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第26章 反比例函数单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
k
1．（3分）（23-24九年级·云南文山·期末）已知点(3,1)是反比例函数y= 上一点，则下列各点中在该图
x
像上的点是（ ）
( 1) (1 ) ( 1)
A．(−1,3) B． 1, C． ,−9 D． 6,
3 3 2
【答案】D
k
【分析】先把点（3，1）代入双曲线y= ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可．
x
k
【详解】解：∵点（3，1）是双曲线y= ( k ≠0）上一点，
x
∴ k =3×1=3，
A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
1 1
B 、1× = ≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
3 3
1
C 、 ×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
3
1
D 、6× =3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，
2
故选： D．
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析
式．
4
2．（3分）（23-24九年级·广东深圳·期末）关于反比例函数y=− ，点(a,b)在它的图像上，下列说法中
x
错误的是（ ）
A．当x<0时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．点(b,a)和(−b,−a)都在该图像上 D．当x<−1时，y<2
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、由于k=−4<0，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
该选项说法正确，不符合题意；
B、由于k=−4<0，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意；
4
C、由于点(a,b)在函数y=− 的图像上，则ab=−4=(−a)×(−b)，从而点(b,a)和(−b,−a)都在函数
x
4
y=− 的图像上，该选项说法正确，不符合题意；
x
D、当x=−1时，y=4，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当x<−1时，00，图
x
象分布在第一、三象限；当k<0，图象分布在第二、四象限．
根据反比例函数的性质得k−3>0，解得k>3，根据正比例函数的性质得2k−9<0，解得k<4.5，所以
30，
∴k>3，
∵正比例函数y=(2k−9)x的图象经过第二、四象限，
∴2k−9<0，解得k<4.5，
∴30）经过AB、BC的中点N、F，连接
x
ON、OF、NF．若S =3，则k的值是（ ）
△BFN
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，先求出点N坐标，利用待定系数法即
可解决问题；求出点N坐标是解题的关键．
【详解】解：∵N、F是AB、BC的中点，
1 1
∴BF= BC， BN= AB，
2 2
∵S =3，
△BFN
1 1 1 1
∴ BF·BN= × BC× AB=3，
2 2 2 2
∴BC⋅AB=24，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=AB=BC=CO=2❑√6，
∵N是AB中点，
∴AN=BN=❑√6，
∴N(2❑√6,❑√6)，
k
把N(2❑√6,❑√6)代入y= ，得到k=12，
x
故选：D．
1
5．（3分）（23-24九年级·江苏南京·期末）函数y = x−1在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该
1 2
1
平面直角坐标系中，函数y=
的大致图像是（ ）
y
1A． B． C． D．
【答案】A
1 1 2 2 2
【分析】由y= ，y = x−1得到y= ，函数y= 的图象可以看作由函数y= 的图象向右平移
y 1 2 x−2 x−2 x
1
2
2个单位长度得到，据此可判断y= 的图象．
x−2
1
【详解】∵y = x−1
1 2
1 1 2
y= = =
∴ y 1 x−2
1 x−1
2
2 2
∴函数y= 的图象可以看作由函数y= 的图象向右平移2个单位长度得到
x−2 x
故选：A
【点睛】本题考查反比例函数的图象，理解两个函数图象的特点是解题的关键．
6．（3分）（23-24九年级·安徽安庆·阶段练习）如图，将直线y=x向下平移m（m＞0）个单位长度后得
6
到直线l，直线l与反比例函数y= 的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2−OB2=
x
（ ）A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是
6
y=x−m，代入y= 求出x2−mx=6，y=x−m与x轴交点B的坐标是(m,0)，设A的坐标是(x,y)，求
x
出OA2−OB2=x2+(x−m) 2−m2=2(x2−xm)，代入求出即可．
【详解】解：∵平移后解析式是y=x−m，
6 6
代入y= 得：x−m= ，
x x
即x2−mx=6，y=x−m与x轴交点B的坐标是(m,0)，，
设A的坐标是(x,y)，
