专题14二次函数的应用（解析版）_中考数学一轮复习word_解析版

专题 14 二次函数的应用
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：用二次函数的性质解决实际问题....................................................................................................3
考点二：用二次函数图象解决几何问题........................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：二次函数实际问题............................................................................................................................3
题型一：拱桥问题..................................................................3
题型二：隧道问题.................................................................12
题型三：喷泉问题.................................................................21
题型四：空中跳跃轨迹问题.........................................................34
题型五：球类飞行轨迹.............................................................43
题型六：最大利润/销量问题........................................................53
题型七：方案选择问题.............................................................63
题型八：图形面积问题.............................................................70
题型九：图形运动问题.............................................................83
题型十：现实生活问题............................................................106
考点二：二次函数几何综合问题................................................................................................................111
题型一：线段、周长问题..........................................................111
题型二：面积周长问题............................................................132
题型三：角度问题................................................................139
题型四：特殊三角形问题..........................................................151
题型五：特殊四边形问题..........................................................156
题型六：与圆有关问题............................................................170
题型七：与面积有关问题..........................................................175专题 14 二次函数的应用
模块一：基础知识
考点 一 ： 用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
1.列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围
2.在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
考点二：用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相
似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的
等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就
是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题
目的
模块二：题型分类
考点一：二次函数实际问题
题型一：拱桥问题
1.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测
得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同
的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
1
【答案】（1）6m；（2）①y'= (x+6) 2+1；②2m
12
【分析】（1）设y =a x2，由题意得F(6,−1.5)，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y 的
1 1 1
值即可；
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，设y =a (x−6) 2+1，将点H代入求值即可；
2 2②设彩带长度为h，则h= y −y ，代入求值即可．
1 2
【详解】解（1）设y =a x2，由题意得F(6,−1.5)，
1 1
∴−1.5=36a ，
1
1
∴a =− ，
1 24
1
∴y =− x2 ，
1 24
1
∴当x=12时，y =− ×122=−6，
1 24
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，
∴设y =a (x−6) 2+1，
2 2
∵H(0,4)，
∴4=a (0−6) 2+1，
2
1
∴a = ，
2 12
1
∴y = (x−6) 2+1，
2 12
1
(左边抛物线表达式：y'= (x+6) 2+1)
12
②设彩带长度为h，
1 1 1
则h= y −y = (x−6) 2+1−(− x2 )= x2−x+4，
2 1 12 24 8
∴当x=4时，h =2，
min
答：彩带长度的最小值是2m ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据
数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
2.赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，
图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立
如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系y=−0.01(x−30) 2+9，据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．
(1)水面的宽度OA=_______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．
【答案】(1)60
(2)4条．
【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当y=5时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为9m即可得到答案．
【详解】（1）解：令y=0，则−0.01(x−30) 2+9=0，
∴(x−30) 2=900，
解得x=0或x=60，
∴A(60，0)，
∴OA=60m，
故答案为：60；
（2）解：令y=5，得−0.01(x−30) 2+9=5，
∴(x−30) 2=400
解得x =10，x =50．
1 2
∴可设计赛道的宽度为50−10=40m，
∵每条龙舟赛道宽度为9m，
∴最多可设计赛道4条．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
3..三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水
面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，
若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A．4√3米 B．5√2米 C．2√13米 D．7米
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的
小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
3
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO= ，
2
3
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+ ，
2
∵BC=10，
∴点B（﹣5，0），
3
∴0=a×（﹣5）2+ ，
2
3
∴a=- ，
50
3 3
∴大孔所在抛物线解析式为y=- x2+ ，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为
50 2
y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为-7，
36
∴点E坐标为（-7，- ），
25
36
∴- =m（x﹣b）2，
256√ 1 6√ 1
∴x= − +b，x=- − +b，
1 5 m 2 5 m
∴MN=4，
6√ 1 6√ 1
∴| − +b-（- − +b）|=4
5 m 5 m
9
∴m=- ，
25
9
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=- （x﹣b）2，
25
∵大孔水面宽度为20米，
9
∴当x=-10时，y=- ，
2
9 9
∴- =- （x﹣b）2，
2 25
5 5√2
∴x= √2+b，x=- +b，
1 2 2 2
5 5
∴单个小孔的水面宽度=|（ √2+b）-（- √2+b）|=5√2（米），
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思
想解答．
4.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，
拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①求该函数的解析式：
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园
要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距
桥墩的距离CE至少为多少米?（√2≈1.41，精确到0.1米）
【答案】(1)d，h
(2)见解析
(3)①h=−0.5d2+2d+0.88；②C处距桥墩的距离CE至少为0.7米
【分析】根据函数的定义进行判断作答即可
（2）①待定系数法求解析式即可；②令h=2，代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数
故答案为：d，h；
（2）解：描点，连线，作图如下；
（3）①解：设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，
把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：¿，
解得：¿，∴二次函数的解析式为h=−0.5d2+2d+0.88；
②解：令h=2，得：−0.5d2+2d+0.88=2，
解得d=2±√1.75
d≈0.7或d≈3.3，
∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【点睛】本题考查了函数的定义，二次函数解析式，二次函数的图象，二次函数的应用．解题的关键在
于正确的求二次函数解析式．
5.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、
DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所
在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离ℎ（单位：m）随时间t （单位：h）的变化满足函
1
数关系ℎ =− (t−19) 2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通
128
过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
3
【答案】(1)y=− x2+11
64
(2)禁止船只通行时间为32小时．
【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解．
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关
系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
1
【详解】（1）解：由题意知：DO=EO= ED=8m，CO=11m，
2
∴A(−8,8)，B(8,8)，C(0,11)，
设抛物线解析式为y=ax2+11，
则8=a⋅82+11，
3
解得a=− ，
643
∴y=− x2+11；
64
1 1
（2）解：把h=11−5=6代入h=− (t−19) 2+8，得6=− (t−19) 2+8，
128 128
解得t =35，t =3，
1 2
∴当3≤t≤35时，禁止船只通行，禁止通行时间为35−3=32(h)，
即禁止船只通行时间为32小时.
【点睛】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．
6.如图，拱形桥的截面由矩形和抛物线组成，矩形长12m，宽4m，以当前水面为x轴建立如图所示的平
面直角坐标系．其中拱桥的最高点D到水面OB的距离为10m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若一艘货轮宽为8m，要确保货轮安全通过拱桥，求其装完货物后的最大高度；
(3)若要在拱桥抛物线的左右两侧同样的高度安装两个摄像头，要求摄像头到水面的距离不低于6m、不超
过8m，请直接写出两个摄像头水平距离的最大值．
1
【答案】(1)y=− x2+2x+4
6
22
(2) m
3
(3)4√6m
【分析】（1）根据点D的坐标为(6,10)可设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10，将点A的坐标为(0,4)
代入即可求解；
（2）求出宽为8m的货轮与抛物线的交点横坐标，根据抛物线的解析式即可求其装完货物后的最大高度；
（3）令y=6时，求解对应的一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵矩形AOBC的长为12m，宽为4m，点D到OB的距离为10m．∴点A的坐标为(0,4)，点D的坐标为(6,10)．
设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10．
把A(0,4)代入，得4=(0−6) 2 ⋅a+10．
1
解得a=− ．
6
1 1
∴y=− (x−6) 2+10=− x2+2x+4．
6 6
1
∴该抛物线的解析式为y=− x2+2x+4．
6
12 8
（2）解： − =2(m)，
2 2
22
当x=2时，y= ，
3
22
∴要确保货轮安全通过拱桥，其装完货物后的最大高度是 m．
3
（3）解：由图像可知，函数值越小，水平距离越大．
1
当y=6时，− x2+2x+4=6
6
解得：x =6−2√6,x =6+2√6
1 2
∴两个摄像头水平距离的最大值为：6+2√6−(6−2√6)=4√6（m）
【点睛】本题考查了二次函数与拱桥问题．将实际问题与二次函数问题建立正确的联系是解题的关键．
7.如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且
以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量
得到的数据记入下表：x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6
y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99
(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；
(3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对
应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．
【答案】(1)见解析
(2)7.0
(3)能
【分析】（1）根据表格中数据进行描点、连线即可；
（2）根据图象得出y=−1时，x≈−3.5或x≈3.5，然后可得答案；
（3）根据表格中数据求出x=±2和x=±6时纵坐标的值，求得其差得出船靠中间行驶时，船左右两边到
竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）由图象可得：当y=−1时，x≈−3.5或x≈3.5，
∴拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度约是3.5−(−3.5)=7.0米，
故答案为：7.0；
（3）由表格中数据可得，当x=−2时，y=−0.31；当x=2时，y=−0.31，
当x=−6时，y=−3.02；当x=6时，y=−3.02，
∵−0.31−(−3.02)=2.71米，2.71−2=0.71>0.5，
∴这艘船能安全通过，
故答案为：能．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用函数图象的性质解决问题是解题的关键．
题型二：隧道问题
1.如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐
1
标系，抛物线可以用y=− x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离
6
17
为 m．
2
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否
安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，
那么两排灯的水平距离最小是多少米？
1
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，
6
理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是4√3m．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，
根据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y
的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
( 17)
【详解】解：（1）由题知点B(0,4),C 3, 在抛物线上
2
所以¿，解得¿，
1
∴y=− x2+2x+4，
6
b
∴当x=− =6时，y=10
2a
1
∴抛物线解析式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10米；
6
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
22
当x=2或x=10时，y= >6，
3
所以可以通过；
1
（3）令y=8，即− x2+2x+4=8，可得x2−12x+24=0，解得x =6+2√3，x =6−2√3
6 1 2
x −x =4√3
1 2
答：两排灯的水平距离最小是4√3m
2.如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的长AD为8m，宽AB为2m．以AD所在直线
为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为5m．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6m，宽2.4m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说
明．
3
【答案】(1)y=− x2+5
16
(2)这辆货运卡车能通过该隧道，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，利用待定系数法求抛物线的
解析式．
（2）把x=±2.4代入（1）所求解析式中求出y的值，再与货车的高进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)，
根据题意，得A(−4，2)，B(4，2)，E(0，5)．由¿，
解得¿，
3
∴所求的抛物线的解析式为y=− x2+5．
16
（2）解：这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
3
当x=±2.4时，y=− ×(±2.4) 2+5=3.92．
16
∵3.92>3.6，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式有几种方法，一般式、顶点式、交点式，因题而
异，灵活处理．确定抛物线的解析式的关键是会找抛物线上的几个关键点．
3.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以
OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：
OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点
A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
9
【答案】(1)y=− (x−5) 2+9
25
5√3 5√3
(2)A(5− ,6),B(5+ ,6)
3 3
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．【详解】（1）依题意，顶点P(5,9)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，
9
将(0,0)代入，得0=a(0−5) 2+9．解之，得a=− ．
25
9
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−5) 2+9．
25
9
（2）令y=6，得− (x−5) 2+9=6．
25
5√3 5√3
解之，得x = +5,x =− +5．
1 3 2 3
5√3 5√3
∴A(5− ,6),B(5+ ,6)．
3 3
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答
时求出二次函数的解析式是关键．
4.如图，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，
OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)该隧道设计为双向通行道，如果规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保
1
持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为＿ 米；
3
(3)在隧道修建过程中，需要搭建矩形支架AD−DC−CB（由三段组成）对隧道进行装饰，其中C、D在
抛物线上，A，B在地面OM上，求这个支架总长Z的最大值．
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2+6；
6
(2)3；
(3)15．
【分析】（1）利用待定系数法进行求解，即可得到抛物线解析式；10 1
（2）把x=2代入y=−(x−6) 2+6中，得到y= ，再根据车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，即可求
3 3
出通过隧道车辆的高度限制；
（3）设D ( x,− 1 (x−6) 2+6 ) ，由题意可知，AD=BC=− 1 (x−6) 2+6，D与C关于直线x=6对称，进
6 6
1
而得到DC=12−2x，根据Z=AD+DC+BC，求得Z=− (x−3) 2+15，再利用二次函数的性质，即
3
可求出支架总长Z的最大值．
【详解】（1）解：由题意知：抛物线的顶点P(6,6)，
设抛物线的表达式为y=a(x−6) 2+6
将(0,0)代入y=a(x−6) 2+6，得：0=a(0−6) 2+6，
1
∴a=−
6
1
∴抛物线表达式为：y=− (x−6) 2+6；
6
1 10
（2）解：把x=2或x=10代入y=−(x−6) 2+6中，得y=− (2−6) 2+6= ，
6 3
1
∵车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，
3
10 1
∴限高为 − =3米，
3 3
故答案为：3；
（3）解：设D ( x,− 1 (x−6) 2+6 ) ，
6
∵矩形支架AD−DC−CB，
1
∴DC∥x轴，AD=BC=− (x−6) 2+6，
6
∴D与C关于直线x=6对称，
∴DC=2(6−x)=12−2x，
[ 1 ] 1 1
∴Z=AD+DC+BC=12−2x+2 − (x−6) 2+6 =− x2+2x+12=− (x−3) 2+15，
6 3 3
∵a<0∴当x=3时，Z有最大值15，
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合的思想，熟练
掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
5.如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到
地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双
向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5
米，才能安全B通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2+10
6
(2)这辆特殊货车不能安全通过隧道
【分析】（1）抛物线顶点坐标为D(6,10)，设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10,，把点B的坐标代入
即可；
（2）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的横坐标为x=6+1+4，代入
（1）所得解析式，判断是否大于6.5即可．
【详解】（1）解：根据题意，顶点D的坐标为D(6,10)，点B的坐标为(0,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10，
把点B(0,4)代入得：36a+10=4，
1
解得：a=− ，
6
1
即所求抛物线的解析式为：y=− (x−6) 2+10；
6
（2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：x=6+2÷2+4=11时，1 35
y=− (11−6) 2+10= <6+0.5，
6 6
∴不能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车不能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程
度较高．
6.按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天
比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，
人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行
道宽度设计是否达标？说明理由．
+
【答案】(1)原计划每天修20米
(2)①y=−0.3x2+10.8；②5.5米；③达标，理由见解析
【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①由题意可得E(−4,0),F(4,0),A(−6,0),B(6,0),M(0,10.8)，然后运用待定系数法解答即可；②
车的宽度为4米，令x=4时求得y=6，然后再减去0.5即可解答；③如图：由CE，DF高均为0.3米，
则点G的纵坐标为0.3，令y=0.3可解答点G的横坐标为√35，然后求出FG的长度即可解答．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米
2400 (1400 2400−1400)
则根据题意可得： − + =10
x x x+5
解得：x=−25或x=20
经检验，x=20是分式方程的解．答：原计划每天修20米．
（2）解：①根据题意可得：C(−4,0),D(4,0),A(−6,0),B(6,0),M(0,10.8)
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c
由题意可得：¿，解得：¿
所以抛物线的函数表达式为y=−0.3x2+10.8
②∵车的宽度为4米，车从正中通过，
∴令x=4时，y=−0.3×16+10.8=6，
∴货车安全行驶装货的最大高度为6−0.5=5.5（米）．
③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令y=0.3，则有：0.3=−0.3x2+10.8，解得：x=√35（舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：FG=√35−4≈5.92−4=1.92>1.25
∴人行道宽度设计达标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特
征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
7.如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧
道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距
离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF= y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y
的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0(1)根据
上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式
y=a(x−ℎ) 2+k(a<0)；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面
的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧
道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
1
【答案】(1)6，y=− (x−4) 2+6．
8
(2)见解析
(3)隧道需标注的限高应为4.5米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在x=4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式
即可；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令x=1，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可
解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6，
设y=a(x−4) 2+6(a<0)
∵D的坐标为(0,4)
1
∴4=a(0−4) 2+6(a<0)，解得a=−
81
∴y=− (x−4) 2+6．
8
1
故答案为：6，y=− (x−4) 2+6．
8
（2）解：根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
1
（3）解：令x=1，可得y=− (1−4) 2+6=4.875
8
隧道需标注的限高应为4.875−0.35=4.5（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的
数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
题型三：喷泉问题
1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度
为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直
角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直
径扩大到24米（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．1
【答案】(1)y=− (x+3) 2+5(−8<x<0)
5
(2)7
80
(3)
9
【分析】（1）利用轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点，根据顶点坐标可设抛物线
函数为y=a(x+3) 2+5，再代入抛物线上已知点的坐标可求出a的值，即可得出水柱所在抛物线（第二象
限部分）的函数表达式；
（2）根据（1）所得的函数解析式，代入y=1.8时求得x的值，结合图形即可得出答案；
（3）根据（1）的函数解析式求出与y轴的交点坐标，再二次函数图像的性质抛物线的形状不变时，可设
1 16
改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y=− x2+bx+ ，再由函数图象过点
5 5
(−12,0)代入函数表达式，求出b的值，得到改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式，再
利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得第一象限抛物线的顶点坐标为(3,5)，
∵水柱关于y轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为(−3,5)
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y=a(x+3) 2+5(a≠0)，
将(−8,0)代入y=a(x+3) 2+5，得：25a+5=0，
1
解得：a=− ，
5
1
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y=− (x+3) 2+5(−8<x<0)．
5
1
（2）解：当函数值y=1.8时，有− (x+3) 2+5=1.8，
5
解得x =−7，x =1，
1 2
∴结合图形可得，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
1 1 16
（3）解：当x=0时，y=− (x+3) 2+5=− ×32+5= ，
5 5 5
∵喷出水柱的形状不变，水池的高度不变，
1 16
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y=− x2+bx+ ，
5 5∵该函数图象过点(−12,0)，
1 16
∴ 0=− ×(−12) 2+(−12)b+ ，
5 5
32
解得b=− ，
15
1 32 16 1 16 2 80
∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y=− x2− x+ =− (x+ ) + ，
5 15 5 5 3 9
16 80
∴该抛物线的顶点坐标为(− , )，
3 9
80
故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米．
9
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特
征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图
象上点的坐标特征求出当时x的值；（3）根据点的坐标及二次函数性质，利用待定系数法求出二次函数
表达式．
2.2024年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北
京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在
一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线
的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，
此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形
状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 米．
【答案】19
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x=0求平移后的抛
物线与y轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
A(−40,4)、B(40,4)、H(0,20)，
设抛物线解析式为：y=ax2+20，
将A(−40,4)代入解析式y=ax2+20，1
解得：a=− ，
100
x2
∴y=− +20，
100
x2
消防车同时后退10米，即抛物线y=− +20向左（右）平移10米，
100
(x+10) 2
平移后的抛物线解析式为：y=− +20，
100
令x=0，解得：y=19，
故答案为：19．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得
移动前后抛物线的解析式．
3.如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA=2米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐
标系中的两条抛物线（图中的C ，C ）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经
1 2
测算发现抛物线C 的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．
2
(1)求抛物线C 的解析式；
2
(2)求抛物线C 与x轴的交点B的坐标；
1
(3)小明同学打算操控微型无人机在C ，C 之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活
1 2
动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．
1 1
【答案】(1)y=− x2+ x+2；
8 2
1 1
(2)y=− x2− x+2，(−2+2√5，0)；
8 2
1
(3) ≤m≤6
2
b
【分析】（1）由题意可知C 过点A(0,2)和点C(2,2.5)，且− =2，代入解析式可求得解析式；
2 2a
1
（2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且C 经过点(0,2)，设C 的解析式为y=− x2+bx+c，
1 1 8代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；
（3）无人机的横坐标为x，根据题意列出不等式− 1 x2+ 1 x+2− ( − 1 x2−x+2 ) ≥0.5，求解即可．
8 2 8
【详解】（1）解：由已知可得：C 过点A(0,2)和点C(2,2.5)，设其解析式为y=ax2+bx+c，
2
b
代入两点，由C的横坐标为− =2可得，
2a
1 1
¿，解得：¿，3.故C 的解析式为：y=− x2+ x+2；
2 8 2
（2）解：∵两条抛物线的形状相同，
1
∴设C 的解析式为y=− x2+b x+c ，
1 8 1 1
1
已知C 经过点(0,2)，故C 的解析式为y=− x2+b x+2①，
1 1 8 1
∵顶点的纵坐标相同，
∴C 的顶点的横坐标为4b ，代入①，
1 1
1
可得：− ⋅(4b ) 2+b ⋅4b +2=2.5，
8 1 1 1
1
解得：b =± ，
1 2
1 1 1 1
故C 的解析式为y=− x2+ x+2②或y=− x2− x+2③，
1 8 2 8 2
b
由图可知C 的终点的横坐标小于0，而②中− =2>0不合题意，故舍去②，
1 2a
1 1
令将y=0代入y=− x2− x+2，
8 2
解得x=−2+2√5或−2−2√5（舍去），
