文档内容
专题 12 反比例函数
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：反比例函数........................................................................................................................................2
考点二：反比例函数的图象与性质................................................................................................................2
考点三：k的几何意义及拓展.........................................................................................................................3
考点四：自变量取值范围................................................................................................................................6
考点五：求一次函数与反比例函数的交点坐标............................................................................................7
模块二：题型分类....................................................................................................................................................7
考点一：反比例函数的相关概念....................................................................................................................7
题型一：用反比例函数描述数量关系..................................................7
题型二：判断反比例函数...........................................................10
题型三：根据反比例函数的定义求字母的值...........................................13
考点二：反比例函数的图象与性质..............................................................................................................15
题型一：判断反比例函数图象.......................................................15
题型二：反比例函数点的坐标特征...................................................19
题型三：已知反比例函数图象，判断其解析式.........................................25
题型四：由反比例函数解析式判断其性质.............................................29
题型五：由反比例函数图象分布象限，求k值.........................................30
题型六：判断反比例函数经过象限...................................................33
题型七：已知反比例函数增减性，求参数的取值范围...................................35
题型八：已知反比例函数增减性，求k值.............................................39
题型九：由反比例函数的性质比较大小...............................................41
题型十：求反比例函数解析式.......................................................45
题型十一：与反比例函数有关的规律探究问题.........................................48
考点三：反比例系数k的几何意义...............................................................................................................60
题型一：一点一垂线...............................................................60
题型二：一点两垂线...............................................................66
题型三：两点一垂线...............................................................68
题型四：两点两垂线...............................................................72
题型五：两点和原点...............................................................75
题型六：两曲一平行...............................................................81
考点四：反比例函数与一次函数综合..........................................................................................................94
题型一：一次函数图象与反比例函数图象综合.........................................94
题型二：一次函数与反比例函数交点问题.............................................99
题型三：一次函数与反比例函数综合应用............................................105
考点五：反比例函数的实际应用................................................................................................................117
题型一：行程问题................................................................117
题型二：工程问题................................................................118
题型三：物理问题................................................................120
题型四：分段问题................................................................130
题型五：几何问题................................................................135专题 12 反比例函数
模块一：基础知识
考点一：反比例函数
k
反比例函数的概念：一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可
x
以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx−1 （k≠0）的形式.
反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数y，等号右边是一个分式；
②k≠0；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
考点二：反比例函数的图象与性质
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线
的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心
图象特征
为原点．
表达 k
y= （k为常数，k≠0）
x
式
图象
性
k>0 k<0
质
经过 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
象限
增减 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
性
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;
对称 ②图象关于直线y=x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支
性 上;
③图象关于直线y=−x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一
支上.
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
反 比 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
例 函
k
数 解 1）设反比例函数的解析式为y= （k为常数，k≠0）；
x
析 式
的 确
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
定 方
法 3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点
的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
考点三： k 的几何意义及拓展一、一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形
1
面积为 |k|.
2
y y y y
x x x x
O O O O
y y y y
x x x x
O O O O
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC)
y y
y
A A
A
C
C E
E
x x
x
C
O B D O B D O B
结论：S =S S =S S =|k|
△AOB △COD △AOE 四边形CEBD △AOC
二、一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为|k|.
y
A
x
O B
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】
y
y y
A
A E A
E D
C C
F F
G G
x x x
O B D O B D O C E B结论：S =S S =S S ▱ =|k|
矩形ABOE 矩形CDOF 矩形AEFG 矩形CGBD ABCD
三、两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|
k|，
y
y
A B A
x
O x
O
B
C
C
结论：S =2S =|k|
△ABC △ABO
【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所
分的两个三角形面积之和．
k
如左图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
x
1 1 1
则S =S +S = co•|y|+ co•|y|= co(|y|+|y|)
△AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
y y
A A
C
C x x
O O
B B
k
如右图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
x
1 1 1
则S =S +S = co•|x|+ co•|x|= co(|x|+|x|)
△AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于
2|k|y y y y
x x x x
O O O O
五、两点和原点
y y y
C C
A A C A D
B B B
M
x x x
O D O E F D O F
方法一 方法二 方法三
方法一：S ＝S －S －S ．【分割】
△AOB △COD △AOC △BOD
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S ＝S ，则S ＝S ．
△OAM 四边形MEFB △AOB 直角梯形AEFB
方法三：S ＝S －S －S 【补形】
△AOB 四边形COFD △AOC △BOF.
1
方法四：S ＝S －S ＝ OD•（|y|-|y|）
△AOB △AOD △BOD 2 A B
1
方法五：S ＝S －S ＝ OC•（|x|-|x|）
△AOB △BOC △AOC 2 B A
【拓展】
y
C A D
B
M
x
O E F
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S ＝m|k|．
四边形OADB
方法二：作AE⊥x轴于E，则S ＝S （类型一）．
△OAB 直角梯形AEFB
六、两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
y y = k2/x y y = k2/x y y = k2/x
y = k1/x y = k1/x y = k1/x
x x x
O O O
1 1
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝ |k1|- |k2|
阴影 阴影 2 2
y y = k2/x y y = k2/x
D B
y = k1/x C y = k1/x
F
x x
O O E A
结论：S ＝|k1|-|k2| S ＝|k1|-|k2|- S
阴影 阴影 直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
y = k2/x y = k2/x
y = k2/x y y
y
A B A
A B D
y =k1/x y =k1/x
y =k1/x
x x
x
D O C B O C
C O
1
结论：S ＝S ＝ (|k1|+|k2|) S ＝|k1|+|k2|
△AOB △ACB 2 阴影
考点四：自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2
时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，
x>x x y2时，x的取值范围为 A或 B ；同理，当y10，
x
∴反比例函数图像经过第一象限和第三象限，
故选：A．
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数y= (k≠0)，当
x
k>0时，图象经过第一象限和第三象限；当k<0时，图象经过第二象限和第四象限．3.下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
3 −3 3
A．y=− B．y= C．y= D．3xy=2
x 2x x−1
【答案】C
k
【分析】根据反比例函数解析式y= (k≠0)判断求解．
x
k
【详解】解：根据反比例函数解析式y= (k≠0)，知
x
3
A. y=− ，符合定义，本选项不符合题意；
x
3
−
B. −3 2，符合定义，本选项不符合题意；
y= =
2x x
3
C. y= ，不符合定义，本选项符合题意；
x−1
2
D. 3xy=2，得 3，符合定义，本选项不符合题意．
y=
x
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键．
5 3
4.若函数y= (x>0)和函数y=− (x<0)在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是
x x
（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
【答案】B
【分析】根据反比例函数k的取值分析即可得到答案．
【详解】解：∵5>0，−3<0，
5 3
∴ y= (x>0)的图象在第一象限，y=− (x<0)的图象在第二象限，
x x∵5>|−3|，
3
∴函数y=− (x<0)的图象更靠近坐标轴，
x
∴坐标系的纵轴是：y ，
2
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
1
5.用绘图软件绘制直线l:y= x+1，直线与坐标轴的交点分别为A，B，其中B不在可视范围内．视窗
10
的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点O始终在视窗中心．若使点B在可视范围之内，需要将图中
1 k
坐标系的单位长度至少变为原来的 （k为整数），则y= (x>0)的图象是（ ）
k x
A． B． C． D．
【答案】B
1
【分析】已知的可视范围是−3≤x≤3,−2≤ y≤2，根据l:y= x+1得到B(−10,0)，可视范围是
10
3
≥10
−10≤x≤10，故1 ，求k的最小整数解即可．
k
【详解】∵已知的可视范围是−3≤x≤3,−2≤ y≤2，
1
根据l:y= x+1得到B(−10,0)，
10
∴可视范围是−10≤x≤10，3
≥10
∴1 ，
k
1
解得k≥3
3
故k的最小整数解为k=4，
故选B．
【点睛】本题考查了可视范围问题，正确确定可视范围变化范围是解题的关键．
1
6.函数y＝ 的大致图象是（ ）
x+1
A． B． C． D．
【答案】D
1 1
【分析】y＝ 的大致图象是由y＝ 向左平移1个单位得到，由此即可判断；
x+1 x
1 1
【详解】解：y＝ 的大致图象是由y＝ 向左平移1个单位得到，
x+1 x
1
∵y＝ 的图象是双曲线，图象在一、三象限，
x
1
∴函数y＝ 的大致图象是D．
x+1
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，掌握平移的法则是解题的关键．
题型三：根据反比例函数的定义求字母的值
1.已知函数 ．
（1）当m为何值时，y是x的正比例函数？ （2）当m为何值时，y是x的反比例函数？
【答案】(1)1; (2)0
【知识点】正比例函数的定义、根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键．
（1）根据正比例函数的定义得到 ，且 ；（2）根据正比例函数的定义得到 ，且 ；
（1）解：∵函数 是正比例函数，
∴ ，且 ，解得 ．
（2）解：∵函数 是反比例函数，
874184586
∴ ，且 ，解得 ．
即当 时，y是x的反比例函数．
2.若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0
【答案】A
【解答】解：由题意得，|m|﹣5＝﹣1，且m+4≠0，
解得：m＝4．
故选：A．
3.已知函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，则m的值是 ．
【答案】±2
k
【分析】根据反比例函数的定义：形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的
x
值．
【详解】∵函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，
∴m+1≠0，m2−5=−1，
∴m=±2，
故答案为：±2
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
k
4.已知反比例函数y＝ 的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为 ．
x
【答案】3
【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k及mn的值．k
【详解】解：把点（1，3）代入y＝
x
得k=3
3
故反比例函数的解析式为y=
x
3
把点（m，n）代入y= 得mn=3故答案为：3
x
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解决
本题的关键．
2
5.已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=− 的图象上，则m= ．
x
【答案】2
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值．
2
【详解】解：∵点A(−2,m−1)在反比例函数y=− 的图象上，
x
∴−2×(m−1)=−2，
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与
解析式的关系是解题的关键．
k−1
6.如果反比例函数y= 的图象经过点(−2,1)，则k的值是（ ）
x
A．1 B．−2 C．−1 D．3
【答案】C
【分析】把点(−2,1)的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可．
k−1
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象经过点(−2,1)，
x
k−1
∴1= ．解得k=−1．故选：C．
−2
【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键．
考点二：反比例函数的图象与性质
题型一：判断反比例函数图象
a
y (a 0)
1.一次函数y axa与反比例函数 x 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
a
y (a 0)
【解析】当a 0时，a0，则一次函数y axa经过一、三、四象限，反比例函数 x
经过一 、三象限，故排除A，C选项；
a
y (a 0)
当a0时，a 0，则一次函数y axa经过一、二、四象限，反比例函数 x 经过二、四
象限，故排除B选项，故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解
决本题的关键．
2..当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到函数关系式为ab=S（常数），于是得到a、b是成反比例的量，根据函数关系式
即可得到结论．
S
【详解】解：由长方形的面积公式得，a= ，且b>0，
b
故C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
3.如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ= y
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，得到∠ABC=∠ACB=80°，推出
∠ABP=∠ACQ=100°，根据∠PAQ=100°推出∠PAB+∠CAQ=80°，根据三角形的外角等于不
相邻的两内角的和，得到∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°，推出∠AQC=∠PAB，推出
△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．
【详解】∵△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=80°
∴∠ABP=∠ACQ=100°
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°
∴∠PAB+∠CAQ=80°
∵∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°
∴∠AQC=∠PAB
∴△APB∽△QAC
PB AB x 2
∴ = ，即 = ．
AC QC 2 y
4
则函数解析式是y= ．
x
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函数等，熟练掌握等腰三角形性质，三角形
外角性质，相似三角形判定与性质，反比例函数图形与性质，是解决本题的关键．
4.在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且
∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF= y，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平行四边形的性质得到S =S ，然后证明出△AEF∽△BFC，然后利用相
△ABD △BCD
似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S =S ，
△ABD △BCD
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴CF=AE=2，∠AEF=∠BFC=90o，
∵∠CBF=∠EAF，∠AEF=∠BFC，
∴△AEF∽△BFC，
EF AE
∴ = ，
CF BF
x 2
∴ = ，
2 y
4
∴y= ，
x
∴y与x的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出
△AEF∽△BFC．
2 2
5.参照学习函数y= 的过程与方法，探究函数y= (x≠2)的图象与性质．
x x−2
1 3 5 7
x … −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 …
2 2 2 2
2 4 4 2 4 1 2 1
y= … −1 −2 ■ 4 2 1 …
x 3 5 3 7 2 5 3
2 1 2 4 2 1
y= … − − −1 m −2 −4 ■ 4 2 1 …
x−2 2 3 3 3 2m=
(1) __________________．
2
(2)请画出函数y= (x≠2)的图象；
x−2
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
2 2
②y= 的图象是由y= 的图象向__________平移__________个单位长度而得到的；
x−2 x
③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
4
【答案】(1)−
3
(2)见解析
(3)①减小；②右；2；③(2,0)
1 2
【分析】（1）把x= 代入函数y= (x≠2)即可解答；
2 x−2
（2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．
1 2
【详解】（1）解：把x= 代入y= ，
2 x−2
2
y=
得 1 ，
−2
2
4
∴m=− ，
3
4
故答案为− ；
3
（2）函数图象如图所示：（3）解：①当x<2时，y随x的增大而减小；
2 2
②y= 的图象是由y= 的图象向右平移2个单位长度而得到的；
x−2 x
③图象关于点(2,0)中心对称；
故答案为：①减小；②右；2；③(2,0)．
【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合
得到函数性质．
题型二：反比例函数点的坐标特征
2
1.下列各点在反比例函数y= 图象上的是（ ）
x
A．(−1,2) B．(2,−1) C．(1,3) D．(−1,−2)
【答案】D
【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在
函数图象上，反之则不在．
2 2
【详解】A．当x=−1时，y= = =−2≠2，故该选项不正确，不符合题意；
x −1
2 2
B．当x=2时，y= = =1≠−1，故该选项不正确，不符合题意；
x 2
2 2
C．当x=1时，y= = =2≠3，故该选项不正确，不符合题意；
x 1
2 2
C．当x=−1时，y= = =−2，故该选项正确，符合题意；
x −1
故选：D．
【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键．
7
2.互不重合的两点A(x ,y )，B(x ,y )皆落于反比例函数y= 图象上，当直线AB与第二象限角平分线
1 1 2 2 x
垂直时，x ⋅x 的值等于（ ）
1 2A．−1 B．1 C．−7 D．7
【答案】C
【分析】由直线AB与第二象限角平分线垂直可知A、B关于直线y=−x对称，即有x =−y ，x =−y ，
1 2 2 1
再根据两点均在反比例函数图象，可得x ⋅y =x ⋅y =7，问题随之得解．
1 1 2 2
【详解】解：根据题意A、B关于直线y=−x对称，
∴x =−y ，x =−y ，
1 2 2 1
7
∵互不重合的两点A(x ,y )，B(x ,y )皆落于反比例函数y= 图象上，
1 1 2 2 x
∴x ⋅y =x ⋅y =7，
1 1 2 2
∴x ⋅x =x ⋅(−y )=−x y =−7，
1 2 1 1 1 1
故选：C．
【点睛】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据A、B关于直线y=−x对称，得出
x =−y ，x =−y ，是解答本题的关键．
1 2 2 1
k
3.在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y= (k≠0)的图象交于A(x ,y )，B(x ,y )两点，
x 1 1 2 2
则y + y 的值是 ．
1 2
【答案】0
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得y + y
1 2
k
【详解】∵一次函数y=2x与反比例函数y= (k≠0)的图象交于A(x ,y )，B(x ,y )两点，
x 1 1 2 2
k
一次函数y=2x与反比例函数y= (k≠0)的图象关于原点对称，
x
∴ y + y =0
1 2
故答案为：0
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键．
k
4.下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y= 的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）
x
( 1 ) (3 )
A．(1,6) B． − ,12 ， C．(−2,−3) D． ,4
2 2
【答案】B
【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是
否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．【详解】解：A、k=1×6=6，
1
B、k=− ×12=−6，
2
C、k=(−2)×(−3)=6，
3
D、k= ×4=6，
2
( 1 )
∴不在这个函数图象上的点是 − ,12 ，
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等
于比例系数．
4
5.如图，直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，若A(2，m)，则点B的坐标为（ ）
x
A．(2,2) B．(−2,−1) C．(−2,−2) D．(−1,−4)
【答案】C
【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可．
4
【详解】解：∵直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，
x
∴点A和点B关于原点对称，
4 4
把A(2，m)代入到y= 中得：m= =2，
x 2
∴A(2，2)，
∴B(−2，−2)，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B
关于原点对称是解题的关键．
m
6.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y= 交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y ,y ，
x 1 2
则y + y 的值为 ．
1 2【答案】0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴y + y =0，
1 2
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点
对称这个特点即可解题.