∴OA2−OB2=x2+(x−m) 2−m2=2(x2−xm)=2×6=12
故选：B．
12
7．（3分）（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，点A在反比例函数y = (x>0)的图象上，过点A作
1 x
4
AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y = (x>0)的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则
2 x
△APC的面积为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
连接OA,OC，利用S =S −S ，结合三角形面积公式解题．
△AOC △OAB △OBC
【详解】解：连接OA,OC，
12 4
∴点A在反比例函数y = (x>0)的图象上，点C在反比例函数y = (x>0)的图象上，AB⊥x轴，
1 x 2 x
1 1
∴S = ×12=6,S = ×4=2，
△OAB 2 △OBC 2
∴S =S −S =6−2=4，
△AOC △OAB △OBC
∵AB⊥x轴，
∴ AB∥y轴，
∴S =S =4，
△APC △AOC
故选：C．
k 2k
8．（3分）（23-24九年级·浙江杭州·期末）反比例函数y = ，y =− (k≠0) ，当a≤x≤b（b，a为
1 x 2 x
m
常数，且b>a>0）时，y 的最小值为m，y 的最大值为n，则 的值为（ ）
1 2 n1 1 b
A．−2 B．− C．− 或−2 D．−
2 2 2a
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握当k>0时，在每一象限内，y随x的增
大而减小，反之，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质，进行分类讨论：当k>0时，当k<0时，即可解答．
【详解】解：当k>0时，则−2k<0，
∴y 在每一象限内，随x的增大而减小，y 在每一象限内，随x的增大而增大，
1 2
∵a≤x≤b，b>a>0，
k 2k
∴x=b时，y 的最小值为m= ，当x=b时，y 的最大值为n=− ，
1 b 2 b
k
m b 1
∴ = =− ，
n 2k 2
−
b
当k<0时，则−2k>0，
∴y 在每一象限内，随x的增大而增大，y 在每一象限内，随x的增大而减小，
1 2
∵a≤x≤b，b>a>0，
k 2k
∴x=a时，y 的最小值为m= ，当x=a时，y 的最大值为n=− ，
1 a 2 a
k
m a 1
∴ = =− ，
n 2k 2
−
a
m 1
综上： 的值为− ，
n 2
故选：B．
9．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点
P(x,y)，我们把P′(x+ y,x−y)称为点P的“和差点”．若直线y=−3x+1上有两点A、B，它们的和差
3
点A′、B′均在反比例函数y=− 上，则△OAB的面积为（ ）
x
5 5 3 5
A． B． C． D．
8 4 8 2
【答案】A【分析】设A(a,−3a+1)，B(b,−3b+1)则A′(−2a+1,4a−1)，B′(−2b+1,4b−1)，由A′和B′均在反
3
比例函数y=− 上，可得(−2a+1)(4a−1)=−3，(−2b+1)(4b−1)=−3，从而求出点A的坐标为：
x
( 1 7) ( 1 7)
(1,−2)或 − , ，点B的坐标为：(1,−2)或 − , ，即可求出结果．
4 4 4 4
【详解】解：设点A的坐标为：(a,−3a+1)，点B的坐标为：(b,−3b+1)，则A′(−2a+1,4a−1)，
B′(−2b+1,4b−1)，
3
∵A′和B′均在反比例函数y=− 上，
x
∴(−2a+1)(4a−1)=−3，(−2b+1)(4b−1)=−3，
1 1
解得：a =1、a =− ，b =1、b =− ，
1 2 4 1 2 4
当a=b=1时，−3a+1=−3b+1=−2；
1 7
当a=b=− 时，−3a+1=−3b+1= ，
4 4
( 1 7) ( 1 7)
∴点A的坐标为：(1,−2)或 − , ，点B的坐标为：(1,−2)或 − , ，
4 4 4 4
设一次函数y=−3x+1与x的轴相交于点C，
1
当y=0时，−3x+1=0，即x= ，
3
(1 )
∴点C的坐标为： ,0 ，
3
1
∴OC= ，
3
1 1 7 1 1 5
如图所示：S = × × + × ×2= ，
△AOB 2 3 4 2 3 8
故选A．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的
点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
10．（3分）（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点O为坐标原点，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴
k
上，对角线AC、BD交于点D，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A和点D，若菱形OABC的面积为
x
3❑√2，则点A的坐标为（ ）
(❑√2 ) (3 ) ( 3❑√2)
A． ,2 B．(1,❑√2) C． ,❑√2 D． 1,
2 4 4
【答案】A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D
的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得
AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可．
【详解】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴AE∥DF，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
1 n
∴DF= AE，即点D的纵坐标为 ，
2 2
k
∵反比例函数y= 的图象经过点A和点D，
x
n
∴D（2m， ），
2
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
n {
n=km+b
)
将A（m，n），D（2m， ）代入得： n ，
2 =2km+b
2
n
{ k=− )
2m
解得： ，
3n
b=
2
n 3n
∴AD所在的直线函数表达式为：y=− ·x+ ，
2m 2
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE=❑√OA2−OE2=❑√(3m) 2−m2=2❑√2m，
∵菱形OABC的面积为3❑√2，
❑√2
∴OC×AE=3m×2❑√2m=3❑√2，解得：m= ，
2
❑√2
∴AE=2❑√2m=2❑√2× =2，
2
❑√2
∴A（ ，2），
2
故选：A
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24·北京·一模）某函数符合如下条件：①图象经过点（1，2）；②当x＞0时，y随x的增
大而减小．请写出一个函数表达式 ．
2
【答案】y= （答案不唯一）
x
【详解】【分析】根据题意可知这个函数可以是一次函数，也可以是反比例函数，可以假设函数为反比例
k
函数，设函数为y= ，然后利用待定系数法进行求解即可得.
x
k
【详解】设函数为y= ，
x
∵图象经过点（1，2），
∴k=2，
2
∴函数表达式为y= ，
x
2
故答案为y= （答案不唯一）．
x
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意先确定是哪个类型的函数，然后利用待定系数法求出是解题的
关键.
6
12．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）已知(−2,y )，(−1,y )，(3,y )是反比例函数y=− 的图
1 2 3 x
象上的三个点，则y ，y ，y 的大小关系是 ．
1 2 3
【答案】y 0)的图象上，有P ，P ，P ，
x 1 2 3
⋅⋅⋅P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，⋅⋅⋅2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中阴影
2024
部分的面积从左到右依次为S ，S ，S ，⋅⋅⋅，S ，则S +S +S +⋅⋅⋅+S = ．
1 2 3 2023 1 2 3 20232023 505
【答案】 /3
506 506
【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，将将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，
得到则S +S +S +⋅⋅⋅+S =S 是解题关键．
1 2 3 2023 ▭ABP
1
D
【详解】解：如图所示：
∵P ，P ，P ，⋅⋅⋅P 的横坐标依次为1，2，3，⋅⋅⋅2024，
1 2 3 2024
∴每一个阴影矩形都有一边长为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，
则S +S +S +⋅⋅⋅+S =S
1 2 3 2023 ▭ABP
1
D
4 1
将x=2024代入y= (x>0)得：y=
x 506
1
即：OA=
506
1
∴S =OA×OC=
▭OABC 506
由反比例函数k的几何意义可得：S =4
▭OCP
1
D
2023
∴S =S −S = ，
▭ABP 1 D ▭OCP 1 D ▭OABC 506
2023
故答案为：
506
16．（3分）（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，
k
且四边形OABC是边长为3的正方形，反比例函数y= (x>0)的图像与BC，AB边分别交于E，D两点，
x
△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．【答案】2❑√5
【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质
等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
( k) (k )
由正方形OABC的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得D 3, ，E ,3 ，根据三
3 3
角形的面积列方程得到D(3,1)，E(1,3)，作E关于y轴的对称点E′，连接DE′交y轴于P，则DE′的长
=PD+PE的最小值，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵正方形OABC的边长是3，
∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，
( k) (k )
∴D 3, ，E ,3 ，
3 3
k k
∴BE=3− ，BD=3− ，
3 3
∵△ODE的面积为4，
1 k 1 k 1 ( k) 2
∴3×3− ×3× − ×3× − × 3− =4，解得：k=3或−3（舍去），
2 3 2 3 2 3
∴D(3,1)，E(1,3)，
