文档内容
专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（17大题型）
【题型目录】
题型一 反比例函数、二次函数图象综合判断
题型二 判断（画）反比例函数图象
题型三 已知反比例函数的图象，判断其解析式
题型四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
题型五 已知双曲线分布的象限，求参数范围
题型六 判断反比例函数的增减性
题型七 判断反比例函数图象所在的象限
题型八 已知反比例函数的增减性求参数
题型九 比较反比例函数值或自变量的大小
题型十 已知比例系数求特殊图形的面积
题型十一 根据图形面积求比例系数
题型十二 求反比例函数解析式
题型十三 反比例函数与几何综合
题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断
题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题
题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用
题型十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用
【知识梳理】
知识点一、反比例函数的定义
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：
（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变
量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无
交点.
（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解
决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比
例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.
知识点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此只
需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ( )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数 的值；
（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.
知识点三、反比例函数的图象和性质
1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反
比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：
（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反
比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数 ( 为常数， )中，由于 ，所以两个分支
都无限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺
序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不
与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，
当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的
增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出
的符号.
【经典例题一 反比例函数、二次函数图象综合判断】
1．（2023上·安徽阜阳·九年级校考期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数 的图象与反比
例函数 的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象的综合判断．根据二次函数和反比例函数的图象和性质，逐
一进行判断即可．熟练掌握二次函数和反比例函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：当抛物线的开口向上，对称轴在 轴右侧时， ，
∴ ，双曲线在二、四象限；故A错误；
当抛物线的开口向下，对称轴在 轴右侧时， ，
∴ ，双曲线在二、四象限；故B错误，C正确；
当抛物线的开口向下，对称轴在 轴左侧时， ，
∴ ，双曲线在一、三象限；故D错误；
故选C．
2．（2022上·北京门头沟·九年级统考期末）函数 的图象如图所示，在下列结论中：①该函数
自变量 的取值范围是 ；② 该函数有最小值 ；③方程 有三个根；④如果 和
是该函数图象上的两个点，当 时一定有 ．所有正确结论的序号是 ．
【答案】 /
①③③①【分析】根据函数解析式可知 中 ，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据
与 存在3个交点可判断③当 时， 随 的增大而减小，进而即可判断④
【详解】解： 则， ，即函数图象与 轴无交点，
该函数自变量 的取值范围是 ；
故①正确；
根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，
故②不正确；
如图 与 存在3个交点，则方程 有三个根；
故③正确
当 时， 随 的增大而减小，如果 和 是该函数图象上的两个点，当 时一定有
．
故④不正确
故正确的有①③
故答案为：①③
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2022·河北保定·校考一模）如图，点 是抛物线l： 和双曲线
的一个交点，且位于直线 的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．(1)当 时，求a和k的值；
(2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围；
(3) 的面积为4，且 ，求k的值；
(4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)2或
【分析】（1） 时，点 为 ，把 代入 解得 ，把 代入
解得 ；
（2） 的对称轴为直线 ，当 过原点时，则点B即在原点，则
，得到 ，则 ，由 ，解得 ．由点 位于
直线 的右侧得到 ．则 ；
（3）由 得到 ．由 的面积为4得到 ．分当B在x轴的负半轴和在x轴的正半轴分别进行求解即可；
（4）由O，F两点间的距离为1得到点F的坐标是 或 ，分别代入 ，求出a的值，
再求出m的值，即可得到k的值．
【详解】（1）解： 时，点 为 ，
把 代入 得，
，解得 ，
把 代入 得
，
解得 ，
综上可知， ， ．
（2）∵ 的对称轴为直线 ，当 过原点时，则点B即在原点，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
由 ，解得 ．
∵点 位于直线 的右侧，
∴ ．
∴ ．
∴当点B在x轴的负半轴上时， ；（3）∵ ，
∴ ．
∵ 的面积为4，
∴ ．
∴ ．
①当B在x轴的负半轴时，
∵ ，
∴ ，
∴
②当B在x轴的正半轴时，
设 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴
∵对称轴为 ，
∴ 不合题意，舍去，
综上所述可知点 ．代入 得到，
∴ ，
∴ ．
当 时， ，
解得 ．由（2）可知 ，
∴ ．
∴ ．
（4）∵O，F两点间的距离为1．
∴点F的坐标是 或 ，
把 代入 得到， ，
解得 ，
∴ ，
把 代入得到 ，
解得
∵点 在双曲线 上，
∴ 不合题意，舍去，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得到， ，
解得 ，
∴ ，
把 代入得到 ，
解得 ，∵点 在双曲线 上，
∴ 不合题意，舍去，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上可知，当 或 时，O，F两点间的距离为1．
【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、
反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．
【经典例题二 判断（画）反比例函数图象】
1．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，己知点 ， ，反比例函数 图象的
一支与线段 有交点，则 的值可能为（）
A．10 B． C．8 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意，根据数形结
合思想解题的关键．
把点 代入 ，即可得到 的值，从而得结论．
【详解】解：由图可知： ，∵反比例函数 图象的一支与线段 有交点，且点 ，
∴把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