7.如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别
4 k
在反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象上，则k的值为 ．
x x
【答案】12．
AE OE OA √3
【分析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过 AOE∽△BOF，得到 = = = ，
OF BF OB 3
△
4 4 4√3
设A(m,− )，于是得到AE=-m，OE=− ，从而得到B( ,√3m)，，于是求得结果．
m m m
【详解】解：过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，
∵∠AOB=90°，∠ABC=30°，
OA √3
∴tan30°= = ，
OB 3
∵∠OAE+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
∴ΔAOE∽ΔBOF，
AE OE OA √3
∴ = = = ，
OF BF OB 3
4
设A(m,− )，
m
4
∴AE=−m，OE=− ，
m4√3
∴OF=√3AE=−√3m，BF=√3OE=− ，
m
4√3
∴B( ,√3m)，
m
4√3
∴k= ·√3m=12．
m
故答案为12．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线
和利用三角函数进行解答.
2 6
8.如图，函数y＝ （x＞0）、y＝ （x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，
x x
在B部分的是（ ）
A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）
【答案】C
2 6
【分析】根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足 ＜y＜ ，对其变形，
x x
得2＜xy＜6，然后将选项A、B、C、D的坐标值别代入进行对比，符合要求的即是答案.
2 6
【详解】根据题意可知，在B部分的点的坐标满足 ＜y＜ ，
x x
对其变形，得2＜xy＜6.
选项A，（1，1），xy=1，不符合要求；
选项B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；
选项C，（3，1），xy=3，符合要求；
选项D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.故选C.
【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题
的关键.
−2
9.已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y= 的图象的一个交点坐标为(1,m)，则另
x
一个交点的坐标为 ．
【答案】(−1,2)
【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称．
−2
【详解】∵已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y= 的图象的一个交点坐标为
x
(1,m)，
−2
∴m= =−2
1
∴交点坐标为(1,−2)
∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点(1,−2)关于原点对称，
∴该点的坐标为(−1,2)．
故答案为：(−1,2)．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点
对称是解题的关键．
k
10.已知直线y=2x与双曲线y= 相交于A，B两点．若点A(2,m)，则点B的坐标是 ．
x
【答案】(−2,−4)
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：将A(2,m)带入到y=2x中，得m=4，则A(2,4)
∵点A和点B关于原点对称
∴点B坐标为(−2,−4)．
故答案为：(−2,−4)．
【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
k+6
11.已知直线y=kx与双曲线y= 的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是 ．
x
【答案】（-2，-4）
k+6
【分析】根据交点的横坐标是2，得到 =2k，求得k值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图象
2
的中心对称性质，确定另一个交点坐标即可．【详解】∵交点的横坐标是2，
k+6
∴ =2k，
2
解得k=2，
8
故函数的解析式为y=2x，y= ，
x
当x=2时，y=4，
∴交点坐标为（2，4），
根据图象的中心对称性质，
∴另一个交点坐标为（-2，-4），
故答案为：（-2，-4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图象的中心对称问题，熟练掌握交点的
意义，灵活运用图象的中心对称性质是解题的关键．
题型三：已知反比例函数图象，判断其解析式
1.如图所示，其函数解析式可能是（ ）
6 3
A． y=2x2 B．y= C．y=− D． y=3x
x x
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴k>0，
6
∴可能是y= ，
x
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
k
2.反比例函数y= （k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
xA．5 B．12 C．−5 D．−12
【答案】C
【分析】根据图象，当x=−3时，y<3，则0>k>−9；当x=2时，y<−2，则k<−4，所以−9k>−9，
−3
k
当x=2时，y<−2，即 <−2，则k<−4，
2
∴−90）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
x
OA⊥AB，则k的值为 ．
【答案】8
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得 AOM∽△BAN，即可得到关于k
的方程，解方程即可求得． △
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BAN=∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
AM OM
∴ = ，
BN AN
k
∵点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
x
k
∴A（2， ），B（k，1），
2
k k
∴OM=2，AM= ，AN= -1，BN=k-2，
2 2
k
2 2
∴ = ，
k−2 k
−1
2
解得k=2（舍去），k=8，
1 2
∴k的值为8，
故答案为：8．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解
题的关键．
5.在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)，若ab>0，则称点P为“同号点”．若某函数图象上不存在“同
号点”，其函数表达式可以是 ．
1
【答案】y=− （答案不唯一）
x
【分析】根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案．
【详解】解：∵对于点P(a,b)，若ab>0，则称点P为“同号点”．
而某函数图象上不存在“同号点”，
∴函数图象不在第一，第三象限，
1
∴其函数表达式可以是y=− ；
x
1
故答案为：y=− ．
x
【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别
是解本题的关键．
k
6.反比例函数y＝ 的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在
x
函数y＝x+5上，则k的值可能为（ ）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
【答案】B【分析】由一次函数的解析式求得A、B的坐标，然后根据图象得到关于k的不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：∵点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，
∴a+5＝1，b＝﹣2+5，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴A（﹣4，1），B（﹣2，3），
由图象可知，¿，
解得﹣6＜k＜﹣4，
∴k的值可能为﹣5，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数与一次函数的综合，反比例函数图象等知识．解题的关键在
于根据A、B的位置与反比例函数的关系列不等式组．
题型四：由反比例函数解析式判断其性质
5
1.已知反比例函数y=− ，则下列描述正确的是（ ）
x
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交
(3 5)
D．图象必经过点 ，−
2 3
【答案】C
k
【分析】根据反比例函数y= (k≠0)的图象性质进行逐项分析即可作答．
x
5
【详解】解：A、∵y=− ，∴k=−5<0，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意；
x
5
B、∵y=− ，∴k=−5<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
x
5
C、反比例函数y=− 的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意；
x
−5 2 10
3 y= =−5× =− (3 10)
D、当x= 时，则 3 3 3 ，∴函数图象经过点 ，− ，故选项D不符合题意；
2 2 3
2
故选：C．
k
【点睛】本题考查了反比例函数y= (k≠0)的图象性质，当k>0，反比例函数经过第一、三象限；当
xk<0，反比例函数经过第二、四象限；难度较小．
k
2.关于反比例函数y= (k≠0)的图象与性质，下列结论中不正确的是（ ）
x
A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限
C．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点
D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质，判断作答即可．
k
【详解】解：由反比例函数的图象与性质可知，y= (k≠0)的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，
x
A正确，故不符合要求；
当k<0时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求；
k
联立方程得，¿，即 =kx+b，整理得，kx2+bx−k=0，
x
∴△=b2+4k2>0，
∴该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点，C正确，故不符合要求；
当k>0时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值y随x的增大而减小，D错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判根式．解题的关键在于对知识的熟
练掌握与灵活运用．
题型五：由反比例函数图象分布象限，求k值
1.若反比例函数y=(2m−1)xm2−2的图像在第二、四象限，则m的值是（ ）
1
A．−1或1 B．小于 的任意实数 C．−1 D．不能确定
2
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．
【详解】解：∵y=(2m−1)xm2−2是反比例函数，
∴¿，
解之得m=±1．
又因为图象在第二，四象限，
所以2m-1＜0，1
解得m＜ ，即m的值是-1．
2
故选：C．
k
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数y= （k≠0）．k＞0，反比例函数在一、
x
三象限；k＜0，反比例函数在第二、四象限内．
k
2.在平面直角坐标系中，反比例函数y= (k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
x
A．−2 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】由题意可得：k的取值应该满足2 ，
2故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函
数的性质解答．
3−2a
4.若数a使关于x的不等式组¿有且仅有三个整数解，且使关于x的反比例函数y＝ 经过一，三象限，
x
则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】解关于x的不等式组，根据整数解得个数确定a的取值范围，再根据反比例函数的性质，进一步
确定a的取值范围，得出整数a的值，进而计算其和即可．
【详解】解：解不等式组得，
5+2a
＜x≤3，
11
又∵不等式组仅有三个整数解，
5+2a
∴0≤ ＜1，
11
5
∴﹣ ≤a＜3，
2
3-2a
又∵反比例函数y＝ 经过一，三象限，
x
∴3﹣2a＞0，
3
∴a＜ ，
2
5 3
∴﹣ ≤a＜ ，
2 2
因此整数a为﹣2，﹣1，0，1，
所以所有满足条件的整数a的值之和为﹣2，
故选：B．
【点睛】反比例函数的性质、一元一次不等式组的整数解，熟练并正确解不等式组是关键
k k k
5.反比例函数y = 1，y = 2，y = 3在同一坐标系中的图象如图所示，则k ，k ，k 的大小关系为
1 x 2 x 3 x 1 2 3
（ ）A．k >k >k B．k >k >k C．k >k >k D．k >k >k
3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质．k<0时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限
内，y随x的增大而增大；k＞0时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减
小．先根据函数图象所在的象限判断出k 、k 、k 的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例
1 2 3
函数的取值．
k k k
【详解】解：由图知，y = 3的图象在第三象限，y = 1，y = 2的图象在第四象限，
3 x 1 x 2 x
∴k <0，k <0，k >0，
1 2 3
又当x=1时，有k k >k ．
3 2 1
故选：C．
题型六：判断反比例函数经过象限
k
1.知点M(2,a)在反比例函数y= 的图象上，其中a，k为常数，且k>0﹐则点M一定在（ ）
x
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据反比例函数中的k>0，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点
M所在的象限，即可解答
【详解】解：∵k>0，
k
∴反比例函数y= 的图象经过第一、三象限，
x
故点M可能在第一象限或者第三象限，
∵M(2,a)的横坐标大于0，
∴M(2,a)一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的
象限与k值的关系是解题的关键．k
2.如果反比例函数y= （k是常数，且k≠0）的图象经过点A(1,−2)，那么这个反比例函数的图象在第
x
象限．
【答案】二、四
k
【分析】将点A(1,−2)代入y= 求出k的值，再根据反比例函数的性质，即可进行解答．
x
k k
【详解】解：将点A(1,−2)代入y= 得：−2= ，
x 1
解得：k=−2，
∵k=−2<0，
∴这个反比例函数的图象在第二、四象限．
故答案为：二、四．
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数y= (k≠0)，当k<0时，图
x
象经过二、四象限；当k>0时，图象经过一、三象限．
k
3.已知反比例函数y= （k≠0），当x y ，那么一次
1 1 2 2 x 1 2 1 2
函数y=kx+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据当x y ，得知k>0，再根据一次函数y=kx+2的图象性质即可作答．
1 2 1 2
k
【详解】解：∵A(x ,y )，B(x ,y )是反比例函数y= (k≠0)图象上的两点，当x y ，
1 1 2 2 x 1 2 1 2k
∴y= (k≠0)经过第一、三象限，即k>0，
x
那么一次函数y=kx+2的图象经过第一、二、三象限，
所以一次函数y=kx+2的图象不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象性质，正确掌握反比例函数图象以及一次函
数图象性质是解题的关键．
k−2
5.当k>2时，反比例函数y= 的图象位于（ ）
x
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
【答案】B
【分析】求出k−2>0即可根据反比例函数图象与系数的关系求出答案．
【详解】解：∵k>2，
∴k−2>0，
k−2
∴反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
x
故选B．
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数y= (k≠0)
x
的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四
象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
6
6.下列函数图象中，可能是反比例函数y= 的图象的是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据反比例函数的图象性质进行判断．
6
【详解】解：由k=6>0，可知反比例函数y= 的图象在一、三象限．
x
A. 反比例函数的图象在一、二象限．故选项A不符合题意；
B. 反比例函数的图象与坐标轴相交，错误．故选项B不符合题意；C. 反比例函数的图象在一、三象限．正确，故选项C符合题意；
D. 反比例函数的图象在二、四象限．错误，故选项D不符合题意；
故选：C．
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y= 的图
x