作E关于y轴的对称点E′，连接DE′交y轴于P，则DE′的长=PD+PE的最小值，
∴CE=CE′=1=AD，∴BE′=4，BD=2，
∴DE′=❑√BE2+BD2=❑√42+22=2❑√5，即PD+PE的最小值为2❑√5．
故答案为2❑√5．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·江西南昌·期末）已知函数y= y −y ，其中y 与x成正比例，y 与x−2成反
1 2 1 2
比例，且当x=1时，y=1；当x=3时，y=5．求y关于x的函数解析式．
3 1
【答案】y= x+
2 2x−4
k k
【分析】首先设y =k x，y = 2 ，进而可得y=k x− 2 ，再把当x=1时，y=1；当x=3时，y=5
1 1 2 x−2 1 x−2
{ k +k =1 )
代入可得 1 2 ，解方程可得k 、k 的值，进而可得函数解析式．
3k −k =5 1 2
1 2
【详解】解：∵y 与x成正比例，y 与x−2成反比例，
1 2
k
∴设y =k x，y = 2 ，
1 1 2 x−2
∵y= y −y ，
1 2
k
∴y=k x− 2 ，
1 x−2
∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=5，
{ k +k =1 )
∴ 1 2 ，
3k −k =5
1 2
3
{ k = )
1 2
解得： ，
1
k =−
2 2
3 1
∴y= x+ ．
2 2x−4
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析
式的形式．
m
18．（6分）（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数y =kx+b与反比函数y = 的图象在第
1 2 x
一、三象限分别交于A(6,1)、B(a,−3)两点，连接OA、OB．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出y ≥ y ≥0时，x的取值范围．
1 2
1 6
【答案】(1)y = x−2；y =
1 2 2 x
(2)8
(3)x≥6
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，函数与不等式，解题的关键是熟练
掌握并运用相关知识．
m
（1）将A(6,1)代入y = 可求得反比例函数的解析式，再将B(a,−3)代入反比例函数的解析式求得a的
2 x
值，再将A、B坐标代入y =kx+b求解，即可求得一次函数解析式；
1
1
（2）记一次函数y = x−2与y轴交点为C，求出点C坐标，根据S =S +S 即可解题；
1 2 △AOB △BOC △AOC
（3）根据图象可直接得出在x轴正半轴时，在A点右侧，有y ≥ y ≥0，根据点A坐标即可求得x的取值范
1 2
围．
m
【详解】（1）解：∵一次函数y =kx+b与反比函数y = 的图象在第一、三象限分别交于A(6,1)、
1 2 x
B(a,−3)两点，
m m
将A(6,1)代入y = 得：1= ，
2 x 6
解得：m=6，
6
∴反比例函数的解析式为y = ，
2 x6 6
将B(a,−3)代入y = 得：−3= ，
2 x a
解得：a=−2，
∴B(−2,−3)，
将A(6,1)、B(−2,−3)代入y =kx+b得：
1
{ 1=6k+b )
，
−3=−2k+b
{ k= 1 )
解得： 2 ，
b=−2
1
∴一次函数的解析式为y = x−2；
1 2
1
（2）解：如图，记一次函数y = x−2与y轴交点为C，
1 2
令x=0，则y =−2，
1
∴C(0,−2)，
由图可知：S =S +S
△AOB △BOC △AOC
1 1
= ×|−2)×|−2)+ ×|−2)×6
2 2
=2+6
=8；
（3）解：由图可知：在x轴正半轴时，在A点右侧，有y ≥ y ≥0，
1 2
∵A(6,1)，
∴x的取值范围为x≥6．
19．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例
k (3 )
函数y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D和点E ,4 ，且点E为BC的中点．
x 2(1)求反比例函数的表达式和点D的坐标；
k
(2)若一次函数y=2x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E
x
之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
6
【答案】(1)y= (x>0)，D(3,2)；
x
(2)−4≤m≤1．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知
识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到BC∥AO，BA⊥OA，，再由E为
BC的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线y=2x+m恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
k (3 )
【详解】（1）解：∵反比例函数y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D和点E ,4 ，
x 2
3
∴ k= ×4=6，
2
6
∴反比例函数的表达式为y= (x>0)
x
∵四边形OABC是矩形，
∴ BC∥AO，BA⊥OA，
(3 )
∵点E ,4 ，且点E为BC的中点．
2
∴B(3,4)，
∴点D的横坐标为3，
6 6