∴满足条件的 值的范围是 ．
故选：C．
2．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知点 、 ，
且 ，过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接 、 ，则下列结论：①点
P、Q一定在反比例函数 的图象上；② 一定为等腰直角三角形；③ 的度数随m的增大
而增大，其中成立的是 ．（填序号）
【答案】 /
【分析】①根据②反②比①例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据 、 点的坐标特征即可判断②；求得直
线 、 的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．
【详解】解： 点 、 ， 且 ，则 ，
点 、 在反比例函数 的图象上，故①正确；
设直线 为 ，则 ，解得 ，
直线 为 ，
当 时， ；当 时， ，
， ，，
，
为等腰直角三角形，故②正确；
直线 为 ，直线 为 ，
当 时， 的值随 的增大而减小，当 时， 的值随 的增大而增大，
故③错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的
判定等，数形结合是解题的关键．
3．（2023上·北京顺义·九年级校考期中）探究函数 的图象与性质，小安根据学习函数的经验，
对问题进行了探究．请补充完整：
(1)函数 的自变量x的取值范围是______；
(2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中 ______；
x … 0 2 3 …
y … 1 2 4 4 m 1 …
(3)如图，根据（2）中表里各组对应值 ，请把图象补充完整；
(4)若 是函数 图象上的两点，则 ______．
【答案】(1)
(2)2
(3)见解析(4)
【分析】（1）只需要求出分母不为0时自变量的取值范围即可；
（2）把 代入函数解析式求出y的值即可；
（3）先描点，再连线，画出函数图象即可；
（4）根据函数图象可得P、Q关于直线 对称，由此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，函数 的自变量x的取值范围是 ，即 ，
故答案为： ；
（2）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
故答案为：2；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：由函数图象可知，函数 的函数图象关于直线 对称，
∵ 是函数 图象上的两点，
∴P、Q关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，求函数值，画反比例函数图象，反比例函数的性质等等，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键．
【经典例题三 已知反比例函数的图象，判断其解析式】
1．（2023下·广东河源·九年级校考开学考试）函数 的图象如图所示，若 ，则
关于 的函数图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数解析式以及 ，即可找出 关于 的函数解析式，再根据反比例函数图象在第
一象限可得出 ，结合 的取值范围即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵反比例函数 的图象在第一象限，
∴ ，故 ，
∴ 关于 的函数图象是在第一象限内，且不经过原点的正比例函数图象，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出 关于 的函数解析式．
2．（2022上·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上， 轴于点M，
且 的面积为4，则反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂
线与坐标轴围成的矩形的面积为 ，据此即可得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为： ，
反比例函数的图像在第二、四象限，
，
又 轴于点M，且 的面积为4，
，
，
反比例函数的解析式为： ．
【点睛】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解此题的
关键．
3．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）已知反比例函数 的图象经过第一、
三象限．(1)求 的取值范围；
(2)若 ，此函数的图象过第一象限的两点 ， ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数
，当 时，图象经过第一、三象限，且在第一象限， 随着 的增大而减小是解题的关键．
（1）由题意知， ，计算求解即可；
（2）由题意知，反比例函数在第一象限， 随着 的增大而减小，由 ，可得 ，计算求
解并和 综合求取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
解得， ，
∴ 的取值范围为 ；
（2）解：由题意知，反比例函数在第一象限， 随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，解得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
【经典例题四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】
1．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）若一次函数 的图像与反比例函数 的图像的一个交点
的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由两函数图象的一个交点横坐标为2，将 代入正比例求得 ，则正比例函数与反比例函数
交点 ，利用反比例函数的中心对称性即可求得另一个交点的坐标．
【详解】解： 一个交点的横坐标为2，
将 代入 得： ，
交点为 ，
反比例函数 与正比例函数 的图象的一个交点为 ，
另一个交点为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求得第一个交点
坐标是解题的关键．
2．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，直线 与双曲线 交于A，B两点，
轴于点H，若 的面积为5，则k的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解.
【详解】解：根据反比例函数的对称性可知 ，
∵ 是面积为5，
∴ 的面积是2.5，
∴ ，
∵双曲线位于二、四象限，
∴k＝ ．
故答案为： .3．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，一次函数 （ 、 为常数， ）的图象与反比
例函数 （ 为常数且 ）的图象都经过 ， 两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)过 、 两点的直线与反比例函数图象交于另一点 ，连接 ，求 的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式是：
(2)
【分析】（1）将点 ， 代入反比例函数 之中，得 ，由此得点 ，再将
， 代入一次函数 之中求出k，b，进而可得一次函数的表达式；
（2）依题意得：点A，C关于原点对称，则点 ，设一次函数 于x轴的交点D，则点 ，
连接 ，则 轴，然后根据三角形的面积公式可得出答案．
【详解】（1） ， 两点在双曲线上，
，
∴ ．
将 和 代入 中得，
，解得： ，
一次函数的表达式是： ；
（2）设 与 轴交于点 ，连接 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
由题意知点 ， 关于原点对称，
，
轴，
．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交
点，一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解反比例函数的对称性是解
决问题的关键．
【经典例题五 已知双曲线分布的象限，求参数范围】
1．（2023·广东广州·统考中考真题）已知正比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图
象位于第一、第三象限，则一次函数 的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C【分析】根据正比例函数 的图象经过点 ， 在第四象限，推出 ，根据反比例函数
的图象位于第一、第三象限，推出 ，则一次函数 的图象经过第一、二、四象限，即
可解答．
【详解】解：∵正比例函数 的图象经过点 ， 在第四象限，
∴正比例函数 经过二、四象限，