象是双曲线，当k>0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k<0时，它的两个分支分别位于第二、
四象限．
题型七：已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
3−m
1.在反比例函数y= 的图像在某象限内，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
x
A．m>−3 B．m<−3 C．m>3 D．m<3
【答案】D
【分析】直接利用反比例函数增减性得出m的取值范围即可．
3−m
【详解】解：根据题意，反比例函数y= 的图像在某象限内，y随着x的增大而减小，
x
则有3−m>0，解得m<3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
1
2.已知点A(a,y ),B(a+1,y )在反比例函数y= 的图象上，且y −3 C．a≤−3 D．a<−3
【答案】D
k
【分析】根据反比例函数y= 中，当k<0时函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
x
a+3
故反比例函数y= 中，得出a+3<0，求出a的取值范围即可．
x
a+3
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
x
∴a+3<0，
解得：a<−3．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握根据反比例函数的增减性求参数范围是解题的关键．
3m+1
4.在反比例函数y= 图象上有两点A(x ,y )，B(x ,y )，y <0x ，则有（ ）
x 1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
A．m≤− B．m>− C．m≥− D．m<−
3 3 3 3
【答案】D
【分析】先根据y <0x ，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可．
1 2 1 2
3m+1
【详解】解：∵在反比例函数y= 图象上有两点A(x ,y )，B(x ,y )，y <0x ，
x 1 1 2 2 1 2 1 2
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∴3m+1<0，
1
解得m<− ．
3
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数的图象在二、四
象限是解答此题的关键．
k
5.若点(m−1,y )和(m+1,y )在y= (k>0)的图象上，若y >y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 x 1 2
A．m>1或m<−1 B．−10，
k
∴y= 图象在第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小，
x
∵m−11，∴综上所述：m的取值范围是m>1或m<−1，
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键正确掌握反比例函数的性质和增减性．
3k−2
6.若反比例函数y= 在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（ ）
x
1
A．−1 B．0 C． D．1
2
【答案】D
【分析】根据反比例函数的增减性可得3k−2>0，即可求解．
3k−2
【详解】解：∵反比例函数y= 在每个象限内，y随x的增大而减小，
x
∴3k−2>0，
2
解得：k> ，
3
∴k的值可能是1．
故选：D
k
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y= (k≠0)，当k>0时，图象位
x
于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限内，在每一
象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
题型八：已知反比例函数增减性，求k值
k
1.已知反比例函数y= (k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k= ．
x
【答案】6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每
个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
k k
2.已知函数y = ,y =− (k>0)，当1≤x≤3时，函数y 的最大值为a，函数y 的最小值为a−4，则k
1 x 2 x 1 2
＝ ．
【答案】2
【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出k与a的关系，进而得出答案．
k
【详解】解：∵函数y = (k>0)，当1≤x≤3时，函数y 的最大值为a，
1 x 1
∴x=1时，y=k=a，
−k
∵y = (k>0)，当1≤x≤3时，函数y 的最小值为y=a−4，
2 x 2
∴当x=1时，y=−k=a−4，
∴k=4−a，
故a=4−a，
解得：a=2．
则：k=4−2=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k与a的关系是解题关键．
k
3.已知反比例函数y= (k≠0)的图象在每个象限内y随x的增大而增大，且当1≤x≤3时，函数y的最大值
x
和最小值之差为4，则k的值为 ．
【答案】−6
【分析】根据题意得出k<0，进而根据当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，列出方程，即
可求解．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
x
∴k<0，
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
k k −2k
∴ − = =4，
3 1 3
解得：k=−6，
故答案为：−6．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
k
4.已知反比例函数y= (k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k= ．
x
【答案】6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；
∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每
个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
题型九：由反比例函数的性质比较大小
2025
1.已知点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y=− 的图像上，且x ＜0＜x ，则下列结论一定正
1 1 2 2 x 1 2
确的是（ ）
A．y + y ＜0 B．y + y ＞0 C．y ＜y D．y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【分析】根据反比例函数图像与性质即可得到答案．
2025
【详解】解：∵ y=− 的k=−2025<0，
x
2025
∴反比例函数y=− 的图像在第二、四象限，
x
2025
∵点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y=− 的图像上，且x ＜0＜x ，
1 1 2 2 x 1 2
∴y >0>y ，
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数中k与图像的象限关系是解决问题的关键．4
2.已知点(x , y )、(x , y )、(x , y )都在反比例函数y= 的图象上，若x <0y >0，y <0，
2 3 1
∴y |x |，则下列结论一定正
1 1 2 2 x 1 2 1 2
确的是（ ）
A．y + y >0 B．y ⋅y >0 C．y + y <0 D．y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
6
【详解】解：y= 的k=6>0，
x
6
∴反比例函数y= 的图象在第一、三象限，
x
6
∵A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，x <0|x |，
1 1 2 2 x 1 2 1 2
∴y <00，
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中k与图象的象限关系是解决问题的关键．
k2+1
4.若点A(−2,y )、B(−1,y )、C(1,y )都在反比例函数y= （k为常数）的图象上，则
1 2 3 xy 、y 、y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y 0可知，此函数图象在第一、三象限，根据
反比例函数的性质即可判定．
【详解】解：∵k2+1>0，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴A(−2,y )、B(−1,y )在第三象限内，C(1,y )在第一象限内，
1 2 3
∵−1>−2，
∴y >y ，
1 2
∴y b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到−(k2+1)<0，则可以判断图象的位于二四象限，再根
据点的纵坐标，判断出具体象限，再根据纵坐标比较出横坐标的关系，即可得到答案．
【详解】解：∵ −(k2+1)<0
∴在各自象限内，y随x的增加而增加
∵ −10，bc>b
故选：B．
k
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲
x
线，掌握反比例函数的性质是解答此题的关键．
11
6.若点A(x ，y )、B(x ，y )、C(x ，y )是反比例函数y=− 图象上的点，且x |x |，则下列结论一定正
1 1 2 2 x 1 2 1 2
确的是（ ）
A．y + y >0 B．y ⋅y >0 C．y + y <0 D．y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
6
【详解】解：y= 的k=6>0，
x
6
∴反比例函数y= 的图象在第一、三象限，
x
6
∵A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，x <0|x |，
1 1 2 2 x 1 2 1 2
∴y <00，
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中k与图象的象限关系是解决问题的关键．k
8.已知反比例函数y= 的图象在第一、第三象限内，设函数图象上有两点A(x ,y )、B(x ,y )，若
x 1 1 2 2
x y B．y y ，
1 2 1 2
②当0y ，
1 2 1 2
③当x <00，则y y >0 B．若x x <0，则y y <0
1 2 2 3 1 2 1 3
C．若x x <0，则y y >0 D．若x x >0，则y y <0
1 3 2 3 1 3 2 3
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，当k<0时，图象过二四象限，再根据x 0时，不能判断x 符号，选项错误，不符合题意；
1 2 3
B、当x x <0时，则x <00 时，不能判断x 符号，选项错误，不符合题意；
1 3 2
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
题型十：求反比例函数解析式
k
1.已知A(−1,p)与B(2,p−3)是反比例函数y= 图象上的两个点，则k的值为 ．
x
【答案】−2
【分析】根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
k
【详解】解：∵A(−1,p)与B(2,p−3)是反比例函数y= 图象上的两个点，
x
∴(−1)⋅p=2⋅(p−3)，
解得p=2．
∴k=−1×2=−2
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解题的关键．
k
2.在反比例函数y= (k≠0)的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2−kx+9是一个完全平
x
方式，则该反比例函数的解析式为 ．
6
【答案】y=
x
【分析】根据反比例函数的性质得到k>0，再根据完全平方式求得k值即可求解．
k
【详解】解：∵在反比例函数y= (k≠0)的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
x
∴k>0，
∵整式x2−kx+9是一个完全平方式，
∴−k=±2×3=±6，
∴k=6，
6
∴该反比例函数的解析式为y= ，
x
6
故答案为：y= ．
x
【点睛】本题考查反比例函数的性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构特征和反比例函数的性质是
解答的关键．k
3.若反比例函数y= 的图象过点(−2,a)、(2,b)，且a−b=−6，则k= ．
x
【答案】6
k k
【分析】可得− =a， =b，代入a−b=−6，即可求解．
2 2
【详解】解：由题意得
k k
− =a， =b，
2 2
∵ a−b=−6，
k k
∴ − − =−6，
2 2
解得：k=6；
故答案：6．
【点睛】本题考查了函数图象上点的意义，求反比例函数系数k,理解意义是解题的关键．
k
4.反比例函数y= 的图象上有一点P(a，b)，且a、b是方程t2−t−2=0的两根，则k= ．
x
【答案】−2
k
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=−2，然后根据点P(a，b)在反比例函数y= 的图
x
象上求出k=−2即可．
【详解】解：a、b是方程t2−t−2=0的两根，
则有ab=−2，
k
又∵点P(a，b)在反比例函数y= 的图象上，
x
∴ab=k，
∴k=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握
b c
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x ，x ，满足x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
k
5.反比例函数y= (k≠0)的图象经过(a,2)，(a+1,1)、(b,6)三点，则b的值为 ．
x
1
【答案】
3
【分析】根据反比例函数的定义得出a=1，进而即可求解．k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过(a,2)，(a+1,1)
x
∴2a=(a+1)×1
解得：a=1，
∴k=2
2
∴反比例数解析式为y= ，
x
2 1
将点(b,6)代入得，6= ，解得：b= ，
b 3
1
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，求得反比例函数的解析式是解题的关键．
k
6.如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比例函数y= (k≠0)的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴
x
于点B，AO=3BO，求反比例函数的解析式．
4
【答案】y=−
x
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直
线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．
【详解】解：∵直线y=−x+3与y轴交于点A，
当x=0时，y=3
∴A(0,3)，即OA=3，
∵AO=3BO，
∴OB=1，
∴点C的横坐标为−1，
∵点C在直线y=−x+3上，
∴点C(−1,4)，
k
将C(−1,4)代入y= (k≠0)，
xk
∴4= ，
−1
∴k=−4，
4
∴反比例函数的解析式y=− ．
x
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解
题的关键．
题型十一：与反比例函数有关的规律探究问题
( √3) √3
1.如图，点B 1, 在直线l :y= x上，过点B 作A B ⊥l 交直线l:y=√3x于点A ，以A B 为边
1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1
k
在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，过C 的反比例函数为y= 1；再过点C 作A B ⊥l ，分别交
1 1 1 1 1 1 x 1 2 2 1
直线l 和l 于A ,B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，过C 的反比例函数为
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
k
y= 2，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的k = ．（用含n的代数式表示）
x n
2√3 (9) n−1 2√3 (3) 2n−2
【答案】 × 或 ×
3 4 3 2
3 n−1 2√3
【分析】l 与l 的夹角30°，利用直角三角形求出OB =( ) × , C 的横坐标
1 2 n 2 3 n
3 n−1 3 n−1 2√3
OB •cos30°=( ) , C 的纵坐标2OB •sin30°=( ) × , 即可求解；
n 2 n n 2 3
√3
【详解】解：直线l :y= x 与x轴夹角为30°，
2 3
直线l :y=√3x与x轴夹角为60°，
1
∴l 与l 的夹角30°，
1 2
∵A B ⊥l ，
1 1 1∴∠OB A =60°,
1 1
∵等边三角形A B C ，
1 1 1
∴B C ⊥x轴，
1 1
√3
∵B (1, ),
1 3
2√3
∴OB = ,
1 3
√3
∴B C = ,
1 1 3
2√3
∴C (1, ),
1 3
2√3
∴k = ,
1 3
2√3 √3
∴OB = + =√3,
2 3 2
√3
∴A B =OB sin30°= ,
2 2 2 2
3
∴B 的横坐标OB •cos30°= ,
2 2 2
√3
B 的纵坐标OB •sin30°= ,
2 2 2
3
∴C ( ,√3),
2 2
3√3
∴k = ,
2 2
3 n−1 2√3 3 n−1
以此得到OB =( ) × , C 的横坐标OB •cos30°=( ) ,
n 2 3 n n 2
3 n−1 2√3
C 的纵坐标2OB •sin30°=( ) × ,
n n 2 3
3 n−1 3 n−1 2√3 2√3 3 2n−2
∴k =( ) ×( ) × = ×( ) ,
n 2 2 3 3 22√3 3 2n−2
故答案为 ×( ) .
