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九年级下册押题重难点检测卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
k
1．（3分）（2024·辽宁阜新·中考真题）若A(2,4)与B(−2,a)都是反比例函数y= （k≠0）图象上的点，
x
则a的值是（ ）
A．4 B．−4 C．2 D．−2
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，函数图象点的坐标特征，先利用点A的坐标求出反
比例函数解析式，再把B点坐标代入计算即可求解，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
k
【详解】解：∵点A(2,4)在反比例函数y= 图象上，
x
k
∴4= ，
2
∴k=8，
8
∴反比例函数解析式为y= ，
x
k
又∵点B(−2,a)也在反比例函数y= 图象上，
x
8
∴a= =−4，
−2
故选：B．
2．（3分）（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则
sin∠EBC的值为（ ）
❑√3 ❑√7 ❑√21 5❑√7
A． B． C． D．
5 5 14 14
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，设BC=CD=x，易得∠ABC=∠DCH=60°，则
1 1 ❑√3 1
CE= CD= x，进而得出EH=CE⋅sin60°= x,CH=CE⋅cos60°= x，再得出
2 2 4 4
5 EH
BH=BC+CH= x，最后根据sin∠EBC= ，即可解答．
4 BE
【详解】解：延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCH=60°，
设BC=CD=x，
∵E是CD的中点，
1 1
∴CE= CD= x，
2 2
∵EH⊥BH，
❑√3 1
∴EH=CE⋅sin60°= x,CH=CE⋅cos60°= x，
4 4
5
∴BH=BC+CH= x，
4
❑√7
BE=❑√BH2+EH2= x
2
❑√3
x
EH 4 ❑√21
∴sin∠EBC= = = ，
BE ❑√7 14
x
2
故选：C．
3．（3分）（2024·内蒙古·中考真题）如图所示的几何体，其主视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟记主视图的定义是解题关键．
根据主视图的定义求解即可得．
【详解】
解：这个几何体的主视图是
故选：A．
4．（3分）（2024·黑龙江绥化·中考真题）正方形的正投影不可能是（ ）
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
【答案】D
【详解】试题分析：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形
或线段．
故正方形纸板ABCD的正投影不可能是梯形，
故选D．
考点：平行投影．
5．（3分）（2024·河南·中考真题）如图，在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中
点，EF∥AB交BC于点F．若AB=4，则EF的长为（ ）
1 4
A． B．1 C． D．2
2 3【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段
1
中点定义可得出CE= AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
4
【详解】解∶∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴OC= AC，
2
∵点E为OC的中点，
1 1
∴CE= OC= AC，
2 4
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
EF CE EF 1
∴ = ，即 = ，
AB AC 4 4
∴EF=1，
故选：B．
a
6．（3分）（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函y= 的图象上，点B，D在反比例函数
x
b
y= 的图象上，AB∥CD∥y轴，若AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，则a−b的值为（ ）
x
A．−2 B．1 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设A，C两点的坐标( a ) ( a )
分别为 x , 、 x , ，根据点B与点A的横坐标相同，点D与点C的横坐标相同，得到点B的坐标
1 x 2 x
1 2
a b
{ − =3)
( b ) ( b ) x x
为 x , ，点D的坐标为 x , ，由AB=3，CD=2，得到 1 1 ，根据AB与CD的距离为
1 x 2 x b a
1 2 − =2
x x
2 2
a−b
{ x = )
1 3
5，把 代入x −x =5中，即可求解．
b−a 1 2
x =
2 2
( a ) ( a )
【详解】解：设A，C两点的坐标分别为 x , 、 x , ，
1 x 2 x
1 2
∵AB∥CD∥x轴，
∴点B与点A的横坐标相同，点D与点C的横坐标相同，
( b ) ( b )
∴点B的坐标为 x , ，点D的坐标为 x , ，
1 x 2 x
1 2
∵AB=3，CD=2，
a b
{ − =3)
x x
∴ 1 1 ，
b a
− =2
x x
2 2
a−b
{ x = )
1 3
解得 ，
b−a
x =
2 2
∵AB与CD的距离为5，
∴x −x =5 ，
1 2a−b
{ x = )
1 3
把 代入x −x =5中，得：
b−a 1 2
x =
2 2
a−b b−a
− =5，
3 2
a−b a−b
即 + =5，
3 2
解得：a−b=6，
故选：D．