在y= 中，y= =2，
x 3∴ D(3,2)；
(3 ) 3
（2）解：当直线y=2x+m经过点E ,4 时，则4=2× +m，
2 2
解得m=1；
当直线y=2x+m经过点D(3,2)时，则2=2×3+m，
解得m=−4；
k
∵一次函数y=2x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之
x
间的部分时（点M可与点D，E重合）
∴−4≤m≤1．
20．（8分）（23-24九年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，
学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注
意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数
y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为(10,40)，点C的坐标为(24,40)，CD为反比例函
数图象的一部分．
(1)求CD所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的
注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
960
【答案】(1)y = (x>24)
CD x
(2)老师安排不合理，理由见解析
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键；
k
（1）设CD所在反比例函数的解析式为y = ，再代入C(24,40)即可得到答案；
CD x
（2）先求解y =2x+20，再把y=38代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论；
ABk
【详解】（1）解：由题意，设CD所在反比例函数的解析式为y =
CD x
∵过点C(24,40)，
k
∴40=
24
∴k=960，
960
∴y = (x>24)．
CD x
（2）解：老师安排不合理，理由如下：
由题意，设y =mx+n
AB
∵直线过点A(0,20)和B(10,40)
{ n=20 )
∴
10m+n=40
解得m=2，n=20，
∴y =2x+20
AB
令y =2x+20=38，
AB
∴38=2x+20，
∴x=9
960
令y = =38，
CD x
480
∴x=
19
480 309
∵ −9= <20，
19 19
∴老师安排不合理．
21．（8分）（23-24九年级·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的
8 k
直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y= (x>0)和y= (x>0)的图像交于P,Q两点，S =14
x x ΔPOQ(1)求k的值；
(2)当∠QOM=45°时，求直线OQ的解析式；
(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得△NOQ为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的
坐标．
【答案】(1)-20
(2)y=﹣x
(3)点N的坐标为（2❑√5，0）或（2❑√10，0）或（﹣2❑√10，0）或（4❑√5，0）
1
【分析】(1）由 S POQ= S POM + S MOQ =14结合反比例函数k的几何意义可得 |k)+4=14，进一步即
2
△ △ △
可求出结果；
(2）由题意可得 MO=MQ ，于是可设点 Q ( a ,- a )，再利用待定系数法解答即可；
(3）先求出点Q的坐标和OQ的长，然后分三种情况：①若OQ=ON，可直接写出点N的坐标；②若
QO=QN，根据等腰三角形的性质解答；③若 NO =NQ ，根据两点间的距离解答．
1 1
【详解】（1）解：∵S =S +S =14，S POM= ×8=4，S QOM= |k|，
ΔPOQ ΔPOM ΔMOQ 2 2
△ △
1
∴ |k| +4=14，解得|k|=20，
2
∵k＜0，
∴k=﹣20；
（2）∵∠QOM=45°，l// y轴，
∴∠QOM=∠OQM=45°，
∴MO=MQ，
设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx，把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，
∴直线OQ的解析式为y=﹣x；
20
（3）∵点Q（a，﹣a）在y=− 上，
x
∴−a2=−20，解得a=2❑√5（负值舍去），
∴点Q的坐标为(2❑√5,−2❑√5)，则OQ=❑√ (2❑√5) 2+(2❑√5) 2=2❑√10，
若ΔNOQ为等腰三角形，可分三种情况：
①若OQ=ON=2❑√10，则点N的坐标是（2❑√10，0）或（﹣2❑√10，0）；
②若QO=QN，则NO=2OM=4❑√5，
∴点N的坐标是（4❑√5，0）；
③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则n2=(n−2❑√5) 2+(2❑√5) 2，解得n=2❑√5，
∴点N的坐标是（2❑√5，0）；
综上，满足条件的点N的坐标为（2❑√5，0）或（2❑√10，0）或（﹣2❑√10，0）或（4❑√5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知
识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．（8分）（23-24九年级·湖北襄阳·期末）某同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了
