，则 ．设 ，
则 ．因为 ，
所以 ，解得 ，所以 ．
故选: C
5．（2022·山东·莱州市第一中学高二阶段练习）已知向量 ，点 ．在直线
上，存在一点E，使得 ，则点E的坐标为___________．
【答案】
【详解】设 ，因为 ， ，所以 ， ，
， ，
因为 ，所以 ，解得 ，又 ， ，所以点 的坐标为 .
故答案为： .
6．（2022·山东省实验中学高二期中）已知 ， ，且 与 垂直，则 的值为
___________.
【答案】
【详解】因为 ， ，
所以 ，
，
因为 与 垂直，所以 ，
解得： ，所以 的值为 ，
故答案为： .
突破七：异面直线所成角
1．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）如图， 分别是正方形 的边 的中点，将
沿着 折起到 的位置，使平面 平面 ，连接 ， ，则 所成角的余弦
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 的中点为 ，连接 ，因为 ，所以 ，又 平面 ，平面
平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，又 分别是正方形 的
边 的中点，所以 ，因为 ，所以 ，以 为原点， 的方向分别
为 轴的正方向，建立空间直角坐标系.设 ，则 ，所以
.设 所成的角为 ，则 .
故选：C.
2．（2022·河北张家口·高二期中）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是正三角形，
， ，F是棱 上一点，且满足 ，则异面直线 与 所成角的余弦值是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以D为坐标原点， ， 所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知 ， ， ， ，
， ，
设 ，则 ，已知 ，
因为 ， ，
所以 ，
可得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：B．
3．（2022·河南·高二阶段练习（文））如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为矩
形， 是线段 的中点， 是线段 上一点（不与 两点重合），且
．若直线 与 所成角的余弦值是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ．
因为底面 为矩形，所以 ．
所以DP，DC，DA两两互相垂直．
以 为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ．
因为 ，
所以 ，则 ．
设直线MN与BD所成角为 ，则
．
因为 ，则 ，
化简得 ，即 ，解得 或 （舍去）．
故选：B
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知四棱锥 的底面 是边长为2的正方形，
平面 ，线段AB，SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为 ，则
（ ）
A． B．4 C．2 D．3
【答案】B
【详解】如图示，以D为原点， 分别为x、y、z轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设 .则 ， ， ， ， ， ， .
所以 ， .
因为异面直线 与 所成角的余弦值为 ，所以 ，
解得：t=4.
即 4.
故选：B
5．（2022·辽宁沈阳·高二期中）已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面
ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为 ，则SD＝（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】C
【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设 ，则 ， ，
， ，所以 ，所以 ， .因为直线EC与BF所成角的
余弦值为 ，所以 ，解得 ，也即 .故选：C.
突破八：直线与平面所成角
1．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）已知四棱柱ABCD-ABC D 的侧棱AA 垂直于底面，底面
1 1 1 1 1
ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=AA=2BC，E为DD 的中点，F为AD的中点，则直线EF
1 1 1
与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
1
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】侧棱AA 垂直于底面，则 ，则以点 为坐标原点，建立如下图所示的坐标
1
系，不妨设 ，则 ， ，设平面ACD的法向量
1
为 ， ，则 ，取 ，则
，即直线EF与平面ACD所成角的正弦值为 .
1
故选：C2．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）在四棱雉 中， 平面 ， ，底
面是边长为4的菱形，且 ， 是 的中点，则 与平面 所成的角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接 交于点 ，
以分别为 轴，过点 平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则
，令 ，则 ，
设 与平面 所成的角为 ，则
，
所以 ， ，
所以 与平面 所成的角的正切值为 ，
故选：B3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆锥的底面圆心为 ，顶点为 ，侧面展开图对应扇形的圆心
角为 ， ， 是底面圆周上的两点， 与平面 所成角的正弦值为 ，则 与 所成角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ， ， ，
因为侧面展开图对应扇形的圆心角为 ，
所以 ，于是 ，所以 ，
所以 ， ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则各点坐标如下： ，0， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，平面 的法向量为
，0， ，与平面 所成角的正弦值为 ， ，
所以 与 所成角的余弦值为 ．
故选：A
4．（2022·浙江·余姚中学高二阶段练习）已知圆柱 中，点 在圆 上， ， ，点 、
在圆 上，且满足 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为__________.
【答案】
【详解】取 中点 ，则 ， 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立如下图所示的
空间直角坐标系，
则 、 、 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，则 ，
设 ，直线 的方向向量为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .故答案为： .