3 2
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象及性质，锐角三角函数值，平面内点的坐标特点；能够通
过直角三角形中30°的特点，求出边的关系是解题的关键．
2.如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P 在反比例
1 1
k
函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，再
x 1 1 1 1 2 2
过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
2 1 2 2 1 2 3 3
（1）点P 的坐标为
2
（2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 19
【答案】
(
2，
1) ( 218
，
1 )
2 218
【分析】（1）先根据题意得出P 点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P ，P ，P
1 2 3 4
的坐标，找出规律可得出P 的坐标；
n
（2）根据（1）中的规律可得答案．
k
【详解】解：（1）∵正方形OAP B的边长为1，点P 在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
1 1 x
∴P （1，1），
1
∴k=1，
1
∴反比例函数的解析式为：y= ，
x
∵B 是P A的中点，
1 1
1
∴P A =AB = ，
2 1 1 2
∴OA =2，
1
( 1)
∴P 2， ．
2 2( 1)
故答案为： 2， ．
2
（2）由（1）的解同理，得P ( 22 ， 1 ) ，P ( 23 ， 1 ) …
3 22 4 23
∴P ( 2n−1 ， 1 ) ，
n 2n−1
当n=19时，P ( 218 ， 1 ) ．
19 218
故答案为：
( 218
，
1 )
．
218
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是找出规律．
4
3.如图，在反比例函数y= 的图象上有A(2,m)、B两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于
x
1
点C、D，已知BD= AC，点F 是CD的中点，连接AF 、BF ，得到△AF B；点F 是DF 的中点，
2 1 1 1 1 2 1
连接AF 、BF ，得到△AF B；……按照此规律继续进行下去，则△AF B的面积为 ．
2 2 2 n
（用含正整数n的式子表示）
2n+1
【答案】
2n
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出A(2,2)，得到AC=2，
OC=2，BD=1，进而求出B(4，1)，得到OD=4，则CD=2，根据梯形面积公式求出S =3，
四边形ACDB
1 3 1 7 1
再分别求出S =1，S = S = ，S = ，S = ，S = ，进而得到规
△ACF 1 △BDF 1 2 △ACF 2 2 △BDF 2 4 △ACF 3 4 △BDF 3 82n−1 1 2n+1
律S = ，S = ，则S =S −S −S = ．
△ACF n 2n−1 △DCF n 2n △AF n B 四边形ACDB △ACF n △BDF n 2n
4
【详解】解：∵A(2,m)在反比例函数y= 的图象上，
x
4
∴m= =2，
2
∴A(2,2)，
∵AC⊥x轴，
∴AC=2，OC=2
1
∴BD= AC=1，
2
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
4 4
在y= 中，当y= =1时，x=4，
x x
∴B(4，1)，
∴OD=4，
∴CD=2，
AC+BD
∴S = ⋅CD=3，
四边形ACDB 2
∵点F 是CD的中点，
1
1
∴CF =DF = CD=1，
1 1 2
1 1 1 1 1
∴S = AC⋅CF = ×1×2=1，S = BD⋅DF = ×1×1= ，
△ACF 1 2 1 2 △BDF 1 2 1 2 2
∵点F 是DF 的中点，
2 1
1 1 1
∴DF = DF = CD= ，
2 2 1 4 2
3 3
∴CF =CD−DF = CD= ，
2 2 4 2
1 3 1 1
∴S = AC⋅CF = ，S = BD⋅DF = ，
△ACF 2 2 2 2 △BDF 2 2 2 4
∵F 为CF 的中点，
3 2
1 1 1
∴DF = DF = CD= ，
3 2 2 8 47
∴CF =CD−DF = ，
3 3 4
1 7 1 1
∴S = AC⋅CF = ，S = BD⋅DF = ，
△ACF 3 2 3 4 △BDF 3 2 3 8
……，
2n−1 1
以此类推可知，S = ，S = ，
△ACF n 2n−1 △DCF n 2n
2n−1 1 3⋅2n−2⋅2n+2−1 2n+1
∴S =S −S −S =3− − = = ，
△AF n B 四边形ACDB △ACF n △BDF n 2n−1 2n 2n 2n
2n+1
故答案为： ．
2n
4.如图，四边形OP AB ，APAB ，APAB ，……，A PAB 都是正方形，对角线OA ，AA，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 n-1 n n n 1 1 2
AA，……，A A 都在y轴上（n≥1的整数），点P（x，y），P（x，y），……，P（x，y）在反
2 3 n-1 n 1 1 1 2 2 2 n n n
k
比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B （-1,1）.
x 1
k
（1）求反比例函数y= 的解析式；
x
（2）求点P 和P 的坐标；
2 3
（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出： PB O的面积为 ，点P 的坐标为______（用含
n n n
n的式子表示）. △
1
【答案】（1）反比例函数的解析式为y= ；（2）点P 的坐标为（√3-√2，√3+√2）；（3）1，（√n-
x 3
√n−1，√n+√n−1 ）
【详解】试题分析：（1）由四边形OPAB 为正方形且OA 是对角线知B 与P 关于y轴对称，得出点
1 1 1 1 1 1P（1，1），据此可得答案；
1
（2）连接PB 、PB ，分别交y轴于点E、F，由点P 坐标及正方形的性质知OA =2，据此可设P 的坐
2 2 3 3 1 1 2
标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P 的坐标；
3
1 1
（3）由S =2S =2× =1，S =2S =2× =1可知 P B O的面积为1，根据P（1，1）、P
△P1B1O △P1CO 2 △P2B2O △P2EO 2 n n 1 2
△
（√2-1，√2+1）、P（√3-√2，√3+√2）知点P 的坐标为（√n-√n−1，√n+√n−1 ）．
3 n
试题解析：（1）在正方形OPAB 中，OA 是对角线，则B 与P 关于y轴对称，又B （-1，1），
1 1 1 1 1 1 1
∴P（1，1），k=1.
1
1
∴反比例函数的解析式为y= .
x
（2）连接PB ，PB 分别交y轴于点E，点F，又点P（1，1），
2 2 3 3 1
1
∴OA =2，设点P 的坐标为（a，a+2），将点P（a，a+2）代入y= （x＞0），可得a=√2-1，故点P 的
1 2 2 x 2
坐标为（√2-1，√2+1）；（4分）
则AE=A E=2√2-2，OA =OA+A A=2√2，
1 2 2 1 1 2
1
设点P 的坐标为（b，b+2 √2），将P 的坐标（b，b+2 √2）代入y= （x＞0），可得b=√3-√2，故点
3 3 x
P 的坐标为（√3-√2，√3+√2）；
3
1 1
（3）∵S =2S =2× =1，S =2S =2× =1，…
△P1B1O △P1CO 2 △P2B2O △PaEO 2
∴△PnBnO的面积为1，
由P(1，1)、P(√2−1，√2+1)、P(√3−√2，√3+√2)知点Pn的坐标为（√n-√n−1 ， √n+√n−1）
1 2 3
故答案为：1，（√n-√n−1 ， √n+√n−1）
5.在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，
第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续
作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有____个，这些边整点落在函数
4
y= 的图象上的概率是 ．
x1
【答案】60,
10
【分析】利用整点的个数与正方形的序号数的关系可得到第四个正方形有4×4个边整点，第五个正方形
有5×4个边整点，则可计算出其边整点的个数为60个，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定
4
这些边整点落在函数y= 的图象上的个数，再利用概率公式求解．
x
【详解】解：第一个正方形有1×4个边整点，
第二个正方形有2×4个边整点，
第三个正方形有3×4个边整点，
第四个正方形有4×4个边整点，
第五个正方形有5×4个边整点，
所以其边整点的个数共有 4+8+12+16+20=60个，
4
这些边整点落在函数y= 的图象上的有（1，4），（4，1），（2，2），（-1，-4），（-4，-1），
x
（-2，-2），
4 6 1
所以些边整点落在函数y= 的图象上的概率= = ．
x 60 10
1
故答案为60， ．
10
【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，利用例举法得到所有等可能的结果数为n，再从中选出符合事
件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了解决规律型问题的方法和
反比例函数图象上点的坐标特征．
6.如图，等边三角形△OD E ，△E D E ，△E D E ，⋅⋅⋅的边OE ，E E ，E E ⋅⋅⋅，在x
1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2 2 34√3
轴上，顶点D ，D ，D ⋅⋅⋅，在反比例函数y= 的图象上．
1 2 3 x
（1）第1个等边三角形△OD E 的周长C = ______；第2个等边三角形△E D E 的周长C = ______；
1 1 1 1 2 2 2
第3个等边三角形△E D E 的周长C = ______；⋅⋅⋅；
2 3 3 3
（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△E D E 的周长C = ______；
n−1 n n n
（3）计算：C +C +C +⋅⋅⋅+C ．
1 2 3 10
【答案】（1）12；12√2−12；12√3−12√2；（2）12√n−12√n−1；（3）12√10
4√3
【分析】（1）根据等边三角形的性质可设D (m,√3m)，然后把点D 的坐标代入y= 中即可求出
1 1 x
m，于是可求得第一个等边三角形的边长，进而可得第一个三角形的周长C ；然后设出D 与D 的坐标，
1 2 3
同样的方法即可求出第二个、第三个三角形的周长C 与C ；
2 3
（2）根据（1）题所得的结果解答即可；
（3）按照（2）题的规律和二次根式的加减法则求解即可．
【详解】解：（1）由△OD E 是等边三角形，故可设D (m,√3m)，
1 1 1
∴√3m2=4√3，∴m=2（m=−2舍去），
∴OE =4，即第一个三角形的周长C =12；
1 1
设D (4+n,√3n)，
2
∴(4+n)⋅√3n=4√3，解得n=2√2−2（n=−2√2−2舍去），
∴E E =4√2−4，即第二个三角形的周长C =12√2−12；
1 2 2
设D (4√2+a,√3a)，
3
∴(4√2+a)⋅√3a=4√3，解得a=2√3−2√2（a=−2√3−2√2舍去），
即第三个三角形的周长C =12√3−12√2；
3
故答案为：12；12√2−12；12√3−12√2；（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△E D E 的周长
n−1 n n
C =12√n−12√n−1；
n
故答案为：12√n−12√n−1；
（3）
C +C +C +⋅⋅⋅+C =12+(12√2−12)+(12√3−12√2)+(12√4−12√3)+⋅⋅⋅+(12√10−12√9 )
1 2 3 10
=12√10．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、等边
三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握上述知识、找到规律是解题的关键．
7.如图，在x轴的正半轴上依次截取OA =A A =A A ，过点A ，A ，A ，分别作x轴的垂线与反
1 1 2 2 3 1 2 3
2
比例函数y= (x>0)的图象相交于点P ，P ，P ，得△OP A ，△A P A ，△A P A ，并设其
x 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3
面积分别为S ，S ，S ，以此类推，则S 的值为（ ）
1 2 3 2024
1 1 1 1
A． B． C． D．
1012 2023 2024 2025
【答案】C
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面
|k|
积S是个定值，S= ，由反比例函数解析式中k=2，得出△OA P ，△OA P ，△OA P ，…，
2 1 1 2 2 3 3
1
△OA P 的面积都为1，而A A 为OA 的 ，且△A A P 与△OA P 的高为同一条高，故
n n n−1 n n n n−1 n n n n1
△A A P 的面积为△OA P 的面积的 ，由△OA P 的面积都为1，得出△A A P 的面积，
n−1 n n n n n n n n−1 n n
即为S 的值，从而得解．
n
【详解】解：连接OP ，OP ，…，OP ，如图所示：
2 3 n
∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
|k|
S= ，
2
2
∴S= =1，即S =S =S =…=S =1，
2 △OA 1 P 1 △OA 2 P 2 △OA 3 P 3 △OA n P n
又∵OA =A A =A A =…=A A ，
1 1 2 2 3 n−1 n
1 1 1 1
∴A A = OA ，A A = OA ，A A = OA ，…，A A = OA ，
1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 n−1 n n n
∵△A A P 与△OA P 的高为同一条高，
n−1 n n n n
1 1
∴S =S = S = ，
n △A n−1 A n P n n △OA n P n n
1
∴S = ，
2024 2024
故选：C．
k
【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数y= (k≠0)中k的几何意义，
x
即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一
定要正确理解k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角
1
形面积S的关系即S= |k|.
