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专题 06 反比例函数（6 知识&12 题型&4 易错&5 方法清单）【清单01】 反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
【清单02】 反比例函数的图象和性质
【清单03】 反比例函数图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象
限的角平分线．
【清单04】 反比例函数中系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个
1
2
垂足和原点为顶点的三角形的面积为 |k|.
（2）常见的面积类型：【清单05】 反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标
为（-a,-b）.
【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分 k＞0和
k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐
标，确定出解集的范围.
【清单06】 反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
【题型一】反比例函数的定义
【典例1】（24-25九年级上·河南·期末）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
x 6 1
A．y= B．y=- C．y=x2 D．y=
2 x x2
【答案】B
【分析】此题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据形如
k
y= (k≠0)的函数是反比例函数进行判断即可．
x【详解】解：选项B符合反比例函数的定义，A，C，D均不符合定义，
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（ ）
2024 x
A．y= B．y=-2024x-1 C．y= D．xy=-2024
x 2024
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键．
k
根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：y= (k≠0)或y=kx-1或xy=k的函数是反比例函数．
x
2024
【详解】解：A、y= 是反比例函数，故该选项不符合题意；
x
B、y=-2024x-1是反比例函数，故该选项不符合题意；
x
C、y= 不是反比例函数，故该选项符合题意；
2024
D、xy=-2024是反比例函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
6
【变式2】（2025·重庆·模拟预测）若点M(1,m)在反比例函数y=- (x≠0)的图象上，则m的值是（ ）
x
1 1
A．- B． C．-6 D．6
6 6
【答案】C
【分析】将点M(1,m)代入反比例函数解析式，直接计算m的值．
本题考查了图象过点求坐标问题，熟练掌握图象过点的意义是解题的关键．
6
【详解】解：因为点M(1,m)在反比例函数y=- 的图象上，
x
所以将x=1代入函数解析式，得：
6
y=- =-6
1
因此，m= y=-6，
故选：C．
k
【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数y= (k≠0)的图象经过点A(1,-2)，则k的值为
x
．
【答案】-2k
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把A(1,-2)代入y= (k≠0)得到结论．
x
k
【详解】解：∵函数y= (k≠0)的图象经过点A(1,-2)，
x
k
∴-2= ，
1
∴k=-2，
故答案为：-2．
【题型二】反比例函数系数K的几何意义
【典例2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）双曲线y ，y 在第一象限的图象如图所示，其中y ，y 的解
1 2 1 2
4 8
析式分别为y = ，y = ，过y 图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y 的图象于点B，交y轴于点
1 x 2 x 1 2
C，连接OA，OB．则△AOB的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关
8 4
系，由点B在y = 的图象上可得出S ，由点A在y = 的图象上可得出S ，再根据
2 x △BOC 1 x △AOC
S =S -S 即可求出答案．
△AOB △BOC △AOC
8
【详解】解： 点B在y = 的图象上，
2 x
∵
1
S = ×8=4，
△BOC 2
∴
4
点A在y = 的图象上，
1 x
∵1
S = ×4=2，
△AOC 2
∴
S =S -S =4-2=2，
△AOB △BOC △AOC
∴故选B
8
【变式1】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，过点A作AB⊥x轴于
x
点B，作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
k
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y= (k≠0)图象中任取一点，
x
过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．先判断四边形ACOB是
1
矩形，得出S = S ，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
△ABC 2 矩形ACOB
【详解】解∶∵AB⊥x轴， AC⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴四边形ACOB是矩形，
1
∴S = S ，
△ABC 2 矩形ACOB
