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专题26.4 反比例函数与一次函数、实际问题的综合之四大考点
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断】........................................................................................1
【考点二 一次函数与反比例函数的交点问题】............................................................................................4
【考点三 一次函数与反比例函数的实际应用】............................................................................................6
【考点四 实际问题与反比例函数】................................................................................................................9
【过关检测】...........................................................................................................................................13
【典型例题】
【考点一 一次函数、二次函数与反比例函数图象综合判断】
例题：（2022秋·安徽六安·九年级校考期中）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
和反比例函数 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）已知二次函数 的图像如图，则一次函数
与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西宜春·校考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数 的图象
如右图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【考点二 一次函数与反比例函数的交点问题】
例题：（2023春·八年级课时练习）如图，反比例函数 与一次函数 相交于 ，
两点，若 ，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【变式训练】
1.（2023·浙江宁波·统考一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，
，当 时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
2.（2023春·广东云浮·九年级校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， ，当 时，x的取值范围是( )
A． B． C． 或 D． 或
【考点三 一次函数与反比例函数的实际应用】
例题：（2023春·浙江·八年级期末）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时
间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃
毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，
那么这次消毒是否有效？为什么？
【变式训练】
1.（2023春·全国·八年级阶段练习）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y
（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，
车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．(1)求部分双曲线 的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上 能否驾车
去上班？请说明理由．
2.（2023·山西晋中·统考二模）实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，
上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标
y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，其中当 时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点C，D所在反比例函数的表达式和直线 的表达式；
(2)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36，那么她最多可以讲______分
钟．
【考点四 实际问题与反比例函数】
例题：（2023春·八年级单元测试）当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M（使物体发生转动的力矩，
单位为 ）与发动机转数n（发动机曲轴的转动速度，单位为 ）存在一定的关系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转数n的数据如表：
n（
1.5 2 2.5 3 4
）
M（ ） 400 300 240 200 150
(1)以表中各组对应值为点的坐标，在如图直角坐标系中描出相应的点并用光滑曲线连结．
(2)能否用学过的函数刻画变量M和n的关系？如果能，请求出M关于n的函数表达式；（不必写出n的取
值范围）；如果不能，请说明理由．
(3)某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于 ，但不超过 ，求此场景中该发动机转
数n的取值范围．
【变式训练】
1.（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）已知 ， 的长和 边上的高 分别是 和 ，
它的面积是 ．
(1)求出 与 之间的函数关系式；
(2)若自变量的取值范围是 ，求 的最大值和最小值．
2.（2023·山东临沂·统考二模）如图，某人对地面的压强 （单位： ）与这个人和地面接触面积
（单位： ）满足反比例函数关系．(1)图像上点A坐标为 ，求函数解析式和这个人的体重．
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为 ，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
(3)如果某一沼泽地面能承受的最大压强为 ，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于
下陷（木板的质量忽略不计）？
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·河北保定·统考一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 （单位： 变化时，气
体的密度 （单位： 随之变化．已知密度 与体积 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正
确的是（ ）A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是
C．当 时， D．当 时，
2．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 （k是常数，
且 ）与反比例函数 的图象交于 两点，则不等式 的解集是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
3．（2023秋·山东泰安·九年级校考期末）若函数 的图象如图所示，则函数
和 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A． B． C． D．
4．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装
有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 （如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数
换算为人的质量 ，已知 随着 的变化而变化（如图2）， 与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内， 越大， 越小 B．当 时， 的阻值为
C．当 时，踏板上人的质量为 D．若电压表量程为 ，为保护电压表，该电子
体重秤可称的最大质量是
二、填空题
5．（2023秋·甘肃白银·九年级统考期末）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，
且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现
在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了 度．
6．（2023秋·湖北·九年级校考周测）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强
是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的压强大于 时，气球将爆炸，
为了安全起见，气体的体积V的范围是 ．
7．（2023春·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）某品牌饮水机中原有水的温度为 ，通电
开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温 与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到
时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温 与开机时间x分成反比例关系），当水温降至
时，饮水机又自动开始加热，……，重复上述程序（如图所示），那么开机后100分钟时，水的温度
是 ．8．（2023春·河北沧州·九年级校考阶段练习）某标准游泳池的尺寸为长 米，宽 米，深度为3米，游
泳池蓄水能游泳时，水深不低于 米．
（1）游泳池的排水管每小时排水 立方米，那么将游泳池最低蓄水量排完用了 小时．
①写出 与 的函数关系式为 ；
②当 时， 的值为 ；
（2）在（1）的情况下，如果最低蓄水量排完不超过5小时，每小时排水量最少增加 立方米．
三、解答题
9．（2023·青海·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数 的图象
如图所示.
(1)求一次函数的解析式；
(2)当 时，直接写出不等式 的解集.
10．（2023秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气
体的压强 是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示．(1)求此函数的解析式；
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的压强大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，
所需天数 （单位：天）与每天完成的工程量 （单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线
的一部分．
(1)请根据题意，求 关于 的函数解析式；
(2)若该工程队有 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 ，则该工程队需用多少天才能完成此项任
务？
12．（2023秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度 （ ）随时间 （ ）变化的函数图象，其中
段是恒温阶段， 段是双曲线 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求 的值；
(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于 的时间有多少小时？
13．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）为了预防流感，某学校对教室采用药
薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间 成正比例，药物
燃烧后， 与 成反比例，如图所示，现测得药物 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量
为 ，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)分别求出药物燃烧时和药物燃烧后 关于 的函数关系式；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 且持续时间不低于 时，才能杀灭空气中的毒，
那么这次消毒是否有效？为什么？14．（2023秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）心理学家研究发现，一般情况下，一节课45分钟中，学生
的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力
保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 随时
间 （分钟）的变化规律如图所示（其中 ， 分别为线段， 轴， 为双曲线的一部分），其
中 段的关系式为 ．
(1)根据图中数据，求出 段双曲线的关系式；
(2)一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适
当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
15．（2023秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台
成本为5万元，设第 场产品的销售量为 （台），在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；
信息2：产品的每场销售单价 （万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第
5场浮动价与销售场次 成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次 成反比，经过统计，得到如下数据：
（场） 2 5 10
（万 1
7 7.5
元） 0
(1)求销售量 与销售场次 之间的函数关系式；
(2)求销售单价 与销售场次 之间的函数关系式；
(3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？16．（2023·河南·九年级统考自主招生）某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质
量，内部电路如图 所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数 已知电源电压 为 ，定值电阻
为 ，电阻 为力敏电阻，其阻值 与所受压力 符合反比例函数关系．
(1)请补全下面的表格，在图 中补全点，画出 与 的关系图象，并写出阻值 与压力
的函数关系式．
______ ______
(2)已知电路中电流 与电阻、电源电压的关系式 ，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到
量程的最大值 若电流表的量程为 ，则该台秤最大可称多重的物体？
(3)已知力敏电阻受压力 与所测物体的质量 的关系为 若力敏电阻阻值的变
化范围为 ，则所测物体的质量 的变化范围是______ ．