故B点的坐标为(−2+2√5，0)；
（3）解：由题意可得：− 1 m2+ 1 m+2− ( − 1 m2− 1 n+2 ) ≥0.5，
8 2 8 2
1
解得：m≥ ，
2
1 1
又∵− m2+ m+2≥0.5，
8 2
解得：m≤6，1
∴ ≤m≤6．
2
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
4.如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽
象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度
DE=3m，竖直高度EF=0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离
喷水口的水平距离为2m、高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+2，OC=6米
8
(2)(2,0)
(3)2≤d≤2√3−1
【分析】（1）由顶点A(2,2)得，设y=a(x−2) 2+2，再根据抛物线过点(0,1.5)，可得a的值，从而解
决问题；
1
（2）过点H作HM∥x轴，交上边缘抛物线于点M，当y=1.5时，则− (x−2) 2+2=1.5
8
解得：x =4，x =0，则M(4,1.5)，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的
1 2
坐标；
（3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x−2) 2+2，
又∵抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，1
∴a=− ，
8
1
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=− (x−2) 2+2；
8
1
令y=0，则− (x−2) 2+2=0
8
解得：x =6，x =−2
1 2
∴OC=6米．
（2）解：如图，过点H作HM∥x轴，交上边缘抛物线于点M，
1
对于上边缘抛物线y=− (x−2) 2+2，当y=1.5时，
8
1
则− (x−2) 2+2=1.5
8
解得：x =4，x =0，
1 2
则M(4,1.5)，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B是点C向左平移4m得到，
由（1）知OC=6米，
∴OB=6−4=2(米)
∴点B的坐标为(2,0)；
（3）解：∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
1
∴0.5=− (x−2) 2+2，解得x=2±2√3，
8
∵x>0，
∴ x=2+2√3，
当x>2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2√3，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2√3，
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2√3−3=2√3−1，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2√3−1．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，
二次函数的图象的平移，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
5.消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，
具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．
在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈
抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求出水柱所在抛物线的解析式；
(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度
约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角
约为53°）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长
时间忽略，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
1
【答案】(1)抛物线解析式为：y=− (x−5) 2+50
15
(2)此时水柱能射入该层窗口，理由见解析
75−25√5
(3)应伸长 米
4
【分析】（1）根据二次函数解析式，用代入法来求出解析式．
（2）根据解析式求出最大值，再进比较．
（3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题．
【详解】（1）由题意得到：B点坐标：(5,50)，A点坐标：(20,35)，
设抛物线的解析式为：y=a(x−5) 2+50，
把A点坐标代入得：35=a(20−5) 2+50，
1
解得，a=− ，
15
1
∴抛物线解析式为：y=− (x−5) 2+50．
15
1 145
（2）当x=0时，y=− (0−5) 2+50= ，
15 3
第16层楼顶高度为：16×2.9=46.4(m)，
46.4+0.9=47.3(m)，46.4+2.4=48.8(m)，
145
∵47.3< <48.8，
3
∴此时水柱能射入该层窗口
（3）过A作AF平行于x轴，设CA伸长至A'处，A A'的长即为其伸长的长度，设为A A'=t(m)，
过A'作A'E⊥AF于E，则∠A' AE=53°，
∴A'E=A A'×sin53°≈0.8t(m)，AE=A A'×cos53°≈0.6t(m)，
即相当于将点A向左平移0.6t个单位长度，再向上平移0.8t个单位长度．
1
新抛物线的解析式：y'=− (x−5+0.6t) 2+50+0.8t，
15
当x=0时，y'=55，
1
∴− (0−5+0.6t) 2+50+0.8t=55，
15
75+25√3 75−25√3
解得：t = （舍去），t = ，
1 3 2 3
75−25√3
∴应伸长t= 米．
3
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键用代入法来求出解析式，再转化成一元二次方
程解决问题．
6.如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方
向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之
7
间的关系式是y=−x2+2x+ (x≥0)．
4(1)柱子OA的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在
池外？
(2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为
Rt△BCD形状，其中BC边在地面上，点C离柱子的距离为2.1米，∠CBD=90°，灯孔P在CD边上，
1
灯孔P离地面的距离为 米，若水流恰好落在灯孔P处，求tan∠DCB的值．
2
7 (√11 )
【答案】(1)柱子OA的高度为 米，水池的半径至少要 +1 米才能使喷出的水流不至于落在池外
4 2
4
(2)
5
【分析】（1）柱子OA的高度即为抛物线与y轴交点的纵坐标，令二次函数解析式中的x=0即可求解；
令y=0，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可；
1
（2）把y= 代入解析式即可求出点P的横坐标，过点P作PE⊥BC于点E，可求出PE,CE的值，在
2
Rt△PCE中即可求tan∠DCB的值．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线与y轴的交点的纵坐标的值即为柱子OA的高度，
7
∴当x=0时，y= ，
4
7
∴柱子OA的高度为 米，
4
水池的半径指的是OB的长度，
7 7
∴在y=−x2+2x+ 中，当y=0时，−x2+2x+ =0，
4 4
√11 √11
∴x = +1，x =1− ，
1 2 2 2
又∵x>0，√11
∴x= +1，
2
(√11 )
∴水池的半径至少要 +1 米才能使喷出的水流不至于落在池外．
2
1 1 7
（2）解：灯孔P离地面的距离为 米，即点P的纵坐标为 ，且点P在抛物线y=−x2+2x+ (x≥0)的图
2 2 4
像上，
1 7 1 5 1
∴当y= 时，−x2+2x+ = ，解得x = ，x =− (舍去)，
2 4 2 1 2 2 2
(5 1)
∴P , ，
2 2
如图所示，过点P作PE⊥BC于点E，
(5 )
∴∠CEP=90°，E ,0 ，
2
∵点C离柱子的距离为2.1米，
5 2 1
∴CE=OE−OC= −2.1= ，且PE= ，
2 5 2
2
PE 5 4
∴在Rt△PCE中，tan∠DCB= = = ．
CE 1 5
2
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质与实际应用的综合，掌握从实际问题中抽象出二次函数模型，
三角形函数的计算方法等知识是解题的关键．
7.某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子
OA，安置于柱子顶端A处的喷水向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1
米时到达最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，
求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，
此时他离花形柱子OA的距离为d米，则d的取值范围是______________；
(3)在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的
距离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图
3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与
抛物线水流之间的距离．
【答案】(1)y=−(x−1) 2+2.25
(2)0.3<d<1.7
√2
(3)
4
【分析】（1）由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标(1,2.25)，故设抛物线解析式为
y=a(x−1) 2+2.25，将(0,1.25)代入得1.25=a(0−1) 2+2.25，求a值，进而可得在第一象限内的抛物线
解析式；
（2）当y=1.76时，−(x−1) 2+2.25=1.76，解得：x =0.3，x =1.7，由二次函数的图象与性质确定d
1 2
的取值范围即可；
（3）由题意知，OB=OP=4，∠OBP=45°，设平行于直线BP且与抛物线只有一个交点的直线l的解
析式为y=−x+m，则联立方程¿，整理得，x2−3x+m−1.25=0，令
△=b2−4ac=9−4×(m−1.25)=0，解得m=3.5，即直线l的解析式为y=−x+3.5，如图，记直线l与
1
x轴的交点为D，则D(3.5,0)，则DB=OB−OD= ，根据光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是直
2线l到直线BP的距离，即为BD⋅sin45°，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标(1,2.25)，故设抛物线解析式为
y=a(x−1) 2+2.25，
将(0,1.25)代入得1.25=a(0−1) 2+2.25，
解得，a=−1，
∴在第一象限内的抛物线解析式为y=−(x−1) 2+2.25；
（2）解：当y=1.76时，−(x−1) 2+2.25=1.76，
解得：x =0.3，x =1.7，
1 2
∴d的取值范围是0.3<d<1.7；
故答案为：0.3<d<1.7．
（3）解：∵直线BP的解析式为：y=−x+4，
∴把x=0代入得：y=4，
把y=0代入得：−x+4=0，解得：x=4，
∴B(4,0)，P(0,4)，
∴OB=OP=4，∠OBP=45°，
设平行于直线BP且与抛物线只有一个交点的直线l的解析式为y=−x+m，
联立¿，即−(x−1) 2+2.25=−x+m，
整理得：x2−3x+m−1.25=0，
令△=b2−4ac=9−4×(m−1.25)=0，
解得m=3.5，
∴直线l的解析式为y=−x+3.5，
如图，设直线l与x轴的交点为D，
把y=0代入得：−x+3.5=0，
解得：x=3.5，
则D(3.5,0)，1
∴DB=OB−OD=4−3.5= ，
2
∵∠OBP=45°，
1 √2 √2
∴直线l到直线BP的距离为BD⋅sin45°= × = ，
2 2 4
根据题意得：光线与抛物线水流之间的距离为光线与抛物线水流之间的最小垂直距离，即直线l到直线BP
的距离，
√2
∴光线与抛物线水流之间的距离为 ．
4
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数综合，
解直角三角形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
题型四：空中跳跃轨迹问题
1.“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔
跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：
水平距离
0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8
x/m
竖直高度
0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0
y/m
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________m，最大竖直高度为_________m；
②求满足条件的抛物线的解析式；
(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆．
【答案】(1)①2.8，0.98；②y=−0.5(x−1.4) 2+0.98(0≤x≤2.8)
(2)能
【分析】（1）①根据表格中的数据进行求解即可；②根据①所求把抛物线解析式设为顶点式，然后利用
待定系数法求解即可；
（2）同理求出抛物线解析式，再求出当x=2时，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：①由表格中的数据可知，当x=2.8时，y=0，
∴野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8m，
0+2.8
∴满足题意的抛物线对称轴为直线x= =1.4，
2
∵抛物线开口向下，
∴当x=1.4，y最大，
∴由表格数据可知最大竖直高度为0.98m，
故答案为：2.8，0.98；
②由①可知抛物线顶点坐标为(1.4，0.98)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x−1.4) 2+0.98，
∴a(0−1.4) 2+0.98=0，
∴a=−0.5，
∴抛物线解析式为y=−0.5(x−1.4) 2+0.98(0≤x≤2.8)
（2）解：∵某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m，
∴此时满足题意的抛物线顶点坐标为(1.5，1)，
4
同理可求出此时抛物线的解析式为y=− (x−1.5) 2+1，
9
4 8
当x=2时，y=− (2−1.5) 2+1= ，
9 9
8
∵ >0.8，
9
∴野兔此次跳跃能跃过篱笆，
故答案为：能．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的抛物线解析式是解题的关键．
2.一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离
为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+√11)m．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为x=1，经过点(0，10)，(3，7)，利用待定系数法即可求解；
（2）令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，经过点(0，10)，(3，7)，
设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，
∴¿，解得¿，
∴y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
（2）解：令y=0，则−x2+2x+10=0，
解得x=1±√11（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+√11)m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解
析式是解题的关键．
3.已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，
如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y
（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，BC⊥x轴于点C，相关数据如下：
水平距离x（米） 5 10 20 30
空中飞行的高度y（米） 4.5 6 0 −18
(1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______；
(2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足y=−0.05x2+1.1x，则他第二次跳跃
落地点与起跳点平面的水平距离为d=______米，d______30，成绩是否达标？______．（填写是或否）
【答案】(1)y=−0.06x2+1.2x(x≥0)；
(2)d=11+√481；＞；是．
【分析】 （1）设该二次函数的解析式为y=ax2+bx(a≠0)，根据点A,B的坐标，利用待定系数法求解
即可得；
（2）求出当函数y=−0.05x2+1.1x的函数值为y=−18时，x的值，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，设该二次函数的解析式为y=ax2+bx(a≠0)，
∵OA=20米，
∴A(20,0)，
将点A(20,0),B(10,6)代入y=ax2+bx得：¿，
解得¿，
则该二次函数的解析式为y=−0.06x2+1.2x(x≥0)，
故答案为：y=−0.06x2+1.2x(x≥0)．
（2）解：对于二次函数y=−0.05x2+1.1x，
当y=−18时，−0.05x2+1.1x=−18，
解得x=11+√481或x=11−√481<0（不符合题意，舍去），
则d=11+√481，
∵11+√481−30=√481−19=√481−√361>0，
∴11+√481>30，即d>30，
故答案为：d=11+√481；＞；是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
4.第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为
了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运
动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，
经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速
0
度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路
线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且sin37°=0.6．忽略空气阻力，请回答
下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
1
(2)y=− x2
160
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．在Rt△OBD中，利用
sin37°求出OD即可；
（2）利用勾股定理求出BD，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；
（3）将x=−60代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．
在Rt△OBD中，OD=AB⋅sin37°=150×0.6=90(m)，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）解：在Rt△OBD中，BD=√AB2−OD2=√1502−902=120(m)，
∴B(−120,−90)，
由题意抛物线顶点为(0,0)，经过(−120,−90)．
设抛物线的解析式为y=ax2，
则有−90=a×(−120) 2，
1
∴a=− ，
160
1
∴抛物线的解析式为y=− x2 ．
160
（3）解：当x=−60时，y=−22.5，
∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【点睛】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自
变量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．
5.跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿
势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台
1 7
终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C :y=− x2+ x+1近似表示滑
1 12 6
雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线
1
C :y=− x2+bx+c运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．
2 8
(1)求抛物线C 的函数解析式；
2
(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+3
8 2
(2)12
8
(3)
3
1
【分析】（1）根据题意将点(0,3)，(4,7)代入抛物线C :y=− x2+bx+c求出b、c即可得出答案；
2 8
（2）设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同，根据题意得：
1 3 1 7
− m2+ m+3=− m2+ x+1，求出m的值即可；
8 2 12 6
（3）运动员与小山坡的高度差为h,则h=− 1 x2+ 3 x+3− ( − 1 x2+ 7 x+1 ) ，求出最值即可．
8 2 12 6
1
【详解】（1）把点(0,3)，(4,7)代入抛物线C :y=− x2+bx+c得：
2 8
¿，
解得：¿，
1 3
∴抛物线C :y=− x2+ x+3；
2 8 2
（2）设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同，
1 3 1 7
根据题意得：− m2+ m+3=− m2+ m+1，
8 2 12 6
化简得：m2−8m−48=0，
解得：m=12或m=−4（舍），
故运动员与点A的水平距离是12米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）设运动员与小山坡的高度差为h,
则h=− 1 x2+ 3 x+3− ( − 1 x2+ 7 x+1 )
8 2 12 6
1 1
=− x2+ x+2
24 3
1 8
=− (x−4) 2+
24 3
1
∵− <0，
24
8
∴当x=4时，h有最大值，最大值为 ，
38
∴运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是 米．
3
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模
型相结合是解题的关键．
6.将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10
名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他
们持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖
直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点
O的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为1.75m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳
下的距离均为0.5m，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
1 1 2
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2（或y=− x2+ x+1）
25 25 5
(2)能够达到比赛的要求，见解析
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点为(5,2)，过点A(0,1)，用待定系数法可得函数解析式；
1
（2）结合（1）令y=1.75得− (x−5) 2+2=1.75，x=7.5或x=2.5，根据(7.5−2.5)÷0.5+1=11，可
25
知在绳下可以站11人，故九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【详解】（1）设大绳所在抛物线的解析式为y=a(x+h) 2+k
由题意得顶点坐标为(5,2)，则抛物线解析式为y=a(x−5) 2+2，
1
将点A(0,1)代入y=a(x−5) 2+2可得，a=− ，
25
1 1 2
∴所求的抛物线的解析式是y=− (x−5) 2+2（或y=− x2+ x+1）；
25 25 5
1
（2）当y=1.75时，− (x−5) 2+2=1.75，
25解得x =2.5，x =7.5，
1 2
(7.5−2.5)÷0.5+1=11（人）
则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
7.如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−1,−10)，运动员（将运动
员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点
(3 9 )
的坐标为 , ．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调
4 16
整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由．
(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点，且EM=7,EN=9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线
解析式为y=(x−ℎ) 2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M,N两点），请直接写出k的取值范
围．
( 3) 2 9
【答案】(1)y=− x− + ；(4,−10)
4 16
(2)不会失误，见解析
(3)−14≤k≤−11
( 3) 2 9
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a x− + ，(0,0)代入解析式，得a=−1，进而可得空中运
4 16( 3) 2 9 ( 3) 2 9
动时对应抛物线的解析式为y=− x− + ，令y=−10，则−10=− x− + ，求出满足要求
4 16 4 16
的x，进而可得B点坐标．
( 3) 2 9
（2）由题意知，当距点E水平距离为4米时，对应的横坐标为4−1=3．将x=3代入y=− x− +
4 16
9 9
中，得y=− ．根据10− =5.5>5，判断作答即可．
2 2
（3）由题意知，当抛物线经过点M时，k最大．由EM=7，可知M(6,−10)，由B(4,−10)，可得
4+6
h= =5，此时抛物线解析式为y=(x−5) 2+k，将点B(4,−10)代入得k=−11，由题意知，当经过
2
点N时，k最小，同理可求得k=−14，进而可得k的取值范围．
( 3) 2 9
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a x− + ，
4 16
将(0,0)代入解析式，得a=−1，
( 3) 2 9
∴空中运动时对应抛物线的解析式为y=− x− + ，
4 16
( 3) 2 9
令y=−10，则−10=− x− + ，
4 16
5
解得x =− （舍去），x =4，
1 2 2
∴B的坐标为(4,−10)．
（2）解：当距点E水平距离为4米时，对应的横坐标为4−1=3．
( 3) 2 9 9
将x=3代入y=− x− + 中，得y=− ．
4 16 2
9
∵10− =5.5>5，
2
∴该运动员此次跳水不会失误．
（3）解：由题意知，当抛物线经过点M时，k最大．
∵EM=7，
∴M(6,−10)．
∵B(4,−10)，4+6
∴h= =5，
2
此时抛物线解析式为y=(x−5) 2+k，
将点B(4,−10)代入得k=−11，
由题意知，当经过点N时，k最小．
同理可求得k=−14，
∴−14≤k≤−11．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知
识的熟练掌握与灵活运用．
题型五：球类飞行轨迹
1.一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距
离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直
角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多
少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+3，球不能射进球门
12
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可
得到函数表达式，再把x=0代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点(0,2.25)代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线解析式为y=a(x−2) 2+3，
把点A(8,0)代入，得36a+3=0，1
解得a=− ，
12
1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2+3，
12
8
当x=0时，y= >2.44，
3
∴球不能射进球门；
1
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=− (x−2−m) 2+3，
12
1
把点(0,2.25)代入得2.25=− (−2−m) 2+3，
12
解得m =−5（舍去），m =1，
1 2
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题
意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
2.掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，
行进高度y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2米，当水平
9 25
距离 米时，实心球行进至最高点： 米处．
2 8
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生） ，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离
大于等于12.4米，此项考试得分为满分17分，按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理
由．
1 25
【答案】(1)y=− (x−4.5) 2+
18 8
(2)该生在此项考试中得不到满分，理由见解析【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
25
【详解】（1）根据题意设y关于x的函数表达式为：y=a(x−4.5) 2+ ，
8
把(0,2)代入解析式得，
25
2=a(x−4.5) 2+ ，
8
1
解得：a=−
18
1 25
∴y关于x的函数表达式为：y=− (x−4.5) 2+
18 8
（2）该生在此项考试中得不到满分，理由：
1 25
当y=0，则，− (x−4.5) 2+ =0，
18 8
解得：x =12，x =−1（舍去），
1 2
∵12<12.4，
∴该生在此项考试中得不到满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
3.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进
路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度
5
为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水
平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
4 8 5
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设y=a(x−3) 2+3，
5
∵y=a(x−3) 2+3经过点(0， )，
3
5
∴ =a(0−3) 2+3
3
4
解得∶a=− ,
27
4 4 8 5
∴y=− (x−3) 2+3=− x2+ x+ ，
27 27 9 3
4 8 5
∴y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
4 8 5 4 8 5
∵对于二次函数y=− x2+ x+ ，当y=0时，有− x2+ x+ =0
27 9 3 27 9 3
∴4x2−24x−45=0，
15 3
解得∶x = ， x =− (舍去)，
1 2 2 2
15
∵ >6.70，
2
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解
题的关键．
4.某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受
游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与
其一组对边平行，矩形DEFG为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从A(1,0)处抛出，弹珠的飞行轨迹
3 3
为抛物线L:y=ax2+bx+ (单位长度为1m)的一部分，且当弹珠的高度为 m时，对应的两个位置的水平
2 2
距离为2m．已知DE=1m，EF=0.6m，DA=4.7m．(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标．
(2)请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的
情况下，调整EF的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出EF的取值范围．
1 3
【答案】(1)，y=− x2−x+ ，(−1,2)
2 2
(2)0<EF<0.555
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可求出OE的长，将点E的横坐标代入解析式．
3
【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线过点(−2, )，
2
3 3
将把点A(1,0)，(−2, )代入y=ax2+bx+ 得：
2 2
¿，
解得¿，
1 3
∴抛物线L的解析式为y=− x2−x+ ；
2 2
1 3 1
∵y=− (x2+2x)+ =− (x+1) 2+2，
2 2 2
∴顶点坐标为(−1,2)；
（2）∵A(1,0)，
∴OA=1m．
∵DA=4.7m，
∴DO=3.7m，
即点D(−3.7,0)．
∵DE=1m，EF=0.6m，
∴OE=2.7m．
∴点E(−2.7,0)，F(−2.7,0.6)，G(−3.7,0.6)．
1 3
当x=−2.7时，y=− ×2.72−(−2.7)+ =0.555，
2 2
∵0.6>0.555，∴该同学抛出的弹珠不能投入箱子；
若调整EF的高度，使得弹珠可以投入箱子，EF的取值范围为0<EF<0.555．
【点睛】本题属于二次函数的应用，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻
找特殊点解决问题．
5.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对
击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点
P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；
若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x−1) 2+3.2．
(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判
断应选择哪种击球方式．
【答案】(1)P(0,2.8)，a=−0.4，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上y=−0.4x+2.8，令x=0，可求得P(0,2.8)，再代入y=a(x−1) 2+3.2即可
求得a的值；
（2）由题意可知OC=5m，令y=0，分别求得−0.4x+2.8=0，−0.4(x−1) 2+3.2=0，即可求得落地点
到O点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数y=−0.4x+2.8，
令x=0时，y=2.8，
∴P(0,2.8)，将P(0,2.8)代入y=a(x−1) 2+3.2中，可得：a+3.2=2.8，
解得：a=−0.4；
（2）∵OA=3m，CA=2m，
∴OC=5m，
选择扣球，则令y=0，即：−0.4x+2.8=0，解得：x=7，
即：落地点距离点O距离为7m，
∴落地点到C点的距离为7−5=2m，
选择吊球，则令y=0，即：−0.4(x−1) 2+3.2=0，解得：x=±2√2+1（负值舍去），
即：落地点距离点O距离为(2√2+1)m，
∴落地点到C点的距离为5−(2√2−1)=(4−2√2)m，
∵4−2√2<2，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
6.如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m
的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时
水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数
关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O
在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）
【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；
1
（2）当y＝0时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2＝8.4，
50即可求解．
【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
1
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣ ，
50
1
故抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣7）2+2.88；
50
1
当x＝9时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
50
1
当x＝18时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，
50
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
1
当y＝0时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
50
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6√2＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，
二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解
答此题的关键.
