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专题 02 实际问题与一元二次方程之六大题型
增长率问题
例题：（2023上·重庆万州·九年级统考期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月
的营业额要达到3600万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，
则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）由济宁籍导演郭帆执导的电影《流浪地球2》
上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长
率增长，三天后累计票房收入达18.8亿元，设增长率为 ，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）由于某种药品紧俏，某药店将其两次提价，由原来的每
盒36元，涨到每盒54元．若每次提价的百分率均为x，根据题意，可列方程为 ．
传播问题
例题：（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）恼人的新冠病毒．有一个人感染了病毒，经过两轮传染，一共有144个人感染，则每轮传染中，平均一个人传染了（ ）个人
A．13 B．12 C．11 D．10
【变式训练】
1．（2023下·辽宁·八年级统考期末）区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环
形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛?
2．（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直
接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛?
数字问题
例题：（2023下·江苏·八年级统考期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当
上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，
若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ．
【变式训练】
1．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为 ，可得
方程 ．
2．（2023下·上海浦东新·八年级统考期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并
其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ．
营销问题
例题：（2023上·辽宁朝阳·九年级统考期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，
连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利
6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【变式训练】
1．（2023下·安徽蚌埠·八年级统考期末）某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游
客人数比5月份减少了10%．
(1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
月份 4月 5月 6月
游客人数／万人 a
(2)求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率；
(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20
件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽
快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
2．（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组
合名为“江南忆”，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，
4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查
发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥钧售价为多少元时，月销售利润
达8400元？
与图形有关的问题
例题：（2023上·新疆喀什·八年级统考期末）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长
度为12米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为 平方米．
(1)用含x的代数式表示 ，并求出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少?
【变式训练】
1．（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了 的
铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长 ）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如
图所示）．
(1)若要建的矩形养鸡场面积为 ，求鸡场的长 和宽 ；
(2)该扶贫单位想要建一个 的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由.
2．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一段平直的岸
堤（岸堤长 米）为一边，用总长为 米的围网，在水库中围成了如图所示的①②③三块不同的
矩形区域用于不同水产的养殖，且这三块矩形区域的面积相等．(1)设 的长度为 米，则 ______米， ______米；（用含 的代数式表示）；
(2)当矩形 面积为 米 时，求 的长度；
(3)矩形 的面积能不能等于 米 ，为什么？
动态几何问题
例题：（2023下·安徽滁州·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ，
，点 从点 开始沿 边向点 移动，速度为 ；点 从点 开始沿 边向点
移动，速度为 ，点 分别从点 同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停
止运动．
(1)几秒后， 的长度为 ；
(2)几秒后， 的面积为 ；
(3) 的面积能否为 ？请说明理由．【变式训练】
1．（2022上·江西九江·九年级统考期中）如图，在 中， ， ．
点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始沿 边向点 以
的速度移动，另外一点也随之停止运动．
(1)几秒后，四边形 的面积等于 ？
(2) 的面积能否等于 ？请说明理由．
2．（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， 点
从 开始沿边 向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动．点 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动，设运动时间为 秒．
(1)填空： ______ ， ______ ； 用含 的代数式表示 ；
(2)当 为几秒时， 的长度等于 ；
(3)是否存在某一时刻 ，使四边形 的面积等于 面积的 ？如果存在，求出 的值，如果不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2023下·广西贺州·八年级统考期末）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人
患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）人．
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2023上·四川南充·九年级统考期末）在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作
业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为 ，经过2022年下学期和2023年
上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为 ．设该校这两学期平均每天作
业时长每期的下降率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的
盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若
每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？
设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．C． D．
4．（2023下·重庆沙坪坝·八年级统考期末）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺
设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下
面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2023下·山东泰安·八年级统考期末）将一条长 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一
个正方形，使这两个正方形的面积之和等于 ，则其中较大正方形的边长为 ．
6．（2023下·山东德州·八年级统考期末）2023年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪
费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月 元降到 元，若平均每
月降低开支的百分率为 ，则可根据题意列出方程为 ．
7．（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域 阴影部分 进行
绿化，绿化后一边减少了 ，另一边减少了 ，剩余面积为 的矩形空地，则原正方形空地
的边长为 ．
8．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将边长为 的正方形 沿其对
角线 剪开，再把 沿着 方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的面积为 ，
则它移动的距离 等于 ．三、解答题
9．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，
3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．
(1)求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
(2)预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知
北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最
多是多少万人？
10．（2023上·河南周口·九年级统考期末）某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨
年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在
售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件．
(1)求四、五两个月销售量的平均增长率；
(2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，
该年糕每件降价1元，月销售量增加20件．在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少
元时，商场六月仍可获利为6080元？
11．（2023下·浙江丽水·八年级统考期末）如图，某学校有一块长 ，宽 的长方形空地，计
划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.(1)若设计人行通道的宽度为 ，则三块长方形绿地的面积共多少平方米?
(2)若三块长方形绿地的面积共 ，求人行通道的宽度．
12．（2023下·江苏南通·八年级统考期末）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如
图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆
只围AB，AD两边）．
(1)若花园的面积为 ，求AB的长；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为 ，若要将这棵树围在矩形花园内
（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为 ？若能，求出AB的长；若不能，请
说明理由．
13．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动．如果 两点分别从 两点同时出发，移动时间为 （单位： ）．(1)求 的面积 关于 的函数解析式；
(2)若 的面积是 面积的 ，求 的值；
(3)问： 的面积能否为 面积的一半？若能，请求出 的值；若不能，请说明理由．
14．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，
， ，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以 的速度向点B移动，
一直到点B为止，点Q以 的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接 ．
①当 为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说
明理由．