8
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
x
∴S =8，
矩形ACOB
∴S =4，
△ABC
故选∶B．
k
【变式2】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点A为反比例函数y= (x<0)的图象上一点，过点A
x
作AB⊥y轴于点B，点C与点B关于x轴对称，连接AC．若△ABC的面积为16，则k的值为（ ）A．8 B．16 C．-8 D．-16
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，连接
1 1
OA，可得S = |k|，进而由轴对称可得S =S = |k|，即得S =|k|=16，再根据反
△AOB 2 △AOC △AOB 2 △ABC
比例函数的图象和性质即可求解，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接OA，
1
∴S = |k|，
△AOB 2
∵点C与点B关于x轴对称，
∴OB=OC，
1
∴S =S = |k|，
△AOC △AOB 2
∴S =|k|=16，
△ABC
∴k=±16，
k
∵反比例函数y= (x<0)的图象在第二象限，
x
∴k=-16，
故选：D．k
【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形AOBC的面积为6，反比例函数y= 的图象
x
的一支经过矩形对角线的交点P，则k= ．
3
【答案】
2
k
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象上任取一点，过这
x
一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．理解这个知识点后，可以构
造出这个矩形，求出这个矩形的面积就可知|k|的值，再根据图象所在象限即可求出k．过P点作
1 3
PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，根据矩形的性质得S = S = ，然后根据反比例函数
矩形OEPF 4 矩形AOBC 2
的比例系数k的几何意义求解．
【详解】解：如图所示，过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，
∵四边形AOBC为矩形，面积为6，P为对角线的交点，
1 1 3
∴S = S = ×6= ，
矩形OEPF 4 矩形AOBC 4 2
3
∴|k|= ，
2
又∵图象的一支在第一象限，
∴k>0，
3
∴k= ．
23
故答案为 ．
2
【题型三】反比例函数的图象
k
【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数y= 和一次函数y=kx+3(k≠0)在同一平面直角
x
坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图
象，解题关键是读懂图象信息．
根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与y轴交于(0,3)，再根据两个函数中k的值相同即可判断正
确答案．
【详解】解：∵一次函数与y轴交于(0,3)，
而A选项、C选项中一次函数均与y轴交于负半轴，
∴A选项、C选项错误；
又两个函数中k的值相同，
∴k>0时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限；
k<0时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限，
∴D选项错误，B选项正确．
故选：B．
1
【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）函数y=- +1的图象大致是（ ）
xA． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题
关键．
1
根据反比例函数的-1<0判断函数y=- 的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可
x
求解．
【详解】解：∵ -1<0，
1
∴函数y=- 图象经过第二、四象限，且y随x的增大而增大，
x
1 1
∴函数y=- +1的图象为函数y=- 的图象向上平移1个单位长度．
x x
故选：C．
k
【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数y= 与y=kx+1（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐
x
标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当k＞0时，当k＜0时，两种
情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案．k
【详解】解：当k＞0时，函数y= 的图象在第一、三象限，函数y＝kx+1在第一、二、三象限，
x
故选项C符合题意，选项D不符合题意；
k
当k＜0时，函数y= 的图象在第二、四象限，函数y＝kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B
x
不符合题意，
故选：C．
【变式3】（23-24九年级上·山东济南·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一
c
次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象在同一坐标系中大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查函数图象的知识，关键是掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质．先根据二次函数的图象确定系数a<0，c>0，b<0，然后判断出一次函数和反比例函数图象所在的象限
逐一判断即可．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