2
8.如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P1
落在反比例函数y= 的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
x
（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；
（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是
．（用含n的代数式表示）
1 n2+1
【答案】
3 n(n+1)(2n+1)
【分析】（1）作PA⊥y轴于点A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，设每一个小正方
形的边长为a，由正方形的性质可证△ECD∽△OBC∽△APB，从而可求出
OB AP CE a 2a 3a (2a 3a)
= = = =1．再结合勾股定理可求出AB=AP= ，OA= ，即P , ，从而可得
OC AB ED a √2 √2 √2 √2
2a 3a 1 1
出 × =1，即得出a2= ，即图1中的每一个小正方形的面积是 ；
√2 √2 3 3
（2）由（1）同理求出图2，图3，图4中每一个小正方形的面积，然后总结规律求解即可．
【详解】解：作PA⊥y轴于点A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，
设每一个小正方形的边长为a，
由正方形的性质可证△ECD∽△OBC∽△APB，
CE DE CE DE
∴ = ， = ，
OB OC AP ABOB AP CE a
∴ = = = =1．
OC AB ED a
∵OB2+OC2=BC2，BC=a，
a
∴OB=OC= ．
√2
∵AB2+AP2=BP2，BP=2a，
2a
∴AB=AP= ，
√2
3a
∴OA=AB+OB= ，
√2
(2a 3a)
∴P , ，
√2 √2
2a 3a
∴ × =1，
√2 √2
1 1
∴a2=
，即图1中的每一个小正方形的面积是 ．
3 3
1
故答案为： ；
3
（2）如图2，
由（1）同理可证△ECD∽△OBC∽△APB，
CE DE CE DE
∴ = ， = ，
OB OC AP AB
OB AP CE 2a
∴ = = = =2．
OC AB ED a
∵OB2+OC2=BC2，BC=a，OB=2OC，
2a
∴OB= ．
√5
∵AB2+AP2=BP2，BP=3a，AP=2AB，
3a 6a
∴AB= ，AP= ，
√5 √55a
∴OA=AB+OB= ，
√5
(6a 5a)
∴P , ，
√2 √2
6a 5a
∴ × =1，
√2 √2
1 1
∴a2=
，即此时每一个小正方形的面积是 ；
15 15
如图3，
由（1）同理可证△ECD∽△OBC∽△APB，
CE DE CE DE
∴ = ， = ，
OB OC AP AB
OB AP CE 3a
∴ = = = =3．
OC AB ED a
5 5
同理可求出a2=
，即此时每一个小正方形的面积是 ；
42 42
如图4，
17
同理可得a2=
；
180
…；
1 2 12+1
∵第1个图形每个小正方形的面积= = = ；
3 1×2×3 1×(1+1)×(2+1)1 2 22+1
第2个图形每个小正方形的面积= = = ；
15 2×3×5 2×(2+1)×(2×2+1)
5 10 32+1
第3个图形每个小正方形的面积= = = ；
42 3×4×7 3×(3+1)×(2×3+1)
17 17 42+1
第4个图形每个小正方形的面积= = = ；
180 4×5×9 4×(4+1)×(2×4+1)
…；
n2+1
∴第n图形每个小正方形的面积 ．
n(n+1)(2n+1)
n2+1
故答案为： ．
n(n+1)(2n+1)
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，图形类规律探
索．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其函数解析式，和利用数形结合的思想是解题关键．
考点三：反比例系数 k 的几何意义
题型一：一点一垂线
k
1.如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，
x
△AOB的面积为4，则k的值为（ ）
A．−8 B．8 C．−4 D．4
【答案】C
【分析】过点A分别作AN⊥x轴于N点，根据等腰三角形三线合一，得ON=BN，利用三角形中线的性
1
质可得S = S ，再根据把反比例函数系数的几何意义，解出k的值，即可．
△ANO 2 △AOB
【详解】过点A分别作AN⊥x轴于N点，∵△AOB是等腰直角三角形，
∴ON=BN，
1 1
∵S = ×ON×AN，S = ×BN×AN，
△ANO 2 △AOB 2
1
∴S = S ，
△ANO 2 △AOB
∵△AOB的面积为4，
∴S =2，
△ANO
k
∵顶点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，
x
1
∴ |k|=2，k<0，
2
∴k=−4．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握三角形
的中线平分三角形的面积是关键．
k
2.如图，A是反比例函数y= 的图象上一点，AB⊥y轴于B，点C在x轴上，若△ABC面积为2，则k
x
的值为（ ）
A．−4 B．1 C．2 D．4
【答案】D【分析】连接OA，可得S =S =2，根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值．
△ABO △ABC
【详解】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
1
∴S =S =2，即： |k|=2，
△ABO △ABC 2
∴k=4，或k=−4（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数k的几何意义以及同底等高的三角形的面积
相等，是解决问题的前提．
4
3.若图中反比例函数的表达式均为y= ，则阴影部分面积为2的是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四
个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】A．阴影面积=xy=4≠2，故A选项不符合题意；
1 1
B．阴影面积= xy= ×4=2，故B选项符合题意；
2 2
1 1
C．阴影面积=2× xy=2× ×4=4，故C选项不符合题意；
2 2
1 1
D．阴影面积4× xy=4× ×4=8，故D选项不符合题意；
2 2
故选：B．k
【点睛】本题考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩
x
形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几
何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
1
4.如图，在y= 的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、
x
OC，记△ABO、△CDO的面积S ，S ，则S 与S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．S >S B．S S >S D．无法确定
1 2 3 1 3 2 2 3 1
【答案】A
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案．
【详解】∵P ,P ,P 是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P A O、
1 2 3 1 1
P A O、P A O，
2 2 3 3
|k|
∴S =S =S = ，
1 2 3 2
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解题
的关键．
2 6
6.如图，函数y= （x＞0）和y= （x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，
x x
MN⊥x轴于点N，则 MON的面积可能是（ ）
△
A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【答案】C
2 6
【分析】分别假设点M在y= 和y= 上，即可得出△MON面积可能的值．
x x
【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
2
假设点M落在y= 上，
x
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
6
假设点M落在y= 上，
x根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义．
k
7.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y= (x>0)的图象与线
x
段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若ΔOAB的面积为3，则k的值为 ．
【答案】3
1 3
【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S = S = ，再根据反比例函数系数k的几
△AOC 2 △OAB 2
1 3
何意义得到 |k|= ，然后利用反比例函数的性质确定k的值．
2 2
【详解】连接OC，如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
1 3
∴S = S = ，
△AOC 2 △OAB 2
1
而S = |k|，
△AOC 2
1 3
∴ |k|= ，
2 2
而k>0，∴k=3．
故答案为：3．
k
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向
x
x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9
8.如图，A，B是反比例函数y= 图象上的两点，分别过点A，B作x轴的垂线．已知S =3，则阴影
x △EOF
部分面积为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，AF⊥x轴于点F，BG ⊥x轴于点G
9
∵反比例函数y=
x
9
∴S =S = ，
△BOG △AOF 2
∵S =3，
△EOF
∴阴影部分的面积S+ 2S =9
△OEF
∴阴影部分面积为3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
题型二：一点两垂线
1.如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，成C在y轴的正半轴上，k
点F在AB上，点B、E在反比例函数y= 的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为
x
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
6
【分析】先确定B点坐标为(1，6)，可得反比例函数解析式为y= ，设AD=t，则OD=1+t，所以E点
x
坐标为(1+t，t)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得(1+t)⋅t=6，解方程求出t的值即可．
【详解】解：∵OA=1，OC=6，
∴B点坐标为(1，6)，
∴k=1×6=6，
6
∴反比例函数解析式为y= ，
x
设AD=t，则OD=1+t，
∴E点坐标为(1+t，t)，
∴(1+t)⋅t=6，
整理得t2+t−6=0，
解得：t =−3（舍去），t =2，
1 2
∴正方形ADEF的边长为2．
故选：B．
k
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双
x
曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
k
2.如图，在反比例函数y= (x>0)的图象上有点P ,P ,P ，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些
x 1 2 3
点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S ,S ．若S =3，则S 的值为（ ）
1 2 2 1A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
(k ) (k )
【分析】先根据点P ,P ,P 在反比例函数上得到P ,6 ，P ,2 ，P (k,1)，再根据
1 2 3 1 6 2 2 3
( k) k
S = k− ×(2−1)=3，求出k值，再根据S = ×(6−2)求解即可．
2 2 1 6
k
【详解】解：解：把y=1代入y= ，得y=k，
x
∴P (k,1)，
3
(k ) (k )
同理可得P ,6 ，P ,2 ，
1 6 2 2
( k)
∵S = k− ×(2−1)=3，
2 2
∴k=6
k 2k
∴S = ×(6−2)= =4，
1 6 3
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，根据
( k)
S = k− ×(2−1)=3，求出k值是解题的关键．
2 2
题型三：两点一垂线
k
1.如图，直线y=mx与双曲线y= 交于A、B两点．过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若
x
S =2，则k的值是（ ）
△ABMA．2 B．m−2 C．m D．4
【答案】A
【分析】设A坐标为(m,n)，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为(−m,−n)，即可得到
S =|mn|=2，根据点A在点第一象限，即可得到k=mn=2．
△ABM
【详解】解：设点A坐标为(m,n)，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为(−m,−n)，
1 1
∴S =S +S = |mn|+ |mn|=|mn|=2，
△ABM △AOM △BOM 2 2
∵点A在点第一象限，
∴k=mn=2．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A
坐标确定点B的坐标是解题关键．
4
2.如图，点A(m，1)和B(−2，n)都在反比例函数y= 的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足
x
分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S ，△OBA面积记作S ，则（ ）
1 2
A．S :S =2:1 B．S :S =1:2
1 2 1 2
C．S :S =4:3 D．S :S =4:5
1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据图象上点的坐标特征求出A(4，1)，B(−2，−2)，根据反比例函数比例系数k的几何意
义求得S =4，然后根据S =S −S −S ❑ 求得S =3，即可求解．
1 2 △ABK △AON 梯形 ONKB 24
【详解】解：∵点A(m，1)和B(−2，n)都在反比例函数y= 的图象上．
x
∴m=4，n=−2，
∴点A(4，1)，B(−2，−2)，
∵过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N．
∴S =4，
1
如图，过点B作BK⊥AN交AN的延长线于点K，
∴AN=4，ON=1，AK=6，KB=3，
1 1 1
∴S =S −S −S ❑ = ×6×3− ×4×1− ×(1+3)×2=3，
2 △ABK △AON 梯形 ONKB 2 2 2
∴S :S =4:3．
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，分别求得S 、
1
S 的值是解题的关键．
2
k
3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y= （k≠0，k为常数）交于
x
点A，B，若A(−1,a),B(b,−3).，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM,，则ΔABM的面积是
（ ）
A．2 B．m−1 C．3 D．6
【答案】C【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S ❑ =S ❑ ，
△ OAM △ OBM
k
A(−1,3),(1,−3)，代入解析式求得k=−3，然后根据反比例函数y= (k≠0)系数k的几何意义即可得
x
1 3
到S = |k|= ，进一步得出S =2S =3．
△AOM 2 2 △ABM △AOM
k
【详解】解：∵直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y= （k≠0，k为常数）交于点A，B，
x
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴S ❑ =S ❑ ，
△ OAM △ OBM
∵A(−1,a),B(b,−3)，
∴a=3,b=1，
∴A(−1,3),(1,−3)，
∴k=−1×3=−3，
∵AM⊥x轴，垂足为M，
1 3
∴S = |k|= ，
△AOM 2 2
∵S ❑ =S ❑ ，
△ OAM △ OBM
∴S =2S =3，
△ABM △AOM
故选：C．
k
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数y= (k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数
x
k
y= (k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
x
k
4.如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，
x
连结BC.若△ABC的面积为2.
（1）求k的值；k
（2）直接写出：①点A坐标____________；点B坐标_____________；②当 ≤2x时，x的取值范围
x
__________________；
（3）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）k=2；（2）①(1,2)，(−1,−2)；②x≥1或0>x≥−1；（3）存在，D坐标为(−5,0)或
(√5,0)，(−√5,0)或(5,0).
【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线
k
段AB的中点，故 BOC的面积等于 AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y= 的比例系数k的几何
x
△ △
1
意义，可知 AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值；
2
△
（2）联立两函数即可求出坐标，根据图象可写出范围.
（3）设点D坐标为(m,0)连结AD、BD，再根据勾股定理解答即可.
【详解】解：（1）由题意知：点A与点B关于原点对称，点O为AB中点，
1
所以S =S = S
ΔBOC ΔAOC 2 ΔABC
又 S =2
△ABC
所以S =1
△AOC
1
所以 |k|=1
2
k=2
（2）已知两函数交于A，B两点，
故¿
①点A坐标(1,2)，点B坐标(−1,−2)
②根据图象可得即是反比例函数在正比例函数下方的范围：x≥1或0>x≥−1.
