文档内容
专题 15 几何图形初步
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：认识几何体........................................................................................................................................3
考点二：直线、射线、线段的相关概念........................................................................................................4
考点三：角的相关概念....................................................................................................................................4
考点四：相交线................................................................................................................................................5
考点五：平行线................................................................................................................................................6
考点六：命题....................................................................................................................................................7
模块二：题型分类....................................................................................................................................................7
考点一：几何图形............................................................................................................................................7
题型一：几何图形的识别............................................................7
题型二：常见几何体三视图..........................................................8
题型三：几何体点、棱、面之间的关系................................................9
题型四：判断几何体的截面形状.....................................................10
题型五：判断几何体的展开图.......................................................11
题型六：由展开图计算几何体的表面积或体积.........................................12
题型七：正方体展开图的识别.......................................................14
题型八：补一个面使其成为正方体的展开面...........................................14
题型九：正方体相对两面上的字或图案...............................................15
题型十：与七巧板有关的计算.......................................................17
考点二：直线、射线、线段的相关概念......................................................................................................18
题型一：画直线、射线、线段.......................................................18
题型二：求直线、线段的数量.......................................................19
题型三：两点之间的距离...........................................................19
题型四：求直线相交点的个数.......................................................20
题型五：直线的性质...............................................................20
题型六：线段的性质...............................................................21
题型七：与线段中点有关的计算.....................................................21
考点三：角的相关概念..................................................................................................................................22
题型一：度、分、秒的换算.........................................................22
题型二：钟面角的计算.............................................................23
题型三：方向角的表示.............................................................23
题型四：角平分线的相关计算.......................................................24
题型五：求一个角的余角、补角.....................................................26
题型六：与余角、补角有关的计算...................................................26
题型七：三角板放置产生的角度计算.................................................28
考点四：相交线..............................................................................................................................................29
题型一：利用对顶角、邻补角的性质求解.............................................29
题型二：判断同位角、内错角、同旁内角.............................................31
题型三：点到直线的距离...........................................................31
考点五：平行线..............................................................................................................................................31
题型一：平行公理的应用...........................................................31
题型二：利用平行线的判定进行证明.................................................32
题型三：求平行线之间的距离.......................................................35题型四：平行线判定的实际应用.....................................................35
题型五：由平行线的性质求角度.....................................................37
题型六：由平行线的性质解决折叠问题...............................................38
题型七：平行线的性质在实际生活的应用.............................................39
题型八：利用平行线的性质解决三角板问题...........................................41
题型九：根据平行线性质与判定求角度...............................................43
题型十：根据平行线性质与判定证明.................................................47
考点六：命题..................................................................................................................................................49
题型一：命题的判断...............................................................49专题 15 几何图形初步
模块一：基础知识
考点一： 认识几何体
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
正方体展开图（共计11种）：
口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,
2）“三个二”成阶梯,
3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.
几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
4）体：几何体也简称体.
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.
【扩展】
名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12 V+F-E=2
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
考点二 ： 直线、射线、线段的相关概念
知识点1：直线、射线与线段的概念知识点2：基本事实
1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
知识点3：基本概念
1.两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2.线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
知识点4：双中点模型
若C为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
考点三：角的相关概念
1.角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
2.角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形.
3.角的分类：
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
4.角的表示方法：
角的表示 图例 适用范围 注意事项
A
用三个大写 任何情况 表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字
字母表示 C 都适用 母写在两侧.
B
记作：∠ABC或∠CBA
1）以这个字母为顶点的角只有一个；
用一个大写 2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角
字母表示 O 时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文
字母表示.
记作：∠O用一个数字 任何情况 在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，
表示 1 都适用 并注上数字或小写的希腊字母
用一个希腊
字母表示 α
5.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
1 1
6.度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（ ）′；1″=（ ）°
60 3600
1周角=2平角=4直角=360°.
7.角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；
2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.
