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专题 06 反比例函数（6 知识&12 题型&4 易错&5 方法清单）【清单01】 反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
【清单02】 反比例函数的图象和性质
【清单03】 反比例函数图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象
限的角平分线．
【清单04】 反比例函数中系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个
1
2
垂足和原点为顶点的三角形的面积为 |k|.
（2）常见的面积类型：【清单05】 反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标
为（-a,-b）.
【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分 k＞0和
k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐
标，确定出解集的范围.
【清单06】 反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
【题型一】反比例函数的定义
【典例1】（24-25九年级上·河南·期末）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
x 6 1
A．y= B．y=- C．y=x2 D．y=
2 x x2
【变式1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（ ）
2024 x
A．y= B．y=-2024x-1 C．y= D．xy=-2024
x 2024
6
【变式2】（2025·重庆·模拟预测）若点M(1,m)在反比例函数y=- (x≠0)的图象上，则m的值是（ ）
x1 1
A．- B． C．-6 D．6
6 6
k
【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数y= (k≠0)的图象经过点A(1,-2)，则k的值为
x
．
【题型二】反比例函数系数K的几何意义
【典例2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）双曲线y ，y 在第一象限的图象如图所示，其中y ，y 的解
1 2 1 2
4 8
析式分别为y = ，y = ，过y 图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y 的图象于点B，交y轴于点
1 x 2 x 1 2
C，连接OA，OB．则△AOB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8
【变式1】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，过点A作AB⊥x轴于
x
点B，作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
k
【变式2】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点A为反比例函数y= (x<0)的图象上一点，过点A
x
作AB⊥y轴于点B，点C与点B关于x轴对称，连接AC．若△ABC的面积为16，则k的值为（ ）A．8 B．16 C．-8 D．-16
k
【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形AOBC的面积为6，反比例函数y= 的图象
x
的一支经过矩形对角线的交点P，则k= ．
【题型三】反比例函数的图象
k
【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数y= 和一次函数y=kx+3(k≠0)在同一平面直角
x
坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．1
【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）函数y=- +1的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
k
【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数y= 与y=kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐
x
标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24九年级上·山东济南·期末）已知二次函数 的图象如图所示，则一
y=ax2+bx+c(a≠0)
c
次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象在同一坐标系中大致是（ ）
xA． B．
C． D．
【题型四】 反比例函数图象的对称性
16
【典例4】（23-24九年级上·广东·期末）如图，已知反比例函数y = 与正比例函数y₁=kx(k≠0)的图象
2 x
交于点A(4,n)，则点B的坐标为 ．
【变式1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数
k
y= (k≠0)的图象交于A，B两点，若点A的坐标为(-2,3)，则点B的坐标为 ．
x
k
【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，正比例函数y=k x和反比例函数y＝ 2图象相交于
1 x
A、B两点，若点A的坐标是（2，1），则点B的坐标是 ．k
【变式3】（24-25八年级下·浙江·期末）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(-3,4)，则图象必经过的
x
点是（ ）
A． (3,-4) B． (-3,-4) C． (-6,-2) D． (2,6)
【题型五】判断反比例函数图象所在象限
8
【典例5】（24-25九年级上·甘肃·期末）反比例函数y= 的图象不经过（ ）
x
A．第二、四象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第一、二象限
k2+1
【变式1】（22-23九年级上·广西梧州·期末）函数y= 的图象分布在（ ）
x
A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限
【题型六】已知反比例函数的增减性求参数
m-1
【典例6】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若反比例函数y= 的图象在第二、四象限，则m的