5．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知几何体 如图所示，其中四边形ABCD，
CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则
___________.
【答案】 ##
【详解】把该几何体补成一个正方体，如图 ， ，连接 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，同理 ， ．
又正方形 中， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，
所以平面 内的直线 在平面 上的射影是 ，即 是直线MB与平面BEF所成的角，
，
，
．
， ．
故答案为： ．6．（2022·全国·高三专题练习）正四棱柱ABCD﹣ABC D 中，AB＝2，AA＝4，E为AB的中点，点F满
1 1 1 1 1
足 ，动点M在侧面AADD内运动，且MB∥平面DEF，则|MD|的取值范围是
1 1 1
__________________．
【答案】
【详解】因为ABCD﹣ABC D 是正四棱柱，
1 1 1 1
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设M（x,0,z），B（2,2,0），D（0,0,4），E（2,1,0），
1
因为 ，所以F是CC 四等分点（靠近C），
1
所以F（0,2,1），所以 ，
设平面DEF的一个法向量为 ，
1
则 ，即 ，
令c＝2，则 ，故 ，
又 ， 平面DEF，
1
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
故 ，因为0≤x≤2，0≤z≤4，所以 ，故 ，
因为 ，所以|MD|在 上单调递减，
所以当x＝ 时，|MD|取最大值，
所以|MD|的最大值为 ，
当x＝2时，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值为 ，
所以|MD|的取值范围是 ．
故答案为： .
突破九：二面角
1．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高二期中）已知菱形 中， ，沿对角线AC折叠之
后，使得平面 平面 ，则二面角 的余弦值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为平面 平面 ，设 中点为 ， ，则 平面 ， ，故以
方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立空间直角坐标系，设菱形边长为2，则
，
， ，显然 是平面 的一个法向量，设平面 的
法向量为 ，则满足 ，即 ，
令 ，可得 ，故 ，则 ，即二面角 的余弦值为 .故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中， 中点为 ，则二面角 的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体 的棱长为2，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
，2， ， ，2， ， ，2， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，0， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ， ，
设二面角 的平面角为 ，由图知 为钝角，
二面角 的余弦值 .
故选： .3．（2022·山东·日照一中高二阶段练习）已知菱形 中， ，沿对角线 折叠之后，使得
平面 平面 ，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】设菱形 的边长为 ，取 的中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
如下图建立空间直角坐标系，则 ， ，所以
．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 令 ，得 ，则
，
又取平面 的一个法向量为 ，所以 ，
故选：D．
4．（2022·河南·安阳县实验中学高二开学考试（理））在矩形 中， ， ，沿对角线
把矩形折成二面角 的平面角为 时，则 __________.
【答案】
【详解】分别过 两点作 ， ，垂足为 ,如下图所示：根据勾股定理可求出： ，
沿对角线 把矩形折成二面角 的平面角为 时，
则 ，
.
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高二阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，
，且 ，若 ， ，则平面APB与平面PBC夹角
的余弦值为______．
【答案】 ##
【详解】在平面 内作 ，垂足为 ，
因为 ，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ，
又 , 平面PAD， 平面PAD
从而AB⊥平面PAD，又 平面PAD，故 ，
又 , ， 平面 , 平面 .
可得 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系 .所以 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则 即
令 ，则 ，故 .
设 是平面 的法向量，则 即
令 ，则 ，故 .
则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为
故答案为：
6．（2022·福建·泉州七中高二阶段练习）如图所示，在四棱锥 中， // ，且
，若 ， ，则二面角 的余弦值为______．
【答案】【详解】
取 中点 ， 中点 ,连接 ， ，由已知可得 // ， //
∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 平面 ，∴ ，
又∵ ，∴
∴以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，不妨设 ，则
，
∵ ，∴ ,
∴ ， ， ， .
所以 ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，则
即 ，
令 ，则 ， ，∴ .
设 是平面 的一个法向量，则
即 ，
令 ，则 ， ，∴ .
则 ，
由图可知二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
故答案为： .
突破十：空间距离1．（2022·浙江·高二阶段练习）在棱长为2的正方体 中， 在线段 上，且
，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】
如图，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
.
设 为平面 的法向量，且 ，
则
即
取 ,
故点 到平面 的距离 .
故选：B.
