文档内容
专题 15 几何图形初步
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：认识几何体........................................................................................................................................3
考点二：直线、射线、线段的相关概念........................................................................................................4
考点三：角的相关概念....................................................................................................................................4
考点四：相交线................................................................................................................................................5
考点五：平行线................................................................................................................................................6
考点六：命题....................................................................................................................................................7
模块二：题型分类....................................................................................................................................................7
考点一：几何图形............................................................................................................................................7
题型一：几何图形的识别............................................................7
题型二：常见几何体三视图..........................................................9
题型三：几何体点、棱、面之间的关系...............................................11
题型四：判断几何体的截面形状.....................................................13
题型五：判断几何体的展开图.......................................................17
题型六：由展开图计算几何体的表面积或体积.........................................19
题型七：正方体展开图的识别.......................................................25
题型八：补一个面使其成为正方体的展开面...........................................27
题型九：正方体相对两面上的字或图案...............................................29
题型十：与七巧板有关的计算.......................................................34
考点二：直线、射线、线段的相关概念......................................................................................................38
题型一：画直线、射线、线段.......................................................38
题型二：求直线、线段的数量.......................................................39
题型三：两点之间的距离...........................................................41
题型四：求直线相交点的个数.......................................................43
题型五：直线的性质...............................................................45
题型六：线段的性质...............................................................46
题型七：与线段中点有关的计算.....................................................48
考点三：角的相关概念..................................................................................................................................51
题型一：度、分、秒的换算.........................................................51
题型二：钟面角的计算.............................................................53
题型三：方向角的表示.............................................................54
题型四：角平分线的相关计算.......................................................58
题型五：求一个角的余角、补角.....................................................63
题型六：与余角、补角有关的计算...................................................65
题型七：三角板放置产生的角度计算.................................................70
考点四：相交线..............................................................................................................................................73
题型一：利用对顶角、邻补角的性质求解.............................................73
题型二：判断同位角、内错角、同旁内角.............................................77
题型三：点到直线的距离...........................................................77
考点五：平行线..............................................................................................................................................79
题型一：平行公理的应用...........................................................79
题型二：利用平行线的判定进行证明.................................................80
题型三：求平行线之间的距离.......................................................89题型四：平行线判定的实际应用.....................................................91
题型五：由平行线的性质求角度.....................................................93
题型六：由平行线的性质解决折叠问题...............................................97
题型七：平行线的性质在实际生活的应用............................................100
题型八：利用平行线的性质解决三角板问题..........................................108
题型九：根据平行线性质与判定求角度..............................................112
题型十：根据平行线性质与判定证明................................................129
考点六：命题................................................................................................................................................136
题型一：命题的判断..............................................................136专题 15 几何图形初步
模块一：基础知识
考点一： 认识几何体
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
正方体展开图（共计11种）：
口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,
2）“三个二”成阶梯,
3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.
几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
4）体：几何体也简称体.
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.
【扩展】
名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12 V+F-E=2
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
考点二 ： 直线、射线、线段的相关概念
知识点1：直线、射线与线段的概念知识点2：基本事实
1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
知识点3：基本概念
1.两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2.线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
知识点4：双中点模型
若C为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
考点三：角的相关概念
1.角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
2.角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形.
3.角的分类：
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
4.角的表示方法：
角的表示 图例 适用范围 注意事项
A
用三个大写 任何情况 表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字
字母表示 C 都适用 母写在两侧.
B
记作：∠ABC或∠CBA
1）以这个字母为顶点的角只有一个；
用一个大写 2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角
字母表示 O 时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文
字母表示.
记作：∠O用一个数字 任何情况 在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，
表示 1 都适用 并注上数字或小写的希腊字母
用一个希腊
字母表示 α
5.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
1 1
6.度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（ ）′；1″=（ ）°
60 3600
1周角=2平角=4直角=360°.
7.角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；
2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.
8.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
1
【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC = ∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
2
②角平分线上的点到角两边的距离相等．
9.余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.
若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
10.补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.
若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.
考点四 ： 相交线
一、相交线
1.直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
2.垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一
条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足.
3.垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角.
③在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一
条.
4.垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
二、相交线中的角
1.对顶角与邻补角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为 ∠1=∠2
2 1 反向延长线
（∠1与∠2）
邻补角 4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另 ∠3+∠4=180°
3 一边互为反向延长线.
（∠3与∠4）
2.同位角、内错角与同旁内角
同位角（F）：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的
一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5.
内错角（Z）：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有
这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5.
同旁内角（U）：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系
的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6.
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，
同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和
异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”.
考点五 ： 平行线
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.
2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
3.平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
4.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补..
5.平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简称：同位角相等，两直线平行.
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简称：内错角相等，两直线平行.
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称：同旁内角互补，两直线平行.
判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．
6.判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合.
7.平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线
之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
考点 六 ：命题
内容
定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事
组成
项推出来的事项
通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的
表达形式
部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
分类
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
模 块二：题
型分类
考点一：几何图形
题型一：几何图形的识别
1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【答案】B【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．
2.围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）
A． 长方体B． 圆柱体C． 球体D． 圆锥体
【答案】A
【详解】解：A、六个面都是平面，故本选项正确；B、侧面不是平面，故本选项错误；C、球面不是平面，
故本选项错误；D、侧面不是平面，故本选项错误；故选：A．3.下列几何体中，是棱锥的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A.图形中的几何体是棱锥，故此选项符合题意；
B.图形中的几何体是正方体，故此选项不符合题意；
C.图形中的几何体是圆锥，故此选项不符合题意；
D.图形中的几何体是圆柱，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的识别，掌握各几何体的特征是解题的关键．
4.下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A.是正方体，故不符合题意；B.是圆柱，故符合题意；C.是圆锥，故不符合题意；
D.是球体，故不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．
5.不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三
角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】A
【分析】根据几何体有4个面是三角形，有6条棱，进行判断即可．
【详解】解：∵几何体有4个面是三角形，∴几何体不能是棱柱（棱柱侧面均为四边形，只有三棱柱上
下底面是三角形）；又∵几何体有6条棱，∴选项中只有A选项符合题意；故选A．
题型二：常见几何体三视图
1.下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方
面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从
左面看到的图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了从三个方面看物体，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面
图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的
或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从左面看，得到的平面图形是 ，
故选：B．
3.用3个同样的小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如下图：
这个几何体是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合从不同方向看几何体的图形作出判断即可．
【详解】解：根据从正面看到的图形，可以将A、C、D排除，故选：B．
【点睛】本题考查了由不同方向看判断几何体的知识，解题的关键是能够弄懂从不同方向看几何体分别
是从哪里看到的．
4.如图所示是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它从正面看、从左面看、从上面看到的平面
图形，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看的图形面积最小 B．从上面看的图形面积最小
C．从左面看的图形面积最小 D．从三个方向看的图形面积一样大
【答案】C
【分析】分别作出从正面看、从左面看、从上面看到的平面图形，然后结合选项判断其面积大小即可．
【详解】解：该图形的从正面看到的平面图形为：
该图形的从左面看到的平面图形为：
该图形的从上面看到的平面图形为：
可知从左面看到的平面图形面积最小，从正面看到的平面图形面积和从上面看到的平面图形面积一样大，
故选：C．
【点睛】此题考查了从不同的方向看简单组合体，解题的关键是画出这个组合体从不同方向看的图形．
5.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的
个数最少是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最少时的数字即可．
【详解】由所给的主视图和左视图可知：
搭成这个几何体的小正方体的个数最少5个，
故选：C．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是对知识点的记忆、理解能力．
题型三：几何体点、棱、面之间的关系
1．如图，观察下列几何体并回答问题：
(1)n棱柱有___个面、___条棱、___个顶点，n棱锥有___个面、___条棱、___个顶点．
(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面
体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的数量关系，请
直接写出这个关系式．
【答案】(1)(n+2)，3n，2n，(n+1)，2n，(n+1)；
(2)V +F−E=2
【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足
的关系式是解题的关键．
（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从
而得到三者的关系为V +F−E=2．【详解】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有(n+2)个面，3n条棱，2n个
顶点，n棱锥有(n+1)个面，2n条棱，(n+1)个顶点；
故答案为：(n+2)，3n，2n，(n+1)，2n，(n+1)；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如
图：
根据上表总结出这个关系为V +F−E=2．
2.欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等
领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面
数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：
____________________________．
【答案】（1）表格详见解析；（2）V +F−E=2
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；
（2）从特殊到一般探究规律即可．
【详解】解：（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：V +F−E=2．
【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属
于中考常考题型．
题型四：判断几何体的截面形状
1．如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（ ）
A．①与② B．③与④ C．①与③④ D．①与②，③与④
【答案】D
【分析】本题主要考查几何体，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；因此此题可根据正方体的特征进
行求解即可．
【详解】解：由题意可知：截面相同的是①和②，③和④；
故选D．
2.如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不
可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形
【答案】D【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角
形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案；
【详解】解：∵正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交
得三角形，
∴截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，
故选D．
【点睛】本题考查了正方体的截面，解题的关键是熟练掌握面面相交等到线．
3.妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆
【答案】A
【分析】根据圆柱体的截面形状，判断即可．
【详解】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形，
所以，一个密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，则水面的形状不可能是三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握圆柱体的截面形状是解题的关键．
4．用一个平面去截一个棱柱，最多截得八边形，这个棱柱共有 个顶点， 条棱．
【答案】 12 18
【分析】此题考查了截一个几何体，解题的关键是知道用一个平面去截一个棱柱时，截面经过棱柱的几
个面，得到的截面形状就是几边形．
用平面去截一个棱柱时最多与所有面相交得到截面的边数与棱柱的面数相同，最少与三个面相交得三角
形．因为最多截得八边形，所以棱柱有8个面，这是个六棱柱，一个n棱柱，其棱的数量由多边形的边数
或顶点数来决定．对于一个n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱．由此即可解答．
【详解】解：∵用一个平面去截一个棱柱，最多截得八边形，
∴棱柱有8个面，是六棱柱，有12个顶点，18条棱．
故答案为：12，18．
5．如果用平面截掉一个正方体的一个角，那么剩下的几何体有 个顶点．
【答案】7或8或9或10
【分析】本题考查了截一个正方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏，有一定的难度．
当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个顶点、12条棱、7个面；当截面
截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个顶点、13条棱、7个面；当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点、14条棱、7个面；当截面截取由三棱中点组成的面时，剩
余几何体有10个顶点、15条棱、7个面．
【详解】解∶剩下的几何体可能有∶7个顶点、12条棱、7个面；或8个顶点、13条棱、7个面；
或9个顶点、14条棱、7个面；
或10个顶点、15条棱、7个面
如图所示∶
故答案为：7或8或9或10．
6．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方
体有 个，一面涂色的小正方体有 个．
【答案】 14 14
【分析】本题考查长方体的相关知识．观察后动手操作，判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位
置，是解决本题的关键．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即
可．
【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层
处还有2个，
∴两面涂色的小正方体有14个．如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；
上面有2个，
∴一面涂色的小正方体有4+4+2+2+2=14（个）．
故答案为：14，14．
7.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能
呈现出的几何形状是（ ）
A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
【答案】C
【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论．
【详解】解：当圆柱桶竖直放置时，液面形状为圆形，故选项A不符合题意；
当圆柱桶水平放置时，液面为矩形，故选项B不符合题意；
无论圆柱桶怎样放置，圆柱桶内的水平面不可能呈现出梯形面，故选项C符合题意；
当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则液面为椭圆的一部分，若液面不经过底面，则液面为椭圆，
故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆柱的结构特征．关键是理解用平面去截圆柱体，所得到截面.