（3）设点D坐标为(m,0)连结AD、BD；
∴AD2=22+(m−1) 2
或BD2=(−2) 2+(m+1) 2
或AB2=(2+2) 2+(1+1) 2当AD2=AB2+BD2或AB2=AD2+BD2或BD2=AB2+AD2时，
三角形ABD为直角三角形，解得m=−5或m=±√5或m=5
所以点D坐标为(−5,0)或(√5,0)，(−√5,0)或(5,0)
【点睛】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函
数解析式是解题的关键．
题型四：两点两垂线
k
1.如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数y= (k≠0)的图象上，若▱ABCD的面积
x
是20，则k的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
( k )
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD，CD∥x轴，设B m， ，则
m
k ( k ) 2k
OA= ，CD=AB=m，即可得到D −m，− ，即可求出AC= ，再根据平行四边形面积公式
m m m
进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∵AB∥x轴，
∴CD∥x轴，
( k )
设B m， ，
m
k
∴OA= ，CD=AB=m，
m
( k )
∴D −m，− ，
m
k
∴OC= ，
m
2k
∴AC= ，
m
∵▱ABCD的面积是20，
∴AC⋅AB=20，
2k
∴ ⋅m=20，
m
∴k=10，
故选A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，正确用含k的式子表示出
AC，AB是解题的关键．
m n
2.如图，点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝ （n＜0）
x x
n 9
于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为 ，则m，n的值不可
x 2
能是（ ）1 10 1 5
A．m＝ ，n＝﹣ B．m＝ ，n＝﹣
9 9 4 4
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
【答案】A
m
【分析】设A的坐标为（x， ），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出
x
(m−n) 2=9m，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可．
m
【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，
x
m
∴设A的坐标为（x， ），
x
n
∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝ （n＜0）上，
x
nx m n
∴B的坐标为（ ， ），C的坐标为（x， ），
m x x
nx m n
∴AB=x− ，AC= - ，
m x x
9
∵△ABC的面积为 ，
2
1 9
∴ AC×BA= ，
2 2
∴ ( x−
nx
)
(m
-
n)
=9，
m x x
∴(m−n) 2=9m，
∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的
能力．
m
3.如图，A，B是函数y= （m＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的
x
面积记为S，则（ ）A．S=m B．S=2m C．m2m
【答案】B
【分析】根据A、B两点在曲线上可设A、B两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答
案．
【详解】设点A（x，y），则点B（-x，-y），
∴xy=m，
∴AC=2y，BC=2x，
1 1
∴S = AC·BC= ·2y·2x=2xy=2m，
△ABC 2 2
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根
据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．
题型五：两点和原点
k
1.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，
x
BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．则k的值是( )
A．12 B．10 C．8 D．24
【答案】D
【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得( k) (k )，根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定系数法确定函数
M 6， ，N ，6
6 6
解析式．
【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
( k) (k )
∴M 6， ，N ，6 ，
6 6
k k
∴BN=6− ，BM=6− ，
6 6
∵△OMN的面积为10，
1 k 1 k 1 ( k) 2
∴6×6− ×6× − ×6× − × 6− =10，
2 6 2 6 2 6
∴k=24（负值已舍），
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出方程并解
答是解题的关键．
k
2.如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y= (x<0)的图象交于C，D两点，连
x
接OC，OD． 若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是（ ）
A．−2 B．−3 C．−4 D．−6
【答案】C
【分析】先证S =S ，再根据△AOC和△COD的面积都为3，得到S =S =S ，
△AOC △BOD △AOC △BOD △COD
|k|
得到AC=CD=BD，作CE⊥y轴于H，再证得△ACE∼△ABO，根据相似三角形的性质得到 =2，
2
即可解得．k
【详解】∵直线l与反比例函数y= (x<0)相交并与x，y轴分别交于A，B两点，
x
∴AC=BD，
作OH⊥AB，
1 1
∵AC=BD，△BOD= BD⋅OH，△AOC= AC⋅OH，
2 2
∴S =S =3，
△AOC △BOD
∵△AOC和△COD的面积都为3，
∴S =S =S =3，
△AOC △BOD △COD
∴AC=CD=BD，
作CE⊥y轴于H，
∵CE∥BO，∠ACE=∠ABO，
∴△ACE∼△ABO，
AE AC 1
∴ = = ，
AO AB 3
AE 1
∴ = ，
OE 2
S 1
∴ △ACE = ，
S 2
△OCE
∴S =2，
△OCE
|k|
∴ =2，
2
∴k=4（舍去）k=−4．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．
k
3.如图，点A，C为函数y= (x<0)图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为
x3
B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为 时，
4
k的值为（ ）
A．−1 B．−2 C．−3 D．−4
【答案】B
3 1
【分析】先根据中点定义得出S =S = ，在根据k的几何意义得S =S = |k|，进而得
△ACE △AEO 4 △ABO △CDO 2
3
出S =S = ，然后根据相似三角形的性质求出S ，即可得出答案．
四边形BECD △AEO 4 △OCD
【详解】∵点E是CO的中点，
3
∴S =S = ．
△ACE △AEO 4
∵点A，C在反比函数图象上，
1
∴S =S = |k|，
△ABO △CDO 2
3
∴S =S = ．
四边形BECD △AEO 4
OE 1
∵ = ，BE∥CD，
OC 2
∴△OBE∼△ODC，
S 1
∴ △OBE = ，
S 4
△OCD
∴S =1，
△OCD
则|k|=2．
∵反比例函数位于第二象限，
∴k=−2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，相似三角形的性质和判定，求三角形的面积等，确定各三角形面积之间的关系是解题的关键．
4.下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得M(1,3)，N(3,1)，根据直角坐标系的性质，对各个选项中阴影部分面积分别计算，
即可得到答案．
【详解】根据题意，得：M(1,3)，N(3,1)
1 1
选项A中，阴影部分面积= ×1×3+ ×1×3=3
2 2
1 1
选项B中，阴影部分面积= ×1×3+ ×1×3=3
2 2
1 1 1
选项C中，阴影部分面积=3×3− ×1×3− ×1×3− ×(3−1)×(3−1)=4
2 2 2
1
选项D中，阴影部分面积= ×1×(3+3)=3
2
故选：C．
【点睛】本题考查了直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解．
5.如图，平面直角坐标系中，直线CD分别与x轴、y轴分别交于点D、C，点A、B为线段CD的三等分点，
k
且A、B在反比例函数y= (x>0,k>0)的图象上，若△AOD的面积为12，则k的值为（ ）
x
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
( k ) k
【分析】作AM⊥x轴于M，设A m, ，则OM=m,AM= ，由题意可知OD=3m,然后利用三角形
m m1 1 k
面积公式得到 OD⋅AM= ×3m× =12，求得k=8．
2 2 m
【详解】作AM⊥x轴于M，则AM∥OA，
( k ) k
设A m, ，则OM=m,AM=
m m
∵AM∥OA，
∴△DAM∼△DCO，
∵点A、B为线段CD的三等分点，
DM DA 2
∴ = = ，
OD DC 3
∴OD=3OM=3m
∵S =12，
△AOD
1 1 k
∴ OD⋅AM= ×3m× =12，
2 2 m
∴k=8，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，三角形面积，表示出A
的坐标以及OD的长是解题的关键．
k
6.如图，点A，B在x轴的正半轴上，以AB为边向上作矩形ABCD，过点D的反比例函数y= 的图象经
x
过BC的中点E．若△CDE的面积为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D
( k) ( 2k)
【分析】根据题意设点E坐标为 a, ，则C a, ，根据△CDE的面积为1，，得到
a a
1 1 a k
CD⋅CE= ⋅ ⋅ =1，解得k=4．
2 2 2 a
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，
∴AD=BC，∠C=90°，
( k) ( 2k) k
设E a, ，则C a, ，CE= y −y = ，
a a C E a
2k k a
∴y = y = ，则x = = ，
C D a D y 2
D
a
∴CD=x −x = ，
C D 2
1 1 a k
∵△CDE的面积为1，即： CD⋅CE= ⋅ ⋅ =1，
2 2 2 a
∴k=4，
故选：D
( k)
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据题意设点E坐标为 a, ，
a
然后表示其他点坐标及线段长度是解题的关键．
k
7.如图，矩形OABC，双曲线y= (x>0)分别交AB、BC于F、E两点，已知OA=4，OC=3，且
x
27
S = ，则k的值为（ ）
△BEF 8
9
A．2 B． C．3 D．6
4
【答案】C(4 )
【分析】设F点的坐标为(4,m)，可求得点E的坐标为 m,3 ，根据三角形面积公式得到
3
1 ( 4 ) 27
S = (3−m) 4− m = ，解得m的值，即可求得F点的坐标，据此即可求得．
△BEF 2 3 8
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴设F点坐标为(4,m)，点E的纵坐标为3，
4
∴4m=3x，解得x= m，
3
(4 )
∴E点坐标为 m,3 ，
3
1 ( 4 ) 27
则S = (3−m) 4− m = ，
△BEF 2 3 8
81
整理得：(m−3) 2= ，
16
3 21
解得m= 或m= (不合题意，舍去)，
4 4
( 3)
∴F 4, ，
4
k
∵双曲线y= (x>0)分别交AB、BC于F、E两点，
x
3
∴k=4× =3，
4
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质，利用面积求得点的坐标是解题的关键．
题型六：两曲一平行
2 k
1.如图，过反比例函数y= (x>0)的图象上一点A作AB⊥y轴交反比例函数y= (x<0)的图象于点B，
x x
连接OA，OB，若S =4，则k的值为（ ）
△OABA．8 B．6 C．−8 D．−6
【答案】D
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S ，再求出S ，进而求出k的值即可．
△AOC △BOC
【详解】解：记AB与x轴的交点为C，
2
∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，且AB⊥y轴，
x
1
∴S = ×|2|=1，
△AOC 2
∵S =4，
△AOB
∴S =4−1=3，
△BOC
1
∴ |k|=3，
2
根据图象可知：k<0，
∴k=−6，
故选：D．
【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
6 k
2.如图，点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数y= 的图象上，点C,D在x轴上．若四边
x x
形ABCD是正方形，且面积为9，则k的值为（ ）
A．11 B．15 C．−11 D．−15
【答案】B
【分析】根据正方形性质求出A、B纵坐标，利用图形即可求出B横坐标，最后将点B代入反比例函数中
即可求出答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且面积为9，
∴AB=AD=BC=3，
∴A的纵坐标为3，B的纵坐标为3.6
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
x
6
∴A的横坐标为：x = =2，
A 3
∴B的横坐标为：2+3=5.
∴B(5,3).
k
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
x
∴k=3×5=15.
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键.
3
3.如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y= (x>0)的
x
k
图象上，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=（ ）
x
A．−4 B．−5 C．−6 D．−7
【答案】A
【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3=7，进而即可求得k的值．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，1 1 3
∴S = |k|，S = ×3= ，
△AOD 2 △BOD 2 2
1 3
∴S =S +S = |k|+ ，
△AOB △AOD △BOD 2 2
∴S =2S =|k|+3，
平行四边形OABC △AOB
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|+3=7，即|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=−4，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点
1
向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|是解答此题的关键．
2
k k
4.如图，设点P作反比例函数y= 1 (x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y= 2 (x>0)的图
x x
k
象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数y= 2 (x>0)的图象于点B，则四边形PAOB的面积为
x
（ ）
A．k +k B．k −k C．k k D．k −k
1 2 1 2 1 2 2 1
【答案】B
1
【分析】根据题意得k >k >0，S =k ，S =S = k ，即可得四边形PAOB的面积．
1 2 矩形OCPD 1 △AOC △DBO 2 2
k
【详解】解：∵点P在反比例函数y= 1 (x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数
x
k k
y= 2 (x>0)的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数y= 2 (x>0)的图象于点B，
x x
∴k >k >0，
1 2
S =k ，
矩形OCPD 11
S =S = k ，
△AOC △DBO 2 2
1 1
∴四边形PAOB的面积为：S −S −S =k − k − k =k −k ，
矩形OCPD △AOC △DBO 1 2 2 2 2 1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意
义．
1 k
5.如图，点A是反比例函数y ＝ （x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y = （x
1 x 2 x
＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为1，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】延长BA，与y轴交于点C，由AB与x轴平行，得到BC垂直于y轴，利用反比例函数k的几何意
义表示出三角形AOC与三角形BOC面积，由三角形BOC面积减去三角形AOC面积表示出三角形AOB面积，
将已知三角形AOB面积代入求出k的值即可．
【详解】解：延长BA，与y轴交于点C，
∵AB//x轴，
∴BC⊥y轴，
1 k
∵A是反比例函数y ＝ （x＞0）图象上一点，B为反比例函数y ＝ （x＞0）的图象上的点，
1 x 2 x
1 k
∴S AOC＝ ，S BOC＝ ，
2 2
△ △
k 1
∵S AOB＝1，即 − =1，
2 2
△解得：k＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
k
6.如图，矩形OABC与反比例函数y = 1（k 是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数
1 x 1
k
y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k -k =（
2 x 2 1 2
）
3 3
A．3 B．-3 C． D．−
2 2
【答案】B
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
k
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数y = 1（k 是非零常数，x>0）的图象上，
1 x 1
1
∴S =S = k ，
△OAM △OCN 2 1
k
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象上，
2 x 2
∴S OABC=k ，
矩形 2
∴S =S OABC-S OAM-S OCN=3，
四边形OMBN 矩形
△ △
∴k -k =3，
2 1
∴k -k =-3，
1 2
故选：B．
k
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，
x
过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．3 6
7.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=− (x<0)和y= (x>0)的图象上，点B，C在x轴上，
x x
则点D的坐标为（ ）
A．(1,3) B．(2,3) C．(2,2) D．(3,2)
【答案】B
【分析】设AD与y轴交于点P，由反比例函数中k的几何意义可知
6
S =S +S =3+6=9从而可求出y =3．再将y =3代入y= (x>0)，可求得
正方形ABCD 矩形ABOP 矩形DCOP D D x
x=2，即D(2,3)．
【详解】解：如图，设AD与y轴交于点P，
3 6
∵正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=− (x<0)和y= (x>0)的图象上，点B，C在x轴上，
x x
∴S =|−3|=3，S =|6|=6，
矩形ABOP 矩形DCOP
∴S =S +S =3+6=9．
正方形ABCD 矩形ABOP 矩形DCOP
∴正方形的边长为3，即CD=3，
∴y =3．
D
6
将y =3代入y= ，得
D x
6
3= ，
x
解得：x=2，
∴D(2,3)．故选：B．
k
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数y= (k≠0)图象上任意一点作x
x
轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为|k|是解题关键．
3 k
8.如图，点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，点B在反比例函数y= (x>0)的图象上，连接AB，
x x
AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，BC=2AC，D是x正半轴上一点，连接AD，BD，则△ABD的面
积为（ ）
7 9 5
A．3 B． C． D．
2 2 2
【答案】C
【分析】过A作AE⊥x轴交x轴于E，过B作BF⊥x轴交x轴于F，可求S =3，从而可求
矩形ACOE
S =6，可得AB⋅AE=9，即可求解．
矩形OCBF
【详解】解：如图，过A作AE⊥x轴交x轴于E，过B作BF⊥x轴交x轴于F，
∴S =3，
矩形ACOE
∵BC=2AC，
∴S =2S =6，
矩形OCBF 矩形ACOE
∴AB⋅AE=9，
1 9
∴S = AB⋅AE= ．
△ABD 2 2故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，理解k的几何意义是解题的关键．
5 3
9.如图，点B在反比例函数y=− (x<0)的图象上，点C在反比例函数y= (x>0)的图象上，BC∥x轴，
x x
且A为x轴上任一点．则△ABC的面积为（ ）
A．3.5 B．4 C．5.5 D．6
【答案】B
【分析】连接OB、OC，根据k的几何意义，结合平行线的性质求解即可.
【详解】解：连接OB、OC，设BC与y轴交于点D，
∵BC∥x轴，
1 1
∴S = ×|−5|=2.5,S = ×|3|=1.5，
△OBD 2 △OCD 2
∴S =S =S +S =2.5+1.5=4，
△ABC △OBC △OBD △OCD
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，理解k的几何意义并正确运用是解题的关键.