2．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部
且满足 ，则P到AB的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，以 为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
因为 ，
所以 ， ， ,
所以点P到AB的距离 ．
故选：D.
3．（2022·山西省运城中学校高二期中）如图，在三棱柱 中，底面 是边长为 的正三
角形， ，顶点 在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线 上的动
点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】如图， 是底面正 的中心， 平面 ， 平面 ，则 ，
，则 ，又 ， ，
，直线 交 于点 ， ，
以直线 为 轴， 为 轴，过 平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ，
， ， ，
，
设 与 和 都垂直，
则 ，取 ，则 ， ，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线 与 间的距离等于 ．
故选：D．
4．（2022·浙江·高二期中）在棱长为3的正方体 中，平面 与平面 之间的距离
为（ ）A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
所以平面 与平面 之间的距离可以转化为点 到平面 之间的距离，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则 ，
， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ， ，，
所以点 到平面 之间的距离为 ，
即平面 与平面 之间的距离为 .
故选：C.
5．（2022·重庆·高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， ，底面 为菱形，边长
为4， ， 平面 ，异面直线 与 所成的角为60°，若 为线段 的中点，则点
到直线 的距离为______ .【答案】3
【详解】连接 ．以 为坐标原点，向量 ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系，
， 是等边三角形，点 在直线 上的射影 在边 上（靠近 的四等分点），
由 平面 ， 平面 ，得 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，∴ 为锐角，
， 为异面直线 与 所成角，即 .
在菱形 中， ， ， ， ．设 ，则 ，
，
， ， ， ， ，
点 到直线 的距离为 .
故答案为：3.
6．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数
（ 且 ）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面
的问题：如图，在长方体 中， ，点E在棱AB上， ，动点
P满足 .若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体 内部运动，F为棱 的中点，M为CP的中点，则点M到平面 的距离的最
小值为___________.
【答案】
【详解】①以AB为 轴，AD为 轴， 为 轴，建立如图所示的空间坐标系，
则 设 ，
由 得 ，
所以 ，
所以若点 在平面 内运动，则点 所形成的阿氏圆的半径为 .
②设点 ，由 得 ，
所以 ，
由题得
所以 设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，则 由题得 ，
所以点P到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，所以点M到平面 的最小距离为 .
故答案为： ； .
突破十一：立体几何综合问题
1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，在多面体 中，底面 为菱形，
平面 ， ， ，点M在棱 上，且 ，平面
与平面 的夹角为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．平面 平面 B．
C．点M到平面 的距离为 D．多面体 的体积为
【答案】D
【详解】对于A选项，取 的中点G，连接 交 于N，连接 ，
因为四边形 是菱形，所以 ⊥ ，且N是 的中点，
所以 且 ，又 ，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 ，
又因为 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
对于B，取 的中点H，由四边形 是菱形， ，则 ，所以 是正三角形，
所以 ，所以 ，
又 平面 ，
以A为原点， 为坐标轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，
所以 ，
所以 ，
，
当 时， 重合，此时平面 与平面 的夹角为 ，不合题意，舍去；
当 时，设平面 的一个法向量 ，
则 ，
两式相减得： ，
令 ，得 ，故 ，
平面 的法向量可取 ，
所以 ，解得 ，故B正确；
对于C，结合B，所以 ，则 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，解得： ，取 ，得 ，故 ，
所以点M到平面 的距离 ，故C正确；
对于D， ，
故 ，
梯形 的面积为 ，
，
故 ，故D错误.
故选：D.
2．（2022·全国·模拟预测）在三棱锥 中， 为等边三角形， 平面 ， ，
，点G是P在平面 内的射影，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，取 的中点D，连接 ， 为等边三角形，∴ ，
由题意知 平面 ， 平面 ，
故 ,又 ， ，则 ，
所以 ，而 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 , 所以平面 平面 ,平面 平面 ,
∴点P在平面 内的射影在直线 上，连接PG，则 ，
在 中， ， ，则 ， ，故 ，则 ,∴点G是 的重心.
以P为坐标原点，过点P作 的垂线为x轴，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系
，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，则 ，
∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ,
故选:C.
另解：同解法一得出点G是 的重心.
如图，取 的中心E，连接EG，则 ,故 ，
则异面直线 与 所成的角为 ，
因为 平面 ，故 平面 ，
连接CE，在 中， ， ， ,
∴ ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 ,
故选：C.