7．（3分）（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE
平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（ ）
A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:1
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌
握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设AB=3x，BC=4x，利用勾股定理求
AB AC 5x 5
得AC=5x，∠ABD+∠CBD=90°，再证明△ACB∽△ABD得到 = = = ，再利用角平分
AD AB 3x 3
S BF AB 5
线的性质和三角形的面积得到 △ABF = = = 即可求解．
S FD AD 3
△ADF
【详解】解：∵AB:BC=3:4，
设AB=3x，BC=4x，
∵∠ABC=90°，
∴AC=❑√AB2+BC2=5x，∠ABD+∠CBD=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CBD+∠C=90°，∴∠C=∠ABD，
∴△ACB∽△ABD，
AB AC 5x 5
∴ = = = ，
AD AB 3x 3
∵AE平分∠BAC，
∴点F到AB、AC的距离相等，又点A到BF、DF的距离相等，
S BF AB 5
∴ △ABF = = = ，即BF:FD=5:3，
S FD AD 3
△ADF
故选：A．
8．（3分）（2024·海南·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、
1
N，分别以点M、N为圆心，大于 MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若
2
∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形BCDE的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．
利用勾股定理求得CE的长，再证明BE=BC，作BG⊥CE于点G，求得CG=EG=2❑√5，利用
tan∠DCE=tan∠BCE，求得BG=❑√5，再利用勾股定理求得BE=BC=5，据此求解即可．
【详解】解：∵▱ABCD，AB=8，
∴CD=AB=8，
由作图知DE⊥AB，
∵▱ABCD，
∴AB∥CD，
∴DE⊥CD，
∵DE=4，
∴CE=❑√42+82=4❑√5，∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠BEC，
∵∠BCE=∠DCE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC，
作BG⊥CE于点G，
1
则CG=EG= CE=2❑√5，
2
∵∠DCE=∠BCE，
∴tan∠DCE=tan∠BCE，
DE BG 4 BG
∴ = ，即 = ，
CD CG 8 2❑√5
∴BG=❑√5，
∴BE=BC=❑√(❑√5) 2+(2❑√5) 2=5，
∴四边形BCDE的周长是4+8+5+5=22，
故选：A．
9．（3分）（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，
k
y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y= 的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若
x
15
这两个正方形的面积之和是 ，且MD=4GN．则k的值是（ ）
2A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上
点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设
AE=EF=FG=a，AB=BC=AD=b，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系
15
式，再利用a2+b2=
求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论．
2
【详解】解：设AE=EF=FG=a，AB=BC=AD=b，
15
由题意得：a2+b2=
．
2
∵正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数
k
y= 的图象上，
x
∴FG∥ED∥OM，∠NFG=∠DCM=90°，
∴∠NGF=∠DMC，
∴△NFG∽△DCM，
NF NG
∴ = ，
DC DM
∵MD=4GN，
NF 1
∴ = ，
b 4
1
∴NF= b．
4
∵FG∥ED，
∴△NFG∽△NED，
NF FG
∴ = ，
NE ED
1
b
4 a
∴ = ，
1 a+b
b+a
4
∴b2=4a2，
15
∴a2+4a2=
，
2∵a>0，
❑√6
∴a= ．
2
∴b=❑√6．
(❑√6 )
∴A ,❑√6 ，
2
❑√6
∴k= ×❑√6=3．
2
故选：C
10．（3分）（2024·四川达州·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，点
❑√2
D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD= CE，则下列结论：①
2
AE
=❑√2；②∠DFE=135°；③△ABF面积的最大值是4❑√2−4；④CF的最小值是2❑√10−2❑√2．其中
BD
正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】过点B作BM⊥AC于点M，证明△ABE∽△BMD，根据相似三角形的性质即可判断①；得出
∠BAE=∠MBD，根据三角形内角和定理即可判断②；在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形