1
函数y=−
的图象与性质．其探究过程如下：
|x)
（1）绘制函数图象
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=____________；
1 1
x ⋯ −3 −2 −1 − 1 2 3 ⋯
2 2
1 1 1 1
y ⋯ − − −1 −2 m −1 − − ⋯
3 2 2 3
②描点：根据表中各组对应值(x,y)，在平面直角坐标系中描出了各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．（2）探究函数性质
通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________________________________；
②____________________________________．
（3）运用图象和函数性质
1
当−1<− <0时，写出自变量x的取值范围____________．
|x)
【答案】（1）−2，图象见解析；
（2）①函数的图象关于y轴对称，
②当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；
（3）x<−1或x>1．
1
【分析】（1）把x= 代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象；
2
（2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可；
（3）根据图象得出答案．
1 1
【详解】解：（1）把x= 代入y=− 得，
2 |x)
1
m=− =−2
1 ，
2
∴m=−2，
画出图象如图：故答案为−2；
（2）通过观察图象，得到：
性质1：函数的图象关于y轴对称；
性质2：当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；
故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增
大；
1
（3）由图象可知，当−1<− <0时，自变量x的取值范围为x<−1或x>1，
|x|
【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质
和结论是解决问题的根本目的．
a
23．（8分）（23-24九年级·福建泉州·期末）点O为平面直角坐标系的原点，点A、C在反比例函数y=
x
b
的图象上，点B、D在反比例函数y= 的图象上，且a>b>0．
x
b
（1）若点A的坐标为(6,4)，点B恰好为OA的中点，过点A作AN⊥x轴于点N，交y= 的图象于点P．
x
①请求出a、b的值；
②试求△OBP的面积．3
（2）若AB//CD//x轴，CD=AB= ，AB与CD间的距离为6，试说明a−b的值是否为某一固定值？
2
如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
9 9
【答案】（1）①a=24，b=6② ；（2）是定值为 ．
2 2
a
【分析】（1）①把A (6,4)代入反比例函数y= 即可求出a，根据点B为OA的中点，求出B点坐标，代
x
b
入y= 即可求出b；②根据k的几何意义求出△AOP的面积，再连接BP，根据中线的性质即可求解；
x
a b
（2）先分析A,C分别位于y= 的两个分支,B,D分别位于 y= 的两个分支；再利用反比例函数系数k
x x
的几何意义，表示S AOB和S COD，再根据三角形的面积公式，AB与CD之间的距离为6，即求出答案．
△ △
a
【详解】（1）①把A (6,4)代入反比例函数y= ，得a=6×4=24
x
∵点B为OA的中点，
∴B（3，2）
b
把B（3，2）代入反比例函数y= ，得b=3×2=6
x
1 1
②∵S AOP= S AON-S NOP= |a)− |b)=9
2 2
△ △ △
∵B点是OA的中点，
∴BP是△AOP的中线
1 9
∴△OBP的面积= ×9= ；
2 2
a b
（2）如图，当A,C在y= 的第一象限的图像上时，B,D在y= 的第一象限的图像上时
x x3
∵ AB//CD//x轴，CD=AB= ，
2
1 1
∴ S = S −S = a− b，
△AOB △AOM △BOM 2 2
1 1
S = S −S = a− b
△COD △CON △DON 2 2
∴ S = S
△COD △AOB
1 1
∵ S = AB×OM，S = CD×ON
△AOB 2 △COD 2
∴OM=ON
则点A与点C重合，点B与点D重合
即AB与CD间的距离为0，
a b
∴A,C分别位于y= 的两个分支,B,D分别位于 y= 的两个分支；
x x
如图，延长AB、CD交y轴于点E、F，
a b
∵点A、C在反比例函数y= 的图象上，点B、D在反比例函数y= 的图象上，a＞b＞0，
x x
AB//CD//x轴，
∵AB与CD间的距离为6，
∴OE+OF=6
1 1 1 1
∴S AOE＝ |a)＝ a＝S COF，S BOE＝ |b)＝ b＝S DOF，
2 2 2 2
△ △ △ △
1 1 1 3
∴S AOB＝S AOE−S BOE＝ a− b＝ AB•OE＝ OE，
2 2 2 4
△ △ △1 1 1 3
S COD＝S COF−S DOF＝ a− b＝ CD•OF＝ OF，
2 2 2 4
△ △ △
3 3 3 9
∴S AOB＋S COD＝a−b＝ OE＋ OF＝ （OE＋OF）= ．
4 4 4 2
△ △
9
∴a−b= ．
2
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系
数k的几何意义是正确解答的关键．