∴ ，
∵反比例函数 的图象位于第一、第三象限，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
则一次函数 的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数
和反比例函数的图象和性质．
2．（2023上·湖南常德·九年级校考阶段练习）若反比例函数 的图像经过第二、四象限，
则 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值．
【详解】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，即 ，
∵函数图像经过第二、四象限，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的定义是解答
本题的关键．3（2023下·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）已知反比例函数 （ 为常数，且 ）
(1)若在其图象的每一个分支上， 随 增大而减小，求 的取值范围；
(2)若点 在该反比例函数的图象上，求 的值；
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出 的取值范围；
（2）用待定系数法即可求出 的值．
【详解】（1）∵图象的每一个分支上， 随 增大而减小，
∴
解得：
（2）把 代入 中，
∴ ，
解得： ，
【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的
关键．
【经典例题六 判断反比例函数的增减性】
1．（2024下·八年级课时练习）若函数 图像经过点 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． 随 的增大而减小 B．点 在该函数图像上
C．图像分别在第一、三象限 D．当 时，
【答案】C
【详解】 ，∴此函数的图像在第一、三象限，故选C．
【易错点分析】选项A中，一定要强调在同一象限内 随 的增大而减小才正确．
2．（2023上·湖南常德·九年级统考阶段练习）若k的取值范围如图所示，则在反比例函数 的图象的每一个分支上，y随x的增大而 ．
【答案】增大
【分析】由图得 ，得 ，故反比例函数 的图象在二四象限，故反比例函数 的
图象的每一个分支上，y随x的增大而增大．
【详解】解：由图得 ，
∴ ，
故反比例函数 在二四象限，
故反比例函数 图象的每一个分支上，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象双曲线的增减性，解题关键是注意每一个分支上．
3．（2022上·广东汕头·九年级校考期末）已知点 在双曲线 上．
(1)求此双曲线的表达式与点A的坐标；
(2)如果点 在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大而减小，求点B的
坐标．
【答案】(1)双曲线的表达式为 ，A的坐标为
(2)点B的坐标为
【分析】（1）根据点 在双曲线 上得 ，进行计算得 ，即可得；
（2）根据点 在此双曲线 上得 ，进行计算得 或 ，可得点B的坐标为
或 ，由（1）知 ，当 时， ， ，根据 得此时一次函
数的函数值y随x的增大而减小，符合题意；当 时， ， ，根据 ，得此时一次函数的函数值y随x的增大而增大，不符合题意，舍去，即可得．
【详解】（1）解：∵点 在双曲线 上，
∴ ，
解得： ，
∴此双曲线的表达式为 ，
∴ ，
点A的坐标为 ；
（2）解：∵点 在此双曲线 上，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点B的坐标为 或 ，
由（1）知 ，
当 时，
∵ ， ，
又∵ ，
此时一次函数的函数值y随x的增大而减小，符合题意；
当 时，
∵ ， ，
又∵，
此时一次函数的函数值y随x的增大而增大，不符合题意，舍去．
∴点B的坐标为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法和反比例函数的性质．【经典例题七 判断反比例函数图象所在的象限】
1．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）关于反比例函数 的图象性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点
C．当 时，y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可．
【详解】对于反比例函数 ，
∵ ，
∴函数图象位于第一、三象限，在其象限内，y随x的增大而减小，故选项A、C、D错误；
∵当 时， ，
∴图象经过点 ，故选项B正确．
故选：B
2．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知反比例函数 的图像经过点 ，则该反
比例函数的图像在第 象限．
【答案】一、三/三、一
【分析】直接点 代入 求出k的值,然后根据k的正负即可解答．
【详解】解：∵反比例函数 的图像经过点 ，
∴ ，即 ，
∴该反比例函数的图像在第一、三象限．
故答案为一、三．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例
函数的性质确定函数图像所在的象限是解答本题的关键．
3．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）小东参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图像与性质，因为 ，所以可以对比反比例函数 来探究
(1)【取值列表】下表列出了y与x的几组对应值，则 ______， ______；
x … 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 2 3 m 0 n …
(2)【描点连线】在平面直角坐标系中，已画出函数 的图像，请以自变量x的取值为横坐标，以
相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点，再描出点， 和 ，并绘制函数 的
图像．
(3)【观察探究】观察图像并分析表格，解决下列问题：
判断下列命题的真假，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”
函数 随x的增大而增大（ ）
函数 的图像可由 的图像向上平移1个单位得到（ ）
函数 的图像关于点 成中心对称（ ）【答案】(1)5，
(2)见解析
(3) ， ，
【分析】（1）把 ， 分别代入 即可得m、n的值；
（2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）根据函数图象判断即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
，
当 时， ，
；
故答案为：5， ；
（2）绘制函数 的图象，如图：（3）根据图象可得：
①在 轴左边， 随 增大而增大；在 轴右边， 随 增大而增大，但“函数 随 的增大而增大
“是错误的，
故答案为： ；
②函数 的图象可由 的图象向上平移1个单位得到，
故答案为： ；
③函数 的图象关于点 成中心对称，
故答案为： ．
【点睛】本题考查通过作函数图象，研究函数性质，解题的关键是掌握函数的研究方法：列表、描点、连
线作图象，再数形结合得函数性质．
【经典例题八 已知反比例函数的增减性求参数】
1．（2023上·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数 的图象上有两点，当 时， ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得 ，而 时， ，则
，然后解不等式即可；
【详解】解：∵反比例函数 的图象上有
当 时， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．
2．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系 中，对于每一象限内的反比例函数 图像，
的值都随 值的增大而增大，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质得出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．
【详解】解： 对于每一象限内的反比例函数 图像， 的值都随 值的增大而增大，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
3．（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知反比例函数 图象经过一、三象限．
(1)若函数过点 ，求当 时的函数值y，(2)若点 ， 是反比例函数 图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理
由；
(3)设反比例函数 ，已知 ，且满足当 时，函数 的最大值是 ；当