8.分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征解答即可．
【详解】解：用一个平面去截正方体、圆柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形，
用一个平面去截圆锥、球体，不可以得到截面是矩形，所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特是解题的关
键．
题型五：判断几何体的展开图
1.下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，
“3﹣3型”1种，因此选项D符合题意，故选：D．
2.下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、是棱锥的侧面展开图，不符合题意；B、是圆锥的侧面展开图，符合题意；
C、是圆台的侧面展开图，不符合题意；D、是圆柱的侧面展开图，不符合题意；故选：B．
3.把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）
A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱
【答案】A
【详解】
解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选A．
4.如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是（ ）A．正三棱柱 B．正三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【答案】A
【详解】解：由表面展开图得，这个几何体是正三棱柱，故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的表面展开图，解题的关键是熟记几何体的表面展开图的特征．
5.将如图所示的圆锥的侧面展开，则点A和点B在展开图中的相对位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点B在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后，点B应在扇形的半径上，且A，B间距离为扇面
的一半，故可解答．
【详解】解：点B在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后，点B应在扇形的半径上，且A，B间距离为扇面
的一半，故选：C
6.如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A．五棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【答案】D
【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结
合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
7.将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
B、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
C、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．
题型六：由展开图计算几何体的表面积或体积
1.若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为
．
【答案】36+2√3/2√3+36
【分析】根据题意得出正三角形的边长为2，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可
求解．
【详解】解：∵侧面展开图是边长为6的正方形，
∴底面周长为6，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为2
作CD⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，
∴AD=1，
∴在直角ΔADC中，
CD=√AC2−AD2=√3，
1
∴S = ×2×√3=√3；
△ABC 2∴该直三棱柱的表面积为6×6+2√3=36+2√3，
故答案为：36+2√3．
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
2.某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（ ）
A．200πcm3 B．500πcm3 C．1000πcm3 D．2000πcm3
【答案】B
【详解】试题分析：根据图示，可得商品的外包装盒是底面直径是10cm，高是20cm的圆柱，∴这个包
装盒的体积是：π×(10÷2) 2×20=500π（cm3）．故选B．
考点：由三视图判断几何体．
3.张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体
积为（ ）
A．60dm3 B．72dm3 C．74dm3 D．94dm3
【答案】A
【分析】设长方体底面的长和宽分别xdm，ydm，根据其平面展开图的相关数据可得关于x、y的二元一
次方程组，然后根据长方体的体积公式求解即可.【详解】解：设长方体底面的长和宽分别xdm，ydm，
由平面图可知，¿，解得¿；
故鱼缸的体积为4×5×3=60(dm3).
故选A.
【点睛】本题考查了长方体的平面展开图以及二元一次方程组等知识，弄清长方体的展开图与圆长方体
中长、宽、高的关系是解题的关键.
4.如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为
cm2．
【答案】4π．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长
和底面半径，从而确定其表面积．
【详解】由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，
故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2．
故答案为4π．
【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）
√3 √3
A．π B．√3π C． π D． π
2 3
【答案】D
1
【分析】由题意知，该几何体为圆锥，如图，则 BC= ×2=1，AB=2，∠ACB=90°，在
21 1
Rt△ACB中，由勾股定理得，AC=√3，则几何体的体积V = Sh= ×π×√3，计算求解即可．
3 3
1
【详解】解：由题意知，该几何体为圆锥，如图，则BC= ×2=1，AB=2，∠ACB=90°，
2
在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=√3，
1 1 √3
∴几何体的体积V = Sh= ×π×√3= π，
3 3 3
故选：D．
【点睛】本题考查了根据圆锥的展开图求圆锥体积，勾股定理．解题的关键在于确定几何体的形状．
6.学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），
再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为30cm，宽为18cm，AD=2AB，则该纸盒的容积为
（ ）
A．960cm3 B．800cm3 C．650cm3 D．648cm3
【答案】D
【分析】设AB=xcm，则AD=2xcm，列出关于x的方程并求解，再计算该纸盒的容积．
【详解】解：设AB=xcm，则AD=2xcm，
2x+x=18，
解得：x=6，
所以AB=6cm,AD=12cm，
1
则长方体的底面宽为： ×(30−6×2)=9(cm)，
2
所以该纸盒的容积为：12×9×6=648(cm3)故选：D
【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体及一元一次方程应用，解题的关键是正确题意，然后根据
题目的数量关系列出代数式解决问题．
7.相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成
底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：V 和V ．下
甲 乙
列说法正确的是：（ ）
A．V >V B．V =V C．V 36
∴V >V
甲 乙
故选A．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，体积，二元一次方程组的应用．解题的关键在于求出长方体的高，
底面正方形的边长．
8.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到一个几
何体，则该几何体的表面积为 ．84
【答案】 π
5
【分析】先求出直角三角形斜边AB的长，然后再求出斜边上的高，最后根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=√AC2+BC2=5，
AC×BC 3×4 12
∴CD= = = ，
AB 5 5
1 12 84
∴该几何体的表面积为： ×2× π×(3+4)= π．
2 5 5
84
故答案为： π．
5
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，准确计
算．
9.如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，此长方体的表面积为
．
【答案】370
【分析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后计算长方体的表面积即可．
【详解】解：设原长方体底面边长为a，长方体高为b，
15=3a，2a+b=26，解得a=5，b=16，
∴长方体的表面积为：5×5×2+5×16×4=370，
故答案为：370．
【点睛】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.如图，把一个高9dm的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的
近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36dm2．原来这个圆柱的体积是 dm3．
【答案】36π
【分析】增加的面积等于底面半径乘以高，再乘以2，由此可以计算出圆柱的底面半径，进而可以算出圆
柱的体积．
【详解】解：圆柱的底面半径为：36÷2÷9=2（分米），
故圆柱的体积为：π×22×9=36π（立方分米），
故答案：36π．
【点睛】本题考查圆柱的体积，长方形的面积，长方体的表面积，掌握圆周的体积公式是解决本题的关
键．
题型七：正方体展开图的识别
1.下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【详解】解：由轴对称图形定义可知：A，B，C不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两
部分完全重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那
么这样的图形就叫做轴对称图形．
2.下列哪个不是正方体的侧面展开图（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知正方体图形，利用排除法选出正确答案，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻
必不相对．
【详解】根据已知正方体图形，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不相对．
利用排除法可得D选项正确
故选：D
【点睛】判断一个平面图形是不是某立体图形的平面展开图，需要从底面和侧面的情况进行全面的分析，
反之相同，在分析过程中需谨记，相邻必不相对．此类题目的解答有两种思路∶①根据已知立体图形，
利用排除法选出正确答案；②将选项中的展开图还原成成立体图形与已知立体图形比较得出正确答案．
3.下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断，也
可对展开图进行还原成正方体进行判断．
【详解】解：A．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
B．不可以作为一个正方体的展开图，符合题意；
C．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
D．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的
“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形
的情况）判断也可．
4.如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（
）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体展开图的特征，由条件结合图形验证是否能拼成正方体，逐项判断即可得出结论．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征可知：
A.图形是中间四个连一行，两边随意摆的形式，符合正方体的展开图，所以A选项正确；
B.图形是二三相连错一个，三一相连随意的形式，符合正方体的展开图，所以B选项正确；
C.图形是三个两排一对齐，不符合正方体的展开图，无法拼成正方体，所以C选项不正确；
D.图形是两两相连各错一的形式，符合正方体的展开图，所以D选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的各种形式，是解题的关键．
题型八：补一个面使其成为正方体的展开面
1.如图，方格纸（每个小正方形边长都相同）中5个白色小正方形已剪掉，在剩余七个小正方形中再剪
去1个正方形，恰好使余下部分能折成一个正方体的概率是 ．
2
【答案】
7
【分析】根据正方体的11种展开图的模型求解，即可得到答案．
【详解】解：由正方体的11种展开图的模型可知，把图中的⑥或⑦剪去，余下部分能折成一个正方体，
2
即概率为 ，
7
2
故答案为： ．
7
【点睛】本题考查了正方体的展开图，概率公式，熟记正方体的11种展开图的模型是解题关键
2.如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小正方形组合后，不能构成正方体的
表面展开图的是（ ）A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图判断即可得出答案．
【详解】解：①②③都可以构成正方体的表面展开图，它们都属于“141”型，故A，B，C选项不符合题
意；
④不可以构成正方体的表面展开图，因为出现了“田”字，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的11种展开图是解题的关键．
3.在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标
有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），
试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1−4−1型共6种，1−3−2型共3种，2−2−2型一种，3−3型
一种，由此判定找出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：
补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，
共6个，
故选：D．
【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型1-4-1型，2-3-1型，2-
2-2型，3-3型．以及口诀“凹、田应弃之”．
4.在如图所示的正方形网格中，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现
在从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）1 1 1 4
A． B． C． D．
12 7 3 7
【答案】D
【分析】由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形
中选一块，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展
开图的一部分，
所以剩下7个小正方形．
在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，
4
因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是 ．
