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第 19 讲 导数的概念及其运算
1. 导数的几何意义
(1) 函数y＝f(x)在x＝x 处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线的斜率k，即k＝f′(x)．
0 0 0 0
(2) 曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′ ( x )( x － x ) .
0 0 0 0 0
2. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α是实数) f′(x)＝ α x α － 1
f(x)＝sinx f′(x)＝ co s x
f(x)＝cosx f′(x)＝ － si n x
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝ a x l n a
f(x)＝lnx f′(x)＝
f(x)＝log x(a＞0，a≠1) f′(x)＝
a
3. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则：
(1) [f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
(2) [f(x)·g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
(3) ′＝ (g(x)≠0)．
4. 复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝ f ′ ( g ( x )) · g ′ ( x ) .
5. 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t)表示物体在t＝t 时刻的 瞬时速度 ; 设v＝v(t)是速度函数，则v′
0 0
(t)表示物体在t＝t 时刻的 瞬时加速度 .
0 0
1、【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)
【解析】∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，
设切点为(x ,y ),则y =(x +a)ex 0,切线斜率k=(x +1+a)ex 0,
0 0 0 0 0
切线方程为：y−(x +a)ex 0=(x +1+a)ex 0(x−x ),
0 0 0∵切线过原点，∴−(x +a)ex 0=(x +1+a)ex 0(−x ),
0 0 0
整理得：x2+ax −a=0,
0 0
∵切线有两条，∴∆=a2+4a>0,解得a<−4或a>0,
∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞),
故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)
2、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
1 1
【答案】 y= x y=− x
e e
【解析】
解： 因为y=ln|x|，
1 1
当x>0时y=lnx，设切点为(x ,lnx )，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y−lnx = (x−x )，
0 x 0
0
1 1 1
又切线过坐标原点，所以−lnx = (−x )，解得x =e，所以切线方程为y−1= (x−e)，即y= x；
0 x 0 0 e e
0
1 1
当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x ,ln(−x ))，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
1 1 x x=x 1 x
1
1
y−ln(−x )= (x−x )，
1 x 1
1
1 1
又切线过坐标原点，所以−ln(−x )= (−x )，解得x =−e，所以切线方程为y−1= (x+e)，即
1 x 1 1 −e
1
1
y=− x；
e
1 1
故答案为：y= x；y=− x
e e
3、【2021年甲卷理科】曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
由题，当 时， ，故点在曲线上．求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
4、【2020年新课标1卷理科】函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B.
5、【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为
（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
6、【2019年新课标3卷理科】已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
：
，
将 代入 得 ，故选D．
1、下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确．故选：D．
2、若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
．
故选：C．
3、(2022·珠海高三期末)若函数f(x)＝ln x＋的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝
________．
【答案】 －1
【解析】 由题意，得f′(x)＝，则f′(1)＝1－a，所以(1－a)·＝－1，解得a＝－1.
4、函数y＝x sin x－cos x的导数为______________________．
【答案】 y′＝2sin x＋x cos x
【解析】 y′＝sin x＋x cos x＋sin x＝2sin x＋x cos x.
5、（2022·福建·莆田二中模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为______．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以切线的斜率为 ，
所以所求的切线方程为 ，即 ，
故答案为:
6、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为______．
【答案】
【解析】 ，则曲线 在 处的切线斜率 ，
∴切线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
考向一 基本函数的导数
例1、求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；(4)y＝xsincos.
【解析】 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
变式1 已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上
述条件的一个函数 .
【答案】f(x)＝x3＋2x－(答案不唯一)
【解析】 可令f′(x)＝x2＋2，满足f′(x)＋2x>0，则f(x)＝x3＋2x＋C，f(1)＝＋2＋C＝1，
故C＝－，f(x)＝x3＋2x－.
变式2 求下列函数的导数：
(1) f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；
(2) f(x)＝ln.
【解析】（1） f′(x)＝(x2＋2x－1)′e1－x＋(x2＋2x－1)(e1－x)′
＝(2x＋2)e1－x＋(x2＋2x－1)(－e1－x)
＝(－x2＋3)e1－x.
【解析】（2） 因为f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)，
所以f′(x)＝[ln(x－1)－ln(x＋1)]′＝－＝.变式3、求下列函数的导数：
(1) f(x)＝x3＋x sin x；
(2) f(x)＝x ln x＋2x;
(3) f(x)＝excos x；
(4) f(x)＝.
【答案】 (1) f′(x)＝3x2＋sin x＋x cos x.
(2) f′(x)＝ln x＋3.
(3) f′(x)＝ex cos x－ex sin x.
(4) f′(x)＝.
方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求
导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内
逐层求导，必要时可换元
考向二 求导数的切线方程
例2、（1）（2022·河北衡水中学一模）已知 为偶函数，且当 时， ，则
在 处的切线方程为______．
（2）（2022·福建·三模）已知 是定义在 上的函数，且函数 是奇函数，当 时，
，则曲线 在 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1） ；（2）【答案】D
【详解】（1）设 ， ，因为函数是偶函数，
所以 ，
当 时， ， ， ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 .故答案为：（2）令 ，因为 为奇函数，故 ，
故 即 .