时，函数 的最小值是 ，求x为何值时， ．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)8
【分析】（1）把 代入 解得 ，得到 ，把 代入 得到函数值 ；
（2）由反比例函数 图象经过一、三象限，则 ，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
可判断出点 ， 是第一象限内的点，则 ， ， ，即可得到 ，
， ，则 ；
（3）由反比例函数 图象经过一、三象限．得到 ，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
则反比例函数 位于第二、四象限，在每一象限内 随 的增大而增大，根据已知条件得到当
时， ；当 时， ，则 ， ，得到 ，解得： （不合
题意，舍去）或 ，得到 ，则 ， ，由 得到 ，即可
求得x的值；
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
解得 ，
∴ ，当 时， ，
即当 时的函数值 ；
（2） ，理由如下：
∵反比例函数 图象经过一、三象限．
∴ ，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵点 ， 是反比例函数 图象上的两点，
∴点 ， 是第一象限内的点，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ；
（3）∵反比例函数 图象经过一、三象限．
∴ ，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
反比例函数 位于第二、四象限，
在每一象限内 随 的增大而增大，
又∵ ，且满足当 时，函数 的最大值是 ；当 时，函数 的最小值是 ，
当 时， ；当 时， ，
∴ ， ，
， ，
∴ ，
解得： （不合题意，舍去）或 ，
∴ ，
∴ ， ，
由 得到 ，解得 ，
经检验， 是原方程的根，
当 时， ．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，对于反比例函数 ，当 时，反比例函数图象
分别位于一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当 时，反比例函数图象分别位于二、
四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大．熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
【经典例题九 比较反比例函数值或自变量的大小】
1．（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）反比例函数 的图象在第一、三象限，点 、
、 是图象上的三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象在第一、三象限，反比例函数
图象在第一、三象限， 随 的增大而减小，再根据三点横坐标的特点即可得出结论是解决问题的关键．
【详解】解：∵ 的图象在第一、三象限，
∴反比例函数图象在每个象限内 随 的增大而减小，
∵ ，
∴点 、 在第一象限，点 在第三象限，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
2．（2022下·河南南阳·八年级校考阶段练习）若点 ， ， 都在反比例函数（k为常数）的图像上，则 ， ， 的大小关系为 ．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】根据反比例函数的图像和性质作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数 的图像在一、三象限，在每个象限， 随 增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，直线 （ 为常数）与双曲线 （ 为
常数）相交于 ， 两点．
(1)求直线 的解析式；
(2)在双曲线 上任取两点 和 ，若 ，试确定 和 的大小关系，并写出判断
过程；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
【答案】(1)(2) 或 时， ；当 时， ，过程见解析
(3) 或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、反比例函数增减性
比较大小、利用函数图像解不等式等，熟练掌握一次函数及反比例函数图像与性质是解决问题的关键
（1）根据题意，利用函数图像过 ，结合待定系数法确定函数关系式即可得到反比例函数解析式，进而
确定一次函数解析式；
（2）由（1）中的反比例函数 ，得到增减性，由反比例函数增减性，数形结合，分象限讨论即可得
到答案；
（3）根据（1）中所求一次函数及反比例函数解析式，数形结合，即可得到答案．
【详解】（1）解： 直线 （ 为常数）与双曲线 （ 为常数）相交于 ，
两点，将点 代入反比例函数 ，得 ，
∴ ，
将点 代入 ，得 ，
将 ， 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴反比例函数在第二四象限，
根据反比例函数图像与性质，在每个象限内， 随 的增大而增大，
∴在同一象限内，当 时， ；在不同象限内，当 时，由图像可得 ，
综上所述，当 或 时， ；当 时， ；
（3）解：关于 的不等式 的解集可以转化为 图像在 图像上方部分对应的 的范
围，如图所示：直线 （ 为常数）与双曲线 （ 为常数）相交于 ， 两点，
或 ．
【经典例题十 已知比例系数求特殊图形的面积】
1．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图是反比例函数 和 在x轴上方的图象， 轴的平
行线 分别与这两个函数图象交于 、 两点，点 在 轴上，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数系数 的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义求出 与
的面积，从而得出 的面积，最后运用平行线之间三角形“同底等高”面积相等的性质，即可
得到答案．掌握反比例函数系数 的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，
连接 、 ，设 交 轴于 ，轴的平行线 分别与这两个函数图象相交于点 ， ，
轴，
点 、 在反比例函数 和 在 轴上方的图象上，
，
，
轴,
与 “同底等高”，
，
故选：A．
2．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象
限， 轴于点 ，反比例函数 的图象与线段 交于点 ，且 ，则 的面
积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接 ，根据反比例函数系数k的几何意义得到
，再利用三角形面积公式得到 ，即可得出答案．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：12．
3．（2023上·四川巴中·九年级校考期中）如图，直线 与反比例函数 的图象相交于 ，
两点，延长 交反比例函数的图象于点 ，连接 ．
(1)求 和 的值；
(2)根据图象直接写出 的解集；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ， ；
(2) 或
(3)存在， 或 ．
【分析】（1）根据题意将 分别代入 和 ，求得 和 的值即可；
（2）由题意根据图象中的信息即可得到结论；（3）根据题意过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 以及过点 作 轴于点 ，过
点 作 轴于点 进行分析证明求解．
【详解】（1）解：将 分别代入 和 ，得 ， ，
解得 ， ．
（2）由图象可知： 的解集为 或 ．
（3）存在，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ．
由（1）知， ， ，
∴直线 的表达式为 ，
反比例函数 的表达式为 ．
将 代入 ，得 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵点 与点 关于原点对称
∴ ，
∴
设 ，
∴
解得 或 ，
∴ 或 ，故在 轴上存在一点 ，使得 ，点 的坐标是 或 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，
正确的作出辅助线是解题的关键．
【经典例题十一 根据图形面积求比例系数】
1．（2023上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点 、
均在反比例函数 的图象上，若 的面积为8，则k的值为（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】本题考查的是求解反比例函数的解析式，如图，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，证明 ，再利用面积公式列方程求解即可，熟记反比例函数比例
系数的性质是解本题的关键.