7
故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是本
题的关键．
题型九：正方体相对两面上的字或图案
1.某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六
个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ）
A．传 B．承 C．文 D．化
【答案】D
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“红”字相对的面上的汉字是“化”．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
2.下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）
A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
【答案】C
【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求
解．
【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
3.如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体展开图直接判断即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
P，Q在相对的两面，且与相邻正方形顶点重合，故P，Q在同一条棱上，
故选C；
【点睛】本题考查正方体展开图，解题的关键是熟练掌握展开图的相对相邻面及相邻棱之间的关系．
4.如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【详解】解：折叠之后如图所示，
则K与点D的距离最远，
故选D．
【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力．
5.习近平总书记在党的二十大报告中提出：“新时代十年的伟大变革，在党史、新中国史、改革开放史、
社会主义发展史、中华民族发展史上具有里程碑意义”将“二”“十”“大”“里”“程”“碑”这六
个汉字分别写在某正方体的六个面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“里”字所在面相
对的面上的汉字是（ ）
A．十 B．二 C．程 D．碑
【答案】B
【分析】将正方体的展开图还原成立体图，即可求解
【详解】解：若以“大”字作为正方体的底面
可知：“十”、“碑”为前后两个面；
“二”、“里”为左右两个面；
“程”、“大”为上下两个面．
故选：B
【点睛】本题考查正方体展开图相对两个面上的字．将展开图还原成立体图是解题关键．
6.下列正方体的展开图中，每个面上都有一个汉字，则“口”的对面是“手”的展开图是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法逐项判断即可．
【详解】解：A、“口”的对面是“洗”，故A不符合题意；
B、“口”的对面是“勤”，故B不符合题意；
C、“口”的对面是“洗”，故C不符合题意；
D、“口”的对面是“手”，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是
解题的关键．
7.有一个正方体，6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有3个人从不同的角度观察的结果如图所示．
如果记6 的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．11
【答案】B
【分析】由图一和图二可看出1的对面的数字是5；再由图二和图三可看出3的对面的数字是6，从而2
的对面的数字是4，从而可得答案．
【详解】解：从3个小立方体上的数可知，
与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，
所以数字1面对数字5，
与写有数字3的面相邻的面上数字是1，2，4，5，
所以立方体面上数字3对6．
故立方体面上数字2对4．
则a=3，b=4，
那么a+b=3+4=7．
故选B．
【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，解题的关键是按照相邻和所给图形得到相对面的
数字．
8.一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透
明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和
最小是（ ）A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能
看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：1+2+3+4+5=15；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：1+2+3=6；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：1+2+3+5=11；
∴能看得到的面上数字之和最小为：15+6+11=32，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
9.如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“1−4−1”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两
两相邻．
【详解】解：四个选项中的图都是正方体展开图的“1−4−1”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻；
A、C、D选项折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B选项折成正方体后，有图案的三个面
两两相邻；
的展开图是
故选：B．
【点睛】正方体展开图“1−4−1”结构，折成正方体后，两个“1”相对，“4”组成侧面，间隔面相邻．
关键是明白有图案的三个面两两相邻．
10.如图，已知一个正方体是三个面分别标有〇、◎、※三种图案，则它的展开图可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
选项A中“〇面”“◎面”“※面”的对面都是“空白”，故选项A符合题意；
选项B中的“◎面”与“※面”是对面，与题意矛盾，故选项B不符合题意；
选项C中的“〇面”与“◎面”是对面，与题意矛盾，故选项C不符合题意；
选项D中的“◎面”与“※面”是对面，与题意矛盾，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答本题的关键．
题型十：与七巧板有关的计算
1.七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被兴为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边
长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板（如图1），并设计了一幅作品“我跑步，我快乐”创作
画（如图2），则创作画中阴影部分的面积是 cm2．【答案】5
1 1
【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积= × ×42=1(cm2)，最大的等腰直角三角形的面积为
8 2
4cm2，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．
1 1
【详解】解：最小的等腰直角三角形的面积= × ×42=1(cm2)，最大的等腰直角三角形的面积为
8 2
1
×42=4cm2
，
4
∴阴影部分的面积为4+1=5(cm2)．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会
利用分割法求阴影部分的面积．
2.如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成
七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线
折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以
不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，
BF
装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则 的值为
BE
（ ）
1+√2 √2 2+√2 2+√2
A． B． C． D．
2 2 4 2
【答案】D
【分析】设七巧板正方形的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出BF，BE的长，即可求
解．
【详解】解：设七巧板正方形的边长为x，
∴2BE2=x2，
x2
∴BE2= ，
2
√2
∴BE= x，
2
1 √2
∴BF= x+ x，
2 2
1+√2
BF 2 1+√2 √2+2
∴ = = = ．
BE √2 √2 2
x
2
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，七巧板，勾股定理，正方形的性质，表示出BF，BE的长是解题的关
键．
4.七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．
如图，有一块边长为4√2的正方形厚纸板ABCD，做成如图①所示的一套七巧板(点O为正方形纸板对角
线的交点，点E、F分别为AD、CD的中点，GE∥BI，IH∥CD)，将图①所示七巧板拼成如图②所示
的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为 ．【答案】6
【分析】依据勾股定理即可得到AC的长，进而得出FI=EI=2，EF=4，即可得到“鱼尾”MN的长．
【详解】解：∵正方形厚纸板ABCD的边长为4√2，
∴AD=CD=4√2，
∴AC=√AD2+CD2=8，
又∵AG=GO=OH=CH，
∴FI=EI=2，EF=4，
∴NM=EF+IF=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板问题，掌握七巧板的结构特点是解决问题的
关键．
5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正
方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，且边长为4，那么阴影部分
面积为 ．
【答案】3
【分析】将正方形ABCD的面积分成16等份，看阴影部分占几份即可．
【详解】解：如图所示，正方形ABCD的面积可以分成16等份，其中△BJE占1份，平行四边形HPFD占2份，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴ S =42=16，
正方形ABDF
1+2
∴S =S +S ❑ = ×16=3．故答案为：3．
阴影 △BJE ▱ HPFD 16
【点睛】本题考查七巧板相关的计算，解题的关键是根据图形得出阴影部分所占面积与正方形面积之比．
考点二：直线、射线、线段的相关概念
题型一：画直线、射线、线段
1.已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= cm．
【答案】5或11
【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．
【详解】由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
当C点在B点右侧时，如图所示：
AC=AB+BC=8+3=11cm；
当C点在B点左侧时，如图所示：
AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm；
所以线段AC等于11cm或5cm.
2.如图，已知A、B两点，画射线AB，按照上述语句，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据射线的概念即可得到答案．
【详解】解：已知A、B两点，画射线AB，如图所示：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了射线的定义，熟练掌握射线的定义：由线段的一端无限延伸所形成的直线，是
解题的关键．
3.下列各选项中的射线EF和直线AB能相交的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段、射线、直线的性质和图判断即可．
【详解】解：A、射线EF延伸，不能与AB相交，故本选项错误；
B、能相交，故本选项正确；
C、射线只能向F点方向延伸，不能向E点方向延伸，因此不能相交，故本选项错误；
D、射线只能向F点方向延伸，不能向E点方向延伸，因此不能相交，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了对线段、射线、直线的性质的应用，注意：直线能向两方无限延伸，射线只能向一
方无限延伸，而线段不能延伸．
4.如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（ ）
A．点D B．点E C．点Q D．点M
【答案】A
【分析】把P与各点的连线段画出来即可得到答案.
【详解】解：如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是D，
故选A
【点睛】本题考查的是线段的概念，熟记线段的特征是解本题的关键.
题型二：求直线、线段的数量
1.如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】A
【分析】根据直线的特征即可得到答案．
【详解】解：如图，过点C的直线有AC，BD，共2条．
故选：A．
【点睛】此题考查了直线的条数，熟练掌握直线的特征是解题的关键．
2.1000m的大道两侧从起点开始每隔10m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要
（ ）
A．树200棵，花200盆 B．树202棵，花200盆
C．树202棵，花202盆 D．树200棵，花202盆
【答案】B
【分析】用1000÷10求得大道一侧的间隔数，用间隔数加上1就是一侧植树的棵数，再乘2就是两侧一
共植树的棵数，用间隔数乘2就是两侧一共要放多少盆花，
【详解】解：种花：1000÷10×2=100×2=200（盆）
种树：（1000÷10+1）×2=101×2=202（棵）
答：这样需要202棵树，200盆花．故选：B．
【点睛】本题考查线段上端点问题．为使其更直观，用图示法来说明．树用点来表示，植树的沿线用线
来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的
关系问题．
3.哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出
行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟
设每两个城市之间的票价相同）
【答案】15
【分析】把中途4站看作线段AB上的4个点，数出线段的数量即可求解．
【详解】把中途4站看作线段AB上的4个点．
线段共有：5+4+3+2+1=15（条），
所以有15种不同的票价．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了线段数量问题，将问题转化是解题的关键．
题型三：两点之间的距离
1.如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段AB+CD=5，则线段AD−BC=
【答案】5
【分析】根据图形得出AD-BC=AB+CD即可求解．
【详解】解：∵AB+CD=5，
∴AD-BC=AB+CD=5．
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查线段的和差，结合图形求解是解题关键．
2.直线上依次有A，B，C，D四个点，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，
则BC的长为 ．
【答案】2或2.5
【分析】由AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，分BC=AB或BC=CD两种情况结合已知条件
进行求解即可得.
【详解】解：如图∵AB=2，AD=7，
∴BD=BC+CD=AD-AB=5，
∵AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，
∴BC=AB或BC=CD，
∴BC=2或BC=2.5，
故答案为2或2.5.