7.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是
形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出
1米，已知OB=m米，排球场的边界点A距O点的水平距离OA为18米，球网EF高度为2.4米，且
1
OE= OA．
2(1)C点的坐标为 （用含m的代数式表示）
(2)当m=2时，求抛物线的表达式．
(3)当m=2时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
(4)若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L ，球落地后立即向右弹起，形
1
成另一条与L 形状相同的抛物线L ，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切
1 2
8
面为梯形的无盖排球回收框MNPQ（MQ∥PN），其中MQ=0.5米，MN=2米，NP= 米，若排球
9
经过向右反弹后沿L 的轨迹落入回收框MNPQ内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点
2
横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值．
【答案】(1)(6,m+1)
1
(2)抛物线的表达式为y=− (x−6) 2+3
36
(3)球能越过球网，球不会出界，理由见解析
(4)d=3√2
【分析】（1）抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，
OB＝m米，据此即可得到点C的坐标；
（2）当m=2时，得到C(6,3),B(0,2)，设抛物线的表达式为y＝a(x−6) 2+3，将点B(0,2)代入解得
1
a=− ，即可得到答案；
36
1 1
（3）由（2）知，当m=2时，抛物线的表达式为y=− (x−6) 2+3，由OA=18，OE= OA得到
36 2
1
OE= OA=9，得到F(9,2.4)，求出当x=9时，y=2.75，即可判断球能越过球网，求出D(6+6√3,0)，
2
即可判断球会不会出界；
（4）求出L 的表达式为y=− 1 (x−24) 2+1，设点M的横坐标为t(t≥24)，则Q(t,0.5)，P ( t+2, 8) ，
2 36 91 8
当y=0.5时，0.5=− (t−24) 2+1，解得：t =24+3√2，t =24−3√2（舍去），当y= 时，
36 1 2 9
8 1
=− (t+2−24) 2+1，解得：t =24，t =20（舍去），则24≤t≤24+3√2，即可得到答案．
9 36 1 2
【详解】（1）解：∵抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1
米，OB＝m米，
∴C(6,m+1)；
故答案为：(6,m+1)；
（2）当m=2时，
∴C(6,3),B(0,2)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x−6) 2+3，
将点B(0,2)代入，得2=a(0−6) 2+3，
1
解得：a=− ，
36
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−6) 2+3；
36
（3）球能越过球网，球不会出界，理由如下：
1
由（2）知，当m=2时，抛物线的表达式为y=− (x−6) 2+3，
36
1
∵OA=18米，OE= OA，
2
1
∴OE= OA=9（米），
2
∵球网EF高度为2.4米，
∴F(9,2.4)，
1
当x=9时，y=− (9−6) 2+3=2.75，
36
∵2.75>2.4，
∴球能越过球网，
1
当y=0时，0=− (x−6) 2+3，
36
解得：x =6+6√3，x =6−6√3（不合题意，舍去），
1 2∴D(6+6√3,0)，
∵6+6√3<18，
∴球不会出界；
（4）∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水
平距离，
又∵L 是与L 形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
2 1
1
∴设L 的表达式为y=− (x−h) 2+1，
2 36
1
将点A(18,0)代入，得0=− (18−h) 2+1
36
解得：h =12（舍去），h =24，
1 ❑2
1
∴L 的表达式为y=− (x−24) 2+1，
2 36
( 8)
设点M的横坐标为t(t≥24)，则Q(t,0.5)，P t+2, ，
9
1
当y=0.5时，0.5=− (t−24) 2+1，
36
解得：t =24+3√2，t =24−3√2（舍去），
1 2
8 8 1
当y= 时， =− (t+2−24) 2+1，
9 9 36
解得：t =24，t =20（舍去），
1 2
∴24≤t≤24+3√2，
∴d=24+3√2−24=3√2．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质并
数形结合是解题的关键．
题型六：最大利润/销量问题
1.某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不
低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售
价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x
（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【答案】(1)y=−50x+1200
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，y与x的函数关系式为y=kx+b，将
(5,950),(6,900)代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性
质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5,950),(6,900)代入得：
¿，解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1200，
（2）解；根据题意可得：(x−4)y=1800，
∴(x−4)(−50x+1200)=1800，
整理得：x2−28x+132=0，
解得：x =6,x =22，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
w=(x−4)(−50x+1200)
=−50x2+1400x−4800
=−50(x−14) 2+5000，
∵−50<0，函数开口向下，
∴当x<14时，w随x的增大而增大，
∵4≤x≤7，
∴当x=7时，w有最大值，此时w =−50(7−14) 2+5000=2550，
max
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的
关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
2.冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，
小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容
融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；
而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次
增加x个，第二次冰墩墩售完后的利润为y元．
(1)用含x的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润y；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
1 40
【答案】(1)y=− x2+ x+1500
3 3
(2)购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润
最大，最大利润是1802元
x
【分析】（1）由题意第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少 元，根据利润=一
3
个利润×数量，即可求得第二次冰墩墩售完后的的利润y；
（2）由题意知，第二次购买雪容融的数量为100−(50+x)=(50−x)个，根据两种玩偶销售利润的和得
关于x的函数式，然后求最大值即可．
x
【详解】（1）由题意，第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少 元，则第二次冰
3
( x)
墩墩售完后的的利润y= 30− (50+x)；
3
1 40
整理得：y=− x2+ x+1500．
3 3
（2）第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，第二次购买雪容融的数量为100−(50+x)=(50−x)个，
∴第二次售卖两种玩偶的销售利润
1 40 1 25
w= y+5(50−x)=− x2+ x+1500+250−5x=− x2+ x+1750,
3 3 3 3
1( 15) 2 625
∴w=− x− + +1750,
3 2 12
由题意知，x为正整数，所以当x=12或13时，w最大，最大值为1802；当x=12时，50+x=62，50-x=38；当x=13时，50+x=63，50-x=37；
即购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润
最大，最大利润是1802元．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题
意是解题的关键．
3.深圳某公司生产A、B两种玩具，每个B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生产A种玩具，
3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个，请解答下列问题：
(1)A、B两种玩具每个的成本分别是多少元？
(2)某大学生自主创业，在网上销售B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高
于进货价的50%．试营销阶段发现：当销售单价是8元时，每天的销售量为120件，销售单价每上涨1元，
每天的销售量就减少20件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A、B两种玩具每个的成本分别是4元和6元
(2)当销售单价为9元时利润最大为300元
【分析】（1）设A玩具每个的成本为x元，B玩具每个的成本为1.5x元，根据“公司投入1600元生产A
种玩具，3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个”列方程求解，注意分式方程需要验根；
（2）设销售单价为a元，则销售量为：120−20(a−8) 件，根据题意可得6≤a≤9，由题意列二次函数
关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A玩具每个的成本为x元，B玩具每个的成本为1.5x元．
1600 3600
根据题意得： + =1000
x 1.5x
解得：x=4
经检验 x=4是原方程的解．
∴1 .5x=6
答：A、B两种玩具每个的成本分别是4元和6元．
（2）解：设销售单价为a元，则销售量为：120−20(a−8) 件；由题可知a≥6且a−6≤50%×6
∴6≤a≤9
根据题意得：w=(a−6)[120−20(a−8)] =−20a2+400a−1680 =−20(a−10) 2+320
∵−20<0 当6≤a≤9时，w随a的增大而增大，
∴当销售单价为9元时利润最大为300元．
【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，找到题中的等量关系是解题的关键．
4.某厂家生产一种儿童电动玩具，3月份前4天生产的该儿童玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据
如下表所示：第x天 1 2 3 4
售价y/（元/个） 30 32 34 36
销量t/个 100 120 140 160
从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关
系为t=−x2+50x−100（5≤x≤20，且x为整数）．
(1)直接写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后第几天的销量最大，最
大值为多少？
(2)若成本价为20元，求该工厂这些天（按20天计）出售儿童电动玩具得到的利润W（元）与x的函数关
系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值．
【答案】(1)销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为t=20x+80（1≤x≤4），第5天以后第
20天的销量最大，最大值为500；
(2)W（元）与x的函数关系式为W =¿；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元．
【分析】（1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t与第x天满足的关系式，并根据第5天以后儿
童电动玩具销量t（套）和第x天的关系式，由函数性质求出最值；
（2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案．
【详解】（1）解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系，
设t＝kx+b把(1,100),(2,120)代入得：
¿，
解得¿，
∴销量t与第x天满足的关系式为t=20x+80（1≤x≤4）；
∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为t=−x2+50x−100=−（x−25）2+525，
∵−1<0，
∴当x<25时，t随x的增大而增大，
∵5≤x≤20，
∴当x=20时，t有最大值，最大值为−(20−25) 2+525=500，
∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为t=20x+80（1≤x≤4），第5天以后第20天的销
量最大，最大值为500；
（2）解：设y与x的函数解析式为y=mx+n，
把(1,30),(2,32)代入得：
¿，
解得¿，∴y与x的函数解析式为y=2x+28，
①当1≤x≤4时，W =(2x+28−20)(20x+80)=40x2+320x+640=40(x+4) 2，
当x=4时，W有最大值，最大值为40×(4+4) 2=2560；
②当5≤x≤20时，W =(28−20)(−x2+50x−100)=−8(x−25) 2+4200，
∵−8<0,5≤x≤20，
∴当x=20时，W有最大值，最大值为−8×25+4200=4000，
∴第20天时W的最大值为4000元．
∴W（元）与x的函数关系式为W =¿；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数
的解析式．
5.某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，甲商品从开始销售至销售的第x天
总销量y （千克）与x的关系如图1所示，且y 是x的二次函数．乙商品从开始销售至销售第x天的总销量
1 1
y (kg)，y =ωx，其中ω是关于x的一次函数，其图象如图2．
2 2
(1)分别求出y ，y 与x的函数关系；
1 2
(2)甲、乙两种商品购进量相差多少；
(3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少．
【答案】(1)y =−x2+30x，y =ωx=−3x2+60x；
1 2
(2)甲、乙两种商品购进量相差75kg
(3)甲乙均在第1天销量最大，分别是29kg、75kg．【分析】（1）依据题意，设y =ax2+bx，结合图象上的点代入计算可以得解；又ω是关于x的一次函数，
1
过(0，60)，(20，0)，从而先求出ω与x的关系，再代入可以的y 的关系式；
2
（2）依据题意，分别依据顶点式求出两种商品的最大值，然后作差可以得解；
（3）依据题意，设第t天，甲、乙商品销量最大，表示出来后，求出最大值即可得解．
【详解】（1）解：由题意，设y =ax2+bx，
1
∴¿，
∴y =−x2+30x，
1
又ω是关于x的一次函数，过(0，60)，(20，0)，
设ω=kx+60，
∴0=20k+60，
解得k=−3，
∴ω=−3x+60，
∴y =ωx=−3x2+60x；
2
（2）解：由题意得，y =−x2+30x=−(x−15) 2+225，
1
∵−1<0，
∴当x=15时，甲商品的最大值为225；
又y =−3x2+60x=−3(x−10) 2+300，
2
∵−3<0，
∴当x=10时，乙商品的最大值为300．
∴y −y =75(kg)，即乙商品比甲商品多购进75kg．
乙 甲
即甲、乙两种商品购进量相差75kg；
（3）解：第t天，乙商品销量：−3t2+60t−[−3(t−1) 2+60(t−1)]
=3(−2t+1)+60
=−6t+63，
∴当t=1时，ω =57．
乙
此时甲商品销量：−t2+30t−[−(t−1) 2+30(t−1)]
=(−2t+1)+30=−2t+31，
∴当t=1时，ω =29．
甲
答：甲乙均在第1天销量最大，分别是29kg、75kg．
【点睛】本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
6.“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要
求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（0<x≤15）每件产品的成本价是y
元，y与x之间关系为：y=0.5x+7，任务完成后，统计发现工人小王第x天生产产品P（件）与x
（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元．
(1)直接写出P与x之间的函数关系；
(2)求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？
(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一
个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，
小王能获得多少元的奖金？
【答案】(1)P=¿
(2)W =¿，小王第8天创造的利润最大，最大利润是324元
(3)180元
【分析】（1）结合图象，分段计算，当10≤x≤15时，P=40，当0<x≤10时，利用待定系数法即可求
解；
（2）根据题意有：W =P×(20−y)，结合（1）的结果和y=0.5x+7，即可求解，再分别求出当
0<x≤10时和当10≤x≤15时， W的最大值，二者比较即可作答；
（3）根据题意可知：当W>288时，即可获得奖励，当0<x≤10时，令W =288，即有
−x2+16x+260=288，解得x=2或者x=14，可得当2<x≤10时可以获得奖励；当10≤x≤15时，
W>288，即有：W =−20x+520>288，解得：10≤x<11.6，去除第10天重复计算的奖励，问题得解．
【详解】（1）解：结合图象，分段计算，
当10≤x≤15时，P=40，
当0<x≤10时，设P与x之间的函数关系为：P=kx+b，∵(10,40)，(0,20)，
∴¿，解得¿，
即此时P=2x+20，
综上：P=¿；
（2）根据题意有：W =P×(20−y)，
∵P=¿，y=0.5x+7，
∴W =¿，
整理得：W =¿，
当0<x≤10时，W =−x2+16x+260=−(x−8) 2+324，
即当x=8时，W有最大值，最大值为W =324，
当10≤x≤15时，W =−20x+520，
即W随着x的增大而减小，
∴当x=10时，W有最大值，最大值为W =320，
∵320<324，
∴当x=8时，W有最大值，最大值为W =324，
∴小王第8天创造的利润最大，最大利润是324元；
（3）根据题意可知：当W>288时，即可获得奖励，
当0<x≤10时，令W =288，即有−x2+16x+260=288，
解得x=2或者x=14，
∵0<x≤10，函数W =−x2+16x+260开口朝下，
∴当W>288时，有2<x≤10，
即此时可以获得奖励为：20×(10−2)=160（元），
当10≤x≤15时，W>288，
即有：W =−20x+520>288，
解得：10≤x<11.6，
即此时可以获得奖励为：20×2=40（元），
∵第10天重复计算，
∴总计获得的奖励为：160+40−20=180（元）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解
一次函数解析式等知识，明确题意，正确得出函数关系，是解答本题的关键．
7.2022年2月20日，北京冬奥会顺利闭幕，冬奥会带来了冰雪消费热．最美志愿者陈老师决定购进“冰
墩墩”和“雪容融”两种纪念品进行销售，已知每件“冰墩墩”比每件“雪容融”的进价高30元，用1500元购进“冰墩墩”的数量和用600元购进“雪容融”的数量相同．经市场调查，整理出“冰墩墩”
的售价x（元/件）与销量y（件）的关系如表：
售价x
50≤x≤60 60<x≤80
（元/件）
销售量（件） 100 400−5x
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”每件的进价分别为多少元？
(2)求当x为何值时，陈老师售出“冰墩墩”所获利润w最大，最大利润为多少？
(3)陈老师非常热爱公益事业，决定在（2）中售出“冰墩墩”获利最大的销售方案下每销售1件“冰墩
墩”就捐献m元给“体育公益项目”，且希望利润不低于975元以维持各种开支，则m的最大值为
________．
【答案】(1)“冰墩墩”的进价为每件50元，“雪容融”的进价为每件20元
(2)当x=65时，售出“冰墩墩”所获利润最大值为1125元
(3)2
【分析】（1）设“雪容融”的进价为每件a元，则“冰墩墩”的进价为每件(a+30)元，根据用1500元购
进“冰墩墩”的数量和用600元购进“雪容融”的数量相同，列出方程即可解得．
（2）分情况讨论，当50≤x≤60时，售出“冰墩墩”的利润w=100(x−50)，当x=60时，w有最大值；
当60<x≤80时，售出“冰墩墩”的利润w=(400−5x)(x−50)，当x=65时，w的最大值．
（3）由（2）可知，列出不等式，即可解得．
【详解】（1）解：设“雪容融”的进价为每件a元，则“冰墩墩”的进价为每件(a+30)元，
1500 600
= ，
a+30 a
解得：a=20
经检验知：a=20是原方程的解，
∴“冰墩墩”的进价为：20+30=50元，
答：“冰墩墩”的进价为每件50元，“雪容融”的进价为每件20元．
（2）当50≤x≤60时，
售出“冰墩墩”的利润w=100(x−50)
∵k=100,w随x的增大而增大，
∴当x=60时，w有最大值，w的最大值为：100×(60−50)=1000元；
当60<x≤80时，
售出“冰墩墩”的利润w=(400−5x)(x−50)，w=−5x2+650x−20000=−5(x−65) 2+1125
∵−5<0，函数图像开口向下，对称轴为直线x=65,
∴w有最大值，
当x=65时，w的最大值为1125元．
故当x=65时，售出“冰墩墩”所获利润最大值为1125元．
（3）由（2）可知，
1125−75m≥975，
解得∶m≤2，
m的最大值为2．
【点睛】此题考查了分式方程应用，一元二次函数应用，不等式，解题的关键是读懂题意找出等量关系
式．
题型七：方案选择问题
1.2025年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000
元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．
(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．
该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m(50≤m≤150)只，若两种风筝能全部售出，求
销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【答案】(1)一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
(2)当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
【分析】（1）设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为(x+20)元，根据“用20000元采购
A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍”列分式方程，解之即可求解；
（2）设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得w=−2(m−30) 2+13800，利用二次函数的性质即可求
解．
【详解】（1）解：设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为(x+20)元，
20000 8000
根据题意得 = ×2，
x+20 x
解得x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20=80+20=100，答：一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
（2）解：设销售这批风筝的利润为w元，
根据题意得：w=[2(130−m)−100]m+(120−80)(300−m)=−2m2+120m+12000，
整理得w=−2(m−30) 2+13800，
∵−2<0，50≤m≤150
∴当m=50时，w取得最大值，最大值为13000，此时130−m=130−50=80，
答：当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出
分式方程；（2）利用二次函数的性质求出最大利润．
2.九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够
长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（底边靠墙）、半圆
形这三种方案，如图所示，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面积都一样
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
【详解】解：方案1：设AD=x米，则AB=(8−2x)米，
则菜园面积=x(8−2x)=−2x2+8x=−2(x−2) 2+8，
当x=2时，此时菜园最大面积为8平方米；
方案2：如图，AB=AC=4，1
∵S = AB⋅AC=8，
△ABC 2
∴菜园面积为8平方米；
8
方案3：半圆的半径为 米，
π
(8) 2
π×
∴此时菜园最大面积 π 32（平方米）
= =
2 π
32
∵ >8，
π
∴方案3的菜园面积最大，
∴在三种方案中，最佳方案是方案3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、圆的面积、等腰三角形的性质，根据题意计算三个方案的边长及
半径是解本题的关键．
3.某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游配套工厂等因素影响，生产成本不同．
甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0)，图象为如图的虚线