b
∵对称轴x=- <0，
2a
∴b<0，
c
∴直线y=ax+b过二、三、四象限，反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
x
故选A．
【题型四】 反比例函数图象的对称性
16
【典例4】（23-24九年级上·广东·期末）如图，已知反比例函数y = 与正比例函数y₁=kx(k≠0)的图象
2 x
交于点A(4,n)，则点B的坐标为 ．
【答案】(-4,-4)
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，解题的关键是利用反比例函数求出点A坐标，
再根据两函数图象的对称性确定点B坐标．
先将点A的横坐标代入反比例函数求出n，得到点A坐标，再依据反比例函数与正比例函数图象的对称
性（关于原点对称）求出点B坐标．
16
【详解】解：∵n= =4，
4
∴A(4,4)，
∵A、B两点关于原点对称，
∴B(-4,-4)，
故答案为：(-4,-4)．
【变式1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数k
y= (k≠0)的图象交于A，B两点，若点A的坐标为(-2,3)，则点B的坐标为 ．
x
【答案】(2,-3)
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过
原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是(-2,3)，
∴B点的坐标为(2,-3)．
故答案为：(2,-3)．
k
【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，正比例函数y=k x和反比例函数y＝ 2图象相交于
1 x
A、B两点，若点A的坐标是（2，1），则点B的坐标是 ．
【答案】（-2，-1）
【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关
于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A的坐标为（2，1），
∴B的坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数的对
称性．
k
【变式3】（24-25八年级下·浙江·期末）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(-3,4)，则图象必经过的
x
点是（ ）
A． (3,-4) B． (-3,-4) C． (-6,-2) D． (2,6)【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，先求出
比例系数k，再验证各选项是否满足函数解析式．
k k
【详解】解：将点(-3,4)代入反比例函数解析式 y= ，得：4= ，
x -3
∴k=4×(-3)=-12。
-12
因此，函数解析式为 y= ，
x
-12
A、代入 x=3，得 y= =-4，与点的纵坐标一致，符合条件；
3
-12
B、代入 x=-3，得 y= =4，与点的纵坐标-4不一致，不符合；
-3
-12
C、代入 x=-6，得 y= =2，与点的纵坐标-2不一致，不符合；
-6
-12
D、代入 x=2，得 y= =-6，与点的纵坐标6不一致，不符合．
2
故选：A．
【题型五】判断反比例函数图象所在象限
8
【典例5】（24-25九年级上·甘肃·期末）反比例函数y= 的图象不经过（ ）
x
A．第二、四象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第一、二象限
【答案】A
k
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y= (k是常数，k≠0)的图象是双曲线，
x
当k>0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当k<0，反比例函数图象的两个分支在第二、
四象限．
根据反比例函数的图象与性质作答即可．
【详解】解：∵k=8>0，
8
∴反比例函数y= 的图象经过第一、三象限，
x
8
∴反比例函数y= 的图象不经过第二、四象限，
x
故选：A．k2+1
【变式1】（22-23九年级上·广西梧州·期末）函数y= 的图象分布在（ ）
x
A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
根据平方非负性得到k2+1≥1>0，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在的象限．
【详解】解：∵k2≥0，
∴k2+1≥1>0，
k2+1
∴函数y= 的图象分布在第一、三象限，
x
故选：C．
【题型六】已知反比例函数的增减性求参数
m-1
【典例6】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若反比例函数y= 的图象在第二、四象限，则m的
x
取值范围是（ ）
A．m>1 B．m≥1 C．m<1 D．m≤1
【答案】C
k
【分析】考查反比例函数的图象性质．解题关键是明确“反比例函数y= ，当k<0时图象在第二、
x
四象限”；易错点是混淆k的正负所对应的象限．
m-1
首先反比例函数y= 中，k=m-1；其次由图象在第二、四象限，得k<0，即m-1<0；最后解
x
不等式得m<1．
m-1
【详解】∵反比例函数 y= 的图象在第二、四象限，
x
∴ m-1<0，
解得 m<1，
故选：C．
k-2
【变式1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）已知反比例函数y= 的图象在每一个象限内，y随x的增
x
大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】3（满足k>2即可）
k
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性问题，在反比例函数y= (k≠0)中，当k>0时，反比例