8.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
1
【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC = ∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
2
②角平分线上的点到角两边的距离相等．
9.余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.
若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
10.补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.
若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.
考点四 ： 相交线
一、相交线
1.直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
2.垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一
条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足.
3.垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角.
③在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一
条.
4.垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
二、相交线中的角
1.对顶角与邻补角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为 ∠1=∠2
2 1 反向延长线
（∠1与∠2）
邻补角 4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另 ∠3+∠4=180°
3 一边互为反向延长线.
（∠3与∠4）
2.同位角、内错角与同旁内角
同位角（F）：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的
一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5.
内错角（Z）：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有
这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5.
同旁内角（U）：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系
的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6.
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，
同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和
异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”.
考点五 ： 平行线
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.
2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
3.平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
4.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补..
5.平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简称：同位角相等，两直线平行.
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简称：内错角相等，两直线平行.
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称：同旁内角互补，两直线平行.
判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．
6.判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合.
7.平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线
之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
考点 六 ：命题
内容
定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事
组成
项推出来的事项
通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的
表达形式
部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
分类
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
模 块二：题
型分类
考点一：几何图形
题型一：几何图形的识别
1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
2.围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）
A． 长方体B． 圆柱体C． 球体D． 圆锥体
3.下列几何体中，是棱锥的为（ ）
A． B． C． D．4.下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
5.不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角
形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
题型二：常见几何体三视图
1.下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
2.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方
面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从
左面看到的图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.用3个同样的小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如下图：
这个几何体是（ ）．
A． B． C． D．
4.如图所示是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它从正面看、从左面看、从上面看到的平面
图形，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看的图形面积最小 B．从上面看的图形面积最小
C．从左面看的图形面积最小 D．从三个方向看的图形面积一样大5.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的
个数最少是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型三：几何体点、棱、面之间的关系
1．如图，观察下列几何体并回答问题：
(1)n棱柱有___个面、___条棱、___个顶点，n棱锥有___个面、___条棱、___个顶点．
(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面
体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的数量关系，请
直接写出这个关系式．
2.欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领
域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数
F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：
____________________________．题型四：判断几何体的截面形状
1．如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（ ）
A．①与② B．③与④ C．①与③④ D．①与②，③与④
2.如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不
