文档内容
专题 26.6 反比例函数全章专项复习【3 大考点 10 种题型】
【人教版】
【考点1 反比例函数】..............................................................................................................................................1
【题型1 反比例函数的识别】..................................................................................................................................2
【题型2 反比例函数定义的应用】..........................................................................................................................3
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】.............................................................................................3
【考点2 反比例函数的图象与性质】......................................................................................................................4
【题型4 反比例函数性质的应用】..........................................................................................................................4
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】..............................................................................................................5
【考点3 反比例函数的应用】..................................................................................................................................6
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】..............................................................................................................6
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】.............................................................................................8
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】..............................................................................................................9
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】....................................................................................................11
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】...............................................................................................13
【考点1 反比例函数】
（1）反比例函数的定义
k
一般的，形如y= (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：y=kx-1，xy=k。
x
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不
相交 ．
（2）求反比例函数的解析式
k
①所求的反比例函数为:y= (是常数，k≠0);
x
②根据已知条件(自变量与函数的对应值) 列出含k的方程;
③由代人法解待定系数k的值;
k
④把k值代人函数关系式y= 中。
x【题型1 反比例函数的识别】
kQq
【例1】（2024·辽宁大连·三模）对于物理学中的库仑定律，我们给出以下公式：F= ．其中F为点电
r2
荷A、B之间的作用力大小，k为常数，Q为点电荷A所带的电量，q为点电荷B所带的电量，r为两个点电
荷之间的距离．若两个点电荷A、B的电量均为已知，且把r2整体看作变量t，则下列说法正确的是（ ）
A．当r增大时，F随着t的增大先减小再增大；
B．当r增大时，F随着t的增大而增大；
C．若改变题目条件，令F已知，Q⋅q为自变量，r2为因变量，则r2为关于Q⋅q的反比例函数；
D．若改变题目条件，令F已知，Q⋅q为自变量，r2为因变量，则r2为关于Q⋅q的正比例函数．
【变式1-1】（2024·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
1 1 2
A．xy=− B．y=5−x C．y= D．y=
3 5x x
【变式1-2】（2024·河南·二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分
检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图
甲所示，将粮食放在湿敏电阻R 上，使R 的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所
1 1
示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，R 的阻值为40Ω
1
B．R 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
1
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5%
D．湿敏电阻R 与粮食水分含量之间是反比例关系
1
【变式1-3】（2024·北京·一模）下列数表中分别给出了变量y与x的几组对应值，其中是反比例函数关系
的是（ ）
A． B．C． D．
【题型2 反比例函数定义的应用】
【例2】（2024·湖南株洲·一模）若函数 是y关于x的反比例函数，则 ．
y=(m+1)xm2−4m−6 m=
【变式2-1】（23-24九年级·全国·单元测试）若函数y=(m+2)x|m)−3是反比例函数，则m的值是 ．
1
【变式2-2】（23-24九年级·全国·课后作业）当m取何值时，函数y= 是反比例函数？
3x2m+1
【变式2-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知函数 ，
y=(5m﹣3)x2﹣n+(n+m)
(1)当m，n为何值时是一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数？
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】
k
【例3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知反比例函数y= 的图像经过点(−2,5).
x
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当y=−4时，x的值；
（3）这个函数的图像在哪几个象限？y随着x的增大怎样变化？
( 1 ) ( 1 )
（4）点A − ,20 、B − ,1 在此函数的图像上吗？
2 10
k 8
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）已知反比例函数y= (k≠0),当x=−3时,y= ．
x 3
求：
（1）y关于x的函数解析式；
（2）当x=−4时函数y的值．
【变式3-2】（23-24九年级·上海金山·期末）已知：y= y + y ，y 与x+1成正比例，y 与x成反比例．当
1 2 1 2
x=1时，y=7；当x=3时，y=4．求y与x的函数解析式．
【变式3-3】（2024九年级·全国·专题练习）（1）平面直角坐标系中，点A(7−2m，5−m)在第二象
限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式；
k−3 2
（2）若反比例函数y= 的图像位于第二、四象限内，正比例函数y=( k−1)x过一、三象限，求整
x 3数k的值．
【考点2 反比例函数的图象与性质】
（1）反比例函数的图象及其性质
k
反比例函数如y= (是常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的
x
影响.
k
如y= (是常数，k≠0) k>0 k<0
x
图 象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
在每个象限内，y随x的增大而减 在每个象限内，y随x的增大而增
性 质
小 大
（2）反比例函数的k的几何意义
k
由如y= (是常数，k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|
x
k | .如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|.