x
取值范围是（ ）
A．m>1 B．m≥1 C．m<1 D．m≤1
k-2
【变式1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）已知反比例函数y= 的图象在每一个象限内，y随x的增
x
大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
k
【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点M(m,y )，N(m+1,y )在反比例函数y= (k是常
1 2 x
数)的图象上，当m>0时，y >y ，则k的取值范围是 ．
1 2
2k-4
【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线y= 在每个象限内的函数值y随x的增大而减
x
小，则（ ）
A．k<4 B．k>4 C．k>2 D．k<2【题型七】比较反比例函数值或自变量的大小
k
【典例7】（22-23九年级上·山东济南·期末）若点(-1,y ),(1,y ),(2,y )在反比例函数y= (k<0)的图
1 2 3 x
象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 1
m+1
【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）若点A(x ,y )和点B(x ,y )在反比例函数y= 的图象
1 1 2 2 x
上，当x <0y ．则m的取值范围是 ．
1 2 1 2
5
【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点A(-2,y ),B(1,y ),C(2,y )在反比例函数y=
1 2 3 x
的图象上，则y ,y ,y 的大小关系为 ．（用“<”连接）
1 2 3
-k2-1
【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）函数y= （k为常数）的图象经过点A(x ,y )、
x 1 1
、 ，若 ，则 、 、 的大小关系是 ．
B(x ,y ) C(x ,y ) x y 时，x的取值范围．
1 2
【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象与x轴
k
的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y= 的图象交于点C(-1,m)．求一次函
x
数和反比例函数的表达式．
m
【变式2】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）已知点A(2，a)和点B(-2，b)都是反比例函数y= 的
x
图象上的点，则a+b= ．1 k
【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，一次函数y = x+1的图象与反比例函数y = 的图
1 2 2 x
象相交于A(m,2)和B两点．求点B的坐标．
【题型十】 反比例函数的实际应用
【典例10】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的
工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 10℃，待加热到 100℃，
饮水机 自动停止加热，水温开始下降，水温 y(℃)与通电时间 x（分）的关系如图所示（图 中的曲
线是双曲线的一部分），解答下列问题：
(1)当0≤x≤8 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)求图中 a 值
(3)一天早上 7：20，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在8：00上课前能 喝到不超过
40℃的温开水，应在什么时间段内接水？
【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压 是气球体积 的反比例函数，其图象如图所示．
p/(kPa) V/(m3)
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)当气球的体积为0.6m3时，气球内气体的气压是多少？
【变式2】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为
1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）．（杠杆平衡时，动
力×动力臂=阻力×阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
【变式3】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现的，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化，已知某段电磁
波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表：
频率f（MHz） 5 10 15 20 25 30
波长λ（m） 60 30 20 15 12 10
(1)选择合适的函数模型，求出波长λ(m)关于频率f (MHz)的函数表达式：
(2)嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于300MHz，求它的波长λ的取值范围．
【题型十一】反比例函数与一次函数的交点问题
【典例11】（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与反比例函数
1
m m
y = （m为常数且m≠0）的图象都经过A(-1,2),B(2,-1)，结合图象，则不等式kx+b< 的解集
2 x x
是（ ）
A．x<-1 B．-12
m
【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象
x
交于A(-2,1)，B(n,-2)两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是
（ ）
A．-21 D．x<-2或03 B．-13 D．x<-1或04
【题型十二】反比例函数与一次函数的综合
6
【典例12】（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，一次函数y =kx+b与反比例函数y = 的图
1 2 x
象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为-3和2．
(1)求一次函数y =kx+b的表达式；
1
(2)直接写出当y >y 时，x的取值范围；
1 2
(3)如图，连接OA、OB，求△AOB的面积．k