3．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，
平面 ，且 ．若点 分别为棱 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． 平面B．直线 和直线 所成的角为
C．过点 的平面与四棱锥 表面交线的周长为
D．当点 在平面 内，且 时，点 的轨迹为一个椭圆
【答案】D
【详解】由题意可知因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又底面 是边长为2的正方形，所以 ，即 两两垂直，
以 为原点， 为 轴， 轴， 轴建立如图所示坐标系，
所以由题意 ,
所以 ，
设平面 的法向量 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 平面 ，A正确；
因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以直线 和直线 所成的角为 ，B正确；
延长 与 交于点 ，延长 与 交于点 ，连接 与 交于点 ，连接 与 交于点 ，连
接 ，则过点 的平面与四棱锥 的截面为 ，
取 的中点为 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 为 中点，即 为 靠近 的四等分点，同理 为 靠近 的四等分点，
所以 ，
则 ,
则截面周长为 ，C正确；
因为 ，所以点 到平面 的距离 ，
又因为 ，所以点 到平面 的距离 ，
设 与平面 交于 ，由A得因为 平面 ，所以 ,
所以 ，
即 为定值，所以 的轨迹为圆，D错误；
故选：D
4．（多选）（2022·广东·高三阶段练习）在正方体 中，点P在线段 上运动，则下列结
论正确的有（ ）
A．直线 ⊥平面
B．直线 平面
C．异面直线AP与 所成角的取值范围是
D．三棱锥 体积为定值
【答案】ABD【详解】分别以DA、DC、 为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
对于A：设边长为1，则 , ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，
所以直线 平面 ，故A正确；
对于B：因为点M在线段 上运动，
所以设点 ，则 ，
由上可知：平面 的法向量为 ，
，因为 平面 ，
所以直线 平面 ，故B正确；
对于C： ，设异面直线AM与 所成角为 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，
综上 ，所以 ，故C错误；
对于D： 因为 ，点M在线段 上运动，
所以点P到直线 的距离不变，即 的面积不变，
又因为点 到平面 的距离恒为 ，
所以点 到平面 的距离不变，即三棱锥的高不变，
所以三棱锥 的体积为定值，而 ，故D正确，
故选：ABD
5．（多选）（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，正方体 棱长为1，点 是线
段 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．三棱锥 的体积为定值
C．若动点 在以点 为球心， 为半径的球面上，则 的最小值为
D．过点 ， ， 作正方体的截面，则截面多边形的周长的取值范围是
【答案】BCD
【详解】对A选项，在正方体 中，以 为直径的球面，半径 ，则直线 与
该球面没有公共点，故不存在点 ，使得 ，故A选项错误；
对B选项， 因为 ，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面
，所以点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离，故，故B选项正确；
对C选项， ， ，因为 ，
所以 ，故C选项正确；
对D选项，当 在 上移动时，截面多边形如图(1)所示，其侧面展开图如图(2)所示，
图(1) 图(2)
当点 位于 点时，即 与 点重合，截面多边形为正三角形 ，此时的周长最小，周长 ，
当点 从 点向 点移动时，根据对称性可知，截面多边形的周长先增大后减小，即 点随着点 的移
动至 点时，此时点 为 的中点，截面为平行四边形 ，截面多边形的周长最大，此时周长
为 ，所以截面多边形的周长的取值范围是 ，故D选项正确.
故选：BCD
6．（多选）（2022·广东惠州·高二阶段练习）在棱长为1的正方体 中,已知E为线段
的中点,点F和点P分别满足 , ,其中 ,则下列说法正确的是（ ）
A．当 时,平面 与平面FAC的夹角余弦值为
B．当 时,四棱锥 的外接球的表面积是
C． 的最小值为
D．存在唯一的实数对 ,使得 平面PDF
【答案】ABD
【详解】对于A,当 时,F为线段 的中点,
以D为坐标原点,DA所在的直线为 轴,DC所在的直线为 轴, 所在的直线为 轴,建立空间直角坐标
系，, , , .
, , ,
设平面 的法向量为 ,平面ACF的法向量为 ,
由 ,即 ,令 ，得 ,
同理 ，即 ，令 ，得 ,
所以 ,故A正确;
对于B,当 时,点P为正方体的中心,设四棱锥 的外接球的半径为 ,由 ,
解得 ,
故四棱锥 的外接球的表面积为 ,故选项B正确;
对于C,把问题转化为在平面 内求点P使得 最小,如图,作点E关于线段 的对称点 ,过点
作 、AB的垂线,垂足分别为F和H,交 于点P.