6
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是函数y= (x>0)图象上的一个动点，过点P作PQ⊥y轴交函
x
2
数y=− (x<0)的图象于点Q，点M、N在x轴上(M在N的左侧，且MN=PQ，连接QM、PN，这关
x
于四边形PQMN的面积的结论正确的是（ ）A．8 B．12
C．24 D．四边形PQMN的面积无法确定
【答案】A
【分析】先证得四边形PQMN是平行四边形，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到
1
S =S +S =4，即可利用S = S 即可求解．
△POQ △POD △QOD △POQ 2 平行四边形PQMN
【详解】解：连接OQ、OP，
6 2
∵点P是函数y= (x>0)图象上的一个动点，过点P作PQ⊥y轴于D，交函数y=− (x<0)的图象于点
x x
Q，
∴PQ∥MN，
∵MN=PQ，
∴四边形PQMN是平行四边形，
1
∴S = S ，
△POQ 2 平行四边形PQMN
∴PQ∥x轴，
1 1
∴S = ×6=3，S = ×|−2|=1，
△POD 2 △QOD 2
∴S =S +S =4，
△POQ △POD △QOD
∴四边形PQMN的面积为8，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，1
这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．
2
k
11.如图，点P是函数y= 1(k >0,x>0)的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点
x 1
k
A、B，交函数y= 2(k >0,x>0)的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k >k ，下列结论：
x 2 1 2
k −k (k −k ) 2
①CD//AB；②S = 1 2；③S = 1 2 ，其中正确的是（ ）
△OCD 2 △DCP 2k
1
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
k PD PC
【分析】设P（m， 1），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断 和
m PB PA
的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用
S =S −S −S −S 计算△OCD的面积，可判断②．
△OCD OAPB △OBD △OCA △DPC
k k
【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在y= 1上，点C，D在y= 2上，
x x
k
设P（m， 1），
m
k k k k
则C（m， 2），A（m，0），B（0， 1），令 1= 2，
m m m x
k m k m k
则x= 2 ，即D（ 2 ， 1），
k k m
1 1
k k k −k k m m(k −k )
∴PC= 1− 2 = 1 2，PD=m− 2 = 1 2 ，
m m m k k
1 1k −k
m(k −k ) 1 2
1 2 PC m k −k PD PC
∵PD k k −k ， = = 1 2 ，即 = ，
= 1 = 1 2 PA k k PB PA
PB m k 1 1
1 m
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
1 1 m(k −k ) k −k (k −k ) 2
△PDC的面积= ×PD×PC= × 1 2 × 1 2 = 1 2 ，故③正确；
2 2 k m 2k
1 1
S =S −S −S −S
△OCD OAPB △OBD △OCA △DPC
1 1 (k −k ) 2
=k − k − k − 1 2
1 2 2 2 2 2k
1
(k −k ) 2
=k −k − 1 2
1 2 2k
1
2k (k −k ) (k −k ) 2
= 1 1 2 − 1 2
2k 2k
1 1
2k 2−2k k −(k −k ) 2
1 1 2 1 2
=
2k
1
k 2−k 2
= 1 2 ，故②错误；
2k
1
故选B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键
是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．
1 3
12.如图，点C在反比例函数y = 的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y = 的图象于点A，CB∥x轴，交反
x x
3
比例函数y = 的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ．
x【答案】4
3 1
【分析】设A（a， ），则C（a， ），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步
a a
求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S ABO＝S AOD＋S
梯形
ABED﹣S BOE和
△ △ △
反比例函数系数k的几何意义得出S ABO＝S ABED，即可求得结果．
梯形
△
3 1
【详解】解：设A（a， ），则C（a， ），
a a
∵CA＝2，
3 1
∴ − ＝2，
a a
解得a＝1，
∴A（1，3），C（1，1），
∴B（3，1），
作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，
3
∵S ABO＝S AOD＋S ABED﹣S BOE，S AOD＝S BOE = ，
梯形 2
△ △ △ △ △
1
∴S ABO＝S ABED = （1＋3）（3﹣1）＝4；
梯形 2
△
故答案为：4.
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S ABO=S ABED是解题的关键．
梯形
△
4 k
13.如图，点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上，AB//x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y= 于
x x点B，已知AC=2BC．
（1）求直线OA的解析式；
k
（2）求反比例函数y= 的解析式；
x
k
（3）点D为反比例函数y= 上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
x
2
【答案】（1）y=x；（2）y=− ；（3）3.
x
【分析】（1）先求解A的坐标，再把A的坐标代入正比例函数y=mx，解方程即可得到答案；
（2）利用AC=2BC, 先求解B的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
2
（3）设D(n,− ), 而A(2,2),E为AD的中点，利用中点坐标公式求解D,E的坐标，再利用
n
1
S =S +S = OE(|x |+|x |)，计算即可得到答案.
△OAD △ODE △OAE 2 A D
4
【详解】解：（1）∵ 点A(a,2)在反比例函数y= 的图象上，
x
∴2a=4,a=2, 则A(2,2),
∴AC=2,
设直线AO为：y=mx,
∴2m=2, 则m=1,
所以直线AO为：y=x,
（2）∵ AB//x轴， AC=2BC=2．
∴BC=1,
∴B(−1,2),
∴k=xy=−1×2=−2,
2
所以反比例函数为：y=− .
x2
（3）设D(n,− ), 而A(2,2),E为AD的中点，
n
1
∴x = (2+n)=0,
E 2
∴n=−2,
3
∴D(−2,1),E(0, ),
2
1
∴S =S +S = OE(|x |+|x |)
△OAD △ODE △OAE 2 A D
1 3
= × ×(2+2)=3.
2 2
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，
熟练应用以上知识解题是关键.
考点四：反比例函数与一次函数综合
题型一：一次函数图象与反比例函数图象综合
k 1
1.如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB= ，AB=2．
x 2
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．
8
【答案】(1)y=
x
(2)C(4,2)
【分析】（1）利用正切值，求出OB=4，进而得到A(2,4)，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，易证四边形ABOE是矩形，得到OE=2，AE=4，再证明△AED是等
腰直角三角形，得到DE=4，进而得到D(6,0)，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=−x+6，
联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵AB⊥y轴，∴∠ABO=90°，
1
∵tan∠AOB= ，
2
AB 1
∴ = ，
OB 2
∵AB=2，
∴OB=4，
∴A(2,4)，
k
∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
∴k=2×4=8，
8
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵∠ABO=∠BOE=∠AEO=90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴OE=AB=2，OB=AE=4，
∵∠ADO=45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴OD=OE+DE=2+4=6，
∴D(6,0)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴¿，解得：¿，
∴直线AD的解析式为y=−x+6，
8
∵点A、C是反比例函数y= 和一次函数y=−x+6的交点，
x
联立¿，解得：¿或¿，
∵A(2,4)，
∴C(4,2)．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解
析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线AD的解析式是解题关键．
2．在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与 的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），
∴直线经过点（1，0），A、C不合题意；
B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，
矛盾，不合题意；
D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＜0，
一致，符合题意；
故选：D．
k
3.若k <00时，y=kx,y= 图象在第一，三象限；k<0时，
x
k
y=kx,y= 图象在第二，四象限，判断求解．
x【详解】解：∵k <00时，y随x的增大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经
x
过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性可知b<0，根据一次函数图象与系数的关系可得一次函数y=x+b的图
象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，由此即可得到答案．
b
【详解】解：∵反比例函数y= （b为常数），当x>0时，y随x的增大而增大，
x
∴b<0，
∴一次函数y=x+b的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与其系数之间的关系，反比例函数与其系数之间的关系，解题的关键
k
是熟练掌握反比例函数y= (k≠0)的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大
x
而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大； 对于一次函数y=kx+b，
当k>0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经
过第一、三、四象限， 当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，当k<0，b<0时，
一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键．
c
5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax−b与反比例函数y= 在同一坐标系内
x
的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∴−b<0
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
c
∴直线y=ax−b经过第一，三，四象限，反比例函数y= 图象分布在第二、四象限，
x
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
k−b
6.已知反比例函数y= (k−b≠0)的函数值在每一象限内y随x的增大而减小，且k=|b|，则一次函数
x
y=kx＋b的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】C
k−b
【分析】根据反比例函数y= (k−b≠0)的函数值在每一象限内y随x的增大而减小得到k−b>0，
x
结合k=|b|得到k>0，b<0，结合一次函数的性质即可得到答案；
k−b
【详解】解：∵反比例函数y= (k−b≠0)的函数值在每一象限内y随x的增大而减小，
x
∴k−b>0，
∵k=|b|，
∴k>0，b<0，
∴一次函数y=kx＋b的图象经过一、三、四象限，
故选C；
【点睛】本题考查反比例函数的性质与一次函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质得到k>0，
b<0．
题型二：一次函数与反比例函数交点问题
1
1.若函数y=kx(k>0)与函数y= 的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（ ）
x
A．1 B．2 C．k D．k2
【答案】A
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面1
积S是个定值，S =2S = |k|.
△ABC △AOB 2
【详解】解：如图：
设点A的坐标为(x,y)，则xy=1，
1 1
故△ABO的面积为 xy= ，
2 2
∵△ABO与△CBO同底等高，
∴S =2S =1，
△ABC △ABO
故选：A．
k
【点睛】主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩
x
形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几
何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即
1
S= |k|．
2
2.在平面直角坐标系中，函数y=
3
与y=x+1的图象交于点(m,n)，则代数式(m−n) 2 ⋅
(1
−
1)
的值为
x n m
( )
1 1
A．3 B．−3 C． D．−
3 3
【答案】D
3
【分析】把点 (m,n) 分别代入 y= 与 y=x+1 中， 得 mn=3,n=m+1， 进而求解即可．
x
3
【详解】解：∵函数y= 与y=x+1的图象交于点(m,n)，
x
∴mn=3，n=m+1，∴m−n=−1，
1 1 m−n −1 1
− = = =− ，
n m mn 3 3
∴(m−n) 2 ⋅
(1
−
1)
n m
=(−1) 2× ( − 1)
3
1
=− ．
3
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是解题
的关键．
6 6
3.如图，函数y=− (x<0)和y=kx−1(k≠0)的图象相交于点A(m，3)，则关于x的不等式1− >kx的
x x
解集为（ ）
A．x<−2 B．x>3 C．−2−2
【答案】C
【分析】确定交点A的坐标，再根据函数图象进行判断即可．
6
【详解】解：∵函数y=− (x<0)过点A(m，3)，
x
∴m=−2，
∴点A(−2，3)，
又∵y=kx−1的图象过点A(−2，3)，
6 6
由图象可知，关于x的不等式1− >kx的解集，即− >kx−1的解集为−2y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．x<−4 B．−4−1 D．x<−1
【答案】B
【分析】找到直线在双曲线上方时，自变量的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，y >y 时，x的取值范围是−40)的图象交于点A(1,2),B(m,−1)．则关于x的不等
x
k
式ax+b> 的解集是（ ）
x
A．x<−2或01 D．−12
【答案】C
k k 2 2 2
【分析】将A(1,2)代入y= ，得，2= ，解得k=2，则y= ，将B(m,−1)代入y= 得，−1= ，
x 1 x x mk
解得m=−2，即B(−2,−1)，根据不等式ax+b> 的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应
x
的x的取值范围，进行求解即可．
k k
【详解】解：将A(1,2)代入y= ，得，2= ，解得k=2，
x 1
2
∴y= ，
x
2 2
将B(m,−1)代入y= 得，−1= ，解得m=−2，
x m
∴B(−2,−1)，
k
由图象知，不等式ax+b> 的解集是−21，
x
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，图象法解不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运
用．
m
6.如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为(2，3)，点
x
B的坐标为(n，1)．
(1)求反比例函数与一次函数表达式；
m
(2)结合图象，直接写出不等式
时x的取值范围．
x
【答案】(1)24
(2)−33
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质综合题，待定系数法求解析式，
( k) ( k ) k
（1）首先根据题意得到A 3, ，B − ,−4 ，然后证明出A、B两点关于原点对称，得到3= ，求
3 4 4
出k=12，进而得到A(3,4)，B(−3,−4)，然后利用三角形面积公式求解即可；
k
（2）利用待定系数法求出经过AB两点的直线y=k'x，然后利用图象即可求出k'x>
时x的取值范围．
x
解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式．
k
【详解】（1）∵点A、B是反比例函数y= 的图象上一点，AC⊥x轴，BC⊥y轴，C(3,−4)
x
( k) ( k )
∴A 3, ，B − ,−4
3 4
∵AB经过原点，
∴A、B两点关于原点对称，
k
∴3= ，
4
∴k=12，
∴A(3,4)，B(−3,−4)，
∴AC=8，BC=6，
1 1
∴Rt△ACB的面积= AC⋅BC= ×8×6=24；
2 2
（2）∵A(3,4)，
∴将A(3,4)代入y=k'x得，4=3k'
4
解得k'=
3
4
∴经过AB两点的直线y= x；
3
由图象可得，
k
当−33时，k'x>
．
x
题型三：一次函数与反比例函数综合应用1.如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(2√3,0),B(√3,1),△OA'B
k
与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y= (k>0,x>0)的图象与A'B交于点C．若A'C=BC，则k
x
的值为（ ）
3√3 √3
A．2√3 B． C．√3 D．
2 2
【答案】A
【分析】过点B作BD⊥x轴，根据题意得出BD=1,OD=√3，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的
判定和性质得出OB=AB=2，∠BOA=∠BAO=30°，利用各角之间的关系
∠OBA'+∠OBD=180°，确定A'，B，D三点共线，结合图形确定C(√3,2)，然后代入反比例函数解
析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴，
∵O(0,0),A(2√3,0),B(√3,1)，
∴BD=1,OD=√3，
BD √3
∴AD=OD=√3，tan∠BOA= = ，
OD 3
∴OB=AB=√OD2+BD2=2，∠BOA=∠BAO=30°，
∴∠OBD=∠ABD=60°，∠OBA=120°，
∵△OA'B与△OAB关于直线OB对称，
∴∠OBA'=120°，
∴∠OBA'+∠OBD=180°，∴A'，B，D三点共线，
∴A'B=AB=2，
∵A'C=BC，
∴BC=1，
∴CD=2，
∴C(√3,2)，
k
将其代入y= (k>0,x>0)得：k=2√3，
x
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，
综合运用这些知识点是解题关键．
2.如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2,∠AOB=30°，反比例函数
k