AOB，以OA为半径作⊙O，根据定弦定角得出F在⊙O的A´B上运动，进而根据当OF⊥AB时，△ABF
面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当F在OC上时，FC最小，过点O作OH⊥BC
交CB的延长线于点H，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点B作BM⊥AC于点M，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，
∴AB=BC，AC=❑√AB2+BC2=❑√2BC，
❑√2
∵AD= CE，
2
1 1 ❑√2 ❑√2 ❑√2
∴DM= AC−AD= ×❑√2BC− CE= (BC−CE)= BE
2 2 2 2 2
DM AD ❑√2
∴ = =
BE CE 2
又∵∠DMB=∠EBA=90°
∴△ABE∽△BMD，
AE AB
∴ = =❑√2，故①正确；
BD BM
∵△ABE∽△BMD，
∴∠BAE=∠MBD，
∴∠BAE+∠ABD=∠MBD+∠ABD
即180°−(∠BAE+∠ABD)=180°−(∠MBD+∠ABD)
在△ABF中，∠AFB=180°−(∠BAE+∠ABD)
即∠AFB=180°−(∠MBD+∠ABD)
∵△ABC是等腰直角三角形，BM⊥AC
∴BM平分∠ABC
1
∴∠ABM=∠CBM= ∠ABC=45°
2
∴∠AFB=180°−(∠MBD+∠ABD)=180°−∠ABM=135°
∴∠AFB=180°−(∠BAE+∠ABD)=135°，
∴∠DFE=135°，故②正确，
如图所示，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形AOB，以OA为半径作⊙O，且AB=4
∴∠AOB=90°，OA=OB，AB=❑√OA2+OB2=❑√2OA=4
∵∠AFB=135°
1
∴∠DFE+ ∠AOB=180°
2
∴F在⊙O的A´B上运动，
❑√2 ❑√2
∴OF=AO= AB= ×4=2❑√2，
2 2
连接OF交AB于点G，则AG=GB=2，
∴当OF⊥AB时，结合垂径定理，OG最小，
∵OF是半径不变
∴此时CF最大
则△ABF面积的最大，
∴S =2S =2(S −S )
△ABF △AGF △AOF △AOG
=2
(1
×OF×AG−
1 OG2)
2 2
=2❑√2×2−22
=4❑√2−4，故③正确；
如图所示，当F在OC上时，FC最小，过点O作OH⊥BC交CB的延长线于点H，
∴△OHB是等腰直角三角形，❑√2 ❑√2
∴OH=HB= OB= OA=2，
2 2
在Rt△OHC中，HC=HB+BC=6，
∴OC=❑√22+62=2❑√10，
∴CF的最小值是2❑√10−2❑√2．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问
题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024·湖南怀化·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体
的侧面积是 （结果保留π）．
【答案】24π cm²
【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2=4π(cm)，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm²)．
故答案为：24π cm²．
【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆
柱体．
12．（3分）（2024·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻
测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米．【答案】12
【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得：ΔABC∼ΔDEF，
DE EF
∴ =
AB BC
∵DE=2米，EF=1.2米，BC=7.2米，
2 1.2
∴ =
AB 7.2
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应
边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
13．（3分）（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点
E，延长DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为 ．
21
【答案】
20
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作FH⊥AB，垂足为H，利用勾股定理求出AC的长，利用角的余弦值求出DF的长，再利用勾股定理求出FC，从而得出BF，
利用三角形面积求出FH即可．
【详解】解：如图，过点F作FH⊥DB，垂足为H，
∵ ABCD
四边形 为矩形，
∴∠BAD=∠BCD=90°，AC=BD，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=BD=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5，
1 1 1 1
∴S = AD⋅DC= AC⋅DE，即 ×4×3= ×5×DE，
△ADC 2 2 2 2
12
解得：DE= ，
5
12
DE DC
∴cos∠EDC= = ，即 5 3 ，
DC DF =
3 DF
15
解得：DF= ，
4
∴FC=❑√DF2−DC2=❑
√ (15) 2
−32=
9
，
4 4
9 7
∴BF=BC−FC=4− = ，
4 4
1 1 1 1 7
∴S = BD⋅FH= BF⋅DC，即 ×5×FH= × ×3，
△BDF 2 2 2 2 4
21
解得：FH= ，
20
21
故答案为： ．
20