x函数的图象分布在第一和第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k<0时，反比例函数的
图象分布在第二和第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可．
k-2
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，
x
∴k-2>0，
∴k>2，
∴符合题意的k的值可以为3，
故答案为：3（满足k>2即可）．
k
【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点M(m,y )，N(m+1,y )在反比例函数y= (k是常
1 2 x
数)的图象上，当m>0时，y >y ，则k的取值范围是 ．
1 2
【答案】k>0
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得0y 得出反比例函数图象分
1 2
布在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
k
【详解】解：∵点M(m,y )，N(m+1,y )在反比例函数y= (k是常数)的图象上，且m>0，
1 2 x
∴0y ，
1 2
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴k>0，
故答案为：k>0．
2k-4
【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线y= 在每个象限内的函数值y随x的增大而减
x
小，则（ ）
A．k<4 B．k>4 C．k>2 D．k<2
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性得到2k-4>0，进行求解即可．
2k-4
【详解】解：∵双曲线y= 在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，
x
∴2k-4>0，
∴k>2；
故选：C．
【题型七】比较反比例函数值或自变量的大小k
【典例7】（22-23九年级上·山东济南·期末）若点(-1,y ),(1,y ),(2,y )在反比例函数y= (k<0)的图
1 2 3 x
象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 1
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出
y ，y ，y 的值，比较后即可得出结论．
1 2 3
【详解】解：当x=-1时，y =-k，
1
当x=1时，y =k，
2
k
当x=2时，y = ，
3 2
∵k<0，
k
∴-k>0> >k，
2
∴y >y >y ，
1 3 2
故选：A．
m+1
【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）若点A(x ,y )和点B(x ,y )在反比例函数y= 的图象
1 1 2 2 x
上，当x <0y ．则m的取值范围是 ．
1 2 1 2
【答案】m<-1
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可，
掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵当x <0y ，
1 2 1 2
∴反比例函数图象在第二，四象限，
∴m+1<0，
∴m<-1，
故答案为：m<-1．
5
【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点A(-2,y ),B(1,y ),C(2,y )在反比例函数y=
1 2 3 x
的图象上，则y ,y ,y 的大小关系为 ．（用“<”连接）
1 2 3
【答案】y 0，
5
∴反比例函数y= 的图象上位于第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
x
∵0<1<2，
∴y >y >0
2 3
∵-2<0，
∴y <0，
1
综上，y y >y /y 0,y >0,y <0，
1 2 3
∵x y >y ，
2 1 3
故答案为：y >y >y ．
2 1 3
【题型八】反比例函数的性质综合
6
【典例8】（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数y＝ ，在下列结论中，不正确的是
x
（ ）
3
A．图象必经过点(4, )
2B．图象过第一、三象限
C．若x<-1，则y<-6
D．点A(x ,y )、B(x ,y )是图象上的两点，x <00，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；
x
6
C．当x=-1时，y＝ =-6，因为反比例函数图象在每一个象限内y随x的增大而减小，所以若
-1
x<-1，则-60，所以图象过第一、三象限，即x、y同号，所以x <00)的性质是解决本题的关
x
键．
根据k2+1>0可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BC选项，
设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值．
【详解】解：A选项，∵k2+1>0，
∴可知函数图象位于第一、三象限，故该选项正确；C选项，∵该函数图象位于第一、三象限，
∴在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，故该选项错误；
B选项，∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，
又∵x =-1，则y <0，
1 1
又∵x =1y 时，x的取值范围．
1 2
【答案】(1)k=12；
(2)当y >y 时，x<-4或0y 时，x<-4或0300，
∴不能撬动这块石头．
【变式3】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现
的，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化，已知某段电磁
