文档内容
第 19 讲 空间距离、二面角与空间向量
真题展示
2022 新高考一卷第 19 题
如图，直三棱柱 的体积为4，△ 的面积为 ．
（1）求 到平面 的距离；
（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正
弦值．
知识要点整理
知识点一 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP在直线l
上的投影向量为AQ＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
知识点二 点P到平面α的距离设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为
(如图)．
思考 怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案 两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一
条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个
平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．
知识点三 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大
于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点四 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
设两异面直线 l ，l 所成的角为θ，其方
两条异面 1 2
直线所成 向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，
的角 v〉|＝
直线与平 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线
面所成的 AB的方向向量为u，平面α的法向量为
角 n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β
两个平面
的法向量分别为n ，n ，则cos θ＝|cos
1 2
的夹角
〈n ，n 〉|＝
1 2
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表
示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立
空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的
放矢，化解自如．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝BC＝1，AA＝，则异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为( )
1 1 1 1 1 1 1
A. B. C. D.反思感悟 本例以长方体为背景，求异面直线所成角．显然可以是从长方体中的共点的三条棱互相垂直关
系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹
角即可．
二、利用线面垂直关系
例2 如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AB⊥平面BBC C，E为棱C C的中点，已知AB＝，BB ＝2，BC
1 1 1 1 1 1 1
＝1，∠BCC ＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
1
反思感悟 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅
速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有 0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的
垂直关系“AB⊥平面BBC C”，可作为建系的突破口．
1 1
三、利用面面垂直关系
例3 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，
BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．反思感悟 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系．
四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
例4 如图所示，已知平行六面体ABCD－ABC D 的底面为正方形，O，O分别为上、下底面的中心，且
1 1 1 1 1
A 在底面ABCD上的射影是O.
1
(1)求证：平面ODC⊥平面ABCD；
1
(2)若点E，F分别在棱AA，BC上，且AE＝2EA，问点F在何处时，EF⊥AD?
1 1
反思感悟 依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系．三年真题
1．直三棱柱 中， ，D为 的中点，E为 的中点，
F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
2．如图，四面体 中， ，E为 的中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
3．如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，
，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．4．如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
5．在四棱锥 中， 底面 ．(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
6．如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ，
M，N分别为 ，AC的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
7．如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
8．如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．9．在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
10．如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
11．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，
M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
12．如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， 为 的中点，且
．（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
13．已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，
D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?三年模拟
1．如图，将长方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，其中 ，劣弧 的长为
为圆 的直径.
(1)在弧 上是否存在点 （ 在平面 的同侧），使 ，若存在，确定其位置，若不存
在，说明理由；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.2．如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 是正方形， .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小.
3．如图，已知四棱锥 的底面 是菱形，平面 平面 ， 为 的
中点，点 在 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，且 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.4．在三棱柱 中， 平面 ， ，点E为AB的中点且 ．
(1)证明： 平面MEC；
(2)P为线段AM上一点，若二面角 的大小为 ，求AP的长．
5．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 是棱 的中点，
且 平面(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
6．如图，多面体 中，四边形 为菱形， 平面 ，且
.
(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小.
7．在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形， ， ， ，
， 是等边三角形．现将 沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥 （如图2）且 ．
(1)求证：平面 平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足 ，求二面角 的余弦值．
8．在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形， ， ， ，
， 是等边三角形．现将 沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥 （如图2）
且 ．
(1)求证：平面 平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足 ，求二面角 的余弦值．9．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， 底面AB ，且
分别为 中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值.
10．如图，在三棱柱 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面 为菱形，
点 在底面上的投影为AC的中点 ，且 ．(1)求证： ；
(2)求点 到侧面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ？若存在，请求出
的长；若不存在，请说明理由．
11．已知三棱台 的体积为 ，且 ， 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正弦值.12．在四棱锥 中， ， ， ， ， 平面 ， 与
平面 所成角 ，又 于 ， 于 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
13．如图，已知 为圆锥 底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上， ， ， 平
分 ，D是 上一点，且平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值.14．如图，在长方体 中，已知 ，E为BC中点，连接 ，F为线段
上的一点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