【详解】：如图，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
∵点 、 均在反比例函数 的图象上，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ , ， ， ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）
∴ ，
故选B
2．（2022下·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，矩形 的顶点O在坐标原点，顶点 分别
在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数 （k为常数， ， ）的图象上， ，将矩形ABOC
绕点A按逆时针方向旋 得到矩形 ．若点O的对应点 恰好落在此反比例函数图象上，则k的值
为 ．【答案】
【分析】本题考查了反比函数k的几何意义，解一元二次方程，图形的旋转，设 ，则可得 两
点坐标，由反比函数k的几何意义即可求解．解题关键是k等于反比例函数上的点的纵坐标与横坐标乘积
的一半．
【详解】解：设 则 ，
根据反比函数k的几何意义可得： ，
即 ，
解得： ，
两点在第一象限，
，
，
点在反比例函数图像上，
．
3．（2022上·湖北随州·九年级统考期末）如图，反比例函数 的图像与一次函数
的图像交于第二、四象限内的点 和点 ．过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，
且 的面积为 ．(1)求这两个函数的解析式；
(2)结合图像直接写出 的解集．
【答案】(1)反比例函数的解析式为： ；一次函数的解析式为：
(2) 或
【分析】（1）由 的面积为 ，可求出 的值，确定反比例函数的关系式，把点 坐标代入解析式可
求 的值；
（2）根据图像观察当自变量 取何值时，一次函数图像位于反比例函数图像的下方即可，注意有两部分．
【详解】（1）解：∵ 的面积为 ，且反比例函数 的图像与一次函数 的
图像交于第二、四象限内的点 和点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在 上，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ；一次函数的解析式为： ；
（2）由图像可以看出， 的解集为： 或 ．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，三角形的面积、待定系数法求反比例函数和一次函
数的解析式，利用图像求不等式的解集．数形结合是解题的关键．
【经典例题十二 求反比例函数解析式】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图
象经过点 轴于点 轴于点 ， 交 于点 ．若 ，则 的值
为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据A、B两点的坐标求出 ，由 得到 ，再由反比例函数的
性质得到 ，由此求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ， 轴， 轴，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵反比例函数 的图象经过点 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正确推出 以及 是解题的关键．
2．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）点A是反比例函数 图象上一点，
连接 ，并将线段 绕点A旋转 ，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，已知点A
的横坐标为4，那么k的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，
过点A作 轴于点D，过点B作 于点E，得出 ，则 ，通过证明
，得出 ，把 代入 得 ，求解即可．
【详解】解：过点A作 轴于点D，过点B作 于点E，
∵点A横坐标为4，且点A是反比例函数 图象上一点，
∴ ，∴ ，
∵将线段 绕点A旋转 ，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
整理得： （舍去），
故答案为： ．
3．（2023上·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线
： 与反比例函数 的图象交于 、 两点，与 轴相交于点 ，已知点 ， 的坐标分别为 和 ．
(1)求反比例函数的解析式：
(2)直接写出不等式 的解集．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综
合是解题的关键．
（1）把点 代入 ，解得 ，则点 的坐标为 ，然后由反比例函数 的图象过
点 ，求反比例函数即可；
（2）把点 代入直线 ，解得 ，即 ，根据不等式的解集为一次函数图象在
反比例函数图象的上方所对应的 的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】（1）解：把点 代入 得， ，
解得： ，
点 的坐标为： ，
反比例函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：把点 代入直线 得， ，解得 ，
∴ ，
由函数图象可知：当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
不等式 的解集为 或 ．
【经典例题十三 反比例函数与几何综合】
1．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，矩形 的顶点 和正方形 的顶点 都在反比例
函数 的图象上，点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，由题意，首先根据 的坐标求出 ，然后可设
，再由正方形 ，建立关于 的方程，进而得解．
【详解】 点 的坐标为 在反比例函数 上，
．
．
反比例函数的解析式为 ．
点 在反比例函数图象上，可设 ．
．
∵正方形 ，
∴
， ．
，
．
．
故选：B．
2．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，矩形 的顶点A和对称中心均在反比例函数
上，若矩形 的面积为6，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查反比例函数图象上点 的坐标特征，设矩形的对称中心为E，连接 、 ，过E作
垂足为F，设 ， ，利用矩形的面积，表示矩形的边长，再根据对称中心表示E的坐
标，由点A、E都在反比例函数的图象上，由反比例函数k的几何意义求解即可．
【详解】解：设矩形的对称中心为E，连接 、 ，过E作 垂足为F，
∵点E是矩形 的对称中心，
∴ ， ，
设 ， ，
∵ 的面积为6，
∴ ， ，∴点 ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
故答案为：3．
3．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）已知：如图是反比例函数 图象的一支，
(1)求 的取值范围；
(2)若该函数图象上有两点 ， ，则 ______ （填“ ”“ ”或“ ”），并求出 与 的
关系式；
(3)若一次函数 的图象与该反比例函数图象，交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ；
①求出 、 的值；
②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，若存
在请求出点 的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；(3)① ， ；②存在，点 的坐标为
【分析】（1）根据反比例函数图象在第一象限，可得反比例函数的系数大于零，由此即可求解；
（2）将点 ， 代入反比例函数进行计算即可求解；
（3）①将点 代入一次函数可求出 的值，即点 的坐标，再代入反比例函数即可求出 的值；②
根据题意可算出点 的坐标，设 的高为 ，根据 即可求解；
【详解】（1）解：∵反比例函数图象在第一象限，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（3）解：①∵ 在函数 的图象上
∴ ，则 ，
∵ 在函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，则反比例函数解析式为 ，
∴ ， ；
②当 时， ，
∴ ，∴ ， 则 ，且 ，
∴ ，
∵ ，设 的高为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点的纵坐标为 ，
将 代入反比例函数得 ，
∴ ，
∴存在点 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面
积的计算方法是解题的关键．
【经典例题十四 一次函数与反比例函数图象综合判断】
1．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）反比例函数 与一次函数 （ ）在同一平面
直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出m
取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案，要掌握它们的性质才能灵活
解题．
【详解】解：A、由函数 的增减性可知 ，但从函数图象与y轴的交点来看 ，相矛盾，
故A错误；
B、由函数 的增减性可知 ，但从函数图象与y轴的交点来看 ，相矛盾，故B错误；
C、由函数 的图象可知 ，由函数 的图象可知 ，故C正确；
D、由函数 的图象可知 ，由函数 的图象可知 ，相矛盾，故D错误；
故选：C．
2．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点
， ，则不等式 的解集是 ．
【答案】 或【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：将点 代入反比例函数 得： ，
解得： ，
∴反比例函数为 ，
将点 代入 得：
∴点 的坐标是 ，
∴要使得不等式 ，只需要一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合两个函数图象的交点