所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为y=kx(k≠0)，其图象为如图的实线
所示．(1)求a、b、k的值．
(2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小．
(3)从甲城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：y =nx，y =3x；从乙
甲A 甲B
城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：y =x，y =2x；现在A地需要40
乙A 乙B
件，B地需要10件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含n的式子表示）．
1
【答案】(1)a= ，b=1，k=3；
4
(2)当甲城生产4件，乙城生产46件时，总成本最小；
(3)当n=2时，总运费最小值为64万元；当n<2时，总运费最小值为(4n+56)万元；当n>2时，总运费最
小值为64万元．
( 5)
【分析】（1）根据函数图象过原点得到c=0，将(2,3)和 1, 代入解析式即可求解；
4
1
（2）由（1）可得甲、乙的函数表达式，设生产成本为w，则得到w= x2+x+3(50−x)，化简后根据
4
二次函数的最值判断即可；
（3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为
(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，根据
题意列出不等式求出m的取值范围，再表示出p，根据判断即可得到结果；
【详解】（1）∵y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，
∴c=0，
( 5)
将(2,3)和 1, 代入解析式y=ax2+bx+c(a≠0)得¿，
4
②×4−①得：b=1，
1
代入①中得a= ，
4
∴¿，
将(2,6)代入y=kx中得k=3，
1
∴a= ，b=1，k=3；
4
1
（2）由（1）可得，甲：y= x2+x，乙：y=3x，
4
1 1 1
设生产成本为w，则得到w= x2+x+3(50−x)= x2−2x+150= (x−4) 2+146，
4 4 4∴当x=4时，甲、乙两城生产这批产品总成本和最少，
50−4=46，
∴甲城生产4件，乙城生产46件，此时生产成本最小；
（3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为
(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，
由题意可得：¿，
解得：0≤m≤4，
∴p=mn+3(4−m)+40−m+2(10−4+m)，
=mn+12−3m+40−m+12+2m，
=mn−2m+64，
=(n−2)m+64，
当0≤n≤2，0≤m≤4时，p随n的增大而减小，
∴m=4时，p的值最小，
最小值为4(n−2)+64=4n+56；
当n>2，0≤m≤4时，p随n的增大而增大，
则m=0时，p的值最小，最小值为64；
∴当0≤n≤2时，总运费为(4n+56)万元；
当n>2时，总运费为64万元．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式以及一次函数在实际问题
当中的应用，理解清楚题目中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
4.为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、
乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20− m2 ，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
【答案】(1)y =0.4x，y =0.2x+0.3；
1 2
(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；
当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；
（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；
（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．
【详解】解：（1）由题意得y =0.4x，
1
在直角坐标系中描出以(x,y)坐标的对应点，易得y 的图象成一条直线，
2
设y =kx+b，则¿，
2
解得¿，
∴y =0.2x+0.3．
2
（2）当y = y ，则0.4x=0.2x+0.3，
1 2
解得x=1.5；
∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；
当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．
（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润：
w=0.4m+0.2n+0.3 =0.4m+0.2
(
20−
1 m2)
+0.3，
2
即w=−0.1m2+0.4m+4.3 =−0.1(m−2) 2+4.7，
当m=2时，n=18，w有最大值，
答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，
求出解析式．
5.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2
米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长
度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(0<m≤6)，
求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计方案，
请你从中选择一种，求出该方案下矩形P P P P 面积的最大值，及取最大值时点P 的横坐标的取值范
1 2 3 4 1
围（P 在P 右侧）．
1 4
1
【答案】(1)y＝− x2＋8
6
1
(2)（ⅰ）l＝− m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，−√30＋9≤P 横坐标≤
2 1
81 9
√30；方案二：最大面积 −√21＋ ≤P 横坐标≤√21
4 2 1
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
1
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P 的坐标为（m，－ m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数
2 6
的性质分析最值；
（ⅱ）设PP＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数
2 1
形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
1
解得：a＝− ，
6
1
∴抛物线对应的函数表达式为y＝− x2＋8；
6
（2）（ⅰ）∵点P 的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形PPPP 为矩形，点P，P 在抛物线AED上，
1 1 2 3 4 2 3
1
∴P 的坐标为（m，− m2＋8），
2 61
∴PP＝PP＝MN＝− m2＋8，PP＝2m，
1 2 3 4 6 2 3
1 1 1
∴l＝3（− m2＋8）＋2m＝− m2＋2m＋24＝− （m－2）2＋26，
6 2 2
1
∵− ＜0，
2
∴当m＝2时，l有最大值为26，
1
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝− m2＋2m＋24，l的最大值为26；
2
（ⅱ）方案一：设PP＝n，则PP＝18－3n，
2 1 2 3
∴矩形PPPP 面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
1 2 3 4
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时PP＝3，PP＝9，
2 1 2 3
1
令− x2＋8＝3，
6
解得：x＝±√30，
∴此时P 的横坐标的取值范围为−√30＋9≤P 横坐标≤√30，
1 1
方案二：设PP＝n，则PP＝9－n，
2 1 2 3
9 81
∴矩形PPPP 面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－ ）2＋ ，
1 2 3 4 2 4
∵－1＜0，
9 81
∴当n＝ 时，矩形面积有最大值为 ，
2 4
9 9
此时PP＝ ，PP＝ ，
2 1 2 2 3 2
1 9
令− x2＋8＝ ，
6 2
解得：x＝±√21，
9
∴此时P 的横坐标的取值范围为−√21＋ ≤P 横坐标≤√21．
1 2 1
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利
用数形结合思想解题是关键．
题型八：图形面积问题
1.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植 2株，已知牡丹每
株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【答案】（1）垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）最多可以购买1400株牡丹．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣
3x）米，
根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以购买1400株牡丹．
2.如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，
形成一个矩形茶园ABCD，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙MN长25米，篱笆40米长（篱
笆用完），设AB长x米，矩形茶园ABCD的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)当矩形茶园ABCD的面积为200平方米时，求AB的长．
【答案】(1)S=−2x2+40x，7.5≤x<20(2)AB长10米
【分析】（1）BC长可表示为40−2x≤25，于是s=x(40−2x)，化简得答案；
（2）令s=200，构建方程求解；
【详解】（1）解：s=x(40−2x)
=−2x2+40x，
40−2x≤25，得x≥7.5
自变量的取值范围为：7.5≤x<20
（2）根据题意，令s=200得：
−2x2+40x=200
解得x =x =10
1 2
答：当矩形茶园ABCD的面积为200平方米时，AB长10米．
【点睛】本题考查列二次函数解析式，一元二次方程的求解；理解方程和函数关系是解题的关键．
3.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m
）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，
实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面
积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m
7 147
(2)当BC= m时，围成的两块矩形总种植面积最大= m2
2 4
【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为
(12-a)m，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围
成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
7 147
=-3(x- )2+
2 4
∵21-3x≤12
∴x≥3
7 147
∴当BC= m时，y = m2．
2 最大 4
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．
4.如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场
均留一道1m宽的门，设AB的长为x米．
(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；
(2)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？
【答案】(1)S=−3x2+36x
(2)有最大值，最大值是108m2
【分析】（1）根据题意和图形可以求得S关于x的关系式；
（2）将S关于x的关系化为顶点式，即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
S=x(34−3x+2)=x(36−3x)=−3x2+36x，即S关于x的关系式是S=−3x2+36x；
（2）解：S=−3x2+36x=−3(x−6) 2+108，
∴当x=6时，S取得最大值，此时S=108，
即两个鸡场面积和S有最大值，最大值是108m2
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5.数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四
个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体
积最大．
下面是探究过程，请补充完整：
(1)设小正方形的边长为xdm，体积为ydm3，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式为______；
(2)确定自变量x的取值范围是______；
(3)列出y与x的几组对应值．
1 1 3 1 5 3 7 9 5
x/dm … 1 …
8 4 8 2 8 4 8 8 4
y/dm3 … 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 …
（说明：表格中相关数值均精确到0.1）
(4)为观察y与x之间的关系，建立坐标系（图2），以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的点，
并用平滑的曲线连接它们；
(5)结合画出的函数图象，解决问题：要使得长方体盒子的体积最大，小正方形的边长约为______dm．
（精确到0.1）
【答案】(1)y=4x3−14x2+12x
3
(2)0<x<
2
(3)3，2
(4)见解析(5)0.6
【分析】（1）根据长方体的体积公式=长×宽×高，进行计算即可得到答案；
（2）根据盒子的长宽高为正数列出不等式组，求解即可得到答案；
1
（3）分别计算出当x= 时，当x=1时，y的值即可得到答案；
2
（4）描点、连线，即可画出图象；
（5）根据图象即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
y=x(4−2x)(3−2x)=4x3−14x2+12x，
∴ y和x的关系式为：y=4x3−14x2+12x，
故答案为：y=4x3−14x2+12x；
（2）解：根据题意得：
¿，
3
解得：0<x< ，
2
3
∴自变量x的取值范围是0<x< ，
2
3
故答案为：0<x< ；
2
1 (1) 3 (1) 2 1
（3）解：当x= 时，y=4× −14× +12× =3，
2 2 2 2
当x=1时，y=4×13−14×12+12×1=2，
故答案为：3，2；
（4）解：画出图象如图所示：
；
（5）解：由图可得：当x=0.6dm时，盒子的体积最大，最大值约为3.1dm3，
故答案为：0.6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求函数关系式、自变量的取值范围、画函数图象，解答此题的关
键是采用数形结合的思想解题．
6.植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间
用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于
墙长．
(1)按图甲的方案，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式．
②求矩形ABCD的面积y(m2)的最大值．
(2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
1
【答案】(1)①y=− x2+10x②42m2
2
169
(2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是
m2
，理由见解析
4
【分析】（1）①利用矩形的面积公式进行求解即可；②利用二次函数的性质进行求解即可；
（2）求出乙方案的最大面积，与甲方案进行比较后，判断即可．
(20−x)
【详解】（1）解：①设BC的长为xm，则：AB的长为 m，
2
∴y=AB⋅BC=x⋅
(20−x)
=−
1
x2+10x；
2 2
②∵甲中AD的长不超过墙长，
∴0<x≤6，
1 1 1
∵y=− x2+10x=− (x−10) 2+50，− <0，
2 2 2
∴0<x≤6时，y随x的增大而增大，
1
∴当x=6时，矩形的面积最大，最大为：− (6−10) 2+50=42(m2)．
2
（2）乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下：
乙方案中，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．则：y=x⋅ 20−x−(x−6) =−x2+13x=− ( x− 13) 2 + 169 ，
2 2 4
∵方案乙中AD的长大于墙长，
∴x>6，
20−x−(x−6)
∵ >0，
2
∴x<13，
∴6<x<13；
13 169
∴当x= 时，矩形的面积最大，最大为 m2 ；
2 4
169
∵ >42，
4
169
∴乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是
m2
．
4
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意，正确的列出二次函数表达式．
7.空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100
米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方
米．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成
的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析．
【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．
100−x
【详解】解：（1）设AD=x米，则AB= 米
2
x(100−x)
依题意得， ＝450
2
解得x=10，x=90
1 2∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
x(100−x) 1
S= ＝− (x−50) 2+1250，0＜x＜a
2 2
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
1
当x=a时，S =50a- a2
最大 2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
x(100+a−2x) a 2 a 2 a
S= ＝−[x−(25+ )] +(25+ ) ，a≤x＜50+
2 4 4 2
a 100
当a＜25+ ＜50时，即0＜a＜ 时，
4 3
a a 10000+200a+a2
则x=25+ 时，S =（25+ ）2= ，
4 最大 4 16
a 100
当25+ ≤a，即 ≤a＜50时，S随x的增大而减小
4 3
a(100+a−2a) 1
∴x=a时，S最大= =50a− a2 ，
2 2
100 10000+200a+a2 1 (3a−100) 2
综合①②，当0＜a＜ 时， -（50a− a2 ）= ＞0
3 16 2 16
10000+200a+a2 1
＞50a− a2 ，
16 2
10000+200a+a2
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为 平方米
16
100
当 ≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
3100 a 10000+200a+a2
∴当0＜a＜ 时，围成长和宽均为（25+ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为 平
3 4 16
方米；
100 a 1
当 ≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50- ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（50a− a2 ）平
3 2 2
方米．
【点睛】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解题的关键是注意分类
讨论变量大小关系．
8.为了增加校园绿化，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛种植“两花一草”，如图，取四边中点，
构成正方形EFGH（甲区域），在四个角落构造4个全等的矩形（已区域），甲、乙两区域种植不同花
卉，剩余区域种植草坪．
(1)经了解，甲区域建造费用为50元/m2，乙区城建造费用为80元/m2，草坪建造费用为10元/m2，设每个
矩形的面积为xm2，建造总费用为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)当建造总费用为74880元时，矩形区城的长和宽分别为多少米？
(3)甲区域建造费用调整为40元/m2，乙区域建造费用调整为a元/m2（a为10的倍数），草坪建造单价不
变，最后建造总费用为55000元，求a的最小值．
【答案】(1)y=280x+48000
(2)矩形区域的长和宽分别为12米和8米
(3)a的最小值是50．
【分析】（1）先求出正方形ABCD、正方形EFGH、种植草坪的面积，然后根据“费用=单价×面积”即
可解答；
（2）设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则m+n=20，mn=x．然后代入（1）所得解析式可得
x=96，即m(20−m)=96，即可求得m的值，进而完成解答；
3750
（3）先根据题意可得800×40+4x⋅a+10(1600−800−4x)=55000，即a= +10；再求得x的
x
最大值，最后代入即可解答．【详解】（1）解：由题意可知：正方形ABCD的面积为40×40=1600m2，正方形EFGH的面积为
800m2，种植草坪的面积为1600−800−4x，根据题意可得：
y=800×50+4x⋅80+10(1600−800−4x) =280x+48000．
（2）解：设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则m+n=20，mn=x．
依题意可得：280x+48000=74880，解得x=96．
∴m(20−m)=96，解得m =12，m =8（舍去）．
1 2
∴m=12，n=8．
答：矩形区域的长和宽分别为12米和8米．
（3）解：依题意，800×40+4x⋅a+10(1600−800−4x)=55000．
3750
∴a= +10．
x
∵x=m(20−m)=−(m−10) 2+100，
∴当m=10时，x最大=100．
∴a≥47.5．
∴a的最小值是50．
【点睛】本题主要考查了列函数关系、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关
知识点成为解答本题的关键．
9.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线
是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进行切割：
(1)求抛物线解析式；
(2)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(3)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长．
1
【答案】(1)y=− x2+8
2
(2)(96−32√5)dm2
(3)20dm【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由四边形EFGH是正方形得到GH=FG=2OG，设H ( t,− 1 t2+8 ) (t>0)，− 1 t2+8=2t，解得：
2 2
t =−2+2√5，t =−2−2√5（舍），即可得到答案；
1 2
（3设H ( t,− 1 t2+8 ) (t>0)，矩形EFGH的周长=−t2+4t+16=−(t−2) 2+20，由二次函数的性质即可
2
得到答案．
1
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：y=ax2+8，把B(4,0)代入得：0=16a+8，∴a=− ，
2
1
∴抛物线的解析式为：y=− x2+8，
2
（2）∵四边形EFGH是正方形，
∴GH=FG=2OG，
设H ( t,− 1 t2+8 ) (t>0)，
2
1
∴− t2+8=2t，
2
解得：t =−2+2√5，t =−2−2√5（舍），
1 2
∴此正方形的面积=FG2=(2t) 2=4t2=4(−2+2√5) 2=(96−32√5)dm2；
（3）如图2，由（1）知：设H ( t,− 1 t2+8 ) (t>0)，
2∴矩形EFGH的周长=2FG+2GH=4t+2 ( − 1 t2+8 ) =−t2+4t+16=−(t−2) 2+20，∵−1<0，
2
∴当t=2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值为20dm．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和求二次函数的最值是解题的关键．
10.如图，在边长2为的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP
翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点
F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
(1)求证：△CMP∽△BPA．
(2)求△CNP的周长．
(3)求线段AM长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)4
5
(3)
2
【分析】（1）先证明∠CPM+∠APB=90°，推出∠CPM=∠PAB，即可证明结论；
（2）证明Rt△ADN≌Rt△AEN(HL)，推出DN=EN，据此即可求解；
1
（3）设PB=x，则CP=2−x．由△CMP∽△BPA，推出CM= x(2−x)．得到当DM最小时，AM
2
1 1 3
最小．推出DM=DC−CM=2− x(2−x)= (x−1) 2+ ，利用二次函数的性质即可求解．
2 2 2【详解】（1）证明：由折叠知∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN．
∵点C，P，B共线，
∴2∠CPM+2∠APB=180°，
∴∠CPM+∠APB=90°．