【点睛】本题考查了线段的和差，等腰三角形的概念，关键是根据等腰三角形的腰相等分两种情况进行
讨论.
3.如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，2cm/s的
速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_______．
MN
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求 的值．
AB
1
【答案】（1）6cm；（2）4；（3） 或1
3
【分析】（1）由题意得CM=2cm，BD=4cm，根据AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；
1
（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM= AB；
3
（3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．
【详解】解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cm
∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，
∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；
（2）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，
∵MD=2AC，
∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，
∵AM+BM=AB，
∴AM+2AM=AB，
1
∴AM= AB=4，
3
故答案为：4；（3）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN-BN=MN，
又∵AN-AM=MN，
∴BN=AM=4，
∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，
MN 4 1
∴ = = ；
AB 12 3
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN-BN=MN，
又∵AN-BN=AB，
∴MN=AB=12，
MN 12
∴ = =1，
AB 12
MN 1
综上： 的值为 或1．
AB 3
【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关
键的一点．
题型四：求直线相交点的个数
1.将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】根据题意画出图形即可求解．
【详解】如图所示，将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为7块故选：C．
【点睛】本题考查了直线分平面问题，理解题意是解题的关键．
2.在平面中，两条直线最多只有1个交点，三条直线最多有3个交点…若n条直线最多有325个交点，则
n的值为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】C
【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可
解答．
【详解】解：2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有1+2个交点；
4条直线相交最多有1+2+3个交点；
5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；
…
1
所以n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+（n-1）= n（n-1）个交点；
2
1
∴ n(n−1) =325，
2
解得n=26（负值已舍去），
则n值为26．
故选：C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
3.2条直线最多有S 个交点，3条直线最多有S 个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有S 个交
1 2 20221 1 1 1 1
点，则
+ + +⋯+ +
的值为（ ）
S S S S S
1 2 3 2021 2022
2023 4044 4045 2021
A． B． C． D．
1012 2023 2023 1011
【答案】B
2022×2023
【分析】先求出S ，S ，S ，由此发现规律，可得S = ，从而得到
1 2 3 2022 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 )
+ + +⋯+ + = + + +⋯+ ==2 1− +2 − +2 − +⋯+，2 −
S S S S S 1 3 6 2022×2023 2 2 3 3 4 2022 2023
1 2 3 2021 2022
即可求解．
2×(2−1)
【详解】解：根据题意得：S = =1，
1 2
3×(3−1)
S = =3，
2 2
4×(4−1)
S = =6，
3 2
……，
n(n+1)
由此发现，S = ，
n 2
2022×2023
∴S = ，
2022 2
1 1 1 1 1
∴
+ + +⋯+ +
S S S S S
1 2 3 2021 2022
1 1 1 2
= + + +⋯+
1 3 6 2022×2023
( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 )
=2 1− +2 − +2 − +⋯+2 −
2 2 3 3 4 2022 2023
( 1 1 1 1 1 1 1 )
=2 1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2022 2023
( 1 )
=2 1−
2023
4044
= ．
2023
故选：B【点睛】本题主要考查了直线的交点个数，数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
题型五：直线的性质
1．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】B
【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：B．
2.如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一
条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种
做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
3.如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线
段是（ ）A．a B．b
C．c D．d
【答案】A
【分析】根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断．
【详解】解:设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，
连结AB、AC、AD、AE，
根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，
利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，
故选择A．
【点睛】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键．
题型六：线段的性质
1．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段
为60cm，若AP＝ PB，则这条绳子的原长为（ ）
A．100cm B．150cm
C．100cm或150cm D．120cm或150cm
【答案】C
【解答】解：当PB的2倍最长时，得
PB＝30cm，AP＝ PB＝20cm，
AB＝AP+PB＝50cm，
这条绳子的原长为2AB＝100cm；
当AP的2倍最长时，得
AP＝30cm，AP＝ PB，
PB＝ AP＝45cm，
AB＝AP+PB＝75cm，
这条绳子的原长为2AB＝150cm．
故选：C．
2.如图，A,B两地间修建弯河道与修建直的河道桥相比，增加了河道桥的长度，其中蕴含的数学道理是
（ ）
A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】把A，B两地看作两个点，再利用线段公理作答即可．
【详解】解：A，B两地间修建弯河道与修建直的河道桥相比，增加了河道桥的长度，其中蕴含的数学道
理是：两点之间，线段最短．
故选：A．
【点睛】本题是线段公理的实际应用，正确理解题意、熟知两点之间，线段最短是解题关键．
3.如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可．【详解】解：由线段的性质可知：
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段，这些所有的线中，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，即两点之间线段最短．
题型七：与线段中点有关的计算
1.A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
(1)A、C两站的距离；
(2)C、D两站的距离；
(3)若a=6，C为AD的中点，求b的值．
【答案】(1)3a(2)a+3b(3)4
【分析】（1）根据题意列出关系式，合并即可得到结果；
（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（3）根据中点的定义列出方程计算即可求解．
【详解】（1）∵AC=AB+BC=a+b+2a−b=3a
∴A、C两站的距离为：3a；
（2）∵CD=BD−BC=(3a+2b)−(2a−b)=3a+2b−2a+b=a+3b,
∴C、D两站的距离为：a+3b；
（3）∵C为AD的中点，
∴AC=DC,
∴3a=a+3b,
当a=6时，3×6=6+3b，
解得b=4．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点．
（1）若AB＝16cm，CD＝6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；
（2）如果AB＝m，CD＝n，用含m，n的式子表示MN的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝16cm，CD＝6cm，∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣ （AC+BD）＝16﹣5＝11（cm）；
（2）∵AB＝m，CD＝n，
∴AC+BD＝AB﹣CD＝m﹣n，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣ （AC+BD）＝m﹣ （m﹣n）＝ ．
3.如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应−4，直尺的0刻
度位置对应−6，则线段AB中点对应的数为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．12
【答案】A
【分析】根据题意得出1cm代表数轴上两个单位长度，求出线段AB中点对应直尺5cm处，再求线段AB
中点对应的数即可．
【详解】解：∵点A、B分别在直尺的1cm，9cm处，点A对应−4，直尺的0刻度位置对应−6，
∴1cm代表数轴上两个单位长度，
1+9
∴线段AB中点对应直尺 =5cm处，
2
∴线段AB中点对应的数为：−4+2×4=4，
故选：A．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，理解题意是解题关键．
4.如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB=√2，则点C表示的数
是 ．
【答案】2√2−1
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点B是AC的中点，线段AB=√2，
∴AC=2√2，
∴点C表示的数是：2√2−1；故答案为：2√2−1．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点
间的距离公式，是解题的关键．
5.如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点
B左侧4个单位长度处，则线段AB的中点表示的数为（ ）
A．2 B．−2 C．4 D．−4
【答案】A
【分析】先根据题意画出图形，求出OC的长即可得出线段AB的中点表示的数．
【详解】如图，点A落在点A'处，点C是线段AB的中点，A'B=4，
设点A表示的数为a，则OA=OA'=−a，
∴AB=−2a+4．
1
∴AC= AB=−a+2．
2
∴OC=AC−OA=−a+2−(−a)=2．
即线段AB的中点表示的数为2．
故选A．
6.如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12，AC=8，则CD= ．
【答案】2
【详解】解：∵AB=12，AC=8，∴BC=4，∵点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，
∴CD=BD=2，故答案为2．
7.已知点A、B、O、C在数轴上的位置如图所示，O为AC的中点，若AB=2，点B所对应的数为m，则
点C所对应的数是( )
A．−(2−m) B．−(−m−2) C．−(m+2) D．−(m−2)
【答案】D
【详解】AB=2,B为m则A点坐标为：m−2B点与A点互为相反数，所以B点坐标为：−(m−2)故选：D
8.有两道作图题：①“延长线段AB到C，使BC=AB”；②“反向延长线段DE，使点D是线段EF的一
个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点B是线段
AC中点”；淇淇说：“如果线段DE=x cm，那么线段EF=3x cm”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
【答案】A
【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解．
【详解】解：①“延长线段AB到C，使BC=AB”，则点B是线段AC中点，故嘉嘉说法正确；
②“反向延长线段DE，使点D是线段EF的一个三等分点”，如图，如果线段DE=x cm，那么线段
3
EF=3x或 x cm，故淇淇说法错误．
2
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键
考点三：角的相关概念
题型一：度、分、秒的换算
1.74°19′30″＝ °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：30×（ ）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（ ）°＝0.325°，
74°+0.325°＝74.325°，故答案为：74.325．
2.如图中用量角器测得∠ABC的度数是（ ）
A．50° B．80° C．130° D．150°
【答案】C【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选：C．
3.比较大小：40.15° 40°15'（用>、=、<填空）．
【答案】<
【分析】把两个度数统一即可判断．
【详解】解：40.15°=40°+0.15°=40°+0.15×60'=40°9'，
40°9'<40°15'，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了角的度数的表示，正确记忆度、分、秒是60进制是解题关键．
4.把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝ ．
【答案】118.345°
【分析】先将整数后面的小数部分变成最小单位秒，然后再化为度，最后与整数部分相加即可．
【详解】解：20'42''=20×60''+42''=1242''，
1242''÷3600=0.345°，
∴118°20'42''=118.345°，
故答案为：118.345°．
【点睛】题目主要考查角度间的换算，熟练掌握运用换算进率是解题关键．
5.如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是 ．
【答案】126°42′32″．
【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，
故答案为：126°42′32″．
6.计算：80°−45°17'=_________．48°39'+67°31'=_________．
【答案】34°43'，116°10'
【分析】①两个度数相减，被减数可借1°转化为60′，再计算；
②1度＝60分，即1°＝60′，依据度分秒的换算即可得到结果．
【详解】①80°−45°17'=79°60'−45°17'=34°43'；
②48°39'+67°31'=115°70'=116°10'；
故填：34°43'，116°10'．
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
题型二：钟面角的计算1.如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离10cm，经20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）
25 20 35 35
A． πcm B． πcm C． πcm D． πcm
6 3 6 3
【答案】B
nπr
【分析】根据弧长公式可求得．弧长公式为l= ．
180
nπr 20×6×π×10 20
【详解】解：l= = = π（cm）．
180 180 3
故选：B．
nπr
【点睛】主要考查了圆周的弧长公式和钟表上分针所走过的角度与时间之间的关系．弧长公式为l=
180
，需要注意的是求弧长需要知道圆心角的度数和半径；分针1分钟走过的角度为6°．
2.在3：30、6：40、9：00、12：20中，时针和分针所成的角度最大的是（ ）
A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20
【答案】D
【分析】根据时针的旋转角减去分针的旋转角，可得答案．
【详解】解：
1
A、3：30时时针与分针的夹角是90°− ×30°=75°，
2
40
B、6：40时时针与分针的夹角是30°×2−30°× =40°，
60
C、9：00时时针与分针的夹角是90°，
20
D、12：20时时针与分针的夹角是30°×4−30°× =110°，
60
所以时针和分针所成的角度最大的是12：20，
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针的夹角是时针的旋转角减去分针的旋转角．
3.下列选项中，表示点P在点O的2点钟方向的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点P在点O的2点钟，而2点与12点相隔2格，每格30°即可求解；
【详解】∵点P在点O的2点钟方向，，而2点与12点相隔2格，每格30°，
∴表示点P在点O的2点钟方向的图形为：
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了钟面上时针和分针的角度问题，根据每格的度数是30°计算是解题的关键．
题型三：方向角的表示
1.甲、乙两艘轮船同时离开同一港口，各自沿一固定方向航行，航行的速度均为12海里/小时，甲船用
1.5小时到达点A处，乙船用2小时到达点B处，且A，B两点相距30海里．若甲船沿着北偏东30°的方向
航行，在下列方向中，乙船的航行方向可以是（ ）
A．南偏东60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．北偏西30°
【答案】A
【分析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股
定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解．
【详解】解：如图，设港口为O，OA=12×1.5=18km，OB=12×2=24km，AB=30km，
∵182+242=302，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°，
∵∠NOA=30°，
∴∠SOB=60°，
∴乙客轮的航行方向为南偏东60°，故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定
理找出∠AOB=90°是解题的关键．
2.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在
B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据方位角的定义分别可求出 ，再根据角的和差、平行线的
性质可得 ， ，从而可得 ，然后根据三角形的内角和定理可得
，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】
由方位角的定义得：由题意得：
由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知
识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．
3.如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地
的方位角是（ ）
A．北偏西47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．南偏东47°
【答案】D
【分析】如图，建立方位图，根据平行线的性质可得∠CDB=∠EAB=43°，再根据直角三角形的两个
锐角互余即可求出∠BCD，即为从C地测B地的方位角.