则 ,设 ,
结合 , , ，
,故 ,故 ,故选项C错误;
对于D,如图建立空间直角坐标系，
, , , , ,
故 , , ,
若 平面PDF,
则 即 ,
解得 （舍）或 ,
故存在唯一的实数对 ,使得 平面PDF,故选项D正确,
故选:ABD．
7．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）如图，正方体
的棱长为 ， 分别是棱 的中点，过点 的平面分别与直线 交
于点 ， 为侧面 （含边界）上的一个动点.给出以下命题：①四边形 一定为菱形；
②四棱锥 的体积为定值；
③平面 与平面 所成的角不大于 ；
④ 的最小值为 .
其中正确命题的序号是______.
【答案】①②④
【详解】对于①，连接 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
，同理可得： ，
四边形 为平行四边形；
分别为 中点， ；
四边形 为正方形， ，
又 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
四边形 为菱形，①正确；对于②，由①知：四边形 为菱形， ，
；
，点 到平面 的距离为 ，
，则 为定值，②正确；
对于③，以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ；
，
为平面 与直线 的交点， ；
则当 时， ，
平面 与平面 可以大于 ，③错误；
对于④，作出 关于平面 的对称点 ，则 ，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
，同理可得： ，
四边形 为平行四边形， 平面 ，又 平面 ，
又平面 平面 ， ，又 ，
， 为 中点，即 ，
， （当且仅当 三点共线，即 为如图所示 点时
取等号），
，④正确.
故答案为：①②④.
8．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高三阶段练习）如图，在正方体 中，
为棱 的中点.动点 沿着棱 从点 向点 移动，对于下列三个结论：
①存在点 ，使得 ，且这样的点 有两个；
② 的面积越来越小；
③四面体 的体积不变.
所有正确的结论的序号是__________.
【答案】②③
【详解】以D为坐标原点，DA，DC， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱
长为2，则 ， ，设 （ ），则 ，
，
令 ，解得： ，存在唯一一个点P，使得 ，①错误；
， ， ，
，
设点P到直线 距离为 ，则
所以 ，
因为 ，动点 沿着棱DC从点D向点C移动，即 从0逐渐变到2，随着 的变大，
变小， 的面积越来越小，②正确；
以 为底，高为点P到上底面的距离 ，因为 ∥底面 ，所以h不变，所以四面体
的体积不变，③正确.
故答案为：②③.
9．（2022·北京师大附中高三阶段练习）如图，在正方体 中， 为棱 的中点， 是棱
上的动点（不与端点 ， 重合）.给出下列说法：
①当 变化时，三棱锥 的体积不变；
②当 变化时，平面 内总存在与平面 平行的直线；
③当 为 中点时，异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
④存在点 ，使得直线 .其中所有正确的说法是______.
【答案】①②
【详解】解：由题意
对于①
∵ ，
∴N到面 的距离相等，设为d，
，
∴三棱锥 的体积为定值，①正确.
对于②，
∵面 与面 有公共点M，
∴面 与面 有一条经过M点的交线，
∴在面 中，作该交线的平行线，
则该直线平行于面 ，②正确.
对于③，设正方体棱长为2，
建立空间直角坐标系如下图所示，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
∴ ， ，∴ ，
∴当 为 中点时，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，③错误.
对于④，
设 ，则 ， ，
若直线 ⊥面 ，
，
无解，
∴存在点 ，使得直线 ，④错误.
故答案为：①②.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）在棱长为2的正方体中挖掉一个体积最大的圆锥（圆锥的底面在
正方体的底面上），再将该圆锥重新熔成一个圆柱，则该圆柱表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可知体积最大的圆锥的体积为 ，
设圆柱的高为 ，底面圆的半径为 ，所以 ，即 .
圆柱的表面积 ，
设 则 ，
在 上是单调递增的,
易知当 ，即 时， 取得最小值 ,即 最小值为 .
故选：
2．（2022·湖北·高二阶段练习）已知棱长为12的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该
正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最长为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】如图所示，正四面体 的边长为 ，
则正方体 的边长为 ，
正四面体 的体积为
，
设其内切球的半径为 ，则 ，
解得 .
已知正四面体的棱长为12，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，
则正方体玩具的外接球为正四面体的内切球，所以内切球的半径 ，
内切球的直径 ，内切球的直径也即正方体玩具的体对角线长的最大值，
设此时正方体玩具的边长为 ，则体对角线长为 .