矩形PAOB △OPA △OPB
【题型4 反比例函数性质的应用】
【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝
6
2．一个反比例函数y＝− 的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于
x
BO，则点P的坐标为 ．【变式4-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）若点 ， ， 都在反比例函数
A(−3,y ) B(−1,y ) C(2,y )
1 2 3
k
y= (k<0)的图象上，则y ，y ，y 的从小到大的关系是 ．
x 1 2 3
3
【变式4-2】（23-24九年级·浙江·期中）已知某函数的图象C与函数y= 的图象关于直线y=2对称．下列
x
3 (3 ) (1 )
命题：①图象C与函数y= 的图象交于点 ,2 ；②点 ,−2 在图象C上；③图象C上的点的纵坐标
x 2 2
都小于4，④ ， 是图象C上任意两点，若 ，则 ．其中真命题是（ ）
A(x ,y ) B(x ,y ) x >x y >y
1 1 2 2 1 2 1 2
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④
【变式4-3】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知点A（a，y ），B（2，y ）在反比例函数
1 2
m2+1
y= 的图象上，若y y <0，y + y <0，则a的取值范围是 ．
x 1 2 1 2
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】
【例5】（2024·广西贵港·一模）如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在
k
y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y= （x＞0）经过AC边的中点，若S
梯形
x
k
=4，则双曲线y= 的k值为（ ）
OACB
xA．5 B．4 C．3 D．2
k
【变式5-1】（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线y= (k<0)经过Rt△OAB斜边OA的中点D，且与直
x
角边AB相交于点C．若点A的坐标为(−6,4)，则△ACD的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
【变式5-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在
k 7
y= (k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S = ，则k= ．
x △ABE 2
8
【变式5-3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图， ▱ABCO的顶点B在双曲线y= 上，顶点C在双曲线
x
k
y= 上，BC的中点P恰好落在y轴上，已知S =10，则k的值为（ ）
x ▱OABC
A．−8 B．−6 C．4 D．−2
【考点3 反比例函数的应用】
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】
【例6】（23-24九年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力
保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随
时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为(10,40)，点C的坐标为(24,40)，CD为反比例函数图
象的一部分．
(1)求CD所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的
注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
【变式6-1】（23-24九年级·山东济南·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气
体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到
0.01m3）
【变式6-2】（23-24九年级·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量?
素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．
在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多
次试验，将砝码的质量x(g)与对应的OB长度y(cm)记录下来，并绘制成散点图（如图2） ．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B
中放置一个内盛34g水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 OB=24cm．(1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证．
(2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．
【变式6-3】（23-24九年级·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为20°C，通电开机后，饮水机
自动开始加热，此过程中水温y（°C）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100°C时自动停
止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（°C）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20°C
时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温y（°C）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)有一天，小明在上午7:10（水温20°C），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:15，请问
此时饮水机内水的温度约为多少°C？并求：在7:10∼11:15这段时间里，水温共有几次达到100°C？
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】
m
【例7】（23-24九年级·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数y= 与y=mx−2(m≠0)的图像大概是
x
（ ）A． B． C． D．
k
【变式7-1】（23-24九年级·上海·期末）已知函数y= (k≠0)中，在每个象限内，y的值随x的值增大而增
x
大，那么它和函数y=−kx(k≠0)在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
ab
【变式7-2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）一次函数y=ax+b与反比例函数y= （a，b为常数且均
x