【详解】解：如图，由题意可得AE∥CD，∠EAB=43°，
∴∠CDB=∠EAB=43°，
∵AB⊥BC，
∴∠BCD=90°−43°=47°，
即从C地测B地的方位角是南偏东47°；
故选：D.【点睛】本题考查了方位角、平行线的性质和直角三角形的性质，属于基础题目，正确理解题意、求出
∠BCD的度数是解题的关键.
4.如图，已知点B在点A的北偏东30°的方向上，∠CBA=60°，则点C在点B的（ ）
A．南偏东30° B．西偏东30° C．东骗西30° D．北偏西30°
【答案】A
【分析】如图，过点B作BE∥AD，由平行线的性质得到∠ABE=∠BAD=30°，由∠CBA=60°得
到∠CBE=∠CBA−∠ABE=30°，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点B作BE∥AD，
∵∠BAD=30°，
∴∠ABE=∠BAD=30°，
∵∠CBA=60°，
∴∠CBE=∠CBA−∠ABE=30°，∴点C在点B的南偏东30°，
故选：A
【点睛】此题考查了方向角的相关计算和平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
题型四：角平分线的相关计算
1.如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC=140°，则∠BOD的度数为
．
【答案】20°/20度
【分析】根据邻补角得出∠BOC=180°−140°=40°，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵∠AOC=140°，
∴∠BOC=180°−140°=40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD=20°，
故答案为：20°．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
2.如图，直线 相交于点 射线 平分 若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，∴∠DOM= ∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键．
3.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥OF，已知∠BOF=20°，OC平分∠AOE，则∠BOD=
（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【分析】先求出∠EOA的度数，根据角平分线的定义得到∠AOC的度数，由此利用对顶角相等得到答
案．
【详解】∵EO⊥OF
∴∠EOF=90°，
∵∠BOF=20°
∴∠EOA=180°−90°−20°=70°，
又∵OC平分∠AOE，
1
∴∠AOC= ×70∘=35∘，∴∠BOD=∠AOC=35∘
2
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，对顶角相等，正确掌握角平分线的定义求角度是解的关键．
4.如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系
一定为（ ）
A．互余 B．相等 C．互补 D．不等【答案】A
【分析】根据AC∥BD，可得∠CAB+∠ABD=180°，再由AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，即可
求解．
【详解】解：∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，
∴∠CAB=2∠OAB，∠ABD=2∠ABO，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
即∠BAO与∠ABO互余．
故选：A
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，余角的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；互余的两
角的和等于90°是解题的关键．
5.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为
（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义，得出∠MOC=35°，再根据题意，得出∠MON=90°，然后再根据角的关系，
计算即可得出∠CON的度数．
【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．
6.如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2=80°，则∠AOE的度数为
（ ）A．60° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【分析】根据对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义进行计算即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=80°，
∴∠1=∠2=40°，
∴∠AOD=180°−40°=140°，
又∵OE平分∠AOD，
1
∴∠DOE=∠AOE= ∠AOD=70°，
2
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的前
提．
7.如图：OC是∠AOB的角平分线，l∥OA，若∠1=59°，则∠2的度数为（ ）
A．59° B．61° C．62° D．64°
【答案】C
【分析】先由l∥OA求出∠AOC，再由角平分线的定义求出∠AOB，然后根据两直线平行同旁内角
互补即可求出∠2的度数．
【详解】∵l∥OA，
∴∠AOC=∠1=59°．
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOB=2∠AOC=118°，
∵l∥OA，
∴∠2=180°−118°=62°．
故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
8.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=25°，则
∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】D
【分析】先利用角平分线的定义可得∠AOM=∠COM=35°，再根据垂直定义可得∠MON=90°，
然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠COM=25°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON−∠COM=65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂直定义是解题的关键．
9.如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重
1
合），从O点引一条射线OE，使∠BOE= ∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大
2
的一个角为76°，则∠AOB= °．
【答案】114
【分析】由OC是∠AOB的平分线，可得∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，由题意知，剪开后得到的3
1
个角中最大的一个角为2∠COE，即2∠COE=76°，解得∠COE=38°，由∠BOE= ∠EOC，
2
可得∠BOE=19°，则∠BOC=∠BOE+∠COE=57°，根据∠AOB=2∠BOC，计算求解即可．
【详解】解：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，
由题意知，剪开后得到的3个角中最大的一个角为2∠COE，
∴2∠COE=76°，
解得∠COE=38°，
1
∵∠BOE= ∠EOC，
2
∴∠BOE=19°，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=57°，
∴∠AOB=2∠BOC=114°，
故答案为：114 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线．解题的关键在于明确最大的角，以及正确表示角度之间的
数量关系．
10.如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四
边形AB'O'C'，且∠OAC'=100°，则四边形ABOC旋转的角度是 ．
【答案】75°
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAO=∠OAC=25°，根据旋转的性质可得
∠BAC=∠B' AC'=50°，∠B' AO'=∠O' AC'=25°，求得∠OAO'=75°，即可求得旋转的角度．
【详解】∵AO为∠BAC的平分线，∠BAC=50°，
∴∠BAO=∠OAC=25°，
∵将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB'O'C'，
∴∠BAC=∠B' AC'=50°，∠B' AO'=∠O' AC'=25°，
∴∠OAO'=∠OAC'−∠O' AC'=100°−25°=75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
题型五：求一个角的余角、补角
1. 的余角是__________．【答案】
【分析】
根据余角的定义即可求解．
【详解】
的余角是90°- =
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．
2.已知∠A和∠B互余，若∠A=52°，则∠B的度数为（ ）
A．52° B．48° C．38° D．28°
【答案】C
【分析】根据余角的性质直接解答．
【详解】∵∠A和∠B互余，∠A=52°，
∴∠B=90°−∠A=38°．
故选：C．
【点睛】此题考查了余角的性质，解题的关键是熟练掌握余角的性质．
3.已知∠A=72°25'，则∠A的补角度数为（ ）
A．108°25' B．17°35' C．108°35' D．107°35'
【答案】D
【分析】利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵∠A=72°25'，
∴∠A的补角为180°−72°25'=179°60'−72°25'=107°35'，
故选：D．
【点睛】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进位制”是解本题
的关键．
4.如图，直线l ∥l ，直线l 与l ，l 分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l ，垂足为C，若
1 2 3 1 2 2
∠1=52°15'，则∠2的度数是 ．【答案】37°45'/37.75°
【分析】根据已知条件得出AC⊥l ，则∠1+∠2=90°，进而即可求解．
1
【详解】解：∵l ∥l ，AC⊥l ，
1 2 2
∴AC⊥l ，
1
∴∠1+∠2=90°
∵∠1=52°15'，
∴∠2=90°−52°15'=89°60'−52°15'=37°45',
故答案为：37°45'．
【点睛】本题考查了平行线的性质，求一个角的余角，角度的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键．
题型六：与余角、补角有关的计算
1.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据余角的定义，两角之和为90°，这两个角互余．
D中∠1和∠2之和为90°，互为余角．
故选：D．
2.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=80°，∠2=30°，则∠AOE的度数为（ ）A．30° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【分析】根据对顶角相等可得∠AOD=∠1=80°，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵∠1=80°，
∴∠AOD=∠1=80°，
∵∠2=30°，
∴∠AOE=∠AOD−∠2=80°−30°=50°，
故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
3.如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠2=50°，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．80°
【答案】C
【分析】根据邻补角求出∠AED，利用角平分线求出∠AEC，再根据平行线的性质求出∠1的度数．
【详解】解：∵∠2=50°，
∴∠AED=180°−∠2=130°，
∵EC平分∠AED，
1
∴∠AEC= ∠AED=65°，
2
∵AB∥CD，
∴∠1=∠AEC=65°，
故选：C．
【点睛】此题考查了邻补角的定义，角平分线的定义，两直线平行内错角相等的性质，熟练掌握平行线
的性质是解题的关键．
4.如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属
秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α=92∘，则∠β的度数为
（ ）A．92° B．90° C．88° D．86°
【答案】C
【分析】根据平角的定义，平行线的性质求解．
【详解】∵∠α=92∘
∴∠BCD=180°−92°=88°
∵AB∥CD
∴∠β=∠BCD=88°
故选：C
【点睛】本题考查平角的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5.如图，正六边形 内部有一个正五形 ，且 ，直线 经过 、 ，
则直线 与 的夹角 ________ ．
【答案】48
【解析】
【分析】
已知正六边形 内部有一个正五形 ，可得出正多边形的内角度数，根据
和四边形内角和定理即可得出 的度数．
【详解】∵多边形 是正六边形，多边形 是正五边形
∴
∵
∴
∴
故答案为：48
【点睛】
本题考查了正多边形内角的求法，正n多边形内角度数为 ，四边形的内角和为360°，以及
平行线的性质定理，两直线平行同位角相等．
6.已知∠α和∠β是对顶角，且∠α和∠β互余，则∠β的度数为（ ）
A．45° B．30° C．90° D．120°
【答案】A
【分析】根据对顶角及余角的性质即可求解．
【详解】解：∵ ∠α和∠β是对顶角，∠α和∠β互余，
∴∠α=∠β，∠α+∠β=90°，
∴2∠β=90°，
∴∠β=45°，
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，余角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从
B测得船C在北偏东22.5°的方向．则∠ACB的度数 ．
【答案】22.5°
【分析】过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，用余角定义计算出∠CAD和∠CBD的度数，然后用三角形
外角性质求出∠CAB的度数．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∵从A测得船C在北偏东45°的方向，