波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表：
频率f（MHz） 5 10 15 20 25 30
波长λ（m） 60 30 20 15 12 10
(1)选择合适的函数模型，求出波长λ(m)关于频率f (MHz)的函数表达式：
(2)嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于300MHz，求它的波长λ的取值范围．
300
【答案】(1)λ=
f
(2)波长λ取值范围为0<λ<1
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到f与λ成反比例函数关系是解题的
关键．
（1）观察表格可得f ·λ是一个定值，即f与λ成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解
即可；
300
（2）解方程 =300，由反比例函数的性质即可得解．
λ
【详解】（1）解：由表格可知，λ·f =300，
300
∴λ= ；
f
300
（2）解：∵λ= ，
f
当电磁波的频率为300MHz时，
300
∴λ= =1，
300
由反比例函数的性质知，当电磁波的频率大于300MHz时，0<λ<1，
答：波长λ取值范围为0<λ<1．
【题型十一】反比例函数与一次函数的交点问题
【典例11】（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与反比例函数
1m m
y = （m为常数且m≠0）的图象都经过A(-1,2),B(2,-1)，结合图象，则不等式kx+b< 的解集
2 x x
是（ ）
A．x<-1 B．-12
【答案】D
【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．
利用数形结合是解题的关键．
m
根据一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围便是不等式kx+b< 的解集．
x
m
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数y =kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y = （m为常数且
1 2 x
m≠0）的图象下方时，x的取值范围是：-12，
m
∴不等式kx+b< 的解集是-12
x
故选：D．
m
【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象
x
交于A(-2,1)，B(n,-2)两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是
（ ）
A．-21 D．x<-2或03 B．-13 D．x<-1或03时，-x+m< ，
x
故选：C．
k
【变式3】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y= (k≠0)交于点
x
k
A(-2,4)和点B(m,-2)，则不等式ax+b< 的解集是（ ）
x
A．-24
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形
相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
k
【详解】解：∵把A(-2,4) ，直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y= (k≠0)交于点A(-2,4)和点
x
B(m,-2)，
∴k=-2×4=-8，
8
∴反比例函数为：y=- ，
x
8
∴m=- =4，
-2
∴B(4,-2)，∴当-24时，直线在双曲线的下方，
k
∴不等式ax+b< 的解集是：-24．
x
故选：D．
【题型十二】反比例函数与一次函数的综合
6
【典例12】（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，一次函数y =kx+b与反比例函数y = 的图
1 2 x
象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为-3和2．
(1)求一次函数y =kx+b的表达式；
1
(2)直接写出当y >y 时，x的取值范围；
1 2
(3)如图，连接OA、OB，求△AOB的面积．
【答案】(1)y =x+1
1
(2)-32
(3)2.5
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用；
（1）先求解A(-3,-2)，B(2,3)，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可；
（2）由A(-3,-2)，B(2,3)，结合函数图象可得答案；
（3）如图，记AB与x轴的交点为D，求解D(-1,0)，结合S =S +S ，进一步求解即可．
△AOB △AOD △BOD
6
【详解】（1）解：∵一次函数y =kx+b与反比例函数y = 的图象相交于点A、B，交点A、B的横
1 2 x
坐标分别为-3和2，
6 6
∴y = =-2，y = =3，
A -3 B 2
∴A(-3,-2)，B(2,3)；
∴¿，解得：¿，
∴一次函数的解析式是y =x+1．
1
（2）解：∵A(-3,-2)，B(2,3)；
∴当y >y 时，x的取值范围为-32；
1 2
（3）解：如图，记AB与x轴的交点为D，
∵一次函数的解析式是y =x+1，
1
当y =0，则x+1=0，
1
解得：x=-1，
∴D(-1,0)，
1 1
∴S =S +S = ×1×2+ ×1×3=1+1.5=2.5．
△AOB △AOD △BOD 2 2
k
【变式1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，一次函数y=k x+b的图象与反比例函数y= 2的图象
1 x
相交于A,B两点，直线AB与x轴交于点C，其中点A的坐标为(-1,4)，点B的坐标为(4,n)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点P在x轴上，连接AP,BP，若S =5，求点P的坐标；