14．（3分）（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5
个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负
半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小6
明发现A，B两点恰好都落在函数y= 的图象上，则a的值为 ．
x
【答案】2或3
【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数
6
y= 的图象上，列出方程求解即可．
x
【详解】解：∵OA=OB=5，
∴A(−5,0),B(0,5)，
设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，
∴A′(−5+a,−a),B′(a,5−a)，
6
∵A′、B′两点恰好都落在函数y= 的图象上，
x
6
∴把B′(a,5−a)代入y= 得：a(5−a)=6，
x
解得：a=2或a=3．
故答案为：2或3．
15．（3分）（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线x=i(i=1,2,3,⋯)与x轴相
1
交于点A ，与抛物线y= x2 相交于点B，连接A B ，B A 相交于点C ，得△A B C 和△A B C ，
i 4 i i i+1 i i+1 i i i i i+1 i+1 i
S
若将其面积之比记为a = △A i B i C i ，则a = ．
i S 2024
△A B C
i+1 i+1 i20244
【答案】
20254
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证
S A B 2
△A B C ∽△A B C ，得到a = △A i B i C i = ( i i ) ，进行求解即可．
i i i i+1 i+1 i i S A B
△A B C i+1 i+1
i+1 i+1 i
1
【详解】解：∵作直线x=i(i=1,2,3,⋯)与x轴相交于点A ，与抛物线y= x2 相交于点B，
i 4 i
∴A B⊥x轴，且B
(
i,
1 i2)
，
i i i 4
1
∴A B = i2 ，
i i 4
∵A B∥A B ，
i i i+1 i+1
∴△A B C ∽△A B C ，
i i i i+1 i+1 i
∴a = S △A i B i C i = ( A i B i ) 2 = [ i2 ) 2 ，
i S A B (i+1) 2
△A B C i+1 i+1
i+1 i+1 i
(20242
)
2 20244
∴a = = ；
2024 20252 20254
20244
故答案为： ．
20254
16．（3分）（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分
线，E为AD中点，连接BE．若BE=BC，CD=2，则BD= ．❑√17+1
【答案】
2
【分析】连接CE，过E作EF⊥CD于F，设BD=x，EF=m，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰
1
三角形的性质证得CF=DF= CD=1，∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC=∠BEC，进而利用三角
2
形的外角性质和三角形的中位线性质得到∠CED=2∠CAE，AC=2EF=2m，证明△CBE∽△CED，
利用相似三角形的性质和勾股定理得到m2=3+2x；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明
△CAB∽△FBE得到2m2=(x+1)(x+2)，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．
【详解】解：连接CE，过E作EF⊥CD于F，设BD=x，EF=m，
∵∠ACB=90°，E为AD中点，
∴CE=AE=DE，又CD=2，
1
∴CF=DF= CD=1，∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，
2
∴∠CED=2∠CAE，AC=2EF=2m，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠ECB，则∠BEC=∠EDC，又∠BCE=∠ECD，
∴△CBE∽△CED，
CE CB
∴ = ，∠CBE=∠CED=2∠CAE，
CD CE
∴CE2=CD⋅CB=2(2+x)=4+2x，
则m2=EF2=CE2−CF2=3+2x；
∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠CAB=2∠CAE=∠CBE，又∠ACB=∠BFE=90°，∴△CAB∽△FBE，
AC BC
∴ =
BF EF
2m x+2
∴ = ，则2m2=(x+1)(x+2)，
x+1 m
∴2(3+2x)=(x+1)(x+2)，即x2−x−4=0，
❑√17+1
解得x= （负值已舍去），
2
❑√17+1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线
性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难
度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
a
17．（6分）（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (a≠0)的
x
图象相交于A(−3,1)，B(−1,n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
a
(2)请直接写出满足kx+b> 的x取值范围．
x
3
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=− ，一次函数的解析式为y=x+4
x
(2)x>0或−30或
−3 时，x的取值范围为x>0或−3