可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形
3.妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆
4．用一个平面去截一个棱柱，最多截得八边形，这个棱柱共有 个顶点， 条棱．
5．如果用平面截掉一个正方体的一个角，那么剩下的几何体有 个顶点．
6．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方
体有 个，一面涂色的小正方体有 个．
7.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能
呈现出的几何形状是（ ）
A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面8.分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型五：判断几何体的展开图
1.下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
3.把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）
A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱
4.如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是（ ）
A．正三棱柱 B．正三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
5.将如图所示的圆锥的侧面展开，则点A和点B在展开图中的相对位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）A．五棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
7.将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是
（ ）
A． B． C． D．
题型六：由展开图计算几何体的表面积或体积
1.若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为
．
2.某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（ ）
A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3
3.张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体
积为（ ）
A．60dm3 B．72dm3 C．74dm3 D．94dm3
4.如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为
cm2．5.如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）
√3 √3
A．π B．√3π C． π D． π
2 3
6.学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），
再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为30cm，宽为18cm，AD=2AB，则该纸盒的容积为
（ ）
A．960cm3 B．800cm3 C．650cm3 D．648cm3
7.相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成
底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：V 和V ．下
甲 乙
列说法正确的是：（ ）
A．V >V B．V =V C．V 、=、<填空）．
4.把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝ ．
5.如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是 ．
6.计算：80°−45°17'=_________．48°39'+67°31'=_________．
题型二：钟面角的计算
1.如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离10cm，经20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）
25 20 35 35
A． πcm B． πcm C． πcm D． πcm
6 3 6 3
2.在3：30、6：40、9：00、12：20中，时针和分针所成的角度最大的是（ ）
A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20
3.下列选项中，表示点P在点O的2点钟方向的是（ ）
A． B． C． D．
题型三：方向角的表示
1.甲、乙两艘轮船同时离开同一港口，各自沿一固定方向航行，航行的速度均为12海里/小时，甲船用
1.5小时到达点A处，乙船用2小时到达点B处，且A，B两点相距30海里．若甲船沿着北偏东30°的方向
航行，在下列方向中，乙船的航行方向可以是（ ）
A．南偏东60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．北偏西30°
2.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形3.如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B
地的方位角是（ ）
A．北偏西47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．南偏东47°
4.如图，已知点B在点A的北偏东30°的方向上，∠CBA=60°，则点C在点B的（ ）
A．南偏东30° B．西偏东30° C．东骗西30° D．北偏西30°
题型四：角平分线的相关计算
1.如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC=140°，则∠BOD的度数为
．
2.如图，直线 相交于点 射线 平分 若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥OF，已知∠BOF=20°，OC平分∠AOE，则∠BOD=
（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
4.如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系
一定为（ ）
A．互余 B．相等 C．互补 D．不等5.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为
（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6.如图，直线 AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2=80°，则∠AOE的度数为
（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
7.如图：OC是∠AOB的角平分线，l∥OA，若∠1=59°，则∠2的度数为（ ）
A．59° B．61° C．62° D．64°
8.如图，直线 AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=25°，则
∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
9.如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重
1
合），从O点引一条射线OE，使∠BOE= ∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大
2
的一个角为76°，则∠AOB= °．
10.如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB'O'C'，且∠OAC'=100°，则四边形ABOC旋转的角度是 ．
题型五：求一个角的余角、补角
1. 的余角是__________．
2.已知∠A和∠B互余，若∠A=52°，则∠B的度数为（ ）
A．52° B．48° C．38° D．28°
3.已知∠A=72°25'，则∠A的补角度数为（ ）
A．108°25' B．17°35' C．108°35' D．107°35'
4.如图，直线l ∥l ，直线l 与l ，l 分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l ，垂足为C，若
1 2 3 1 2 2