即 ，
当 时， ，
故 ，
故 时， ，
此时 ，故 ，而
故切线方程为： ，
故选：D.
变式1、 (1) 若函数f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程；
(2) 求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程；
(3) 若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值．
【解析】 (1) 因为f(x)＝2，x≥0，所以f′(x)＝.
因为f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与 2x＋y－4＝0垂直，
所以f′(a)＝＝，解得a＝4，所以f(a)＝2×＝4，
所以切线的方程为y＝(x－4)＋4，
即x－2y＋4＝0.
(2) 因为f(x)＝x3－x＋3，
所以f′(x)＝3x2－1.因为f(2)＝9，所以点P不在曲线f(x)上，
设切点为(x，f(x))，
0 0
则切线方程为y＝(3x－1)(x－x)＋x－x＋3.
0 0
因为切线过点P(2，5)，
所以5＝(3x－1)(2－x)＋x－x＋3，
0 0
即2x－6x＋4＝0，
解得x＝1±或x＝1，
0 0
所以切线方程为y＝2x＋1或y＝(11－6)x＋12－17或y＝(11＋6)x－17－12.
(3) 因为y＝x3，所以y′＝3x2.
因为y＝ax2＋x－9，所以y′＝2ax＋.
因为过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切，
设切点为(x，x)，所以切线方程为y＝3x(x－x)＋x.
0 0代入(1，0)，得3x(1－x)＋x＝0，
0
解得x＝0或x＝，所以切线方程为y＝0或y＝＋.
0 0
设直线与曲线y＝ax2＋x－9相切于点(x，ax＋x－9)，
1 1
则切线方程为y＝(x－x)＋ax＋x－9＝x－ax－9.
1 1
①若切线方程为y＝0，
则解得
②若切线方程为y＝＋，
即y＝x－，
则解得
综上所述，实数a的值为－或－1.
变式2、（2022·广东深圳·二模）已知 ，若过点 可以作曲线 的三条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设切点为 ，切线方程为 ，由 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时 取得极大值，当 时 取得极小值，即 ，
，
依题意 有三个零点，所以 且 ，即
；
故选：B
方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x ，y)处的切线与“过”点P(x ，y)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x ，
0 0 0 0 0
y)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x )，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过
0 0
点P(x ，y)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
0 0
考向三 导数几何意义的应用
例3、（1）已知函数 是 的导函数，则过曲线 上一
点 的切线方程为__________________．
（2）：若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为________．
【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 (2)－e
【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f′()＝3－2sin ＋2cos ＝1.由y＝x3得y′＝3x2，
当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)．
故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
当P点不是切点时，设切点为(x，x)，∴切线方程为y－x＝3x(x－x)，
0 0
∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－x＝3x(1－x)，
0
∴2x－3x＋1＝0，∴2x－2x－x＋1＝0，∴(x－1)2(2x＋1)＝0，∴切点为 ，
0 0
∴此时的切线方程为 ，
综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
(2)设切点为(x，xln x)，
0 0 0
由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，得切线的斜率k＝ln x＋1，
0
故切线方程为y－xln x＝(ln x＋1)(x－x)，整理得y＝(ln x＋1)x－x，与y＝2x＋m比较得
0 0 0 0 0 0
解得x＝e，故m＝－e.
0
变式1、（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数 ，则函数
___________.
【答案】
【解析】由题意得 ，且 ，
令 ，得 ，故
故答案为：变式2、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ，则 __________.
【答案】-2
【解析】由函数 求导得： ，当 时， ，解得
，
因此， ，所以 .
故答案为：-2
方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，
进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
1、（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的切线
的倾斜角为 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
因为曲线在M处的切线的倾斜角 ，
所以 对于任意的 恒成立，
即 对任意 恒成立，
即 ，又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故 ，
所以a的取值范围是 ．
故选：D．
2、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知 的一条切线 与f（x）有且
仅有一个交点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设切点为 ， ， ，
所以切线方程为 ，
由 ，
得
，
整理得 ，
切线 与f（x）的图象有且仅有一个交点，所以 ， ，
所以切线方程为 ，所以 ，
故选：A．
3、（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】设切点为 ， ，
曲线 在切点 处的切线方程为 ，
整理得 ，所以 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．故 ，
则 的取值范围是 ．
故选：C.
4、（2022·广东汕头·二模）已知函数 ，若过点 存在3条直线与曲线 相切，则
t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设切点 ，
因为 ，
则 ， ，
所以切线方程为 ，
因为切线过点 ，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以当 时，函数取得极小值 ，当 时，函数取得极大值 ，
因为存在3条直线与曲线 相切，
所以方程有三个不同根，则 ，
故选：D
5、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知f (x)=cos x，g (x) = x，则关于x的不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】由题可得 ，即 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
∴原不等式的解集为 .
故答案为：
6、（2022·山东·模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 ___________.
【答案】3
【解析】对 求导，得 ，设切点为 ，则 ，解得 ，
故答案为：3.