不等于0）．在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
k
【变式7-3】（23-24九年级·山东济宁·阶段练习）若函数y=k(x−1)和函数y= 的图象在同一坐标系中，
x
则其图象可为下图中的（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】
【例8】（23-24九年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=−x+2
k
的图象与反比例函数y= 在第二象限的图象交于点A(n,3)，与x轴交于点B，连结AO并延长交这个反
x
比例函数第四象限的图象于点C．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)求△ABC的面积．
k
(3)当直线AC对应的函数值大于反比例函数y= 的函数值时，直接写出x的取值范围．
x
k
【变式8-1】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，直线y=x+b与双曲线y= (x>0)的交点为A(1,a)，
x
k
与x轴的交点为B(−1,0)，点C为双曲线y= (x>0)上的一点．
x
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)如图1，当点C的横坐标为4时，判断△AOC的形状，并说明理由；
(3)如图2，当∠AOC=45°时，求点C的坐标．
k
【变式8-2】（23-24九年级·山西长治·期末）如图，正比例函数y=−3x与反比例函数 y= 的图象交于
x
点A、B两点，A点纵坐标为−3．(1)求点A的坐标与反比例函数的表达式；
k
(2)观察图象，直接写出满足不等式 −3x< 的x的取值范围；
x
(3)将直线y=−3x向上平移m个单位，交x轴于点E，当△AOE的面积为2时，求直线AB平移后的函数表
达式．
【变式8-3】（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例
k (3 )
函数y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D和点E ,4 ，且点E为BC的中点．
x 2
(1)求反比例函数的表达式和点D的坐标；
k
(2)若一次函数y=2x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E
x
之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】
4
【例9】（23-24九年级·四川宜宾·期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于
x
点A(m,4)，与x轴交于点B， 与y轴交于点C(0,3)．(1)求m的值和一次函数的表达式；
4
(2)已知P为反比例函数y= 图象上的一点，S =2S ，求点P的坐标．
x △OBP △OAC
4
(3)若点Q是双曲线y= 在第一象限上的一个动点，连结OQ，将OQ绕点O逆时针旋转90度得到OM，
x
点M在第二象限，随着点Q的运动，点M的位置也不断变化，但始终在某函数图象上运动，请直接写出
这个函数解析式．
k
【变式9-1】（2024·河南周口·二模）如图，直线y=mx与反比例函数y= 的图像交于点A(−3,1)和点
x
B，四边形ACDE是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作DF∥AB，
与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F．
(1)求m和k的值．
(2)求点D的坐标．
(3)连接AF,BF，求△ABF的面积．
2
【变式9-2】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，点P是反比例函数y= (x>0)图象上的一点．过点P
x
k
分别作x轴、y轴的平行线，分别与y轴、x轴交于点D、E，与经过点(2,5)的双曲线y= (k≠0,x>0)交
x
于点A，B，连接AB．(1)求k的值；
(2)连接OA,OB．若点P横坐标为2，求△AOB的面积；
(3)若直线AB分别与x轴，y轴交于点M，N，求证：AM=BN．
8 k
【变式9-3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图1，已知直线y=mx分别与双曲线y= ，y= (x>0)交
x x
于P，Q两点，且点P的横坐标、纵坐标分别是点Q的横坐标、纵坐标的2倍．
(1)求k的值；
8 k
(2)如图2，若A是双曲线y= 上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y= (x>0)于B，C两
x x
点，连接BC，设A点的横坐标为t．
①直接写出A，B，C的坐标，并求△ABC的面积；
②当m=2时，D为直线y=2x上的一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求A点坐
标．
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】
【例10】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，△OAB，△AAB，△AAB，…是分别以A，A，
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2
A，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C （x，y），C （x，
3 1 1 1 2 2
4
y），C （x，y），…均在反比例函数y= （x＞0）的图象上．则y+y+…+y 的值为（ ）
2 3 3 3 1 2 8
xA．2❑√10 B．6 C．4❑√2 D．2❑√7
2
【变式10-1】（23-24九年级·全国·期末）如图，已知反比例函数y= 的图象上有一组点B ，B ，……，
x 1 2
B ，它们的横坐标依次增加1，且点B 横坐标为1．“①，②，③……”分别表示如图所示的三角形的面
n 1
积，记S =①−②，S =②−③，……，则S +S +……+S = ．
1 2 1 2 2017
【变式10-2】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴与y轴正半
轴分别交于点A、B，设OA=a，OB=b（a>0，b>0）．将△AOB绕点A顺时针方向旋转90°得到
△ADC，点B的对应点为点C；再将△ADC沿射线AB方向平移，使点A与点B重合得到△BEF，点D的
对应点为点E，点E在y轴上，点G为线段EF的中点，点C与点G恰好落在同一个反比例函数的图象上．
(1)当a=1时，求反比例函数的解析式．a
(2)求 的值．
b
(3)若线段BD、GO交于点P，且△PGC的面积为4，求a的值．
4
【变式10-3】（23-24九年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数y= 的图象上有A(2,m)、B两点，连
x
1
接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD= AC，点F 是CD的中点，连接
2 1
AF 、BF ，得到△AF B；点F 是DF 的中点，连接AF 、BF ，得到△AF B；……按照此规律
1 1 1 2 1 2 2 2
继续进行下去，则△AF B的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
n