， 可得： 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解
不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标
得出不等式的解集是关键．
3．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图
象交于点 ．
(1)求n，a与b的值；(2)若 ，请直接写出x的取值范围；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）把 代入反比例函数 ，求出k值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n
的值，然后利用待定系数法即可确定a、b的值；
（2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
（3）求出直线 与x轴的交点C的坐标，分别求出 和 的面积，然后相加即可．
【详解】（1）把点 代入反比例函数 ，
得 ，
∴反比例函数为 ，
∵点 也在反比例函数 ，
∴ ，
∴ ，
∵一次函数 的图象过点 ， ，
∴ ，
解得 ；
（2）∵ 的x取值范围反映在图象上就是直线 位于双曲线上方部分所对应的自变量的取
值范围，
∴根据图象可知： 的x的取值范围为 或 ．（3）如图，设直线 与x轴的交点为C，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象
上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【经典例题十五 一次函数与反比例函数的交点问题】
1．（2020上·浙江·九年级周测）观察函数 和 的图像可知，不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】A
【分析】联立函数解析式求出交点坐标，再根据图象即可得到不等式 的解集．
【详解】解：联立函数 和 得到，
，
解得 或 ，即函数 和 的图像的交点为 和 ，如图，
观察图象可知，不等式 的解集为 或 ，
故选：A
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数图象交点问题、图象法解不等式，准确求出交点坐标是解题的
关键．
2．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，函数 与函数 （ ）的图像交于点A，则根
据图像可得不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观
察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图像上得到函数y＝﹣x+1与函数
（x＞0）的图像交点坐标，再根据两个函数的增减性，即可得到不等式 的解集．【详解】解：函数 与函数 （ ）的图像交于点 ，
当 时，函数 （ ）的图像对应的点在函数 的点的上边，不等式 成立，
∴不等式 的解集是 ．
故本题答案为： ．
3．（2023上·四川泸州·九年级校考期中）如图，一次函数 （ 为常数，且 ）的图像与反比
例函数 的函数交于 ， 两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 的周长最小，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题（求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数
关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点），待定系数法求一
次函数的解析式，两点之间线段最短，
（1）把点 代入 中求出 ，即 ，代入 中求出 即可；
（2）求出点 的坐标，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，求出点 即可；
理解求反比例函数与一次函数的交点坐标的实质和对称的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一次函数 （ 为常数，且 ）的图像与反比例函数 的函数交于， 两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，
∴ ，
此时 的周长最小，则点 即为所作，
∵一次函数 （ 为常数，且 ）的图像与反比例函数 的函数交于 ， 两
点，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，
解得： ，∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴存在点 ，使 的周长最小．
【经典例题十六 一次函数与反比例函数的实际应用】
1．（2021下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德
州市某工厂自 年 月开始限产并进行治污改造，其月利润 万元 与月份 之间的变化如图所示，治
污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A． 月份的利润为 万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加 万元
C． 月份该厂利润达到 万元
D．治污改造完成前后共有 个月的利润低于 万元
【答案】D
【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为 ，把 代入得， ，
反比例函数的解析式为： ，∵当 时， ，
月份的利润为 万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从 月到 月，利润从 万到 万，故每月利润比前一个月增加 万元，正确，不
合题意；
C、设一次函数解析式为： ，
则 ，解得： ，
故一次函数解析式为： ，
当 时， ，解得： ，
∴治污改造完成后的第 个月，即 月份该厂利润达到 万元，正确，不合题意．
D、当 时， ，解得： ，
∴只有 月， 月， 月共 个月的利润低于 万元，不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
2．（2023上·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为 ，开机通电，热水器启
动开始加热（加热过程中水温 与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到 时自动停止加热，
随后水温开始下降（水温下降过程中水温 与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至 时，
热水器又自动以相同的功率加热至 ……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则
（1）当 时，水温 开机时间x分钟的函数表达式 ；
（2）当水温为 时， ；
（3）通电 分钟时，热水器中水的温度y约为 ．【答案】
【分析】（1）设直线解析式为 ，结合图像点 ， 代入即可得到答案；
（2）设反比例函数解析式为 ，结合图像点 代入求出k，将 代入即可得到答案；
（3）根据（1）（2）解析式得到从 ℃加热到 ℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一
段反比例函数求值即可得到答案．
【详解】解：（1）设直线解析式为 ，将点 ， 代入可得，
，解得 ，
故答案为： ；
（2）设反比例函数解析式为 ，将点 代入可得，
，
∴ ，
当 时，
，解得 ，
故答案为 ；
（3）当 时， ，解得 ，
∴从 ℃加热到 ℃，需要 分钟， ， ， ，将
代入， ，可得 ．【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的
时间．
3．（2022上·云南红河·九年级统考期末）国家卫健委官方网站消息，截至2022年11月25号，31个省
（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗344311.4万剂次，疫苗在2021年经
过三期临床试验时，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度 与注射时间 天之间的函数关系如
图所示．
(1)根据图象求 与 之间的函数关系式；
(2)体内抗体浓度不低于 的持续时间为多少天？
【答案】(1)
(2)体内抗体浓度不低于 的持续时间为31天
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）分别求出当 时，当 时 的x的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时，设 与 之间的函数关系式是 ，图象过 ，则 ，解得： ，
与 之间的函数关系式是：
当 时，设 与 之间的函数关系式是 ，图象过 ， ，
解得： ， 与 之间的函数关系式是
（2）当 时， ，解得： ．
当 时， ，解得：
（天）
答：体内抗体浓度不低于 的持续时间为31天．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量
的值，正确理解题意是解题的关键．
【经典例题十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用】
1．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图， 是坐标原点， 的直角顶点 ，
，反比例函数 的图象经过斜边 的中点 ， 为该反比例函数图象上的一点，若
则下列说法错误的是（ ）
AI
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件得出 的坐标，根据中点坐标公式得出 的坐标，进而即可求解k的值，求得直
线 ，联立 与反比例函数解析式，得出 的坐标，进而根据两点距离公式求得 ， ，进而
即可求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，则 ，
∴
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过斜边 的中点 ．
∴ ；故A不符合题意；
∴反比例数解析式为
∵ ， ，
设直线 的解析式为