∵∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA；
（2）解：∵将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，
∴AE=AB，∠AEP=∠AEN=∠ABP=90°，PE=PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=AE，∠ADC=∠AEN．
∵AN是公共边，
∴Rt△ADN≌Rt△AEN(HL)，
∴DN=EN，
∴△CNP的周长=CN+EN+EP+CP=CD+CB=4；
（3）解：设PB=x，则CP=2−x．
∵△CMP∽△BPA，
PB AB
∴ = ，
CM PC
1
∴CM= x(2−x)．
2
∵AM=√AD2+DM2=√4+DM2，
∴当DM最小时，AM最小．
1 1 3
∵DM=DC−CM=2− x(2−x)= (x−1) 2+ ，
2 2 23
∴当x=1时，DM的最小值为 ，
2
√ (3) 2 5
∴AM的最小值= 4+ = ．
2 2
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与
性质、勾股定理、二次函数最值等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用
辅助线，属于中考压轴题．
题型九：图形运动问题
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=9cm,AB=15cm．动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿边
AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=90°，另一边PQ与射线AC相交于点Q，以AP,AQ为
边作平行四边形APMQ．设点P的运动时间为x(s)，平行四边形APMQ与△ABC重叠部分图形的面积
为y(cm2)．
(1)当点Q在边AC上时，AQ的长为____________cm；(用含x的代数式表示)
(2)当点M落在边BC上时，求x的值；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)5x
60
(2)
41
(3)y=¿
【分析】（1）根据勾股定理得到AC=12cm，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）当点M落在边BC上时，如图1，根据平行四边形的性质得到PM=AQ=5x，PB=15−4x，
PM∥AC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
60 60 12 12 15
（3）当0<x≤ ， <x≤ ， <x≤ 时，如图2，如图3，如图4，根据平行四边形的性质得到
41 41 5 5 4
∠M=∠A，根据三角函数的定义得到PQ=3x，MQ=4x，于是得到结论．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9cm，AB=15cm，∴ AC=√AB2−BC2=12cm，
∵∠APQ=∠ACB=90°，∠QAP=∠CAB，
∴△QAP∽△BAC，
AQ AP
∴ = ，
AB AC
由题意得AP=4x，
AQ 4x
∴ =
15 12
解得：AQ=5x
故答案为：5x．
（2）当点M落在边BC上时，如图1，
∵四边形APMQ是平行四边形，
∴ PM=AQ=5x,PB=15−4x ， PM∥AC，
∴△BMP~△BCA，
PM PB
∴ =
AC AB
5x 15−4x
∴ = ，
12 15
60
解得x= ．
41
60
（3）当0<x≤ 时，如图2，
41∵四边形APMQ是平行四边形，
∴∠M=∠A，
BC
由sinM=sinA = ，
AB
AC
∵ cosM=cosA=
AB
PQ 3 MQ 4
∴ = ， =
5x 5 5x 5
∴PQ=3x，MQ=4x，
∴ y=4x⋅3x=12x2
60 12
当 <x≤ 时，如图3，
41 5
设QM,CB交于点E，PM,CB交于点D，
则y=S −S −S
△ABC △CQE △PDB
1 1 3 1 4 3
= ×12×9− (12−5x)⋅ (12−5x)− × (15−4x)⋅ (15−4x)；
2 2 4 2 5 5
2643 369
=− x2+ x−54
200 5
12 15
当 <x≤ 时，如图4，
5 4
y=S −S
△ABC △PDB
1 1 4 3
= ×12×9− × (15−4x)⋅ (15−4x)
2 2 5 5
96 144
=− x2+ x，
25 5∴y=¿
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，分类讨论是解
题的关键．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点．动点P从点B出发． 沿
BD以每秒3个单位长度的速度向终点D运动．点P出发后，过点P作PQ⊥AB交折线BC−CA于点
Q，以PQ，PD为邻边作矩形PDEQ．设矩形PDEQ与△ABC重叠部分图形的面积为S．点P的运动时
间为t秒．
(1)当点Q与点C重合时，求t的值；
(2)当点E落在AC边上时；求t的值；
(3)求S关于t的函数关系式．
6
【答案】(1)t=
5
15
(2)t=
16
15 15 6 68 75 6 5
(3)当0≤t≤ 时，S=−12t2+20t，当 <t≤ 时，S=− t2+40t− ，当 <t≤ 时，
16 16 5 3 8 5 3
27 45 225
S= t2− t+
8 4 8
BC BP BC2 36 18
【分析】（1）当点Q与点C重合时，则PQ⊥AB，由cosB= = ，可得BP= = = ，
AB BC AB 10 5
从而可得答案；
3
（2）如图，当点E落在AC边上时，证明∠EQC=∠B，利用cos∠EQC=cos∠B= ，可得
5
5 BP 3t 3 5 25
QE= QC，而cos∠B= = = ，可得CQ=6−5t，则QE= (6−5t)=10− t，再建立方程
3 BQ BQ 5 3 325
10− t+3t=5，从而可得答案；
3
15 15 6
（3）当0≤t≤ 时，如图，由PD=5−3t，求解PQ=4t，当 <t≤ 时，如图，记EQ与AC交于N，
16 16 5
1 6 5
DE与AC交于点M，由S=PD·PQ− EM·EN可得结论；当 <t≤ 时，如图，记DE与AC的交点为
2 5 3
1
H，由S=PQ×PD− EH×EQ，可得结论．
2
【详解】（1）解：如图，当点Q与点C重合时，
则PQ⊥AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=√62+82=10，
BC BP
∴cosB= = ，
AB BC
BC2 36 18
∴BP= = = ，
AB 10 5
18 6
∴t= ÷3= ；
5 5
（2）如图，当点E落在AC边上时，
∵矩形PDEQ，∴∠PQE=90°，PD=EQ，
∴∠EQC+∠BQP=90°，
∵∠BPQ=90°，
∴∠B+∠BQP=90°，
∴∠EQC=∠B，
3
∴cos∠EQC=cos∠B= ，
5
QC 3
∴ = ，
EQ 5
5
∴QE= QC，
3
BP 3t 3
而cos∠B= = = ，
BQ BQ 5
∴BQ=5t，
∴CQ=6−5t，
5 25
∴QE= (6−5t)=10− t，
3 3
∵D为AB的中点，则BD=5，
25
∴10− t+3t=5，
3
15
解得：t= ；
16
15
（3）当0≤t≤ 时，如图，
16
S=PQ·PD，
而PD=5−3t，
QP 4
∵tan∠B= = ，
BP 3
∴PQ=4t，∴S=4t·(5−3t)=−12t2+20t，
15 6
当 <t≤ 时，如图，记EQ与AC交于N，DE与AC交于点M，
16 5
由矩形的性质可得：EQ∥AB，
∴∠A=∠ENM，
BC 3 DM EM
∴tan A= = = =tan∠ENM= ，
AC 4 AD EN
15
∴DM= ，
4
15
∴EM=DE−DM=PQ−DM=4t− ，
4
4( 15) 16
∴EN= 4t− = t−5，
3 4 3
1
∴S=PD·PQ− EM·EN
2
1( 15)(16 )
=(5−3t)×4t− 4t− t−5
2 4 3
68 75
=− t2+40t− ，
3 8
6 5
当 <t≤ 时，如图，记DE与AC的交点为H，
5 3EH 3 PQ
同理：PD=QE=5−3t， = = ，
QE 4 AP
3 15 9 3 15 9
∴EH= (5−3t)= − t，PQ= (10−3t)= − t，
4 4 4 4 2 4
1
∴S=PQ×PD− EH×EQ
2
(15 9 ) 1(15 9 )
= − t (5−3t)− − t (5−3t)
2 4 2 4 4
27 45 225
= t2− t+ ．
8 4 8
【点睛】本题考查的是动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，列二次函数关系式，矩
形的性质，本题计算量大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
3.如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v 的速度沿折线A−B−C向终点C运动；同时，一动
1
点Q从点D出发，以v 的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E
2
为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线
MN−NF和曲线FG（图②），已知，ON=4，NH=1，点G的坐标为(8,0)．v AB
1
(1)点P与点Q的速度之比 的值为______； 的值为______；
v AD
2
(2)如果OM=15．
①求线段NF所在直线的函数表达式；
②求FG所在曲线的函数表达式；
15
③是否存在某个时刻t，使得S≥ ？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
4
8 5
【答案】(1) ，
5 3
15 5
(2)①s= t−15；②s=− (t−6) 2+5；③存在，0≤t≤3或5≤t≤7
4 4
【分析】（1）由函数图象可知t=4时，Q与E重合，t=5时，P与B重合，t=8时，P与C重合，则Q
DE AB
的速度v = ，P的速度v = ，根据矩形的性质即可得出答案；
2 3 1 4
1
（2）①当t=0时，P与A重合，Q与D重合，此时S ＝ AD⋅DE=15，可得AB=DC=10，
△EPQ 2
1 DE 5 1 ( 15)
AD=BC=6，DE= AB=5，从而得出v = = ，根据S = ×EQ×BC，求出F 5, ，利
2 2 4 4 △EPQ 2 4
用待定系数法求一次函数解析式，即可得到答案；
1 5
②根据三角形面积公式可得S = ×EQ×PC，根据（1）中可得QE= t−5，PC=16−2t，即可
△EPQ 2 4
求出；
③分类讨论：
15
当Q在DE上，P在AB上时，待定系数法求直线MN的解析式为S=− t+15(0≤t≤4)，根据函数的性
4
质即可求得；
15
当Q在CE上，P在AB上时，求直线NF的解析式为S= t−15(4≤t≤5)，根据函数的性质即可求得；
4
5
当Q在CE上，P在BC上时，求FG所在曲线的函数关系为S=− (t−6) 2+5(5≤t≤8)，根据函数的性质
4
即可求得．
【详解】（1）∵ON=4，NH=1，点G的坐标为(8,0)∴N(4,0)，H(5,0)
函数图象可知t=4时，Q与E重合，t=5时，P与B重合，t=8时，P与C重合
DE AB
则Q的速度v = ，P的速度v = ，
2 4 1 5
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，AD=BC
∵E为CD的中点
1 1
∴DE= CD= AB
2 2
AB
v 5 AB 4 4 AB 8
∴ 1= = × = × =
v DE 5 DE 5 1 5
2 AB
4 2
∵P从A到B用了5秒，从B到C用了3秒，
∴AB=5v ，BC=3v
1 1
AB AB 5v 5
∴ = = 1=
AD BC 3v 3
1
8 5
故答案为： ， ．
5 3
（2）①∵OM=15
∴M(0,15)
由题知，t=0时，P与A重合，Q与D重合
1
∴S = AD⋅DE=15
△EPQ 2
AB 5
∵ =
AD 3
3
∴AD=DE= AB
5
1 3 1
即 × ×AB× ×AB=15
2 5 2
解得AB=10
即AB=DC=10，AD=BC=6
1
DE= AB=5
2
DE 5
∴v = = ，
2 4 45 25
当t=5时，P与B重合，此时DQ=v t= ×5=
2 4 4
25 5
∴QE=DQ−DE= −5=
4 4
1 1 5 15
∴S = ×EQ×BC= × ×6=
△EPQ 2 2 4 4
( 15)
∴F 5,
4
设直线NF的解析式为S=kt+b(k≠0)
( 15)
将N(4,0)，F 5, 代入得
4
¿
解得¿
15
∴直线NF的解析式为S= t−15(4≤t≤5)；
4
1
②当5≤t≤8时，S = ×EQ×PC
△EPQ 2
AB 10 DE 5
v = = =2，v = =
1 5 5 2 4 4
5
QE=DQ−DE=v t−5= t−5
2 4
PC=AB+BC−v t=16−2t
1
故S = 1 × (5 t−5 ) ×(16−2t)=− 5 (t−6) 2+5(5≤t≤8)
△EPQ 2 4 4
5
∴FG所在曲线的函数表达式为S=− (t−6) 2+5(5≤t≤8)；
4
③当Q在DE上，P在AB上时
∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)
设直线MN的解析式为S=kt+b(0≤t≤4)
代入得¿
解得¿
15
∴直线MN的解析式为S=− t+15(0≤t≤4)
4
可得S随t的增大而减小15
当S= 时，t=3
4
15
即当0≤t≤3时，S≥
4
当Q在CE上，P在AB上时
15
直线NF的解析式为S= t−15(4≤t≤5)
4
( 15) 15
由F 5, 可得，当t=5时，S=
4 4
当Q在CE上，P在BC上时
5
S =− (t−6) 2+5(5≤t≤8)
△EPQ 4
15
当S= 时，t=5或t=7
4
15
即当5≤t≤7时，S≥
4
15
综上，当0≤t≤3或5≤t≤7时，S≥ ．
4
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积公式，矩形
的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．
4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2cm/s的速度
沿折线AB−BC−CD运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AC向终点C运动，当点Q到达点C时，
P，Q两点同时停止运动，连结AP，PQ．设点P的运动时间为t(s) (t>0)，△PAQ的面积为S(cm2 )．
(1)当点P与点C重合时，t=________s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．
7
【答案】(1)
2
(2)S=¿(3)2或4
【分析】（1）先计算出点P与点C重合时运动的路程，再根据运动速度即可求出运动时间；
（2）分情况讨论：当0<t≤2时，过点Q作QE⊥AB于点E，证得△AQE∽△ACB，即可求出QE的
7
长，从而根据三角形面积公式计算即可；当2<t≤ 时，过点P作PF⊥AC于点F，证得
2
7
△PCF∽△ACB，即可求出PF的长，从而根据三角形面积公式计算即可；当 <t≤5时，过点P作
2
PG⊥AC于点G，证得△PGC∽△ADC，即可求出PG的长，从而根据三角形面积公式计算即可；
（3）用含t的式子表示CP、CQ，然后列出方程求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=3cm，
当点P与点C重合时，点P运动的路程是：AB+BC=4+3=7(cm)，
∵点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线AB−BC−CD运动，
7
∴ t= s，
2
7
故答案为： ；
2
（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，BC=AD=3cm，
在Rt△ABC中由勾股定理得AC=√AB2+BC2=√42+32=5(cm)，
∵点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AC向点C运动，
∴0<t≤5，
由题意知，AQ=t cm，AP=2t cm，
当点P在边AB上时，即0<t≤2，如图1，
过点Q作QE⊥AB于点E，∴∠QEA=∠B=90°，
又∠QAE=∠CAB，
∴△AQE∽△ACB，
AQ QE
∴ = ，
AC BC
t QE
∴ = ，
5 3
3
∴ QE= t，
5
1 1 3 3
∴ S= AP⋅QE= ⋅2t⋅ t= t2 ；
2 2 5 5
7
当点P在BC边上时，即2<t≤ ，如图2，
2
此时CP=(7−2t) cm，
过点P作PF⊥AC于点F，
∴∠PFC=∠B=90°，
又∠PCF=∠ACB，
∴△PCF∽△ACB，
PF CP
∴ = ，
AB AC
PF 7−2t
∴ = ，
4 5
8 28
∴ PF=− t+ ，
5 5
1 1 8 28 4 14
∴ S= AQ⋅PF= ⋅t⋅(− t+ )=− t2+ t；
2 2 5 5 5 5
7
当点P在CD上，即 <t≤5，如图3，
2此时CP=(2t−7)cm，
过点P作PG⊥AC于点G，
∴∠PGC=∠D=90°，
又∠PCG=∠ACD，
∴△PGC∽△ADC，
PG CP
∴ = ，
AD AC
PG 2t−7
∴ = ，
3 5
6 21
∴ PG= t− ，
5 5
1 1 6 21 3 21
∴ S= AQ⋅PG= t⋅( t− )= t2− t；
2 2 5 5 5 10
综上，S=¿；
（3）当点P在边AB上时，即0<t≤2，
此时CQ=(5−t) cm，BP=(4−2t) cm，
∵CP=CQ，
∴CP=(5−t) cm，
在Rt△CBP中，由勾股定理得，CP2=BC2+BP2，
∴(5−t) 2=32+(4−2t) 2，
解得，t =0(舍去)，t =2；
1 2
7
当点P在BC边上时，即2<t≤ ，
2
此时CP=(7−2t) cm，
∵CP=CQ，
∴7−2t=5−t，
∴t=2(舍去)；
7
当点P在CD上，即 <t≤5，
2此时CP=(2t−7)cm，
∵CP=CQ，
∴2t−7=5−t，
∴t=4；
综上，t的值为2或4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，动点问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求二次函数解析式，
三角形的面积与函数关系，学会用分类讨论思想思考问题是解题的关键，属于压轴题．
5.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出
发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以
线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧），设点P的运动时间
为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）．
(1)如图2，当点M落在AB上时，x=_______；
(2)求点M落在AD上时x的值；
(3)若M点在AD下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
【答案】(1)4；
16
(2) ；
3
(3)y=¿．
【分析】（1）先证明四边形APQM是正方形，则AP=PQ，由△ABC是等腰直角三角形得到
1
∠C=45°，则△CPQ是等腰直角三角形，得到CP=PQ，得CP=AP= AC=4cm，即可得到答案；
2
（2）由等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，得到∠DAC=45°=∠C，△ACD是等腰直角三角形，
得到CD=4√2cm，由PQ∥AB，∠BAC=90°得到∠APQ=90°，则△PQM是等腰直角三角形，
AP PM
则∠QPM=45°，可证明△CAD∽△PAM，则 = ，设CP=PQ=m，则PM=√2PQ=√2m，
AC CD8 16
求出m= ，得到AP= ，即可得到答案；
3 3
（3）分Q在D下方和Q在D上方两种情况，分别进行求解即可．
【详解】（1）当点M落在AB上时，如图①：
∵ ∠BAC=90°，PQ∥AB，△PQM是等腰直角三角形，
∴ ∠BAC=∠APQ=∠PQM=90°，PQ=QM.
∴四边形APQM是正方形.
∴ AP=PQ.
∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴ ∠C=45°
∴ △CPQ是等腰直角三角形.
∴ CP=PQ.
1
∴ CP=AP= AC=4cm.
2
AP
∴ x= =4s，
1
故答案为：4；
（2）点M落在AD上时，如图②：
∵等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，
∴ ∠DAC=45°=∠C，△ACD是等腰直角三角形，∵AC=8cm，
∴ CD=4√2cm，
∵ PQ∥AB，∠BAC=90°，
∴ ∠APQ=90°，
∵ △PQM是等腰直角三角形，
∴ ∠QPM=45°，
∴ ∠APM=∠APQ−∠QPM=45°，
∴ ∠C=∠APM=45°，
又∵∠CAD=∠PAM，
∴ △CAD∽△PAM，
AP PM
∴ = ，
AC CD
设CP=PQ=m，则PM=√2PQ=√2m，
8−m √2m
∴ = ，
8 4√2
8
解得：m= ，
3
8 16
∴ AP=AC−CP=8− = ，
3 3
AP 16
∴ x= = ；
1 3
（3）i）当Q在D下方时，如图③：
∵ ∠APQ=90°，∠QPM=45°，
∴ ∠APT=45°=∠PAT，
∴ △APK，△APT是等腰直角三角形，
∴ KT=AT，
∴ y=S =S ，
△PKT △PAT
∵ ∠ATP=90°=∠ADC，∠PAT=∠CAD，∴ △PAT∽△CAD，
y ( AP) 2
∴ = ，
S AC
△ADC
∵ CD=AD=4√2，
∴ S =16，
△ADC
∵ AP=x，AC=8，
y (x) 2
∴ = ，
16 8
1
∴ y= x2 ；
4
ii）当Q在D上方时，如图④：
∵ AC=8，AP=x，
∴ CP=8−x=PQ，
∴ QM=8−x，PM=√2(8−x)，
AP x
在等腰直角三角形APW中，PW = = ，
√2 √2
3√2
∴ MW =PM−PW =8√2− x，
2
∴ y=S −S
△PQM △PWM
2
= 1 (8−x) 2− 1( 8√2− 3√2 x )
2 2 2
7
=− x2+16x−32，
4
综上所述，y=¿
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、
求函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定和数形结合是解题的关键．6.在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以
4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重
合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．
(1)求证：△AMN∽△ABC；
(2)当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
(3)把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于
x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【答案】(1)证明见解析
48
(2)x=
49
4
(3)当x= 时，y值最大，最大值是8
3
【分析】（1）欲证△AMN∽△ABC，可以通过应用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三
角形相似，AM:AN=AB:AC=4:3,∠A=∠A得证；
（2）MN为直径的⊙O与直线BC相切，则圆心O到直线BC的距离等于半径，列出函数关系式，求出x
的值；
（3）因为∠A=90°，△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积分为两种情况：①等于S ，②等于
△PMN
4
S −S ，列出y关于x的函数表达式，求出当x= 时，y值最大，最大值是8．
△MNP △PEF 3
【详解】（1）证明：∵点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从
点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，
设运动时间为xs，则AM=4x,AN=3x，
∵ AB=8cm，AC=6cm，
AM 4 AB
∴ = = ，
AN 3 AC
∵ ∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC；
（2）解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：在Rt△ABC中，BC=√AB2+AC2=10，
由（1）知△AMN∽△ABC，
MN AM MN 4x
∴ = ，即 = ，
BC AB 10 8
∴MN=5x，
5
∴⊙O的半径r= x，
2
由（1）知△AMN∽△ABC，即∠AMN=∠B，
∴MN∥BC，
∵ AH⊥BC，
∴AH⊥MN于L，
1 1
AM⋅AN AB⋅AC
2 4x⋅3x 12x 2 8×6 24
∴由等面积法可知AL= = = ；AH= = = ，
1 5x 5 1 10 5
MN BC
2 2
24 12x
∴圆心O到直线BC的距离d= − ，
5 5
∵⊙O与直线BC相切，
24 12x 5 48 48
∴ − = x，解得x= ，即当x= 时，⊙O与直线BC相切；
5 5 2 49 49
（3）解：折叠如图所示：
当P点落在直线BC上时，则点M为AB的中点，根据题意，以点在直线BC上为分界线分两种情况讨论：
①当0<x≤1时（当P点落在直线BC上方），y=S =6x2 ，
△PMN∴当x=1时，y =6×12=6；
最大
②当1<x<2时（当P点落在直线BC下方），设MP交BC于E，NP交BC于F，MB=8−4x，
MP=MA=4x，
∴PE=4x−(8−4x)=8x−8，
∴ y=S −S
=6x2−6x2(8x−8) 2
=−18
(
x−
4) 2
+8，
△MNP △PEF 4x 3
4
∴当x= 时，y =8，
3 最大
4
综上所述，当x= 时，y值最大，最大值是8．
3
【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理求线段长，等面积法求线段长，
切线的性质，折叠，三角形的性质及二次函数的综合应用，难度较大，熟练掌握相关几何性质是解决问
题的关键．
题型十：现实生活问题
1.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地
面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到
绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
【答案】0.5
【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．
【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)
设函数解析式为y=ax2+bx+c
把A. B. C三点分别代入得出c=2.5
同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1
解得a=2，b=−4，c=2.5.
∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.
∵2>0
∴当x=1时,y =0.5米．
min
2.如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于
10
水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的
x
连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B
的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 21
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2
2
16
(2) 米
3
(3)7≤OD≤12
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的
顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2
米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【详解】（1）解：依题意，B点到地面的距离为2米，
10
设B点坐标为(x，2)，代入 y= ，
x
解得x=5，
∵C点距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2 米，
∴C的坐标 (√2+5，1)，
由题意得：B(5，2)，
故设滑道BCD所在抛物线的解析式为 y=a(x−5) 2+2，
将C的坐标(√2+5，1)代入，得 a(√2+5−5) 2+2=1，
1
解得：a=− ，
2
1
则 y=− (x−5) 2+2；
2
1
（2）令y=0，− (x−5) 2+2=0，
2
解得：x =7,x =3 (不合题意，舍去)，
1 2
10
又将 y=6 代入 y= ，
x
5
解得 x= ，
3
5 16
甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离为 7− = (米)．
3 3
（3）根据上面所得B (5，2)，D (7，0)时，此时∠BDO=45°，则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7，
OP 1
又∵ ≥ ，
OD 2
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助
二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
1
3.某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线y= x2 的形状，现按操作要求，电缆
100
最低点离水平地面不得小于6米．
(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有
多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20
米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
【答案】(1)22米
(2)14.75米
【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；
（2）以点D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物
线的解析式为 y= 1 x2− 3 x+20 ，直线 DE 的解析式为 y= 1 x ，设 M ( m, 1 m2− 3 m+20 )
100 10 5 100 10
为抛物线上一点，过点M作 轴于F，交 于G，则 ( 1 )，由
(0<m<50) MF⊥x DE G m, m
51 3 1 1
MG= m2− m+20− m= (m−25) 2+13.75可求解．
100 10 5 100
1
【详解】（1）解：由题意，最低点的横坐标是40，则y= ×402=16，
100
16+6=22（米），
答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；
（2）解：以点D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，
1
设此时抛物线的解析式为y= x2+bx+c，
100
由于斜坡的坡度为1:5，且CD=50米，
∴CE=10米，
而BC=CE+BE=10+20=30（米），
∴B(50,30)；
∵A(0,20)，
A(0,20)，B(50,30)坐标两点分别代入解析式中，得
¿，解得¿，
1 3
∴y= x2− x+20，
100 10
1 3 1
即y= x2− x+20= (x−15) 2+17.75，
100 10 100
即抛物线的顶点坐标为(15,17.75)；
过点M作MF⊥x轴于F，交DE于G，
∵坡度为1:5，DF=15，
1
∴GF= ×15=3（米），
5
∴MG=MF−GF=17.75−3=14.75（米），答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为14.75米．
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
4.如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最
高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB=1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离
AE=（ ）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．
以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求
出y=1.5时x的值的即可得出答案．
【详解】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：∵AB=DE=1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE=2×1.6=3.2(m)；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为(1.6，2.5)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1.6) 2+2.5，
将点B(0，1.5)代入得，(0−1.6) 2a+2.5=1.5
25
解得a=− ，
64
25
∴抛物线的解析式为y=− (x−1.6) 2+2.5，
64
25
当y=1.5时，− (x−1.6) 2+2.5=1.5，
64解得x=0（舍）或x=3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
考点二：二次函数几何综合问题
题型一：线段、周长问题
1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数
的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段 上的一个动点，过点M作直
线l平行于y轴交 于点F，交二次函数 的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与 相似时，求线段 的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线 对称，求点N的坐标．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）N(0， )
【分析】
（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系数法即可求解；
（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F为顶点的三角形与 相似时， 或
，设F(m，-m+3)，则E(m， )，根据比例式列出方程，即可求解；
（3）先推出四边形NCFE是平行四边形，再推出FE=FC，列出关于m的方程，求出m的值，从而得CN=EF=
，进而即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B(3，0)，C(0，3)，∵二次函数 的图象过B、C两点，
∴ ，解得： ，
∴二次函数解析式为： ；
（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y轴，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与 相似时， 或 ，
设F(m，-m+3)，则E(m， )，
∴EF= -(-m+3)= ，CF= ，
∴ 或 ，
∴ 或 （舍去）或 或 （舍去），
∴EF= = 或 ；
（3）∵l∥y轴，点N是y轴上的点，
∴∠EFC=∠NCG，∵点N、F关于直线 对称，
∴∠CNE=∠EFC，
∴∠CNE=∠NCG，
∴NE∥FC，
∴四边形NCFE是平行四边形，
∵点N、F关于直线 对称，
∴∠NCE=∠FCE，
∵l∥y轴，
∴∠NCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴ = ，解得： 或 （舍去），
∴CN=EF= ，
∴ON= +3= ，
∴N(0， )．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何的综合，相似三角形的判定，掌握函数图像上点的坐标特征，用点的横坐
标表示出相关线段的长，是解题的关键．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1) 2−4a经过点D(−2,3)，与x轴交于点A，B两点，与y轴
交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找到一点E，使得△BCE的周长最小，求出这个最小值；
(3)连接AC，在第一象限的抛物线上找一点P，使得点P到x轴的距离和点P到直线AC的距离相等，求点
P的坐标．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)3√2+√10
(3)P(2−√2,6√2−7)
【分析】（1）直接将点D坐标代入求解即可；
（2）由题意，B点关于抛物线对称轴的对称点为A，故连接AC，交抛物线对称轴于点E，则此时
△BCE的周长最小．求解点A、B、C坐标，利用勾股定理求得AC、BC即可求解；
（3）过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥x轴于点F，延长FP交AC延长线于于点G．先求得直线AC的
解析式y =x+3，设P(m,−m2−2m+3)，则G(m,m+3)，F(m,0)，∴PF=−m2−2m+3，
AC
PG=(m+3)−(−m2−2m+3)=m2+3m，GF=m+3，AF=m+3，则AG=√AF2+GF2=√2(m+3)，
PE PG
证明△PEG∽△AFG，则 = ，进而解方程求解m值即可求解．
AF AG
【详解】（1）解：（1）将D(−2,3)代入y=a(x+1) 2−4a，
3=a(−2+1) 2−4a，
解得a=−1，∴二次函数解析式为y=−(x+1) 2+4=−x2−2x+3；
（2）解：由题意，B点关于抛物线对称轴的对称点为A，故连接AC，交抛物线对称轴于点E，则
AE=BE，此时△BCE的周长最小．
∵二次函数解析式为y=−(x+1) 2+4=−x2−2x+3，
∴由−x2−2x+3=0解得x =−3，x =1，又当x=0时，y=3，
1 2
∴A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)．
∴AO=3，CO=3，又∠AOC=90°，
∴AC=3√2，
∵∠BOC=90°，BO=1，CO=3，
∴BC=√10，
故△BCE周长的最小值为CE+BE+BC=CE+AE+BC=AC+BC=3√2+√10．
（3）解：过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥x轴于点F，延长FP交AC延长线于于点G．
∵点P到x轴的距离和点P到直线AC的距离相等，∴PE=PF．
∵由y=−(x+1) 2+4可得C(0,3)，A(−3,0)，
∴y =x+3，
AC
设P(m,−m2−2m+3)，则G(m,m+3)，F(m,0)，
∴PF=−m2−2m+3，PG=(m+3)−(−m2−2m+3)=m2+3m，GF=m+3，AF=m+3，
∴AG=√AF2+GF2=√2(m+3)，∵∠PEG=∠AFG=90°，∠PGE=∠AGF，
∴△PEG∽△AFG，
PE PG −m2−2m+3 m2+3m
∴ = ，则 = ，
AF AG m+3 √2(m+3)
解得m=2−√2
∵−m2−2m+3=−(2−√2) 2 −2(2−√2)+3=6√2−7，
∴P(2−√2,6√2−7)．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、最短路径问题、
勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练
掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
3.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为
C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的
点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME
的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再设点 的坐标为 ，则 ，根据旋转的性质可得
，从而可得 ，将点 代入抛物线的解析式求出 的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，从而可得 与
轴的交点即为所求的点 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式，由此即可得出答案．
(1)解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ．
(2)解：抛物线 的对称轴为直线 ，其顶点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
由旋转的性质得： ，
，即 ，
将点 代入 得： ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，
所以点 的坐标为 ．
(3)解：抛物线 的顶点 的坐标为 ，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点 ，
这时点 落在点 的位置，且 ，
，即 ，恰好在对称轴直线 上，如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
则 ，
由两点之间线段最短可知， 与 轴的交点即为所求的点 ，此时 的值最小，即 的
值最小，
由轴对称的性质得： ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，
故在 轴上存在点 ，使得 的值最小，此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等
知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
4.抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−3,0),B(1,0)，与y轴交于点C．(1)
(2)求抛物线的解析式
(3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、
C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
2 4
【答案】(1)抛物线的解析式为y=− x2− x+2
3 3
( 4)
(2)当△MBC的周长最小时，点M的坐标为 −1, ，△MBC的周长为√13+√5
3
(3)在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为(−2,2)或
(−1−√7,−2)或(−1+√7,−2)
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为
直线x=−1，连接AC，交抛物线对称轴于点M，此时△MBC的周长取最小值，由点A，B，C的坐标可
得出BC，AC的长度及直线AC的解析式，再结合二次函数图象对称轴的横坐标和直线AC的解析式可得
出点M的坐标和△MBC的周长；
（3）由点B，C，P的纵坐标可得出点Q的纵坐标为2或−2，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得
出点Q的坐标．
【详解】（1）解：解：将A(−3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx+2，得：¿，
解得：¿，
2 4
∴抛物线的解析式为y=− x2− x+2．
3 3
2 4
（2）解：当x=0时，y=− x2− x+2=2，
3 3∴点C的坐标为(0,2)．
2 4
∵抛物线的解析式为y=− x2− x+2，
3 3
∴抛物线的对称轴为直线x=−1．
连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示．
∵点A，B关于直线x=−1对称，
∴MA=MB，
∴MB+MC=MA+MC=AC，
∴此时△MBC的周长取最小值．
∵点A的坐标为(−3,0)，点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,2)，
2
∴AC=√13，BC=√5，直线AC的解析式为y= x+2（可用待定系数法求出来）．
3
2 4
当x=−1时，y= x+2= ，
3 3
( 4)
∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为 −1, ，△MBC的周长为√13+√5．
3
（3）解：∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，
∴点Q的纵坐标为2或−2，如图2所示．
2 4
当y=2时，2=− x2− x+2，
3 3解得：x =−2,x =0（舍去），
1 2
∴点Q的坐标为(−2,2)；
2 4
当y=−2时，−2=− x2− x+2，
3 3
解得：x =−1−√7,x =−1+√7，
1 2
∴点Q的坐标为(−1−√7,−2)或(−1+√7,−2)．
∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为(−2,2)或
(−1−√7,−2)或(−1+√7,−2)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次
函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：
（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用两点之间线段最短，找出点M的位
置；（3）根据平行四边形的性质，找出点Q的纵坐标为2或−2．
5.如图，直线y=−2x+3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A，C两点，且
A(−1，0)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH⊥BC于H，求PH+2HB的最大值．
(3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M'恰好落在抛
物线上，求M点坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)当t=1时，PH+2HB有最大值，最大值为4√5( 17+5√201) ( 17−5√201)
(3)M点坐标为 1， 或 1，
128 128
【分析】（1）先求出C(0，3)，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点P作PD∥y轴，交BC于D，交x轴于E，过点H作HF⊥PD于F，过点B作BG⊥HF于G，
设P(t，−t2+2t+3)，则D(t，−2t+3)，E(t，0)，由△PDH∽△BCO可求得
√5 1
PH= (−t2+4t)，再由△PHF∽△BCO可得PF= (−t2+4t)，
5 5
1 4 6
EF=PE−PF=−t2+2t+3− (−t2+4t)=− t2+ t+3，再证明△BHG∽△CBO，可得
5 5 5
BC 2√5 3√5 3√5
BH= ⋅BG=− t2+ t+ ，进而可得PH+2HB=−√5(t−1) 2+4√5，再运用二次函数
OC 5 5 2
的性质即可；
(n+1 m−n2+2n+3)
（3）设M(1，m)，M'(n，−n2+2n+3)，由翻折可得MM'的中点L ， 在直线
2 2
BC上，即m=n2−4n+1①，分两种情况：当点M在BC的上方时，过点M'作M'R∥x轴交抛物线的
9−4m 17+5√201
对称轴于R，设对称轴交BC于T，利用解直角三角形可得n= ②，联立①②可得m= ，
5 128
( 17+5√201) ( 17−5√201)
即M 1， ，当点M在BC的下方时，同理可得M 1， ．
128 128
【详解】（1）解：∵直线y=−2x+3交x轴于点B，交y轴于点C，
3
∴当x=0时，y=3，当y=0时，−2x+3=0，解得：x= ，
2
(3 )
∴B ，0 ，C(0，3)，
2
∵抛物线y=−x2+bx+c经过A，C两点，且A(−1，0)，
∴¿，
解得：¿，
∴该抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
（2）解：过点P作PD∥y轴，交BC于D，交x轴于E，过点H作HF⊥PD于F，过点B作BG⊥HF于G，如图1，
，
设P(t，−t2+2t+3)，则D(t，−2t+3)，E(t，0)，
∴PD=−t2+2t+3−(−2t+3)=−t2+4t，
(3 )
∵B ，0 ，C(0，3)，
2
3
∴OB= ，OC=3，
2
3√5
在Rt△BCO中，BC=√OB2+OC2=
，
2
∵PH⊥BC，PD∥y轴，
∴∠PHD=∠BOC=90°，∠PDH=∠BCO，
∴△PDH∽△BCO，
PH DH PD
∴ = = ，∠DPH=∠CBO，
OB OC BC
PH DH −t2+4t
∴ = =
3 3 3√5 ，
2 2
√5
∴PH= (−t2+4t)，
5
∵HF⊥PE，
∴∠PFH=90°=∠BOC，
∴△PHF∽△BCO，√5
(−t2+4t)
PF PH PF 5
∴ = ，即 = ，
OB BC 3 3√5
2 2
1
∴PF= (−t2+4t)，
5
1 4 6
∴EF=PE−PF=−t2+2t+3− (−t2+4t)=− t2+ t+3，
5 5 5
∵∠BGF=∠EFG=∠BEF=90°，
∴四边形BEFG是矩形，
4 6
∴BG=EF=− t2+ t+3，BG∥EF∥y轴，
5 5
∴∠HBG=∠BCO，
∵∠BGH=∠BOC=90°，
∴△BHG∽△CBO，
BH BG
∴ = ，
BC OC
3√5
∴BH= BC ⋅BG= 2 ( − 4 t2+ 6 t+3 ) =− 2√5 t2+ 3√5 t+ 3√5，
OC 3 5 5 5 5 2
∴PH+2HB= √5 (−t2+4t)+2 ( − 2√5 t2+ 3√5 t+ 3√5) =−√5(t−1) 2+4√5，
5 5 5 2
∵−√5<0，
∴当t=1时，PH+2HB有最大值，最大值为4√5；
（3）解：设M(1，m)，M'(n，−n2+2n+3)，
∵线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M'恰好落在抛物线上，
(n+1 m−n2+2n+3)
∴MM'的中点L ， 在直线BC上，
2 2
n+1 m−n2+2n+3
∴−2× +3= ，
2 2
化简得：m=n2−4n+1①，
当点M在BC的上方时，
如图2，过点M'作M'R∥x轴交抛物线的对称轴于R，设对称轴交BC于T，，
则MR=m−(−n2+2n+3)=n2−2n−3+m，M'R=1−n，MT=m−1，
∵MT∥y轴，
∴∠MTL=∠BCO，
∵∠M'RM=∠TLM=90°，
∴∠MTL+∠TML=∠MM'R+∠M'MR=90°，
∴∠MTL=∠MM'R=∠BCO，
√5
∴sin∠MTL=sin∠MM'R=sin∠BCO= ，
5
√5
∴ML=MT⋅sin∠MTL= (m−1)，
5
2√5
∴MM'=2ML= (m−1)，
5
2√5 2 4
∴M'R=MM'⋅cos∠MM'R=MM'⋅cos∠BCO= (m−1)× = (m−1)，
5 √5 5
4
∴1−n= (m−1)，
5
9−4m
解得：n= ②，
5
(9−4m) 2 9−4m
联立①②得：m= −4× +1，
5 5
17±5√201
解得：m= ，
128
∵m>1，
17+5√201
∴m= ，
128( 17+5√201)
∴M 1， ；
128
当点M在BC的下方时，如图3，
，
17−5√201
同理可得：m= ，
128
( 17−5√201)
∴M 1， ；
128
( 17+5√201) ( 17−5√201)
综上所述，M点坐标为 1， 或 1， ．
128 128
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，翻折变
换的性质，解直角 ，二次函数的图象和性质，涉及知识点多，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是
解此题的关键．
6.如图，已知抛物线y= 1 (x+ ℎ) 2+k．点A(−1,2)在抛物线的对称轴上，B ( 0, 5) 是抛物线与y轴的交
4 4
点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
(1)直接写出ℎ，k的值；
(2)如图，若点D的坐标为(3,m)，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．
【答案】(1)h=1，k=1
( 15)
(2)存在，最小值为√74+1，Q 0,
7
(3)D(2√3−1,4)
【分析】（1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案；
1 1
（2）由（1）可知y= (x+1) 2+1，求得D(3,5)，作C点关于直线x=− 的对称点C'，连接C'D交抛物
4 2
线对称轴于点K，连接CQ，当C'、K、D三点共线时，C'D有最小值，即DK+KQ+QC的值最小，利用
坐标点的距离公式，得到C'D=√74，即可求出DK+KQ+QC的最小值，再利用待定系数法求出直线
5 20
C'D的解析式为y= x+ ，进而得到点K的坐标，即可求得点Q的坐标．
7 7
（3）如图，过D作DE⊥AC于E，设D ( m, 1 m2+ 1 m+ 5) ，则C(m,0)，可得
4 2 4
CD2=
(1
m2+
1
m+
5) 2
，DE2=
3
AD2 CE2=AC2−AC⋅AD+
1
AD2 ，
4 2 4 4 4
DE2+CE2=AD2+AC2−AC⋅AD，而CD2=DE2+CE2，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：∵点A(−1,2)在抛物线的对称轴上，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴h=1，
1
∴y= (x+1) 2+k，
4
( 5)
∵B 0, 是抛物线与y轴的交点，
4
1 5
∴ +k= ，
4 4
∴k=1；
（2）解：存在最小值，理由如下：
1
由（1）可知，y= (x+1) 2+1，
4∵点D是抛物线上一点，坐标为(3,m)，
1
∴m= ×(3+1) 2+1=5，
4
∴D(3,5)，
1
作C点关于直线x=− 的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，
2
由对称性可知，C'K=CQ，
∴DK+KQ+QC=DK+KQ+C'K≥C'D+KQ，
当C'、K、D三点共线时，C'D有最小值，即DK+KQ+QC的值最小，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，QK与抛物线对称轴垂直，
∴KQ=1，
∵D(3,5)，CD⊥x轴，
∴C(3,0)，
∴C'(−4,0)，
∴C'D=√(3+4) 2+(5−0) 2=√74，
∴DK+KQ+QC的最小值为√74+1，
设直线C'D的解析式为y=kx+b，
∴¿，
解得：¿，
5 20
∴直线C'D的解析式为y= x+ ，
7 7
5 20 15
令x=−1，则y=− + = ，
7 7 7
( 15)
∴K −1, ，
7( 15)
∴Q 0, ．
7
1 1 1 5
（3）∵y= (x+1) 2+1= x2+ x+ ，
4 4 2 4
如图，过D作DE⊥AC于E，设D ( m, 1 m2+ 1 m+ 5) ，则C(m,0)，
4 2 4
∴CD2=
(1
m2+
1
m+
5) 2
，
4 2 4
∵∠DAC=60°，
3 1
∴DE2=(AD⋅sin60°) 2= AD2 ，CE2=(AC−AD⋅cos60°) 2=AC2−AC⋅AD+ AD2
，
4 4
∴DE2+CE2=AD2+AC2−AC⋅AD
=(m+1) 2+4+ (1 m2+ 1 m+ 5 −2 ) 2 +(m+1) 2− √ (m+1) 2+ (1 m2+ 1 m− 3) 2 ⋅ √(m+1) 2+4，
4 2 4 4 2 4
而CD2=DE2+CE2，
解得：m=±2√3−1，
∵D在第二象限，则m>0，
∴m=2√3−1，
∴D(2√3−1,4).