【变式1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，一次函数y=k x+b的图象与反比例函数y= 2的图象
1 x
相交于A,B两点，直线AB与x轴交于点C，其中点A的坐标为(-1,4)，点B的坐标为(4,n)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点P在x轴上，连接AP,BP，若S =5，求点P的坐标；
△APB
k
(3)根据图象，直接写出满足k x+b> 2的x的取值范围．
1 x
1
【变式2】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数y= x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点．点
2
k
A(2,a)在直线BC上，反比例函数y= 的图象过点A，图象与直线BC在第三象限相交于点D，连接
x
OA、OD．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点D的横坐标为-6，
①求△AOD的面积；1 k
②请结合函数图象，直接写出不等式 x+2- <0的解集；
2 x
m
【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (x>0)
x
的图象交于A(1,4)，B(2,n)两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
【题型01 ：求比例系数k的符号/值】
【典例1】（24-25八年级·全国·单元测试）若函数 是反比例函数，则 ．
y=(k-1)x|k|-2 k=
【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）已知函数 是反比例函数，则 ．
y=(m-2)x|m|-3 m=
【题型02 ：k的几何意义应用】
6
【典例2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，AB∥x轴
xk
交反比例函数y= (x<0)的图象于点B，点P在x轴上，若S =4，则k的值为 ．
x △ABP
8
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，▱ABCO的顶点B在双曲线y= 上，顶点C在
x
k
双曲线y= 上，BC的中点P恰好落在y轴上，已知S =12，则k的值为 ．
x ▱OABC
【题型03 ：增减性判断】
k
【典例3】（24-25九年级上·吉林·期末）已知反比例函数y= ，若当x<0时，y随x的增大而增大，则k的
x
取值范围是 ．
1-m
【变式1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）反比例函数y= 图象经过A(-1,y )、B(3,y )，且
x 1 2
y >y ，那么m的取值范围是 ．
1 2
k
【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数y= 的图象经过点(2,3)，当x<-3时，y的
x
取值范围是 ．
【题型04 ：与一次函数综合题】
m
【典例4】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象
x
相交于A(-1,4)，B(a,-1)两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
m
(2)点P在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y= 的图象于点Q，且BQ=AP，连接
x
PQ．求四边形APQB的面积．
【变式1】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，直线y =3x+3与x轴交于点A，与反比例函数
1
k
y = (x>0)的图象交于点B(1,m)．
2 x
(1)求m、k的值．
(2)C是反比例函数图象上一点，连接AC，当∠CAO=45°时，求直线BC的解析式及△ABC的面积．
【变式2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分
y =kx+b(k≠0) x y
1
m
别交于点A，B，与反比例函数y = (x>0)的图象交于点C(1,2)，D(2,n)．
2 x(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)当y >y 时，直接写出x的取值范围．
1 2
(3)连接OC，OD，求△COD的面积；
(4)点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q，且PQ=3请直接写出点P的坐标．
【题型一】题型 1：求反比例函数解析式（基础必考题）
解题步骤(三步法)
k
x
1.定形式:根据题意设解析式为y = (k ≠ 0)
2.代坐标:将已知点代入解析式，得k (注意坐标符号，避免漏负号);
3.写解析式:将k的值代入，写出最终表达式(需验证k≠0，若k=0则不是反比例函数)。
题型 2：k的几何意义应用
1.判图形:识别题目中的图形(矩形、直角三角形、梯形等)，确认是否符合几何意义的适用条件(直角顶点
在坐标轴上)
1
|k|
2
2.列关系:根据图形面积与k的核心结论，列出等式(如S△= );3.求|k:解等式得|k|的值，再结合双曲线所在象限判断k的正负(第一、三象限k >0，第二、四象限k < 0
4.验结果:将k代入解析式，验证图形面积是否符合题意。
题型 3：增减性应用
1.判k号:由解析式或图象确定k的正负,
2.定象限:判断所求点所在的象限(根据z的符号或图象位置):
3.比大小/判增减:
（1）同一象限:用增减性直接比较
（2）不同象限:直接比正负
题型 4：与一次函数综合题
解题步骤(通用五步法)
1.求解析式:先根据已知条件求一次函数和反比例函数的解析式(若有未知参数):
2.联方程:联立两个函数解析式，消去y得关于x的方程);
3.求交点:解一元二次方程(注意x ≠ 0)，得交点横坐标，再代入任一函数求纵坐标;
4.判个数:通过判别式△判断交点个数(Δ>0-2个，=0-1个，△<0-0个)，同时注意k ≠ 0;
5.解不等式/求面积:
不等式:结合图象，按交点横坐标划分区间，判断每个区间内哪个函数图象在上方面积:用割补法转化为
规则图形(如三角形面积=底x高/2，底为两点水平距离，高为纵坐标差)。
题型 5：实际应用问题
解题步骤(四步法)
1.设变量:设两个相关变量x(自变量)、y(因变量)，明确其实际意义
k
x
2.列解析式:根据题意得y = :(k为定值)，再根据已知条件求k(代入一组实际数据);
3.解问题:根据题目要求求变量的值(如已知必求y，或已知y求必)
4.验实际:验证结果是否符合实际意义(如长度、时间、速度为正数，故x > 0、y> 0)