即正方体玩具的棱长最长为 .
故选：D
3．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为 ，
则它的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图， 为 的中点， 底面 ，则 为 的中心，底面 的面积 .又 ，所以 ，所以 .
设三棱锥 的内切球的半径为 ，则 ，所以
.
故选：B
4．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个
顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得正方形 的中心 即为外接球球心，设 ，则 ，
球 的体积为 ，
而 ，故正八面体的体积 ，
得 ，故选：A
5．（2022·江西·高二阶段练习）如图，在长方体 中， ，当
时，有 平面 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】如下图所示：
以 点为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系；设 ，
则 ，设
即 ， ，
由 得
即 ，所以
则
设平面 的一个法向量为 ，
，所以
令 ，则 ；所以
由 平面 可知， ,即 .
所以 .
故选：C6．（2022·湖南岳阳·高二期中）平行六面体 中，
则它的对角线 的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】由于 ，而
所以 ，将等式两边同时平方得：
，
，
所以 ，
即对角线 的长度为 .
故选：D.
7．（2022·全国·模拟预测）如图，直三棱柱 的底面为正三角形，M，N分别为AC， 的中
点，若 ，则异面直线 与MN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【详解】解法一：如图，设直三棱柱 的底面边长为2， ，连接 ，
则 ， ， ，
因为 ，所以在 中，由勾股定理可得 ，得 .
连接 ， 交于点P，取 的中点Q，连接PQ，AQ，则 ， ，
所以 为异面直线 与MN所成的角或其补角.
易知 ，故 为等边三角形， ，
所以异面直线 与MN所成角的大小为60°.
解法二：
设直三棱柱 的底面边长为2， ，连接 ，
则 ， ， ，
因为 ，所以在 中，由勾股定理可得 ，得 .
如图，把三棱柱 补成一个四棱柱 ，连接 ， ，
则 ， ，故 为异面直线 与 所成的角或其补角.
连接AD，易知 ，故 为等边三角形， ，所以异面直线 与 所成角的大小为60°.
解法三 由题可以A为坐标原点，分别以AB， 所在直线为y，z轴，
在平面ABC上过点A作与AB垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设直三棱柱 的底面边长为2，高为h，则 ， ， ，
，
所以 ， ， ，由 可得 ，
所以 ，得 ，所以 ， ，则
，
因为异面直线所成角的取值范围为 ，所以异面直线 与MN所成角的大小为60°.
故选：C
8．（2022·上海·模拟预测）如图，正方体 中，M是 的中点，则（ ）
A．直线 与直线 相交，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面C．直线 与直线AC异面，直线 平面
D．直线 与直线 垂直，直线 ∥平面
【答案】D
【详解】解：因为 是正方体，不妨设棱长为2，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角
坐标系：
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
又M为 的中点，故可得 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，不妨取 ，故可得 ．
设平面 的法向量为
则 ，即 ，不妨取 ，故可得 ．
对A：因为 ， ，故BM， 不相交，故错误；
对B： ， ，不存在非零实数 ，使得 ，
故MB， 不平行，故错误；
对C： ，平面 的法向量为 ，
不存在非零实数 ，使得 ，故MB与平面 不垂直，故错误；
对D： ， ，则 ，故直线MB与 垂直；
又 ，故MB与平面 平行，故正确；
故选：D．
二、多选题9．（2022·辽宁沈阳·高二期中）如图所示，平行六面体 ，其中 ， ，
， ，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线AC与直线 是相交直线
D． 与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【详解】由空间向量运算法则得到： ，
所以
，
故 ，A正确；
因为 ，
所以
，
故 ， ，B正确；
连接 ，因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
点 平面 ，而点 平面 ，
故直线AC与直线 是异面直线，C错误；
， ，
，
又
，
，
故 ，
设 与AC所成角为 ，
所以
故 与AC所成角的余弦值为 ，D错误.