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法
求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
7.抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）．（1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标；
②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标；
（2）如图（3）， 是原点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段 ， （不
含端点）于 ， 两点，若直线 与抛物线只有一个公共点，求证 的值是定值．
【答案】（1）① ， ；②点 的坐标是 ．（2）见解析
【分析】
（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出 ，点E在抛物线上，求出纵坐标为 ，再根据
平行四边形的性质，求出 ；
②连 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，设点 坐标为 ，点
坐标为 ，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到 ，再由则
，列出方程求解；
（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用
求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线 与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点 坐标为 ，点 坐标为 ，再求出结果．
【详解】
（1）解：①∵抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边），
∴令 =0，解得： ， ，
∴ ，
∵点E在抛物线上，点 的横坐标是 ，
∴ ，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴
∴ ；
②设点 坐标为 ，点 坐标为 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴将 沿 平移可与 重合，点 坐标为 ．
∵点 在抛物线上，∴ ．
解得， ，所以 ．
连 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ．
则 ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，解得 ， （不合题意，舍去）．∴点 的坐标是 ．
（2）方法一：证明：依题意，得 ， ，∴
设直线 解析式为 ，则 ，解得 ．
∴直线 的解析式为 ．
同理，直线 的解析式为 ．
设直线 的解析式为 ．
联立 ，消去 得 ．
∵直线 与抛物线只有一个公共点，
∴ ， ．
联立 ，且 ，解得， ，
同理，得 ．
∵ ， 两点关于 轴对称，∴ ．
∴ ．
∴ 的值为 ．
方法二：证明：同方法一得直线 的解析式为 ．设直线 的解析式为 ， 与抛物线唯一公共点为 ．
联立 ，消去 得 ，∴ ．
解得 ．∴直线 的解析式为 ．
联立 ，且 ，解得 ．
∴点 坐标为 ．同理，点 坐标为 ．
∵ ，∴ ．
∴ 的值为 ．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是
学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题．
题型二：面积周长问题
1
1.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
2
侧），与y轴交于点C，其中OA=2，b−c=−4．
(1)求B，C的坐标；
S
(2)如图②，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD，BC，BD，OD交BC于点E，当 △DBE的
S
△OBES
值最大时，求此时点D的坐标及 △DBE 的最大值．
S
△OBE
【答案】(1)B(6,0)，C(0,6)
(2)当 S △DBE的值最大时，此时点D的坐标为 ( 3, 15) ，此时 S △DBE的最大值为 3
S 2 S 4
△OBE △OBE
【分析】（1）根据题意，可确定点A的坐标，代入抛物线，与联立b−c=−4方程组求解即可；
S DE S DE
（2）根据题意，设点B到OD的距离为h，可得 △DBE= ，则 △DBE 的最大值即 的最大值，如图
S OE S OE
△OBE △OBE
DE 1 3
所示，过点D作DF⊥x轴交BC与点F，可证△DFE∽△OCE，可得 =− (a−3) 2+ ，根据
OE 12 4
抛物线的顶点式的知识即可求解．
1
【详解】（1）解：∵抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A，OA=2，且点A在x轴的负半轴上，
2
∴A(−2,0)，
1
∴− ×(−2) 2−2b+c=0，整理得，−2b+c=2，
2
∵b−c=−4，
∴联立方程组得，¿，解得，¿，
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+2x+6，
2
1
令y=0，则− x2+2x+6=0，整理得，x2−4x−12=0，解得，x =−2，x =6，
2 1 2
∵A(−2,0)，
∴B(6,0)，
令x=0，则y=6，
∴C(0,6)，
∴B(6,0)，C(0,6)．
（2）解：设点B到OD的距离为h，
1
DE·h
S 2 DE S DE
∴ △DBE= = ，则 △DBE 的最大值即 的最大值，
S 1 OE S OE
△OBE OE·h △OBE
2
如图所示，过点D作DF⊥x轴交BC与点F，∵B(6,0)，C(0,6)，设BC所在直线的解析式为y=kx+n(k≠0)，
∴¿，解得，¿，
∴直线BC的解析式为y=−x+6，
1
∵点D在抛物线y=− x2+2x+6，点F在BC上，
2
∴设D ( a,− 1 a2+2a+6 ) (0<a<6)，则F(a,−a+6)，
2
1 1
∴DF=− a2+2a+6−(−a+6)=− a2+3a，
2 2
∵DF∥OC，
∴△DFE∽△OCE，
∴ DE = DF ，即 DE = 1 DF= 1( − 1 a2+3a ) =− 1 (a−3) 2+ 3 ，
OE OC OE 6 6 2 12 4
1
∵− <0，且0<a<6，
12
DE 3
∴当a=3时， 取得最大值 ，
OE 4
( 15)
∴D 3, ，
2
∴当 S △DBE 的值最大时，此时点D的坐标为 ( 3, 15) ，此时 S △DBE 的最大值为 3 ．
S 2 S 4
△OBE △OBE
【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，相似三角
形的判定和性质，配方法等知识是解题的关键．
2.如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O(0,0)和点A(4,0)，它的对称轴交抛物线于点B．C,D两点在
对称轴上（点C在D的上方），且关于点B对称，直线OD交抛物线于点E，连接OC,CE．(1)求抛物线的解析式；
21
(2)如图（1），若△OCE的面积为 ，求点D的坐标；
2
(3)如图（2），若∠OEC=90°，求点D的坐标．
【答案】(1)y=−x2+4x
(2)(2,1)
(3)(2,4−2√3)
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）设出直线OE的解析式，联立方程组¿，求出E点坐标，再由三角形面积即可求D点坐标；
（3）过点E作CD的垂线EF，垂足为F，直线CD交x轴于点G，设OE的解析式为y=kx，由(2)得
E(4−k,4k−k2)，D(2,2k),C(2,8−2k)，通过证明△OGD∽△CGO来求D点坐标即可．
【详解】（1）将(0,0)，(4,0)分别代入y=−x2+bx+c，
可得¿，
解得¿．
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x．
（2）∵y=−x2+4x=−(x−2) 2+4，
∴抛物线的对称轴为x=2，顶点B的坐标是(2,4)．
设OE的解析式为y=kx，
联立¿
解得¿（舍）
或¿∴E(4−k,4k−k2)．
而D(2,2k),
∴CB=BD=4−2k，
1
∵S = CD⋅x ,
△OCE 2 E
1 21
∴ ×2(4−2k)(4−k)= ，
2 2
1 11
解得k = ,k = ，
1 2 2 2
∵点D在B的下方，
1
∴k= ,
2
∴D(2,1)．
（3）过点E作CD的垂线EF，垂足为F，直线CD交x轴于点G．
设OE的解析式为y=kx，由（2）得E(4−k,4k−k2),D(2,2k),C(2,8−2k)．
OG 2 1
∴tan∠OCG= = = ，
CG 8−2k 4−k
EF (4−k)−2 2−k 1
tan∠ECF= = = =
，
CF (8−2k)−(4k−k2) k2−6k+8 4−k
∴tan∠OCG=tan∠ECF,
∴∠OCG=∠ECF，
∵∠OEC=∠OGD=90°,
∴∠DOG=∠ECF，
∴∠DOG=∠OCG，又∵∠CGO=∠OGD，
∴△OGD∽△CGO．
∴OG2=DG⋅CG ,
.
∴2k(8−2k)=22，
解得k=2±√3．
∵点D在B的下方，
∴k=2−√3，
∴D(2,4−2√3)．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，
直角三角形的三角函数是解题的关键．
3.已知抛物线y=x2−2ax+a2+2a−3，直线l:y=x+a．
(1)记抛物线的顶点为N(p,q)，求q关于p的函数关系式；
(2)设直线l与抛物线相交于点A,B，在点A,B之间的抛物线上有一动点P．求△PAB的面积的最大值．
【答案】(1)q=2p−3
13√13
(2)
8
【分析】（1）化为顶点式，变形求解；
（2）解法一，两解析式联立得方程组，化为一元二次方程，根据求根公式求得|x −x |=√13，另
B A
13 13√13
PM= y −y =−x2+(2a+1)x−a2−a+3，可求PM = ，得△PAB的面积的最大值= ；
M P 最大值 4 8
解法二，如图，平移直线l得到直线l ，当直线l 与抛物线有唯一公共点时，S PAB的值最大．联立解析
1 1
△
13 13
式消元得x2−(2a+1)x+a2+2a−m−3=0，根据Δ=0得m=a− ，可求C(−a+ ,0)，
4 4
13
D（−a，0），于是CD= ，联立直线l与抛物线解析式，消元得x2−(2a+1)x+a2+a−3=0，可
4
求|x −x |=√(x +x ) 2−4(x x )= √13，|y −y |=|x −x |=√13，得
B A A B A B B A B A
1 13√13
S = ·CD·|y −y |= ；解法三：平移直线l得到直线l ，当直线l 与抛物线有唯一公共点
△PAB 2 B A 8 1 1时，S 的值最大，联立直线l 与抛物线，消元x2−(2a+1)x+a2+2a−m−3=0，由Δ=0，得
△PAB 1
13 13 13
m=a− ，可求C(−a+ ,0)，D（−a，0），CD= ；直线l与直线l 的距离
4 4 4 1
13 √2 13√2 1 13√13
h= × = ，由勾股定理得AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2 =√26，S = AB⋅h= ．
4 2 8 B A B A ΔPAB 2 8
【详解】（1）解：∵y=x2−2ax+a2+2a−3=(x−a) 2+2a−3
∴抛物线的顶点坐标为(a，2a−3)
∵抛物线的顶点N(p，q)，
∴q=2p−3
（2）解法一：如图，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M．
∵直线l与抛物线相交于点A，B，联立解析式得
¿
x2−(2a+1)x+a2+a−3=0
∴Δ=(2a+1) 2−4(a2+a−3)=13
根据求根公式求得
2a+1−√13 2a+1+√13
x = ，x =
A 2 B 2
∴|x −x |=√13
B A
1 √13
∴S = PM⋅|x −x |= PM
ΔPAB 2 B A 2
∵PM= y −y =−x2+(2a+1)x−a2−a+3
M P
4×(−1)×(−a2−a+3)−(2a+1) 2
13
∴PM = =
最大值 4×(−1) 4√13 13 13√13
∴△PAB的面积的最大值= × = ．
2 4 8
解法二：
如图，平移直线l得到直线l ，当直线l 与抛物线有唯一公共点时，S PAB的值最大．
1 1
△
设直线l ：y=x+m，得
1
¿
∴x2−(2a+1)x+a2+2a−m−3=0
13
Δ=[−(2a+1)] 2−4(a2+2a−m−3)=0整理得m=a−
4
13
∴直线l ：y=x+a −
1 4
设直线l 交x轴于点C，直线l交x轴于点D，则有
1
13
C(−a+ ,0)，D（−a，0），
4
13
∴CD= ，
4
∵直线l与抛物线相交于点A，B，联立解析式得
¿
x2−(2a+1)x+a2+a−3=0
∴|x −x |=√(x +x ) 2−4(x x )= √13
B A A B A B
∵A，B在直线y=x+a上
∴|y −y |=|x −x |=√13
B A B A
1 13√13
∴S = ·CD·|y −y |=
△PAB 2 B A 8
13√13
∴△PAB的面积的最大值是 ．
8解法三：平移直线l得到直线l ，当直线l 与抛物线有唯一公共点时，S 的值最大．
1 1 △PAB
设直线l ：y=x+m，得
1
¿
∴x2−(2a+1)x+a2+2a−m−3=0
Δ=[−(2a+1)] 2−4(a2+2a−m−3)=0
13
∴m=a−
4
13
∴直线l ： y=x+a−
1 4
设直线l 交x轴于点C，直线l交x轴于点D，则有
1
13
C(−a+ ,0)，D（−a，0），
4
13
∴CD= ，
4
13 √2 13√2
∴由题意可知直线l与直线l 的距离h= × =
1 4 2 8
由勾股定理得A，B两点间的距离为AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2
B A B A
由解法一、二可得： |y −y |=|x −x |=√13
B A B A
∴AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2= √2 √(x −x ) 2 =√2|x −x | =√2×√13 =√26
B A B A B A B A
1 1 13√2 13√13
∴S = AB⋅h= ×√26× = ．
ΔPAB 2 2 8 8
【点睛】本题考查二次函数解析式和性质，直角坐标系内三角形面积求解，一次函数的平移，函数和方
程组的联系；理解函数和方程组的联系是解题的关键．
题型三：角度问题
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 和点 ．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上一点（不与点 重合），直线 将 的面积分成2：1两部分，求点 的坐
标；
（3）点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴移动，运动时间为 秒，当
时，求 的值．【答案】（1） ；（2）点 （6，-8）；（3）当点 从点 出发，以每秒1个单位的速
度沿 轴正方向移动时， 秒；沿CO方向在 轴移动时， 秒．
【分析】
（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）在 的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将 的面积分成2：1两部分，求
出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；
（3）先利用图形在 内构造 ，求出 ，在 中由
， ，求出OM长即可解答，
【详解】
解：（1）由抛物线 经过点 和点 ，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为： ；
（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）
∵点 和点 ．
∴ ，
∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将 的面积分成2：1两部分，如解（2）
图，
∵点 为该抛物线上一点（不与点 重合），∴直线CP经过Q点，
设直线CP解析式为： ，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：
，
∴ ，
即可设直线CP解析式为： ，
联立函数解析式为： ，
解得： ， ，
故P点坐标为（6，-8），
（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为H，
由轴对称性质可知： ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点 从点 出发，以每秒1个单位的速度远动：
当沿 轴正方向移动时， ，则 秒，
当沿 轴CO方向移动时， ，则 秒，
综上所述：当点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴正方向移动时， 秒；沿CO方向在 轴
移动时， 秒．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（1）关键是在三角形边上找到将 的面积分成2：1两部
分直线CP经过的点，问题（3）关键是通过对称构造 ，再通过解三角形求解OM长．
2
2.已知抛物线L:y=− x2+bx+c与y轴的交点为C(0,2)，与x轴的交点分别为A(3,0)、B(点A在点B右
3
侧).
(1)求抛物线的表达式.
(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得的拋物线与x轴的左交点为M，与y轴的交点为N，若
∠NMO=∠CAO，求m的值.
2 4
【答案】(1)y=− x2+ x+2
3 3
(2)m=2或4
【分析】（1）将A、C坐标代入抛物线解析式，求得b、c,即可得解；
（2）表示出平移后的抛物线的解析式，从而求得OM和ON的长，根据 tan∠NMO=tan∠CAO可得
ON OC
= ，进而即可求解．
OM OA
2
【详解】（1）解：∵抛物线L:y=− x2+bx+c与y轴的交点为C(0,2)，与x轴的交点分别为A(3,0)、
3
∴ ¿
解得： ¿
2 4
∴抛物线的表达式为：y=− x2+ x+2；
3 32 4
（2）∵抛物线的表达式为：y=− x2+ x+2
3 3
2 4
令y=0，得；− x2+ x+2=0
3 3
解得：x =−1，x =3，
1 2
∴B(−1，0)，
2 4
∵平移后的抛物线的解析式为：y=− (x+m) 2+ (x+m)+2
3 3
2 4 2
当x=0时，y=− m2+ m+2=− (m+1)(m−3)
3 3 3
( 2 )
∴ N 0，− (m+1)(m−3)
3
∵所得的抛物线与x轴的左交点为M，
∴M(−1−m,0)，
∵∠NMO=∠CAO，
∴tan∠NMO=tan∠CAO，
2
ON OC |− (m+1)(m−3)|
∴ = ，即 3 2
OM OA =
|−1−m| 3
解得：m=2或4
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，图象平移的规律等知识，解决问题的关键是求出
抛物线平移后的解析式．
1
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线
2
1
y=− x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
2(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行
四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+2
2 2
(2)(2,3)
(3)(2,1)或(2−2√2,1+√2)或(2+2√2,1−√2)
【分析】（1）求得A,B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b,c的值，获得抛物线的解析式．
（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
（3）根据题意可得EF=OB，以EF=OB的关系建立方程求解即可．
1
【详解】（1）解：在y=− x+2中，令y=0，得x=4，令x=0，得y=2
2
∴A(4，0),B(0，2)，
1
把A(4，0),B(0，2)代入y=− x2+bx+c，得
2
¿，解得¿，
1 3
∴抛物线得解析式为y=− x2+ x+2；
2 2
（2）解：由（1）得：OA=4,OB=2，
如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为G，∵BE∥x轴，
∴∠BAC=∠ABE，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=2∠ABE
即∠DBE+∠ABE=2∠ABE，
∴∠DBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠BAC
设D点的坐标为 ( x,− 1 x2+ 3 x+2 ) ，则BG=x,DG=− 1 x2+ 3 x
2 2 2 2
DG
∵tan∠DBE= ，
BG
BO DG BO
∴tan∠BAC= ， = ，
AO BG AO
1 3
− x2+ x
∴ 2 2 2
=
x 4
解得x =0（舍去），x =2，
1 2
1 3
当x=2时，− x2+ x+2=3，
2 2
∴点D的坐标为(2,3)；
（3）解：如图，
∵EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴EF=OB，
设 E ( m,− 1 m+2 ) ,F ( m,− 1 m2+ 3 m+2 ) ，
2 2 2EF= |( − 1 m+2 ) − ( − 1 m2+ 3 m+2 )| =2，
2 2 2
解得 m =2,m =2−2√2,m =2+2√2，
1 2 3
∴E点的坐标为(2,1)或(2−2√2,1+√2)或(2+2√2,1−√2)．
【点睛】本题考查了待定系数法，2倍角关系和平行四边形点存在类问题，将2倍角关系转化为等角关系
是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到EF=OB是(3)问题的解题关键，本题综合难度不
大．
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点 是
抛物线上一动点．
（1）如图1，当 ， ，且 时，
①求点M的坐标：
②若点 在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作
，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点 在对称轴上，当 ， ，且直线EM交x
轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为 ，
连接GF．若 ，求证：射线FE平分 ．
【答案】（1）① ；② ，见解析；（2）见解析
【分析】（1）①直接将点 代入解析式，又有 ，
即可解出坐标；②相等，先求出点 ，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定
理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；
（2）根据已知条件求出点 的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与 轴的交点，添加辅助线，
利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边
长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．
【详解】
解：（1）如答案图6.