∠1=52°15'，则∠2的度数是 ．
题型六：与余角、补角有关的计算
1.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=80°，∠2=30°，则∠AOE的度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．80°3.如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠2=50°，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．80°4.如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属
秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α=92∘，则∠β的度数为
（ ）
A．92° B．90° C．88° D．86°
5.如图，正六边形 内部有一个正五形 ，且 ，直线 经过 、 ，
则直线 与 的夹角 ________ ．
6.已知∠α和∠β是对顶角，且∠α和∠β互余，则∠β的度数为（ ）
A．45° B．30° C．90° D．120°
7.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从
B测得船C在北偏东22.5°的方向．则∠ACB的度数 ．
8.按要求完成如下两个小题．
1
（1）已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求出这个角．
4
（2）如图，已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=26°，求∠BOD的
度数．题型七：三角板放置产生的角度计算
1.如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（
）
A．60° B．50° C．45° D．40°
2.一副三角板如图所示摆放，则 与 的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．45°
4.小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，
则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
5.如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=68°，则∠2的度数是（ ）A．30° B．32° C．22° D．68°6.将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
考点四：相交线
题型一：利用对顶角、邻补角的性质求解
1.如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
2.如图，平面镜 放置在水平地面 上，墙面 于点 ，一束光线 照射到镜面 上，反
射光线为 ，点 在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，直线 ， 相交于点 ，如果 ，那么 是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，直线 ， 相交于点O，若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．5.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠COE=35°，则∠AOD的度数为
（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
6.如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=48°，则∠BOM等
于 （ ）
A．96° B．132° C．146° D．156°
1
7.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG= ，正方
2
形ABCD的边长为8，则BH的长为 ．
4
8.如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD，若∠AOE= ∠BOC，则∠BOD=（ ）
5
A．20° B．25° C．30° D．35°
9.如图，平面上直线a、b分别经过线段AB的两个端点（数据如图），则直线a、b相交所成的钝角为
（ ）A．70∘ B．110∘ C．140∘ D．160∘题型二：判断同位角、内错角、同旁内角
1.下列图中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
题型三：点到直线的距离
1.如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且PO⊥l，其中PA=3.5，则点P到直线l的距
离可能是（ ）
A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
2.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段AC的长是点A到BC的距离 B．线段AD的长是点C到AB的距离
C．线段BC的长是点B到AC的距离 D．线段BD的长是点B到CD的距离
3.点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C，AC=6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是
（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
4.AD是Rt△ABC的角平分线，若AB=4，BD=3，则点D到AC距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点五：平行线
题型一：平行公理的应用
1.如图，在同一平面内过点M且平行于直线a的直线有（ ）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2.经过直线a外一点P的5条不同的直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3.如图，在平面内经过一点作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
题型二：利用平行线的判定进行证明
1.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
2.如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1=∠2，
求证：∠B+∠CDE=180°．对于上述问题，请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学
式）．
证明：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠BFH（对顶角相等），
∴∠BFD=（ ）（等量代换）．
∴BC∥（ ）．
∴∠C+∠CDE=180°（ ）．
又∵AB∥CD（已知），
∴∠B=（ ）（两直线平行内错角相等）．
∴∠B+∠CDE=180°．
3.已知：如图，AE⊥BC于点M，FG⊥BC于点N，∠1=∠2．(1)求证：AB∥CD；
(2)若CD=CB，∠D=75°，求∠ABC的度数．√9 | 3|
4.（1）计算：(−2025) 0+ − − +(−2) −1 ；
4 2
（2）如图，已知CB平分∠ACD，且AB=AC，求证：AB∥CD．
5.完成下面的证明：已知：如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC =90°（ ），
∴在△ABC中，∠B+∠ACB=90°（ ），
∵∠B=60°（已知），
∴∠ACB=30°，
∵∠1=30°，
∴ = （ ），
∴AD∥BC（ ）．
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD,
(1)求证：AB∥DC；
(2)点E在线段BC的延长线上，点F在线段AD上，EF交CD于点M，∠B=70°，∠DFE=50°，直接
写出∠DME的度数．7.如图，AD，BC相交于点O，OB=OC，OA=OD，延长AD到F，延长DA到E，AE=DF，连接
CF，BE．求证BE∥CF．
8.如图，已知∠A+∠ADC=180°，∠B=∠D，求证：∠E=∠DFE．
9.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60度得到ΔDBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接
AD．
（1）求证：BC//AD；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