∴∠CAD= 90°-45°=45°，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠CBD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=22.5°．
【点睛】本题考查了方位角，余角，三角形外角，熟练掌握方位角的定义，余角的定义及计算，三角形
外角性质及计算，是解题的关键．
8.按要求完成如下两个小题．1
（1）已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求出这个角．
4
（2）如图，已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=26°，求∠BOD的
度数．
【答案】（1）60°；（2）38°
【分析】（1）设这个角为x度，表示出这个角的余角是（90-x）度，补角是（180-x）度，然后列出方
程求解即可；
（2）根据垂直的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后求出
∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：（1）设这个角为x度，则这个角的余角是（90-x）度，补角是（180-x）度，
1
由题意得：90-x= （180-x），
4
解得x=60，
所以这个角是60°；
（2）∵CO⊥OE，
∴∠COE=90°，
又∵∠COF=26°，
∠EOF=90°-26°=64°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=64°，
∴∠AOC=64°-26°=38°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=38°．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，是基础题，（1）设出未知数列出方程是解题
的关键，（2）准确识图，找出各角度之间的关系是解题的关键．
题型七：三角板放置产生的角度计算
1.如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（
）
A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】D
【解答】解：延长AB交直线n于点D，
∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，
∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故选：D．
2.一副三角板如图所示摆放，则 与 的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ∵ ；∴ ；
∵ ， ；∴ 故选：B
3.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】A
【解答】解：如图，
∵a∥b，∴∠1＝∠3＝70°，∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故选：A．
4.小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，
则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【解答】解：设AB与DF交于点O，由题意得，∠F＝45°，∠A＝60°，∵AB∥EF，
∴∠AOF＝∠F＝45°，∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠AOF＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故选：C．
5.如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=68°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．32° C．22° D．68°
【答案】C
【分析】由平行线的性质和余角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
由题意可知a∥b，∴∠3=∠1=68°，∴∠2=90°−∠3=90°−68°=22°．故选C．6.将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【答案】C
【解答】解：如图所示：
依题意得：AB∥CD，∠EFH＝45°，∴∠1＝∠EFG，又∵∠1＝30°，∴∠EFG＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠EFH﹣∠EFG＝45°﹣30°＝15°．故选：C．
考点四：相交线
题型一：利用对顶角、邻补角的性质求解
1.如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】B
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且
在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．
【详解】解：如图所示，
两条直线a、b被直线c所截形成的角中，∠1与∠2都在a、b直线的之间，并且在直线c的两旁，所以
∠1与∠2是内错角．
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何
语言的表达要注意理解它们所包含的意
2.如图，平面镜 放置在水平地面 上，墙面 于点 ，一束光线 照射到镜面 上，反
射光线为 ，点 在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，∵ ，∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3.如图，直线 ， 相交于点 ，如果 ，那么 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），∴∠1＝30°，∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°．故选：A．
4.如图，直线 ， 相交于点O，若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
故选：B.
5.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠COE=35°，则∠AOD的度数为
（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【答案】C
【分析】根据垂线的定义可得∠BOE=90°，根据∠BOC=∠BOE+∠COE，根据对顶角的定义
∠AOD=∠BOC，即可得出答案．
【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠BOE=90°，∴∠BOC=∠BOE+∠COE=90°+35°=125°，
∴∠AOD=∠BOC=125°．故选：C．
6.如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=48°，则∠BOM等
于 （ ）A．96° B．132° C．146° D．156°
【答案】D
【分析】根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=48°，再根据角平分线的定义可得
1
∠AOM= ∠AOC=24°，即可求得答案．
2
1
【详解】解；∵∠BOD=∠AOC=48°，又∵OM平分∠AOC，∴∠AOM= ∠AOC=24°，
2
∴∠BOM=180°−24°=156°，故选：D．
1
7.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG= ，正方
2
形ABCD的边长为8，则BH的长为 ．
【答案】10
【分析】根据正切的概念和正方形的性质，求得AG的长度，再根据勾股定理求得BG的长度，证明
∠ABG=∠DGH，求得DH,GH，最后根据勾股定理即可求得BH的长．
【详解】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴∠A=∠D=∠BGH=90°，AB=AD=8，
1 AG 1 1
∵tan∠ABG= ，∴ = ，∴AG=8× =4，GD=AD−AG=4，
2 AB 2 2
在Rt△ABG中，BG=√AB2+BG2=4√5，
∵∠AGB+∠DGH=90°，∠AGB+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠DGH，
DH 1
∴ = ∴DH=2，
GD 2
在Rt△CDH中，HG=√GD2+DH2=2√5，
∴在Rt△BGH中，HB=√GB2+GH2=10，故答案为：10．
4
8.如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD，若∠AOE= ∠BOC，则∠BOD=（ ）
5A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
4
【分析】根据对顶角相等，垂直的定义，结合已知条件得出∠BOD+90°= (180°−∠BOD)，解方
5
程，即可求解．
【详解】解：∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOE=∠AOC+90°=∠BOD+90°
4
∵∠AOE= ∠BOC，∠BOC=180°−∠AOC=180°−∠BOD
5
4
∴∠BOD+90°= (180°−∠BOD)解得：∠BOD=30°，故选：C．
5
9.如图，平面上直线a、b分别经过线段AB的两个端点（数据如图），则直线a、b相交所成的钝角为
（ ）
A．70∘ B．110∘ C．140∘ D．160∘
【答案】C
【分析】设a,b交于点C，根据三角形的外角的性质得出∠C=40°，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设a,b交于点C，
∴∠ACB=110°−70°=40°，∴直线a、b相交所成的钝角为180°−40°=140°，故选：C．
题型二：判断同位角、内错角、同旁内角
1.下列图中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同位角的定义(在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角)进行判断．
【详解】A选项：∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，
B选项：∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，
C选项： ∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，
D选项：∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角．
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在
被截线的同一方的两个角是同位角．
题型三：点到直线的距离
1.如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且PO⊥l，其中PA=3.5，则点P到直线l的距
离可能是（ ）
A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】A
【分析】根据垂线段最短解决此题．
【详解】解：根据垂线段最短，PO16，不符题设，舍去；
综上，A灯旋转的时间为1秒或8.5秒，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t的取值范围，并
据此分三种情况讨论是解题关键．
6.如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示太原市
的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26')，太原市的纬度是北纬
37°32'(∠POD=37°32')，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB的延长线经过地心O），
则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角α的度数是 ．
【答案】29°2'
【分析】设PQ与OM交于点K，先由三角形内角和定理求出．∠OKP=29°2'，再根据平行线的性质求
解即可．
【详解】如图，设PQ与OM交于点K，∵∠BOD=23°26'，∠POD=37°32'，
∴∠POM=∠POD+∠BOD=60°58'，
在△OPK中，∠POK+∠OPK+∠OKP=180°，∠OPK=90°，
∴∠OKP=29°2'，
∵PN∥OM，
∴∠α=∠OKP=29°2'，
故答案为：29°2'．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
题型八：利用平行线的性质解决三角板问题
1.如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，∠BAC=90°，∠1=30°，则∠2的度数
是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为180°进行解题即可．
【详解】解：∵a∥b，∠1=30°，
∴∠ABC=∠1=30°，
由题可知：∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠2=90°，
∴∠2=90°−30°=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
2.如图，把一个含有45°角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若∠α=123°，则∠β的度数是
（ ）A．48° B．88° C．78° D．75°
【答案】C
【分析】可求∠1=∠α=123°，∠ACB=∠1−∠B=78°，即可求解．
【详解】解：如图：
∵m∥n，
∴∠1=∠α=123°，
∵∠1是△ABC的一个外角，∠B=45°，
∴∠ACB=∠1−∠B=78°，
∴∠β=∠ACB=78°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．
3.如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF、
EF分别交CD于点H、K，若∠BEF=64°，则∠GHC等于（ ）．
A．44° B．34° C．24° D．14°
【答案】B
【分析】根据平行的性质可得∠EKC=∠BEF=64°，再根据四边形内角和为360°可得
∠GHK=146°，问题随之得解．
【详解】∵AB∥CD，∠BEF=64°，
∴∠EKC=∠BEF=64°，∵∠EKC+∠G+∠GEK+∠GHK=360°，∠GEK=60°，∠G=90°，
∴∠GHK=146°，
∵∠GHK+∠GHC=180°，
∴∠GHC=34°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为360°，掌握四边形内角和为360°是解答本题的
关键．
4.如图，三角板ABC(∠C=30°)的边BC与三角板PMN(∠N=45°)的边MN平行，若AC，PM相交