① 点 在抛物线上，且 ，
，解得 ，（舍去）
，
， ．
② ，
点 在该抛物线上，
， ．
设直线MB交x轴于点H，解析式为 ，
解得
当 时， ，
， ．
过点M作 轴，垂足为R，， ，
，
根据勾股定理得 ，
，
． ，
， ， ，
， ．
（2）如答案图7.
证明：对称轴 ， ，
， ，
．过点M作 轴，垂足为Q，
， ，
．
当 时，解得 ， ，
．
， ，
，
． ，
．
设直线EM的解析式为 ，解得
．设直线EM交y轴于点S，过点S作 ，垂足为P ．
当 时， ．
．当 时， ，
，
， ．
，
，
．
， ，
，
， ．
设 ，则 ．
在 中，
，
．
（负值舍去），
， ，
．
， ，
射线FE平分 ．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判
定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关
知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于点A(−4,0)和点B(2,0)，与y轴
交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如果点D的坐标为(−8,0)，连接AC、DC，点P为抛物线上一点，当∠OCP=∠DCA时，求点P
的坐标．
1
【答案】(1)y= x2+x−4，C(0,−4)
2
(2)P(4,8)或P(−8,20)
【分析】（1）将A(−4,0)和B(2,0)代入y=ax2+bx−4即可求解；
（2）根据∠OCP=∠DCA，则tan∠OCP=tan∠DCA，分P在y轴右侧和左侧两种情况分别计算．
【详解】（1）解：将A(−4,0)和B(2,0)代入y=ax2+bx−4得：
¿，
解得¿，
1
∴抛物线y= x2+x−4，
2
当x=0时，y=−4，
∴C(0,−4)，
（2）解：当P在y轴右侧时，如图：1
设P(m, m2+m−4)，
2
1
∴PE=m，EC= m2+m，
2
∵∠OCP=∠DCA，
过点A作CD的垂线，交于F，
1 1
∵S =S −S = ×8×4− ×4×4=8，
△ACD △OCD △AOC 2 2
1
∵ AF⋅CD=8，
2
1
即 AF×4√5=8，
2
4√5
解得：AF= ，
5
AF CO 1
∵tan∠ADF= = = ，
DF DO 2
8√5
∴DF= ，
5
12√5
∴CF=CD−DF= ，
54√5
AF 5 1
∴tan∠DCA= = =
CF 12√5 3
5
1
∴tan∠OCP=tan∠DCA=
3
m 1
=
∴ 1 3，
m2+m
2
解得m =4，m =0（舍），
1 2
∴P(4,8)，
当P在y轴左侧时，如图：
1
设P(m, m2+m−4)，
2
1
∴PE=−m，EC= m2+m，
2
−m 1
=
同理可得：1 3，
m2+m
2
解得m =−8，m =0（舍），
1 2
∴P(−8,20)，
综上所述：P(4,8)或P(−8,20)．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数值、以及角的存
在性等知识，解题的关键是掌握由两个角相等，则这两个角的正切值也相等．
题型四：特殊三角形问题
1.已知经过原点O的抛物线y=−x2+4x与x轴的另一个交点为A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)点B是OA的中点，点N是y轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点M，使得△OMN
与△OBM全等，且点B与点N为对应点，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(4,0)，直线x=2(2)存在，点M的坐标为(2,4)或(3,3)
【分析】（1）由−x2+4x=0可求得A点坐标，根据抛物线的对称轴公式即可求解；
（2）分两种情况，①当△OMN≌△MOB时，②当△OMN≌△OBM时，根据全等三角形的性质
即可求得结果．
【详解】（1）解：∵过原点O的抛物线y=−x2+4x与x轴的另一个交点为A．
令y=0，则−x2+4x=0，解得x =0，x =4，
1 2
∴A(4,0)，
∵抛物线y=−x2+4x，
4
∴抛物线的对称轴为x=− =2，
−2
∴A(4,0)，抛物线的对称轴为直线x=2；
（2）∵点B是OA的中点，
∴B(2,0)，
①当△OMN≌△MOB时，
∵△OMN≌△MOB，
∴∠MON=∠OMB，∠OMN=∠MOB，
∴BM∥ON，MN∥OB，
∵B(2,0)，抛物线y=−x2+4x，
∴y=−x2+4x=4，
∴M(2,4)；
②当△OMN≌△OBM时，过点M作MH⊥x轴于H，∵△OMN≌△OBM，
∴∠NOM=∠BOM=45°，
∴OH=MH，
设M(m,−m2+4m)，
∴−m2+4m=m，解得m =3，m =0（舍去），
1 2
∴点M (3,3)，
综上所述：存在，点M的坐标为(2,4)或(3,3)．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质等知识，解
决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象性质以及全等三角形的判定和性质．
2.如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C．
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出
点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存
在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
4
【答案】(1)D(0， )
3
−1+√13 1−√13 −1−√13 1+√13
(2)存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，E( ， )或( ，
2 2 2 2
)
(3)存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的点F(−2，1)或( √5，√5 +3)或(−
√5，3− √5 )
(4)存在点K，使△AHK是等腰三角形，K点坐标为(1，0)或(2 √5 −3，0)或(−2 √5 −3，0)或(2，
0)
(5)存在点G，使△ACG是等腰三角形，G点坐标为(−1，1)或(−1，√14 )或(−1，− √14 )或(−1，
3+ √17 )或(−1，3− √17 )
4
【分析】（1）设D(0，t)，由DC=BD，则|3−t|= √1+t2，求出t即可求D(0， )；
3
（2）点E在线段AC的垂直平分线上，再由△AOC是等腰直角三角形可得AC垂直的直线为y=−x，联
立方程组¿即可求E点坐标；
（3）设F(t，t+3)，由BC=BF和BC=CF，建立方程求出t的值，即可求出答案；
（4）求出顶点H(−1，4)，设K(m，0)，分三种情况讨论：①当AH=HK时，可得K(1，0)；②当
AH=AK时，可得．K(2 √5 −3，0)或(−2 √5 −3，0)；③当HK=AK时，可得K(2，0)；
（5）设G(−1，t)，分三种情况讨论∶①当AG=CG时，可得G(−1，1)；②当AG=AC时，可得
G(−1，√14 )或(−1，− √14 )；③当AC=CG时，可得G(−1，3+ √17 )或(−1，3− √17 )．
【详解】（1）解：令x=0，则y=3，
∴C(0，3)，
令y=0，则x=−3，
∴A(−3，0)，
令y=0，则−x2−2x+3=0，
解得x=−3或x=1，
∴B(1，0)，
设D(0，t)，
∴DC=BD，
∴|3−t|= √1+t2，
4
解得t= ，
34
∴D(0， )；
3
（2）解：存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，理由如下：
∵A(−3，0)，C(0，3)，
3 3
∴AC的中点为(− ， )，
2 2
∵OC=OA，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴过AC的中点与AC垂直的直线为y=−x，
联立方程组¿，
解得¿或¿，
−1+√13 1−√13 −1−√13 1+√13
∴E( ， )或( ， )；
2 2 2 2
（3）解：存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，理由如下：
设F(t，t+3)，
当BC=BF时，
∴(t−1) 2+(t+3) 2=10，
解得t=0(舍去)或t=−2，
∴F(−2，1)；
当BC=CF时，t2+t2=10，
∴t=± √5，
∴F( √5，√5 +3)或(− √5，3− √5 )，
即满足条件的点F(−2，1)或( √5，√5 +3)或(− √5，3− √5 )；
（4）解：存在点K，使△AHK是等腰三角形，理由如下：
∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴顶点H(−1，4)，
设K(m，0)，
①当AH=HK时，4+16=(m+1) 2+16，
解得m=1或m=−3(舍)，
∴K(1，0)；
②当AH=AK时，4+16=(m+3) 2，解得m=2 √5 −3或m=−2 √5 −3，
∴K(2 √5 −3，0)或(−2 √5 −3，0)；
③当HK=AK时，(m+1) 2+16=(m+3) 2，
解得m=2，
∴K(2，0)；
综上所述：K点坐标为(1，0)或(2 √5 −3，0)或(−2 √5 −3，0)或(2，0)；
（5）解：存在点G，使△ACG是等腰三角形，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
设G(−1，t)，
①当AG=CG时，4+t2=1+(t−3) 2，
解得t=1，
∴G(−1，1)；
②当AG=AC时，4+t2=18，
解得t= ±√14，
∴G(−1，√14 )或(−1，− √14 )；
③当AC=CG时，1+(t−3) 2=18，
解得t=3+ √17或t=3− √17，
∴G(−1，3+ √17 )或(−1，3− √17 )；
综上所述：G点坐标为(−1，1)或(−1，√14 )或(−1，− √14 )或(−1，3+ √17 )或(−1，3− √17
)．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角
三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
题型五：特殊四边形问题
1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线l:x=−1，且与y轴的交点坐标为(0,−1)，直线l与x
轴相交于点C．(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．设
点P的横坐标为m．当四边形APBC为正方形时，求m的值．
【答案】(1)y=x2+2x−1
(2)0或1
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；
（2）根据题意可得P(m,m2+2m−1),A(m,0),m>−1，再由正方形的性质可得PA=AC，从而得到关
于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−1；
（2）解：∵直线l:x=−1与x轴相交于点C．
∴点C(−1,0)，
∵PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m．
∴P(m,m2+2m−1),A(m,0),m>−1，
∴AC=m−(−1)=m+1，PA=|m2+2m−1|，
∵四边形APBC为正方形，
∴PA=AC，
∴m+1=|m2+2m−1|，
解得：m=−2（舍去）或m=1或m=−3（舍去）或m=0，
综上所述，m的值为0或1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形
结合思想解答是解题的关键．
2.已知抛物线 ．(1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交于点 ．是否
存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ，以线段 为
边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交点，求 的取值范围．
【答案】(1)① ，②存在，点P坐标为(2，-3)或（ ，- ），理由见解析
(2)b< 或b>
【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-
2m-3）若点 是线段 的三等分点，则 或 ，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得
出点E的坐标．再根据该抛物线与线段 没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）
进行讨论，求出b的取值范围．
(1)
①解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得
，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）
若点 是线段 的三等分点，
则 或 ，
即 或 ，
解得：m=2或m= 或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m=
∴点P坐标为(2，-3)或（ ，- ）
(2)解：把点D（-3，0）代入直线 ，解得n=4，
∴直线 ，
当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD= =5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）∵点 在抛物线 上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴ ，
∵该抛物线与线段 没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-9<4
解得：b<
当CE在抛物线右侧时，
3b-9>4
解得：b>
综上所述，b< 或b>
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．
3.如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x−5经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线y=t交抛物线于点P、Q，抛物线的顶点为D，四边形DPEQ为菱形．
①当t=3时，求菱形DPEQ的面积；
②当点E落在△ABC内部（不含边上）时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)y=−x2+6x−5
(2)①2；②1<t<2【分析】（1）由直线解析式求得B,C的坐标，代入抛物线解析式，待定系数法求解析式即可；
【详解】（1）解：∵直线y=x−5经过点B，C
令x=0，则y=−5，令y=0，则x=5，
∴B(0,−5),C(5,0)，
代入y=ax2+6x+c，得¿，
解得a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−x2+6x−5．
（2）∵ y=−x2+6x−5 =−(x−3) 2+4，
∴D(3,4)，
①当t=3时，−x2+6x−5 =3，
解得x =,2x =4，
1 2
∴PQ=4−2=2，
∵四边形DPEQ是菱形，
∴ D,E关于PQ对称，
∵D(3,4)，
∴E(3,2)，
∴ DE=2，
1 1
∴菱形DPEQ的面积为 DE×PQ= ×2×2=2，
2 2
②∵四边形DPEQ是菱形，
∴ D,E关于PQ对称，
∵D(3,4)，
设E(0,e)，
4+0
当E在x轴上时,e=0，t= =2，
2
4+(−2)
当E在y=x−5上时，e=3−5=−2，t= =1．
2
∴当点E落在△ABC内部（不含边上）时，t的取值范围为1<t<2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交
点问题，掌握以上知识是解题的关键．
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于点 ，抛物
线的对称轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为 ，连接 ， ，
求 的最小值．
（3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边
形为矩形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 点的横坐标分别为：2， ， 或
．
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为 将 ， 两点代入求得 ，c
的值即可；
（2）胡不归问题，要求 的值，将折线化为直线，构造相似三角形将 转化为 ，再
利用三角形两边之和大于第三边求得 最值；
（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN= AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】
解：（1）∵ 过 ，
∴
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（2）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
∵
对称轴 ．
∴ ，
，
∴ ，
∴
∴
∴
当 ， ， 三点在同一点直线上时， 最小为 ．在 中， ，
∴
即 最小值为 ．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，
联立
得
是等腰 ，
分别过 两点作 的垂线，交 于点 ，
过 作 轴， 轴,
, 也是等腰直角三角形
设 ，则 ，所以
代入 ，解得 , （不符题意，舍）
同理，设 ，则 ，所以
代入 ，解得 , （不符题意，舍）② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，
设 ，则
整理得：
解得： （不符题意，舍）， （不符题意，舍），
，综上所述： 点的横坐标分别为：2， ， 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，
矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到
相似三角形是解题的关键．
5.如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．
(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)A(1−√3,0),B(1+√3,0)
1 2 2
(2)y=−x2+2x+2或y= x2− x−
3 3 3
(3)D(0,2)【分析】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，根据C(1,1)，半径AC=BC=2，得到CE=1,利用勾
股定理求出AE=BE=√3，即可得到A，B两点的坐标；
（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3)或(1,−1)，分别设出解析式代入点B的坐
标求出解析式；
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，得到PC∥OD且
PC=OD，由PC∥y轴，确定点D在y轴上，根据PC得到点D的坐标，检验是否符合解析式即可．
【详解】（1）作CE⊥AB于点E，连接OA,OB，
∵C(1,1)，半径AC=BC=2，
∴CE=1，
∴AE=BE=√AC2−CE2=√22−12=√3，
∴A(1−√3,0),B(1+√3,0)；
（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3)或(1,−1)，
当抛物线的顶点P的坐标为(1,3)时，设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+3，
将点B(1+√3,0)代入，解得a=−1，
∴y=−(x−1) 2+3=−x2+2x+2；
当抛物线的顶点P的坐标为(1,−1)时，设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2−1，
1
将点B(1+√3,0)代入，解得a= ，
3
1 1 2 2
∴y= (x−1) 2−1= x2− x− ；
3 3 3 3
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形，
∴PC∥OD且PC=OD，
∵PC∥y轴，∴点D在y轴上，
当抛物线为y=−x2+2x+2时，
∵PC=2，
∴OD=2，即D(0,2)，
又D(0,2)满足y=−x2+2x+2，
∴点D在抛物线上，
存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分；
1 2 2
当抛物线为y= x2− x− 时，
3 3 3
∵PC=3，
∴OD=3，即D(0,−3)，
1 2 2
∵D(0,−3)不满足y= x2− x− ，
3 3 3
∴不存在D(0,−3)使线段OP与CD互相平分；
综上，存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，求二次函数的解析式，平行四边形的性质及判定，综合
掌握各知识点是解题的关键．
6.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于
点 ，且点 的坐标为 ．
(1)求点 的坐标；(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ， ， ，
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) 最大为 (3)存在， 的坐标为 或（3，-16）或【分析】（1）把点A的坐标代入 ，求出c的值即可；
（2）过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，证明 是等腰直角三角形，得
，当 最大时， 最大，，运用待定系数法求直线 解析式为 ，设
， ，则 ，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨
论求解即可．
(1)
（1）∵点 在抛物线 的图象上，
∴
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
(2)过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，设直线 解析式为 ，
将 代入得 ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大为 ，
∴此时 最大为 ，即点 到直线 的距离值最大；
(3)存在．∵
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x， ）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴ ，即
解得，x=3.
∴∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得， ，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为 ，即H（ ）
∴ ，解得， 。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点 的坐标为： 或（3，-16）或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
题型六：与圆有关问题
1..如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线
的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心， 为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋ EP的值最小，若存在，
请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y= x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，
【分析】
（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；
（3）在CE上截取CF= （即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所
求．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a= ，
∴该抛物线的表达式为y= x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴当y=0时， （x-2）2+8=0，解得：x=-2，x=6，
1 2
∴A（-2，0），B（6，0），
∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，
∴BE2=BC2+CE2，
∴∠BCE=90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）如图，在CE上截取CF= （即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，
则BF的长即为所求．
连接CP，∵CP为半径，
∴ ，
又∵∠FCP=∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴ ，FP= EP，
∴BF=BP+ EP，
由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+ EP为最小值．
∵CF= CE，E（2，8），
∴F（ ， ），
∴BF=【点睛】
本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三
角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，
相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
2.如图，已知二次函数 的图象经过点 且与 轴交于原点及点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点 的坐标及直线 的表达式；
（3）判断 的形状，试说明理由；
（4）若点 为 上的动点，且 的半径为 ，一动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度
沿线段 匀速运动到点 ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 匀速运动到点 后停止运动，求点
的运动时间 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）
【分析】
（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；
（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式
即可；
（3）根据二次函数对称性可知 为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利
用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点 的运动时间为 ，在 上取点 ，使 ， 可证明
，根据相似三角形比例关系得 ，即 ，当 、 、
三点共线时， 取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．
【详解】
解：（1） 二次函数 的图象经过 ，且与 轴交于原点及点
∴ ，二次函数表达式可设为：
将 ， 代入 得：
解这个方程组得
∵二次函数的函数表达式为
（2）∵点 为二次函数图像的顶点，
∴ ，
∴顶点坐标为： ，
设直线 的函数表达式为 ，则有：
解之得：
∴直线 的函数表达式为
（3） 是等腰直角三角形，
过点 作 于点 ，易知其坐标为
∵ 的三个顶点分别是 ， ， ，
∴ ，且满足
∴ 是等腰直角三角形
（4）如图，以 为圆心， 为半径作圆，则点 在圆周上，依题意知：
动点 的运动时间为
在 上取点 ，使 ，
连接 ，则在 和 中，
满足： ， ，
∴ ，
∴ ，
从而得：
∴
显然当 、 、 三点共线时， 取得最小值，
过点 作 于点 ，由于 ，
且 为等腰直角三角形，
则有 ， ，
∴动点 的运动时间 的最小值为：
．【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形
的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．
题型七：与面积有关问题
1.已知二次函数 ，其中 ．
(1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点 的坐标；
(2)求证：二次函数 的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线 上运动，平移后所
得函数的图像与 轴的负半轴的交点为 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)最大值为
【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为 ，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都
小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为 ，然后求出点B
的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线 上推出 ，过点 作 ，垂足为 ，可以推出 ,由此即可求解．
(1)
解：将 代入 ，
解得 ．
由 ，则 符合题意，
∴ ，
∴ ．
(2)
解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴二次函数 的顶点在第三象限．
(3)
解：设平移后图像对应的二次函数表达式为 ，则其顶点坐标为
当 时， ，
∴ ．
将 代入 ，
解得 ．
∵ 在 轴的负半轴上，∴ ．
∴ ．
过点 作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴ ．
在 中，
,
∴当 时，此时 ， 面积有最大值，最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数
的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
2.已知抛物线 与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点 ，求 的最小值；
（2）已知点 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l： 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 上，且 ，过点A且与x轴
垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证： 与 的面积相等．【答案】（1）-1；（2）① ；②见解析
【分析】
（1）先求得c=1，根据抛物线 与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次
函数求解即可；
（2）①根据抛物线 与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判
断即可；②证明AB=BC即可
【详解】
解：因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
以方程 有两个相等的实数根，
所以 ，即 ．
（1）因为抛物线过点 ，所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，
当 时， 取到最小值 ．
（2）①因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点 中恰有两点在抛物线的图象上，
所以只能是 在抛物线的图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ．
又点 在抛物线的图象上，所以 ，
故抛物线的解析式为 ．
②由题意设 ，则 ．
记直线 为m，分别过M，N作 ，垂足分别为E，F，
即 ，因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．
所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，
即 ．①
把 代入 ，得 ，
解得 ，
所以 ．②
将②代入①，得 ，
即 ，解得 ，即 ．
所以过点A且与x轴垂直的直线为 ，
将 代入 ，得 ，即 ，
将 代入 ，得 ，
即 ，
所以 ，因此 ，
所以 与 的面积相等．
【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突
出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及
化归与转化思想求解是解题的关键．