△APB
k
(3)根据图象，直接写出满足k x+b> 2的x的取值范围．
1 x
4
【答案】(1)反比例函数的表达式为y=- ，一次函数的表达式为y=-x+3
x(2)(5,0)或(1,0)
(3)x<-1或00)
x
的图象交于A(1,4)，B(2,n)两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
4
【答案】(1)一次函数的表达式为y=-2x+6，反比例函数的表达式为y=
x
(2)3
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据
数形结合思想求解是解题的关键．
（1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数；
（2）根据S =S -S ，只需根据一次函数求得的长度OC，即可解答．
△OAB △AOC △BOC
m
【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于A(1,4)，
x
B(2,n)两点，
∴m=1×4=2n，
∴m=4，n=2．
∴A(1,4)，B(2,2)，
则¿，
解得：¿，
4
∴一次函数的表达式为y=-2x+6，反比例函数的表达式为y= ．
x
（2）解：∵一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点C，
令y=0，则0=-2x+6，解得：x=3，
∴点C的坐标为(3,0)，
1 1
∴S =S -S = ×3×4- ×3×2=3．
△OAB △AOC △BOC 2 2【题型01 ：求比例系数k的符号/值】
【典例1】（24-25八年级·全国·单元测试）若函数y=(k-1)x|k|-2是反比例函数，则k= ．
【答案】-1
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答．
【详解】解：∵函数y=(k-1)x|k|-2是反比例函数，
∴¿，
解得：k=-1，
故答案为：-1．
【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）已知函数y=(m-2)x|m|-3是反比例函数，则m= ．
【答案】-2
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可求解，正确理解反比例函数的定
义是解题的关键．
【详解】解：∵函数y=(m-2)x|m|-3是反比例函数，
∴¿，
∴m=-2，
故答案为：-2．
【题型02 ：k的几何意义应用】
6
【典例2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，AB∥x轴
x
k
交反比例函数y= (x<0)的图象于点B，点P在x轴上，若S =4，则k的值为 ．
x △ABP【答案】-2
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．先得出
S =S =4，根据反比例函数k值的几何意义得出S =3，故|k|=2S =2，进行解答即
△PAB △OAB △OAC △OBC
可．
【详解】解：如图，连接OA，OB，记AB交y轴于点C，
∵AB∥x轴，S =4
△ABP
∴S =S =4，
△PAB △OAB
6
∵点A在反比例函数y= 图象上，
x
∴S =3，
△OAC
∴S =4-3=1，
△OBC
∴|k|=2S =2，
△OBC
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=-2
故答案为：-2
8
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，▱ABCO的顶点B在双曲线y= 上，顶点C在
x
k
双曲线y= 上，BC的中点P恰好落在y轴上，已知S =12，则k的值为 ．
x ▱OABC【答案】-4
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、平行四边形的面积．连接BO，过B点和C点分别
作y轴的垂线段BE和CD，证明△BEP≌△CDP(AAS)，则△BEP面积=△CDP面积； 易知
1 1
△BOE面积= ×8=4，△COD面积= |k|，由此可得 △BOC面积=△BPO面积+△CPD面积
2 2
1
+△COD面积=4+ |k|=6，解k即可，注意k<0．
2
【详解】解：连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，
∴∠BEP=∠CDP，
又∵∠BPE=∠CPD，BP=CP，
∴△BEP≌ △CDP(AAS)，
∴△BEP面积=△CDP面积，
8
∵点B在双曲线y= 上，
x
1
∴△BOE面积= ×8=4，
2
k
∵点C在双曲线y= 上，且k<0，
x1
∴△COD面积= |k|，
2
∵四边形ABCO是平行四边形，S =12，
平行四边形OABC
1
∴△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积+△COD面积=4+ |k|=6，
2
解得k=-4(正数舍去)，
故答案为：-4．
【题型03 ：增减性判断】
k
【典例3】（24-25九年级上·吉林·期末）已知反比例函数y= ，若当x<0时，y随x的增大而增大，则k的
x
取值范围是 ．
【答案】k<0
【分析】本题考查了反比例函数的性质，即反比例函数在不同象限内的增减性与比例系数k的关系．
解题的关键是牢记当k<0时，反比例函数在每个象限内y随x的增大而增大这一性质，并结合题目条
件确定k的取值范围．
k
熟知反比例函数y= 的增减性与k的关系．根据题目中x<0时y随x增大而增大的条件，匹配对应的
x
k的取值．
k
【详解】对于反比例函数y= （k为常数，k≠0），其性质为：
x
当k> 0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大．
题目中给出当x<0时，y随x的增大而增大，而x<0属于第二象限，符合k<0时反比例函数在对应象
限的增减性，所以k的取值范围是k<0．