y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
【答案】 √3 4
【分析】（1）根据已知条件得出A,B的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出C的坐标，
进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线AC,BD，联立BD与反比例函数解析式，得出D的坐标，进而根据两点距离公
式求得OB2，BD2，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵AB=2,∠AOB=30°，∠OAB=90°，
∴OA=2√3,OB=2AB=4
∴A(2√3,0),B(2√3,2)，
∵C是OB的中点，
∴C(√3,1)，
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x∴k=√3；
√3
∴反比例数解析式为y=
x
故答案为：√3；
（2）∵A(2√3,0)，C(√3,1)
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
√3
∴直线AC的解析式为y=− x+2，
3
∵DB∥AC，
√3
设直线BD的解析式为y=− x+b，将点B(2√3,2)代入并解得b=4，
3
√3
∴直线BD的解析式为y=− x+4，
3
√3
∵反比例数解析式为y=
x
联立¿
解得：¿或¿
当¿时， BD2=(2√3+3−2√3) 2+(2−2+√3) 2=9+3=12
当¿时， BD2=(2√3−2√3+3) 2+(2+√3−2) 2=9+3=12
OB2=(2√3) 2+22=16
∴OB2−BD2 =4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的
性质是解题的关键．
2
3.如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，
x
−2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．(1)求一次函数的解析式；
2
(2)对于反比例函数y= ，当y<−1时，写出x的取值范围；
x
1
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S ＝ S ，请求出点P的坐标．
BDP 2 ODA
△ △
【答案】(1)y=x+1
(2)−20)的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点B、F．一次函数
x
y=k x+b的图象经过E、F两点．
2
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
1 5 2
【答案】(1)一次函数的解析式为y=− x+ ，反比例函数表达式为y=
2 2 x
(17 )
(2) ,0
5
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D(2,1)，从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F
坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直线E'F的解析式
后令y=0，即可得到点P坐标．
【详解】（1）解： ∵四边形OABC为矩形，OA=BC=2，OC=4，
∴B(4,2)．
由中点坐标公式可得点D坐标为(2,1)，
k
∵反比例函数y= 1 (x>0)的图象经过线段OB的中点D，
x
∴k =xy=2×1=2，
12
故反比例函数表达式为y= ．
x
1
令y=2，则x=1；令x=4，则y= ．
2
1
故点E坐标为(1,2)，F(4, )．
2
设直线EF的解析式为y=k x+b，代入E、F坐标得：¿，
2
解得：¿，
1 5
故一次函数的解析式为y=− x+ ．
2 2
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E' (1,−2)，
设直线E'F的解析式为y=mx+n，代入点E'、F坐标，得：¿，
解得：¿．
5 17
则直线E'F的解析式为y= x− ，
6 6
17
令y=0，则x= ．
5
17
∴点P坐标为( ，0)．
5
17
故答案为：( ，0)．
5
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，
矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数
法求函数解析式、将军饮马解题模型．
k
5.如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点D(4,4)在反比例函数y= (x>0)的图象
x
2
上，直线y= x+b经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接AC、AE．
3(1)求k、b的值；
(2)求△ACE的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使PC−PE取得最大值时点P的坐标．
【答案】(1)k的值为16，b的值为−2；
(2)△ACE的面积为6
(3)点P的坐标为(−9,0)
k
【分析】（1）将点D(4,4)代入反比例函数y= (x>0)，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点
x
的公式，求得AD=5，再根据菱形的性质，得到CD=5，CD∥AB，进而得到C(9,4)，将C(9,4)代入
2
y= x+b，利用待定系数法即可求出b的值；
3
（2）先求出直线CE与坐标轴的交点坐标E(0,−2)和M(3,0)，再求出 S =4，S =2，即可得
△AMC △AME
到△ACE的面积；
（3）作E(0,−2)关于x轴的的对称点E'(0,2)，连接PE'，连接CE'并延长交x轴于P'，连接P'E，根据
坐标两点的公式，求得√85，再根据轴对称的性质，得到PE=PE'，进而得到PC−PE=PC−PE'，即
当P、E'、C不构成三角形，即P、E'、C共线时，PC−PE取最大值√85，此时P与P'重合，利用待定系
2
数法求出直线CE'的解析式为y= x+2，令y=0，即可求出点P的坐标．
9
k
【详解】（1）解：∵点D(4,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
k
∴4= ，
4
解得：k=16；
∵点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(4,4)，
∴AD=√(4−1) 2+(4−0) 2=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=5，CD∥AB，∴CD∥x轴，
∴C(9,4)，
2 2
将C(9,4)代入y= x+b，得：4= ×9+b，
3 3
解得：b=−2，
∴k的值为16，b的值为−2；
2
（2）解：由（1）知，直线CE解析式为y= x−2，
3
2
令x=0，则y=−2，令y=0，则 x−2=0，解得：x=3，
3
∴E(0,−2)，M(3,0)，
∴OM=3，
∵点A的坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∴AM=OM−OA=3−1=2，
1 1 1 1
∴S = AM⋅|y |= ×2×4=4，S = AM⋅|y |= ×2×2=2，
△AMC 2 C 2 △AME 2 E 2
∴S =S +S =4+2=6；
△ACE △AMC △AME
∴△ACE的面积为6；
（3）解：如图，作E(0,−2)关于x轴的的对称点E'(0,2)，连接PE'，连接CE'并延长交x轴于P'，连接
P'E，
∵C(9,4)，E'(0,2)，
∴CE'=√(9−0) 2+(4−2) 2=√85，
∵E、E'关于x轴对称，
∴PE=PE'，
∴PC−PE=PC−PE'，
当P、E'、C构成三角形时，PC−PE'0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V ≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求
出反比例函数的解析式．3.阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日 （星期四），
在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数
关系的数学活动”．
第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率．
第四步，计算收集数据如下：
R/Ω … 2 4 6 8 10 …
P/W … 18 9 6 4.5 3 …
第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以
表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，
实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选）
A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；(4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为．
【答案】(1)B
36
(2)P=
R
(3)图见详解
(4)010W时，即 >10，解得00)
R
(2)见解析
(3)当P大于6W，R的取值范围为05000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
题型四：分段问题
1.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴
趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）
变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函
数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综
合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）20；（2）能，见解析
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出5 900 32
x+20≥36(0≤x<10)， ≥36(200)，由图可知点(20,45)在y= 的图象上，
x x
∴k=20×45=900，
900
∴y= ．将x=45代入
x
将x=45代入得：
900
点A对应的指标值为 =20．
45
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(0,20)、B(10,45)代入y=kx+b中，
得¿，解得¿．
5
∴直线AB的解析式为y= x+20．
2
32
由题得¿，解得 ≤x≤25．
5
32 93
∵25− = >17，
5 5
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图象解决实际
问题是中考的常考题型。
2.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒
温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒
温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式；
(2)解释线段BC的实际意义；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使
蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)y＝¿；(2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
(3)恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【分析】（1）应用待定系数法分段求出函数解析式即可；
（2）根据函数图象结合题意回答即可；
200
（3）把y＝10代入y＝ 中，即可求得结论．
x
【详解】（1）解：设线段AB解析式为y＝k x＋b（k ≠0），
1 1
∵线段AB过点（0，10），（3，15），
代入得¿，解得：¿，
5
∴线段AB的解析式为：y＝ x＋10（0≤x＜6），
3
∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20，
∴点B坐标为（6，20），
∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10），
k
设双曲线CD解析式为：y＝ 2（k ≠0），
x 2
∵C（10，20），
∴k ＝200，
2
200
∴双曲线CD的解析式为：y＝ （10≤x≤24）；
x
∴y关于x的函数解析式为：y＝¿；
（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
200
（3）把y＝10代入y＝ 中，解得：x＝20，
x
∴20−10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点睛】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数和常数函数的关系
式．解答时应注意临界点的应用．
3.电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到
30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升
4
高而增加，温度每上升1℃，电阻增加 kΩ．
15(1)当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
60
【答案】(1)y=
x
1
(2)12≤x≤41
4
m
【分析】（1）设y与x之间的关系式为y= ，把点(10,6)代入，即可求解；
x
( 4 )
（2）当x>30时，设y与x的关系式为y=kx+b，根据题意可得函数图象过点(30,2)，点 31,2 ，再
15
代入，然后分别求出y=5时，两函数的函数值，即可求解．
m
【详解】（1）解：当10≤x≤30时，设y与x之间的关系式为y= ，
x
根据题意得：该函数图象过点(10,6)，
∴m=xy=10×6=60．
60
∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：y= ；
x
60
（2）解：∵y= ，
x
60
∴当x=30时，y= =2．
3
根据题意得：该函数图象过点(30,2)，
4
∵温度每上升1℃，电阻增加 kΩ．
15
( 4 )
∴该函数图象过点 31,2 ，
15
∴¿，解得：¿，
4
∴当x>30时，y与x的关系式为：y= x−6；
1560
对于y= 当y=5时，x=12；
x
4 1
对于y= x−6当y=5时，x=41 ；
15 4
1
答：温度x取值范围是12≤x≤41 时，电阻不超过5kΩ．
4
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键．
4.“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种
成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表
所示：
销售量n（株） n＝-x＋50
当1≤x≤20时，m＝______
销售单价
当21≤x≤30时，
m（元/株）
420
m=10+
x
1≤x≤20
(1)求出表中当 时，m与x间的函数关系式；
(2)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全
部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？
1
【答案】(1)m= x+20
2
1225
(2)基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠 元
2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设该基地第x天的利润为W，根据利润=（售价-成本）×数量列出W关于x的关系式，然后根据二
次函数与反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式满足一次函数关系式，故可设
当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式为m=kx+b，
∵¿，
∴¿，1
∴当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式为m= x+20；
2
（2）解：设该基地第x天的利润为W，
由题意得：W =¿，
1 1 1225
当1≤x≤20时，W =− x2+15x+500=− (x−15) 2+ ，
2 2 2
1
∵− <0，
2
1225
∴当x=15时，W最大为 ；
2
当21≤x≤30时，
∵21000>0，
21000
∴ 随x增大而减小，即W随x增大而减小，
x
∴当x=21时，W最大为580，
1225
∵ >580，
2
1225
∴基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠 元．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解
题的关键．
题型五：几何问题
1.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比
k
例函数y= (x>0)的图象与BC边交于点E．
x
(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
3 (3 )
【答案】(1)y= (x>0)，E ,2
x 23
(2)当k=3时，S =
最大值 4
【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析
式，以及二次函数的性质．
（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为(3,1)，由此代入求得函数解析式，把y=2代入解析式即可求得E
坐标；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数、二次函数的性质是解本题的关键．
【详解】（1）解：在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B(3,2)，
∵F为AB的中点，
∴F(3,1)，
k
∵点F在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
∴k=3，
3
∴该函数的解析式为y= (x>0)，
x
3
把y=2代入y= ，
x
3
得x= ，
2
(3 )
∴E ,2 ；
2
(k ) ( k)
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E ,2 ，F 3, ，
2 3
1 1 ( 1 )1
∴S = BF⋅CE= × 2− k k，
△EFC 2 2 3 2
1 1
= k− k2
2 2
1
=− (k2−6k+9−9)
12
1 3
=− (k−3) 2+ ，
12 4k
在边AB上，不与A，B重合，即0< <2，
3
解得00)的图象与边AC交
x
于点E．
(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)E(4,4)
(2)见解析
12
(3)y=
x
【分析】（1）先求出F点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出E点坐标即可；
（2）分别求出直线EF,AB的解析式，即可得证；
（3）过点E作EM⊥x轴，交OB于点M，证明△EMG∽△GBF，列出比例式，求出BG的长，再利
用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形AOBC中，OB=8,OA=4，
∴B(8,0)，C(8,4)，
当点F运动到边BC的中点时：F(8,2)，
∴k=2×8=16，
16
∴y= ，
x
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象与边AC交于点E，
x
∴y =4，
E
∴x =16÷4=4；
E
∴E(4,4)；
（2）如图：( k) (k )
∵F 8, ,E ,4 ，设直线EF的解析式为：y=ax+b，
8 4
则：¿，解得：¿，
1 k
∴直线EF：y=− x+ +4；
2 8
设：直线AB:y=mx+n，
∵A(0,4),(8,0)，
∴¿，解得：¿，
1
∴直线AB：y=− x+4，
2
∴EF∥AB；
（3）如图，过点E作EM⊥x轴，交OB于点M，则四边形AEMO为矩形，
∴EM=AO=4，
∵翻折，
∴∠ECF=∠EGF=90°,EC=EG,CF=FG，
∵∠EMG=∠FBG=∠EGF=90°，
∴∠EGM=∠BFG，
∴△EMG∽△GBF，
EM EG
∴ = ，
BG FG( k) (k )
∵F 8, ,E ,4 ，
8 4
k k k
∴FG=CF=4− ，EG=CE=8− ，BF= ，
8 4 8
k
8−
4 4
∴ = ，
BG k
4−
8
∴BG=2，
在Rt△FBG中，FG2=BG2+BF2，
∴ ( 4− k) 2 =22+ (k) 2 ，
8 8
∴k=12，
12
∴y= ．
x
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股
定理．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