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，设直线 的解析式为 ，将点 代入并解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵反比例数解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
∵D的横坐标大于2，则 ，故B不符合题意；
当 时， ，故C不符合题意；
而 ，
∴ ，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数交点问题，平行线的性质，求
解一次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2023上·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的
顶点B、D在反比例函数 的图象上，对角线 与 相交于坐标原点O，若点 ，菱形
的边长为5，则k的值是 ．【答案】8
【分析】根据菱形的性质得到 ，根据勾股定理得到 ， ，求得直线
的解析式为 ，求得 的解析式为 ，设 ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
∵菱形的边长为5，
，
∴ ，
∵对角线 与 相交于坐标原点O，
∴直线 的解析式为 ，
∴ 的解析式为 ，
设 ，
，
或 （舍去），
，
∵D在反比例函数 的图象上，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比
例函数的性质解答．
3．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图，已知 ， 是一次函数 的图像与反比例函数 的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
(3)求 的面积；
(4)在x轴上是否存在一点P，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
(4)存在，P点坐标为 ， ， ，
【分析】（1）首先把A点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把B点坐标代
入反比例函数解析式中求得B点的坐标，再根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是一次函数的图像在反比例函数的图像的上方
部分自变量的范围；
（3）设一次函数与y轴交点为C，由一次函数解析式可得 ，所以 ，进而可得 和 ，
所以 可得答案；
（4）当 是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，
分别求P点坐标即可．
【详解】（1）将 代入 得： ，则反比例函数的解析式是 ，
将 代入 得： ，
则B的坐标为 ，
将 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ．
（2）根据图像，结合题意，得 或 ．
（3）设一次函数与y轴交点为点C，由一次函数解析式 ，
当 时，代入解析式得 ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的面积为 ；
（4）在x轴上存在点P，使 是等腰三角形
由 可得： ，
当 是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当 时，过点A作 轴于点S，由 ，等腰三角形三线合一的性质得：，由 ， ，
∴ ，
故 ；
②当 时，根据题意，得 ，
在 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
③当 时，P点在O点左侧时， ，
P点在O点右侧时， ，
综上所述，当P点坐标为 ， ， ， 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，分类思想，勾股定理，熟练掌握待
定系数法，勾股定理和分类思想是解题的关键．
【重难点训练】1．（2023上·安徽合肥·九年级校联考期中）对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．点 在它的图象上 B．y随x的增大而减小
C．它的图象在第一、三象限 D．当 时，
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质．反比例函数 的图象 时位于第一、三象限，
在每个象限内， 随 的增大而减小； 时位于第二、四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大．
根据这个性质逐项判定则可．
【详解】解：A、把 代入 ，得 ，
点 在它的图象上，正确，故此选项不符合题意；
B、 ，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，故此选项符合题意；
C、 ，
∴它的图象在第一、三象限，正確，故此选项不符合题意；
D、∵当 时， ，
，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当 时， ，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（2023上·山东威海·九年级统考期中）反比例函数 ， ， 在同一坐标系中的图象如
图所示，则 ， ， 的大小关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质． 时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，
y随x的增大而增大； 时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．先
根据函数图象所在的象限判断出 的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．
【详解】解：由图知， 的图象在第三象限， ， 的图象在第四象限，
∴ ，
又当 时，有 ，
∴ ．
故选：C．
3．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，直线 与双曲线 交于 两点，
轴于点 ，连接 交 轴于点 ．下列结论：① ；② 的面积为定值；③ 是 的中点；
④ ．其中正确的结论有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数与图形的综合，掌握反比例图象的性质，几何图形面积的计算方法是解
题的关键．
如图所示，过点 作 轴于点 ，根据直线 与双曲线 交于 两点，设 ，，根据题意可求出 ， ，根据勾股定理定理可判定结论①；根据全等三角形可得
， 可判定结论②；根据平行线分线段成比例可判定结论③；根据几何图形面
积的计算方法可判定结论④．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，
∵ 两点在双曲线 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ，
∴设 ， ，则 ， ，
∵ 两点在直线 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，故结论①正确；
根据上述证明可得，在 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 的面积为定值，故结论②正确；
由上述证明可知， ，即点 是 的中点，
∵ 轴于点 ，
∴ 轴，即 ，
∴ ，
∴点 是 的中点，故结论③正确；
∵ 轴于点 ，
∴ ，且 是 中点，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，故结论④错误；
综上所述，正确的有①②③，共 个，
故选： ．
4．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图， 是坐标原点，菱形 的顶点 的坐标为 ，顶点 在 轴的负半轴上，函数 的函数图象经过顶点 ，则 的值为（ ）
A． B．32 C． D．16
【答案】A
【分析】本题考查了反比例数的性质，菱形的性质，勾股定理；根据勾股定理求得 ，进而根据菱形
的性质求得点 的坐标，进而待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：由点 的坐标 ，
得 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ．
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ．
故选：A．
5．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图是反比例函数 和 在x轴上方的图象， 轴的平
行线 分别与这两个函数图象交于 、 两点，点 在 轴上，则 的面积为（ ）A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数系数 的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义求出 与
的面积，从而得出 的面积，最后运用平行线之间三角形“同底等高”面积相等的性质，即可
得到答案．掌握反比例函数系数 的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，
连接 、 ，设 交 轴于 ，
轴的平行线 分别与这两个函数图象相交于点 ， ，
轴，
点 、 在反比例函数 和 在 轴上方的图象上，
，
，
轴,
与 “同底等高”，
，
故选：A．
6．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，过点A作
轴，垂足为点M，连接 ，若 ，则k的值是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得长方
形面积为 ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何
意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即
．
由题意可知A、B关于点O对称，所以O为线段 的中点，故 ，从而求出结果．
【详解】解：因为直线 与双曲线 交于A、B两点，
所以A，B两点关于坐标原点成中心对称，
即 ，所以 ．
又因为 ，
所以 ．
所以 ，解得 ．