故选：AB
10．（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）已知在直三棱柱 中，底面是一个等腰直角三角
形，且 ，E、F、G、M分别为 的中点．则（ ）
A． 与平面 夹角余弦值为 B． 与 所成角为
C． 平面EFB D．平面 ⊥平面
【答案】BCD
【详解】如图1，建立空间之间坐标系，设 ，则有：
，∴ ， ， ， ， ，
设平面ACC A 的法向量为
1 1
则有 ，令x＝1，则 ，
则 ，
∴ 与平面 夹角的正弦值为 ，则余弦值为 ，A错误；
∵ ，
∴AB 与BC 所成角的余弦值为 ，则夹角为 ，B正确；
1 1
如图2：连接 ，设 ，连接OF，
E、M分别为 的中点，则 且 ，
∴ 为平行四边形，则O为 的中点，
又∵F为 的中点，则 ，平面EFB， 平面EFB，
∴ 平面EFB，C正确；
由题可知平面 即为平面 ，
由题意可得： ，
又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
平面 ，则 ，
又∵ 为正方形，则 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ，即平面 ⊥平面 ，D正确.
故选：BCD．
11．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高二期中）如图，四棱柱 的底面ABCD是正
方形，O为底面中心， 平面ABCD， ．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
系，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面 的一个法向量为
D．点B到直线 的距离为
【答案】BCD
【详解】依题意, 是正方形, , 与 的交点 为原点, ,
在给定的空间直角坐标系中, ,
而 ,则点 , ,故 错误;
, ,
设平面 的法向量 ,
则 ,
令 ,得 ,故 正确;
,即 平面 ,故 正确;
, , ,
到 的距离 ,故 正确
故选:
三、填空题
12．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱
、 、 两两夹角都为 ，且 ， ， ， 、 分别为 、 的中点，则
与 所成角的余弦值为__________.
【答案】
【详解】如下图所示：
由题意可得 ， ，
所以， ，
，，
所以， .
因此， 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
13．（2022·江苏南通·高三阶段练习）如图为某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八
个一样的四面体得到的，它的表面是由正三角形和正方形组成，设被截正方体的棱长为2a，若球О以该几
何体的中心为球心，且与正三角形表面相切，则该球被其中一个正方形表面截得的截面面积为__________.
【答案】
【详解】如图建系， ， ， ， ，
，
四面体OABM为正四面体，O到平面ABM距离 ，
易知球心 到正方形 所在平面的距离为 ，
球被正方体ABCD截得的圆为圆 ， ， .故答案为： .
14．（2022·北京·杨镇第一中学高二期中）在棱长为1的正方体 中， ， 分别为 ，
的中点，点 在正方体的表面上运动，且满足 ，给出下面四个结论：
①点 可以是棱 的四等分点，且靠近点 ；
②线段 的最大值为 ；
③点 的轨迹是正方形；
④点 轨迹的长度为 ．
则其中所有正确结论的序号是________．
（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分）
【答案】①④
【详解】解：在正方体 中，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵该正方体的棱长为1， ， 分别为 ， 的中点，
∴ ， ， ， ，∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，即当 时， ，当 时， ，
取 ， ， ， ，
连接 ， ， ， ，
则 ， ，
∴四边形 为矩形，则 ， ，
即 ， ，
又 和 为平面 中的两条相交直线，
∴ 平面 ，
又 ， ，
∴ 为 的中点，则 平面 ，
为使 ，必有点 平面 ，
又点 在正方体表面上运动，∴点 的轨迹为四边形 ，
因此点 可以是棱 的四等分点，且靠近点 ，故选项①正确；
又 ， ，
∴ ，则点 的轨迹不是正方形且矩形 周长为 ，
故选项③错误，选项④正确；
∵ ， ，
又 ，则 ，即 ，
∴ ，点 在正方体表面运动，
则 ，解 ，
∴ ，
故当 或 ， 或1， 取得最大值为 ，故②错误.
故答案为：①④．
四、双空题15．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）如图1， 是平行四边形，
，如图2，把平行四边形沿对角线 折起，则三棱锥 体积的最大值为______________．若 与
成 角，则 的长为______________．
【答案】 或
【详解】由已知得，对于三棱锥 ，当 平面 时，三棱锥 体积的最大，由
， 是平行四边形，可得， ，故
；
，又因为 与 成 角，故 或 ，且 ，
，
，
故 或 ，
则 或
故答案为：① ；② 或 ；
16．（2022·天津河北·高二期中）在棱长为2的正方体 中，E为 的中点，以D为原
点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 到直线 的
距离为______________；点D到平面 的距离为______________．【答案】
【详解】由题意知： ，
所以 ，
，
所以 ，
所以点 到直线 的距离为 ；
由题意知： ，
所以 ，
记平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
此时 ，
又 ，
所以点D到平面 的距离 .
故答案为： ， .