10.探索与发现：
(1)若直线a ⊥a ，a ∥a ，则直线a 与a 的位置关系是 ，请说明理由．
1 2 2 3 1 3
(2)若直线a ⊥a ，a ∥a ，a ⊥a ，则直线a 与a 的位置关系是 （直接填结论，不需要说明理由）
1 2 2 3 3 4 1 4
(3)现在有2014条直线a ，a ，a ，⋯，a ，且有a ⊥a ，a ∥a ，a ⊥a ，a ∥a …，请你探
1 2 3 2014 1 2 2 3 3 4 4 5
索直线a 与a 的位置关系．
1 201411.如图，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ， 平分 ，且
∥ ．求证： ∥ ．
12.如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别是B，D，∠FDC=∠EBA．
(1)判断CD与AB的位置关系；（不需要证明）
(2)求证：DF∥BE．
题型三：求平行线之间的距离
1.如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2.2023年是农历兔年，小曹同学用边长为2的正方形纸片制作了一副七巧板，再用这副七巧板拼成一只兔
子（如图所示），已知AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 ．
题型四：平行线判定的实际应用
1.如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果 ，那么 的度数是
（ ）A． B． C． D．2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，
所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1=45°,∠2=120°，则∠3+∠4=（ ）
A．165° B．155° C．105° D．90°
3.如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠2=90° B．∠3=90° C．∠4=90° D．∠5=90°
4.斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组
成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=85°，这种验证方法的数学依据是
（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
5.如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD=90°，为保证护眼
灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是（ ）A．∠BDC=90° B．∠BDF=90° C．∠BAC=90° D．∠ACE=90°题型五：由平行线的性质求角度
1.如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．
若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2.如图，四条直线a,b,c,d，其中a∥b，∠1=35°，∠2=80°，则∠3=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．75°
3.如图，∠ECD=50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMP的度
数为（ ）
A．60° B．55° C．70° D．65°
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，
若AC=2√5，BC=4，则DF的长为（ ）
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
5.如图，平面镜l 与平面镜l 平行，光线由水平方向射来，传播路线为a→b→c，已知∠1=30°，则
1 2
∠2的度数为（ ）
A．45° B．30° C．15° D．无法确定题型六：由平行线的性质解决折叠问题
1.如图所示，有一条直的等宽纸带，按图折叠时形成一个30°的角，则重叠部分的∠α等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
2.某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为AB，
1
CD，若CD∥BE，且∠CBE= ∠ABC，则∠1为（ ）
3
A．106° B．108° C．109° D．110°
3.如图，把正方形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，若∠1=40°，则
∠A'EF的度数是（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
4.如图，AC是矩形ABCD的对角线，且∠ACB=30°，点E为边AD上一动点（点E不与点A重合），
将△BAE沿BE折叠得到△BA'E，若△BA'E的一边恰好与对角线AC平行，则∠ABE的度数为
．5.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B
落在CD上的点Q处．折痕为AP再将△PCQ,△ADQ，分别沿PQ,AQ折叠，此时点C，D落在AP上
的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∵∠C+∠D=180°，∴AD与BC位置关系为 ；
（2）线段CD与QR的数量关系为 ．
题型七：平行线的性质在实际生活的应用
1.如图，小明骑自行车自A处沿正北方向前进，到达B处后，右拐20°继续行驶，若行驶到C处后，小明
想按正东方向行驶，则他在C处应该（ ）
A．左拐20° B．右拐20° C．右拐70° D．左拐160°
2.如图1是两条高速公路互通立交俯瞰图，车辆从一条高速公路转到另一条高速公路，需要经过缓和曲线
匝道进行过渡．
如图2是一种缓和曲线过渡匝道的示意图．若把过渡匝道的缓和曲线看作是一个平面上的圆弧，汽车沿
⊙O的切线 PA经过切点A驶入匝道，从⊙O的切线CQ经过切点C驶出匝道．已知PA=60m，⊙O的
半径为80m．
(1)若在点P处设置一高清广角摄像头对圆弧形过渡匝道进行监控，且高清摄像头可以有效监控200m以内
的物体，问此摄像头能否有效监控整个匝道？并说明理由；(2)在图2中，若连接AC，交PO于点B，且PA=PB，判断QC与PO的位置关系，并说明理由．3.【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所
夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n
与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1=∠2．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，
请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系
会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
4.小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银
杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B
处测得 C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．5.为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如
图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便
立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，
当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
6.如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示太原市
的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26')，太原市的纬度是北纬
37°32'(∠POD=37°32')，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB的延长线经过地心O），
则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角α的度数是 ．