又反比例函数图象位于第二、四象限，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
7．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， 的顶
点 在双曲线 上，顶点B在双曲线 （ ，且 ）上，边 在x轴上．①若 ，则 的长度为 ；
②若 的面积是7，则k的值是 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数定义是
解决本题的关键．
①先求出点A、B的坐标，则可求 ，然后根据平行四边形的性质求解即可；
②根据平行四边形的性质和点A的坐标可求 ，进而求出点B的坐标，即可求出k的值．
【详解】解：①∵ 在 上，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴点B的纵坐标为2，
又点B在 上，
∴点B的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
②∵ 的面积是7， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：3， ．
8．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图，在直线 ： 上方的双曲线 上有一个动
点 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，连接 ， ，则 面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；设 ，则 ，将三角形面积用代数式
形式表达出来，再根据二次函数最值解得出来即可．
【详解】解：设 ，则 ，
线段 ，
，
，二次函数开口向下，有最大值，
当 时， 有最大值，最大值是 ．
故答案为： ．9．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，点B和点C都是第二象限内的点， ，
，双曲线 经过点C且与 交于点E．
（1）直线 的表达式为 ；
（2）若 ， ，则 ．
【答案】 32
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法等知识．掌握待
定系数法是解题的关键．
（1）设 ，求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）过E作 轴于F，判定 是等腰直角三角形，可求出点E的坐标，然后求出反比例函数的
解析式，设 ，表示出点C的坐标，把C的坐标代入反比例函数解析式可求出 ，即可求解．
【详解】解：（1）设 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ， 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）过E作 轴于F，∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，解得 ，
∴
设 ，
则 ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；32．
10．（2023上·湖南湘潭·九年级湘潭江声实验学校校考期中）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形 的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点 在反比例函数 的图象上，过 的中点 作矩
形 ，使顶点 落在反比例函数的图象上，再过 的中点 作矩形 ，使顶点 落在反比
例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形 时，落在反比例函数图象上的顶点 的横坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，先根据题意得出 点的坐标，进而可
得出反比例函数的解析式，再依次求出点 的坐标，找出规律可得出 的坐标；
【详解】解：∵正方形 的边长为1，点 在反比例函数 （ ）的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．同理可得得 …
∴ ，
当 时， ．
故答案为： ．
11．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，一次函数 与反比例函数
的图象交于点 ， ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式 的解集．
【答案】(1) ； ；
(2)
【分析】（1）把点 代入 求得 ，得反比例函数解析式为 ，把点 代
入 求得 ，可得 ，再把 、 代入 求出k，b的值即可得出一次函
数解析式；（2）求出点C坐标，结合函数图象可得不等式 的解集．
【详解】（1）把点 代入 ，得：
，
解得， ，
∴反比例函数解析式为 ；
把点 代入 ，得：
，解得， ，
∴ ，
把 、 代入 ，得：
，
解得， ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）对于 ，当 时，
∴ ，
由函数图象知，当直线在x轴下方，反比例函数图象上方时， ，
所以，不等式 的解集为： ．
12．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）已知反比例函数 的图象经过第一、
三象限．(1)求 的取值范围；
(2)若 ，此函数的图象过第一象限的两点 ， ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数
，当 时，图象经过第一、三象限，且在第一象限， 随着 的增大而减小是解题的关键．
（1）由题意知， ，计算求解即可；
（2）由题意知，反比例函数在第一象限， 随着 的增大而减小，由 ，可得 ，计算求
解并和 综合求取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
解得， ，
∴ 的取值范围为 ；
（2）解：由题意知，反比例函数在第一象限， 随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，解得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
13．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
交于 ， 两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)求 的面积．
(3)当 时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解含义解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练
的利用数形结合的思想解题是关键．
（1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次
函数的解析式即可；
（2）令直线 与x轴的交点为M．由 ，再计算即可；
（3）直接利用函数图象解答即可．
【详解】（1）解：将A点坐标代入反比例函数得， ．
∴反比例函数的解析式为 ．
将B点坐标代入反比例函数解析式得， ．
即点B的坐标为 ．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，解得 ．∴一次函数解析式为 ．
（2）令直线 与x轴的交点为M．
将 代入一次函数解析式得， ，解得
即点M的坐标为 ．
∴ ， ，
故 ．
（3）由函数图象可知，
在直线 的左侧和直线 与直线 之间的部分，
一次函数 的图象在反比例函数 图象的上方，即 ，
∴当 时，x的取值范围是： 或 ．
14．（2023上·安徽合肥·九年级校联考期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列
表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数 的探究；下表是函数y与自
变量x的几组对应值：
x … 0 2 3 4 5 …
y … 7 4 3 2.5 …(1)函数 自变量x的取值范围为 ．
(2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系 中，画出该函数的图象．
(3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质： ．
【答案】(1)
(2) ， ，图象见解析
(3)当 时， 随 的增大而减小(答案不唯一)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，用描点法画反比例函数的图象，
（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量 的取值范围；
（2）把 ， 代入函数解析式即可得到 和 的值，依据表格得点的坐标描点连线即可得到函数
图象；
（3）依据函数的图象可得函数的增减性．
【详解】（1）解： ，
，
∴函数 自变量x的取值范围为 ．
故答案为： ；
（2）解：把 ， 代入函数 得：
，
解得 ， ；
画出该函数图象如图所示：（3）解：由图象可知，当 时， 随 的增大而减小（答案不唯一）．
15．（2023上·山东威海·九年级统考期中）如图，函数 与 的图象交于点A， ，连接
．
(1)直接写出k和b的值： ， ；
(2)若 ，求x的取值范围；
(3)在函数 的图象上存在点P，使得直线 能将 的面积二等分，直接写出点P的坐标： ．
【答案】(1) ，4
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，
三角形中线与面积的关系．
（1）根据待定系数法即可求得；（2）联立方程组 ，求解方程组，得出点 的坐标，根据函数图象即可写出反比例函数值大于
一次函数值时x的范围；
（3）求出线段 的中点坐标 ，运用待定系数法求出 的解析式 ．联立 ，求出交
点P的坐标即可．
【详解】（1）把 代入 ，得：
；
把 代入 ，得：
∴ ，
故答案为： ，4；
（2）由（1）知， ， ，
布局，得 ，
解得， ；
∴ ,
∴根据图象得，当 时，x的取值范围 或 ；
（3）当直线 经过线段 的中点，即 是 的中线能将 的面积二等分，
∵ ,
∴线段 的中点坐标为 ，即 ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 （舍去）
∴点P的坐标为：
故答案为：
