文档内容
技巧 03 数学文化与阅读材料的解析与答题方法
目录
01考情透视·目标导航...................................................................................................2
02知识导图·思维引航...................................................................................................2
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................7
题型一：融合传统文化和数学史的数学阅读题 7
题型二：融合其他学科知识的数学阅读题 9
题型三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题 11
题型四：融合生活实际的数学阅读题 13数学文化与数学阅读是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，
难度适中．数学文化与数学阅读试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情
境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后
再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或
状态）的基础 上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接
着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，
对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的
数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．1．（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可
以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，
两个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平
面与平面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相
邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已
知 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
3．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录
了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上，
．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时，
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码
的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，
该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列
所有项的和为 ．
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ．题型一：融合传统文化和数学史的数学阅读题
【典例1-1】“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专
心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是 ；如果每天的“退步”率都是
1%，那么一年后是 .那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接
近的一项.（ ， ， ）（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【典例1-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁
中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，
部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若 ， ，则图中弧 与弦 围成
的弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月
累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把 看作是每天的“进步”率都是 ，一
年后是 而把 看作是每天“退步”率都是 ，一年后是 这样，一年后的“进步值”是“退步值”的 倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过
（ ）天 参考数据： ， ，
A．18 B．30 C．51 D．69
【变式1-2】如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于
底面，正脊与斜脊长度的比为 ，底面为矩形且长与宽之比为2 1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，
∶
则该二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太
极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中
隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， ，则
此数列的第20项为（ ） ⋯
A．162 B．180 C．200 D．220
2．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画
一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．
刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失
矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正 边形，使用刘
徽割圆术，得到 的近似值为（ ）A． B． C． D．
题型二：融合其他学科知识的数学阅读题
【典例2-1】波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面
作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该
函数的定义域为 ，其解析式为： ，下列关于黎曼函数的说法不正
确的是（ ）
A．
B．关于 的不等式 的解集为
C．
D．
【典例2-2】设 为非负整数， 为正整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记
为 ．若 为质数， 为不能被 整除的正整数，则 ，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题： ；②
对于任意正整数 ；③对于任意正整数 ；④对于任意正整数
．则所有的真命题为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【变式2-1】天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹
是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点 ， ，动点 满足
，设 的轨迹为曲线 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．
C． 的面积大于2 D．
【变式2-2】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为
圆心的圆形，运行周期 与轨道半径 之间关系为 （K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨
道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为 ， 分别是甲、乙两颗卫星的
运行轨道上的动点，则 之间距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
1．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 变轨进入以月球球心
为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用 和 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给
出下列式子：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
2．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”
复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7
米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定
额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度 与行驶时间 的关系为
，则当 时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A． B． C． D．
题型三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题
【典例3-1】（多选题）“曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特
点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反
向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图
所示：已知双曲线 左、右焦点为 ， ， ，点M的坐标为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．双曲线C的离心率为2
B．
C．过点 作 垂直AM的延长线于H，则
D．若从 射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
【典例3-2】（多选题）游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公
里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色．德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间，
自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数
，其中 ，则下列关于悬链线函数 的性质判断中，正确的有（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 的最小值为a D． 的单调增区间为
【变式3-1】2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，执行此次飞行任务的航天员有蔡旭哲、
宋令东、王浩泽.所有航天员都需要在载人离心机中进行超重耐力与适应性训练.如图所示，离心机的座舱
绕离心机的中心在水平面内做匀速圆周运动，若圆周运动的半径为8m，速度为每秒 圈，则座舱运动
m需要的时间为 s.【变式3-2】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺
术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓
续的视觉形象和造型格式，蕴含了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪
工艺如下：取一张半径为 的圆形纸片，记为 ，在 内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，
记为 ，并裁去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上
述裁剪操作 次，最终得到该剪纸，则第 次操作后，所有被裁部分的面积之和为 ．
1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人
们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的
半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为 ，四个半圆的
圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为
; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是2．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦
称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计
算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中 ， ， ，则制作 个这样的惊鸟铃的铃身至
少需要 千克铜．（铜的密度为 ）（结果精确到个位）
题型四：融合生活实际的数学阅读题
【典例4-1】天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是
最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率
分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是
（分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高
（分数作答）.【典例4-2】北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.
规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，
角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：
正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其
总曲率为 .给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为 ；
②任意四棱锥的总曲率均为 ；
③若某类多面体的顶点数 ，棱数 ，面数 满足 ，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确的结论是 （填写序号）.
【变式4-1】某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产
生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列 满足： ， ， 的通项公式
为 .在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列．该学
习兴趣小组成员也提出了一些结论：
①数列 是严格增数列；②数列 的前n项和 满足 ；
③ ；④ .
那么以上结论正确的是 （填序号）1. 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄 始终平分同一平面内两条伞
骨所成的角 ，且 ，从而保证伞圈 能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈
已滑动到 的位置，且 、 、 三点共线， ， 为 的中点，当伞从完全张开到完全收
拢，伞圈 沿着伞柄向下滑动的距离为 ，则当伞完全张开时， 的正弦值是 .