1-m
【变式1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）反比例函数y= 图象经过A(-1,y )、B(3,y )，且
x 1 2
y >y ，那么m的取值范围是 ．
1 2
【答案】m>1
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象
限．
根据点A、B的坐标以及y >y ，判断出反比例函数图象所在的象限，进而得出关于m的不等式．
1 2
【详解】∵A(-1,y )，B(3,y )在同一反比例函数图象上，
1 2
∴点A，B分别在图象的两个分支上，∵-1<3，且y >y ，
1 2
1-m
∴反比例函数y= 图象只能分布在第二四象限，
x
∴1-m<0，
∴m>1．
故答案为：m>1．
k
【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数y= 的图象经过点(2,3)，当x<-3时，y的
x
取值范围是 ．
【答案】-20)的图象交于点B(1,m)．
2 x
(1)求m、k的值．
(2)C是反比例函数图象上一点，连接AC，当∠CAO=45°时，求直线BC的解析式及△ABC的面积．
【答案】(1)m=6，k=6
(2)y=-3x+9，S =6
△ABC
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法
求解函数解析式的方法和步骤．
（1）把B(1,m)代入y =3x+3，即可求出m的值，得出点B的坐标，再把点B的坐标代入
1
k
y = (x>0)，即可求出k的值；
2 x
（2）先求出A(-1,0)，则OA=1，过点C作CD⊥x轴于点D，得出AD=CD，设AD=CD=t，则
OD=(t-1)，求出t=3，则C(2,3)，用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-3x+9，进而得出
E(3,0)，最后根据S =S -S 即可解答．
△ABC △ABE △ACE【详解】（1）解：把B(1,m)代入y =3x+3得：m=3×1+3=6，
1
∴B(1,6)，
k k
把B(1,6)代入y = (x>0)得：6= ，
2 x 1
解得：k=6，
综上：m=6，k=6；
（2）解：把y=0代入y =3x+3得：0=3x+3，
1
解得：x=-1，
∴A(-1,0)，则OA=1，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CAO=45°，CD⊥x轴，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD，
设AD=CD=t，则OD=(t-1)，
∴C(t-1,t)，
6
由（1）可得：y =
2 x
6 6
把C(t-1,t)代入y = 得：t= ，
2 x t-1
解得：t =3,t =-2（舍去），
1 2
∴C(2,3)，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B(1,6)，C(2,3)代入得：
¿，
解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=-3x+9，
令直线BC与x轴相交于点E，
把y=0代入y=-3x+9得：0=-3x+9，
解得：x=3，
∴E(3,0)，
∴AE=4，
∴S =S -S
△ABC △ABE △ACE1 1
= AE⋅y - AE⋅y
2 B 2 C
1 1
= ×4×6- ×4×3=6．
2 2
【变式2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与x轴，y轴分
1
m
别交于点A，B，与反比例函数y = (x>0)的图象交于点C(1,2)，D(2,n)．
2 x
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)当y >y 时，直接写出x的取值范围．
1 2
(3)连接OC，OD，求△COD的面积；
(4)点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q，且PQ=3请直接写出点P的坐标．
2
【答案】(1)一次函数的解析式为y =-x+3，反比例函数的解析式为y = ；
1 2 x
(2)1y 即是一次函数y =kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y = (x>0)的图象上方时，对
1 2 1 2 x
应自变量x的取值，
m
∵一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y = (x>0)的图象交于点C(1,2)，D(2,n)．，
1 2 x
∴y >y 时，10，第二、四象限k < 0
4.验结果:将k代入解析式，验证图形面积是否符合题意。
题型 3：增减性应用
1.判k号:由解析式或图象确定k的正负,
2.定象限:判断所求点所在的象限(根据z的符号或图象位置):
3.比大小/判增减:
（1）同一象限:用增减性直接比较
（2）不同象限:直接比正负题型 4：与一次函数综合题
解题步骤(通用五步法)
1.求解析式:先根据已知条件求一次函数和反比例函数的解析式(若有未知参数):
2.联方程:联立两个函数解析式，消去y得关于x的方程);
3.求交点:解一元二次方程(注意x ≠ 0)，得交点横坐标，再代入任一函数求纵坐标;
4.判个数:通过判别式△判断交点个数(Δ>0-2个，=0-1个，△<0-0个)，同时注意k ≠ 0;
5.解不等式/求面积:
不等式:结合图象，按交点横坐标划分区间，判断每个区间内哪个函数图象在上方面积:用割补法转化为
规则图形(如三角形面积=底x高/2，底为两点水平距离，高为纵坐标差)。
题型 5：实际应用问题
解题步骤(四步法)
1.设变量:设两个相关变量x(自变量)、y(因变量)，明确其实际意义
k
x
2.列解析式:根据题意得y = :(k为定值)，再根据已知条件求k(代入一组实际数据);
3.解问题:根据题目要求求变量的值(如已知必求y，或已知y求必)
4.验实际:验证结果是否符合实际意义(如长度、时间、速度为正数，故x > 0、y> 0)