于点O，则∠AOM的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【分析】由题意可得∠PMN=45°，由平行线的性质可得∠ADM=∠C=30°，再由三角形的外角性
质即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得∠PMN=45°，
∵MN∥BC，∠C=30°，
∴∠ADM=∠C=30°，
∵∠AOM是△DOM的外角，
∴∠AOM=∠ADM+∠PMN=75°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，
同位角相等．
5.直角三角板ABC与直角三角板DEF按如图放置，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，
∠C=30°，若BC∥EF，则∠1的度数为（ ）A．95° B．85° C．75° D．65°
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得出∠EAM=∠C=30°，然后根据三角形的外角定理可求出∠EMC
的度数．
【详解】解：设DE与AC相交于点M，如图：
∵BC∥EF，
∴∠EAM=∠C=30°，
又∠E=45°，
∴∠EMC=∠EAM+∠E=30°+45°=75°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的是准确识图，熟练掌握平行线的
性质及三角形的外角性质．
6.将一副三角板如图摆放，使AB∥CD，则∠1的度数为（ ）
A．105∘ B．120∘ C．135∘ D．150∘
【答案】A
【分析】由平行线的性质可得∠2=∠D=45∘，利用三角的外角性质可求得∠1的度数．
【详解】解：如图，∵AB∥CD，∠D=45∘，
∴∠2=∠D=45∘，
∵∠BAE=60∘，
∴∠1=∠2+∠BAE=105∘．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
题型九：根据平行线性质与判定求角度
1.如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平
行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2= ．
【答案】90°
【分析】如图，过点O作OP∥AB，则AB∥OP∥CD．所以根据平行线的性质将（∠1+∠2）转化为
（∠AOP+∠POC）来解答即可．
【详解】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1=∠AOP．
∵AB∥CD，
∴OP∥CD，∴∠2=∠POC，
∵刀柄外形是一个直角梯形，
∴∠AOP+∠POC=90°，
∴∠1+∠2=90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．平行线性质定理：两直线平行，同位角相等．两直线平行，
同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．
2.如图，AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°，则∠D= 度．
【答案】100
【分析】根据AB∥CD,∠B=80°，得出∠C=80°，根据BC∥ED，即可得出∠D=180°−∠C，
即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD,∠B=80°，
∴∠C=∠B=80°，
∵BC∥ED，
∴∠D=180°−∠C=180°−80°=100°，
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互
补．
3．如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34° C．32° D．30°
【答案】A
【解析】【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合
∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度
数．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
4.如图，在 中， ， 平分 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD，再根据角平分线的定义得到∠ABC=∠BCD，再利用三角形外角的性
质计算即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，
∴∠ABC=20°，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相
等是解题的关键．
5.如图，直线 ，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若 ，则下
列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2
的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．
【详解】
首先根据三角尺的直角被直线m平分，
∴∠6=∠7=45°；
A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；
B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；
C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；
D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行
线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
6.两个直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，AB与DF交于点
M．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据 ，可得 再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
由图可得
∵ ，
∴
∴故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
7.如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解答本题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
8.如图，矩形 的四个顶点分别在直线 ， ， ， 上．若直线 且间距相等，
， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的
性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】
解：作CF⊥l 于点F，交l 于点E，设CB交l 于点G，
4 3 3
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BC＝3，
∴GB＝ ，
∵l∥l，
3 4
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝ = = ，
∴tanα的值为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
9.如图，已知 直线 和 相交于点 若 ，则 等于（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据 得到 ，再运用三角形内角和定理求出 的度数即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，且 ，∴ ，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解答此题的关键，比较简
单．
10.如图摆放的一副学生用直角三角板， ， 与 相交于点G，当 时，
的度数是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
【答案】D
【解析】
【分析】
过点G作 ，则有 ， ，又因为 和 都是特殊直角
三角形， ，可以得到 ，有 即可得
出答案．
【详解】
解：过点G作 ，有 ，
∵在 和 中，
∴
∴ ，
∴故 的度数是105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；
三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
11.如图，M，N分别是 的边AB，AC的中点，若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由M，N分别是 的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到 ，从而可求
出∠B的值．
【详解】
解：∵M，N分别是 的边AB，AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM=∠C，
∵ ，∴ ，
又∵
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．
12.如图，直线 ， 于点E．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 ，与 交于点 ，根据平行线的性质，求出 的度数，再直角三角形的两锐角
互余即可求出 ．
【详解】解：延长 ，与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题
的关键．
13.如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
【详解】
解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a是解决问题的关键．
14.如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=32°，∠2=62°，则∠3
的度数为（ ）
A．118° B．148° C．150° D．162°
【答案】C
【分析】过点B作BA∥工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点B作BA∥工作篮底部，∴∠3+∠MBA=180°，
∵工作篮底部与支撑平台平行，BA∥工作篮底部
∴BA∥支撑平台，
∴∠ABN=∠1=32°，
∵∠2=∠ABN+∠MBA，∠2=62°，
∴∠MBA=30°，
∴∠3=150°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互
补”是解题的关键．
15.如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B=∠D=80∘，∠E=∠F=47∘，则图中∠G的度数
是（ ）
A．80∘ B．76∘ C．66∘ D．56∘
【答案】C
【分析】延长AB交EG于点M，延长CD交GF于点N，过点G作AB的平行线GH，根据平行线的性质即
可解答．
【详解】解：如图，延长AB交EG于点M，延长CD交GF于点N，过点G作AB的平行线GH，
∵∠E=∠F=47∘,∠EBA=∠FDC=80∘，
∴∠EMA=∠EBA−∠E=33°，∠FNC=∠FDC−∠F=33°，∵AB∥CD,AB∥HG，
∴HG∥CD，
∴∠MGH=∠EMA=33°，∠NGH=∠FND=33°，
∴∠EGF=33°+33°=66°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
16.如图所示，MN∥PQ，将一块三角板ABC如图所示放置（直角顶点C在MN上），若
∠MCB=32°，则∠PDB的度数为( )
A．22° B．28° C．32° D．38°
【答案】B
【分析】过点B作BE∥MN，则MN∥PQ∥BE，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】过点B作BE∥MN，
∴ BE∥PQ．
∴ MN∥PQ∥BE．
∴∠MCB=∠CBE=32°，∠DBE=∠BDP．
∵∠ABC=60°，
∴∠DBE=60°−32°=∠PDB=28°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判断是解题的关键．
17.如图，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，则∠C=
°．【答案】55°/55度
【分析】先由邻补角求得∠ADE=60°，∠BFG=65°，进而由平行线的性质求得
∠B=∠ADE=60°，∠A=∠BFG=65°，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°，
∠DFG+∠BFG=180°，
∴∠ADE=60°，∠BFG=65°，
∵DE∥BC,FG∥AC，
∴∠B=∠ADE=60°，∠A=∠BFG=65°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°−65°−60°=55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解
题的关键．
18.如图，AB∥CD，∠E=30°，∠ABE=130°，则∠DCE的度数为 ．
【答案】100°/100度
【分析】过点E做EH平行于AB即可求解．
【详解】解：过点E做EH平行于AB，如图所示：∵AB∥CD,AB∥EH
∴CD∥EH
∵AB∥EH，∠ABE=130°
∴∠BEH=180°−∠ABE=50°
∵CD∥EH
∴∠DCE=180°−∠CEH=180°−(∠BEH+∠CEB)=100°
故答案为：100°
【点睛】本题考查了平行线的性质．过拐点E作平行线是解题关键．
19.已知，如图，AB∥CD，∠A=140∘，∠D=28∘，那么∠AED = °．
【答案】68
【分析】过E作EF ∥ AB，根据平行线的性质∠1和∠2的度数，即可得到∠AED的度数．
【详解】解：如图：过E作EF ∥ AB，则AB ∥ EF ∥ CD，
∵∠A=130°，
∴∠1=180°−140°=40°，
∵∠D=25°，
∴∠2=∠D=28°，
∴∠AED=40°+28°=68°，
故答案为：68．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，通过作辅助线，构造同旁内角和内错角是解决问题的关键．
20.如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC， 若∠DCB＝
34°，则∠BAC＝ ．【答案】68°/68度
【分析】由圆周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB为直径可知， AC⊥BC，又OD⊥BC，可知
AC// OD，利用平行线的性质可求∠BAC．
【详解】解：∵ ∠BOD与∠BCD为BD所对的圆心角和圆周角，∠DCB＝34°，
∴∠BOD=2∠BCD=68°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又∵OD⊥BC，
∴ AC∥OD，
∴∠BAC=∠BOD=68°，
故答案为： 68°．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及平行线的判定与性质，利用圆周角定理求圆心角是解题的关键．