题型八：利用平行线的性质解决三角板问题
1.如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，∠BAC=90°，∠1=30°，则∠2的度数
是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.如图，把一个含有45°角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若∠α=123°，则∠β的度数是
（ ）A．48° B．88° C．78° D．75°3.如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF、
EF分别交CD于点H、K，若∠BEF=64°，则∠GHC等于（ ）．
A．44° B．34° C．24° D．14°
4.如图，三角板ABC(∠C=30°)的边BC与三角板PMN(∠N=45°)的边MN平行，若AC，PM相交
于点O，则∠AOM的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
5.直角三角板ABC与直角三角板DEF按如图放置，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，
∠C=30°，若BC∥EF，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．85° C．75° D．65°
6.将一副三角板如图摆放，使AB∥CD，则∠1的度数为（ ）
A．105∘ B．120∘ C．135∘ D．150∘题型九：根据平行线性质与判定求角度
1.如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平
行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2= ．
2.如图，AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°，则∠D= 度．
3．如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34° C．32° D．30°
4.如图，在 中， ， 平分 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，直线 ，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若 ，则下
列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6.两个直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，AB与DF交于点
M．若 ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．7.如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
8.如图，矩形 的四个顶点分别在直线 ， ， ， 上．若直线 且间距相等，
， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，已知 直线 和 相交于点 若 ，则 等于（
）
A． B． C． D．
10.如图摆放的一副学生用直角三角板， ， 与 相交于点G，当 时，
的度数是（ ）A．135° B．120° C．115° D．105°11.如图，M，N分别是 的边AB，AC的中点，若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
12.如图，直线 ， 于点E．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
13.如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
14.如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=32°，∠2=62°，则∠3
的度数为（ ）
A．118° B．148° C．150° D．162°
15.如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B=∠D=80∘，∠E=∠F=47∘，则图中∠G的度数
是（ ）A．80∘ B．76∘ C．66∘ D．56∘
16.如图所示，MN∥PQ，将一块三角板ABC如图所示放置（直角顶点C在MN上），若
∠MCB=32°，则∠PDB的度数为( )
A．22° B．28° C．32° D．38°
17.如图，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，则∠C=
°．
18.如图，AB∥CD，∠E=30°，∠ABE=130°，则∠DCE的度数为 ．
19.已知，如图，AB∥CD，∠A=140∘，∠D=28∘，那么∠AED = °．20.如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC， 若∠DCB＝
34°，则∠BAC＝ ．
21.已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，一等腰直角三角板绕点B旋转．
(1)如图1所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于C点，一直边交半圆于D点，另一直边交半圆于E点，
若点C在量角器上的读数为25°，求此时点E在量角器上的读数；
(2)如图2所示，当点C、D在量角器上的读数α、β满足什么关系时，直角边与半圆O相切于点D？请说
明理由．
题型十：根据平行线性质与判定证明
1.如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC=∠CBE．求证：四边形BCDE是平
行四边形．
2.如图，在 中，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，满足 ．连接 ，
分别与 ， 交于点 ， ．求证： ．3.如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，
EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（ ）
7 12 3 2
A． B． C． D．
5 5 5 5
4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H在BD上，DE=BF，DH=BG．求证：
EH∥GF．
5.要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同
学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
6.如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
7.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延
长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
8.下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC=∠A+∠C
方法二
方法一
证明：如图，延长AE，交CD于点
证明：如图，过点E作MN∥AB
F．
9.如图1，AB∥CD，点E，F在AB上，点G在CD上，点P在AB，CD之间，连接
EG，GP，PF，∠AFP=∠EGD．(1)求证：PF∥GE；
(2)如图2，EN平分∠AEG交CD于点N，PG∥EN，FM平分∠PFB， ∠¬:∠MFB=11:7，求
∠FPG的度数；
(3)如图3，EN平分∠AEG交CD于点N，PG∥EN，FM平分∠PFB，GM平分∠PGD，
FM，GM交于点M，∠¬:∠MFB=x:y，∠FMG=50°，直接写出x : y的值．
考点六：命题
题型一：命题的判断
1.下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
2.下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角
3.下列命题正确的是（ ）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲 2＝2.25，S乙 2＝1.81，则甲
成绩比乙的稳定
4.下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径
与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5.下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等C．正五边形是中心对称图形
D．单项式5ab2的次数是4