21.已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，一等腰直角三角板绕点B旋转．
(1)如图1所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于C点，一直边交半圆于D点，另一直边交半圆于E点，
若点C在量角器上的读数为25°，求此时点E在量角器上的读数；
(2)如图2所示，当点C、D在量角器上的读数α、β满足什么关系时，直角边与半圆O相切于点D？请说
明理由．
【答案】(1)点E在量角器上的读数为115°
1
(2)当点C、D在量角器上的读数α、β满足β−45°= α时，直角边与半圆O相切于点D，理由见解析
2【分析】（1）连接OC、OE，由题意可知∠AOC=25°，求得∠COE=90°，于是得到
∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°．
（2）连接OC、OD，根据切线的性质得到∠PDO=90°，根据平行线的性质得到
∠AOD=∠ABP=β，得到结论．
【详解】（1）如图1所示，连接OC、OE，
∵点C在量角器上的读数为25°，
∴ ∠AOC=25°，
∵ ∠CBE=45°，
∴ ∠COE=90°，
∴ ∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°．
（2）如图2所示，连接OC、OD，
∵直角边为圆O的切线，D为切点，
∴∠PDO=90°，
∴ ∠PDO+∠P=180°，
∴ DO∥PB，
∴∠AOD=∠ABP=β，
1 1
又∵∠ABC= ∠AOC= α，∠ABC=∠ABP−∠PBC=β−45°．
2 2
1
∴ β−45°= α．
2
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质、平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
题型十：根据平行线性质与判定证明
1.如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC=∠CBE．求证：四边形BCDE是平
行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质和判定证得BE∥CD，再根据平行四边形的判定即可证得结论．
【详解】证明：∵EF∥AC，∴∠EDC+∠BCD=180°，
又∵ ∠EDC=∠CBE，∴∠CBE+∠BCD=180°，∴BE∥CD，∵ED∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
2.如图，在 中，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，满足 ．连接 ，
分别与 ， 交于点 ， ．求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】
先根据平行四边形的性质可得 ， ，再根据平行线的性质、邻补角的定义可得
， ，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】
∵四边形 为平行四边形∴ ，∴ ，
在 和 中， ∴ ∴ ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等知识点，
熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键．
3.如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，
EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（ ）
7 12 3 2
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】A
OM CM OM BM 12
【分析】证明△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC， = ， = ，求出OM= ，
AB BC DC BC 5
1 1
求出EG= CD=3，FG= AB=2，得出EF=EG−FG=1即可得出答案．
2 2
【详解】解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，
∴OM∥AB∥CD，∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，
OM CM OM BM OM CM OM BM 12
∴ = ， = ，∴ = ， = ，∴OM= ，
AB BC DC BC 4 BC 6 BC 5
∵EF⊥BC，∴EG∥AB∥CD，
1 1
∵点E是BD的中点，∴BE=DE，∴BG=CG，∴CF=AF，∴EG= CD=3，FG= AB=2，
2 2
7
∴EF=EG−FG=1，∴OM−EF= ，故选：A．
5
4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H在BD上，DE=BF，DH=BG．求证：
EH∥GF．【答案】见详解
【分析】可证△EDH≌△FBG，从可证∠FGH=∠EHG，即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDH=∠FBG，在△EDH和
△FBG中
¿，∴ △EDH≌△FBG(SAS)，∴∠DHE=∠BGF，∴180°−∠DHE=180°−∠BGF，
∴∠FGH=∠EHG，∴ EH∥GF．
5.要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同
学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误
【详解】方案Ⅰ：如下图，∠BPD即为所要测量的角
∵∠HEN=∠CFG∴MN∥PD∴∠AEM=∠BPD故方案Ⅰ可行
方案Ⅱ：如下图，∠BPD即为所要测量的角在△EPF中：∠BPD+∠PEF+∠PFE=180°则：∠BPD=180°−∠AEH−∠CFG故方案Ⅱ可
行
故选：C
6.如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【详解】
证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，∴∠2＝∠BAC＝78°．
7.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延
长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由AD是∠BAC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，可得∠BAE=∠CAF，
∠BEA=∠CFA=90°，根据有两角对应相等的三角形相似，可得ΔABE∽ΔACF，即可证明；
AE BE
（2）由（1）有 = ，利用BE⊥AD，CF⊥AD，证明出BE//CF，得
AF FC
PE BE
∠PEB=∠PCF,∠PBE=∠PFC，证明出△PBE∽△PFC， = ，通过等量代换得
PC FC
AE PE
= ，根据平行线分线段成比例定理即可求证．
AF PC
【详解】（1）解：证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAF，又∵BE⊥AD，CF⊥AD，
AB AE
∴∠BEA=∠CFA=90°，∴ΔABE∽ΔACF，∴ = ，∴AB·AF=AC·AE；
AC AF
AE BE
（2）解：证明：由（1）有 = ，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE//CF，
AF FC
PE BE
∴∠PEB=∠PCF,∠PBE=∠PFC，∴△PBE∽△PFC，∴ = ，
PC FC
AE BE AE PE
∵ = ，∴ = ，∴CF//AP．
AF FC AF PC
8.下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，AB∥CD．
求证：∠AEC=∠A+∠C方法二
方法一
证明：如图，延长AE，交CD于点
证明：如图，过点E作MN∥AB
F．
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可．
【详解】方法一
证明：如图，过点E作MN∥AB ， ∴∠A=∠AEM．
∵AB∥CD， ∴MN∥CD ∴∠C=∠CEM．
∵∠AEC=∠AEM+∠CEM， ∴∠AEC=∠A+∠C．
方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F，
∵AB∥CD， ∴∠A=∠AFC． ∵∠AEC=∠AFC+∠C， ∴
∠AEC=∠A+∠C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9.如图1，AB∥CD，点E，F在AB上，点G在CD上，点P在AB，CD之间，连接
EG，GP，PF，∠AFP=∠EGD．
(1)求证：PF∥GE；
(2)如图2，EN平分∠AEG交CD于点N，PG∥EN，FM平分∠PFB， ∠¬:∠MFB=11:7，求
∠FPG的度数；
(3)如图3，EN平分∠AEG交CD于点N，PG∥EN，FM平分∠PFB，GM平分∠PGD，FM，GM交于点M，∠¬:∠MFB=x:y，∠FMG=50°，直接写出x : y的值．
【答案】(1)见解析
(2)∠FPG=125°
(3)8:1
【分析】本题主要考查平行线的判定及性质、角平分线的定义等知识点，正确添加辅助线证明
1
∠EPG=2∠MFB+∠¬¿，∠FMG= ∠¬+∠MFB是解题的关键．
2
（1）利用平行线的性质得∠BEG+∠EGD=180°，进而得∠BEG+∠AEP=180°，即可证明结论；
（2）根据平行线的性质及角平分线证明∠¬+∠MFB=90°、∠AEN=∠¬=∠EGP=∠PGD，过
点P作PQ∥AB，进而可证∠EPG=2∠MFB+∠¬¿，再根据∠¬:∠MFB=11:7分别求得∠¬¿，
∠MFB的度数即可解答；
（3）由（2）可知∠AEN=∠¬=∠EGP=∠PGD、∠¬+∠MFB=90°，由角平分线可得
1 1
∠MGD= ∠PGD= ∠¬¿，过点M作MT∥AB，可证
2 2
1
∠FMG=∠TMG+∠TMF= ∠¬+∠MFB=50°，由∠¬+∠MFB=90°，∠¬:∠MFB=x:y，
2
1 45x+90 y
分别表示出∠¬¿，∠MFB的度数,再根据∠FMG= ∠¬+∠MFB=50°可得 =50，然后
2 x+ y
整理即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BEG+∠EGD=180°，
∵∠AFP=∠EGD，
∴∠BEG+∠AFP=180°，
∴PF∥GE；
（2）解：由（1）可知∠BEG+∠AEP=180°，则∠AEG+∠BEP=180°，
∵EN平分∠AEG，FM平分∠PFB，
1 1
∴∠AEN=∠¬= ∠AEG，∠MFB=∠MFP= ∠PFB，
2 2
1 1 1
∴∠¬+∠MFB= ∠AEG+ ∠PFB= (∠AEG+∠PFB)=90° ，
2 2 2
∵AB∥CD，PG∥EN，
∴∠AEG=∠EGD，∠¬=∠EGP，则∠AEN+∠¬=∠EGP+∠PGD，∴∠AEN=∠¬=∠EGP=∠PGD，
过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，
∴∠PGD=∠OPG，∠QPF=∠PFB，
∴∠FPG=∠FPO+∠QPG=∠PFB+∠PGD=2∠MFB+∠NEC，
∵∠¬+∠MFB=90°，∠¬:∠MFB=11:7，
11 7
∴∠¬= ×90°=55°，∠MFB= ×90°=35°，
11+7 11+7
∴∠EPG=2∠MFB+∠¬=2×35°+55°=125°；
（3）解：由（2）可知：∠AEN=∠¬=∠EGP=∠PGD，∠¬+∠MFB=90°，
∵GM平分∠PGD，
1 1
∴∠MGD= ∠PGD= ∠¬¿，
2 2
过点M作MT∥AB，则MT∥AB∥CD，
1
∴∠TMG=∠MGD= ∠¬¿，∠IME=∠MFB，
2
1
∴∠FMG=∠TMG+∠TMF= ∠¬+∠MFB=50°，
2
∵∠¬+∠MFB=90°，∠¬:∠MFB=x:y，
x y2
∴∠¬= ×90°，∠MFB= ×90°，
x+ y x+ y
1 1 x y 45x+90 y
则∠FMG= ∠¬+∠MFB=50°= × ×90°+ ×90°，即： =50，整理得：
2 2 x+ y x+ y x+ y
40 y=5x，
∴x:y=40:5=8:1．
考点六：命题
题型一：命题的判断
1.下列命题中，是真命题的是（ ）A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、在△ABC中，当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，△ABC不是直角三角形，故本选项说法是假命题，
不符合题意；
故选：C．
2.下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【答案】B
【分析】
根据相关概念逐项分析即可．
【详解】
A、五边形的内角和是 ，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，
熟记基本性质和定理是解题关键．
3.下列命题正确的是（ ）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲 2＝2.25，S乙 2＝1.81，则甲
成绩比乙的稳定【答案】C
【解答】解：A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故本选项命题错误，不符合
题意；
B、3.14精确到百分位，故本选项命题错误，不符合题意；
C、点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3），命题正确，符合题意；
D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲 2＝2.25，S乙 2＝1.81，则乙
成绩比甲的稳定，故本选项命题错误，不符合题意；
故选：C．
4.下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径
与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：（1）各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，
如菱形，故①是假命题；
（2）正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
（3）正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命
题；
（4）根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题．
故选：C．
5.下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形
D．单项式5ab2的次数是4
【答案】B
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、菱形的四条边相等，正确，是真命题，符合题意；
C、正五边形不是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、单项式5ab2的次数是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
