文档内容
专题 14 二次函数的应用
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：用二次函数的性质解决实际问题....................................................................................................3
考点二：用二次函数图象解决几何问题........................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：二次函数实际问题............................................................................................................................3
题型一：拱桥问题..................................................................3
题型二：隧道问题.................................................................12
题型三：喷泉问题.................................................................21
题型四：空中跳跃轨迹问题.........................................................34
题型五：球类飞行轨迹.............................................................43
题型六：最大利润/销量问题........................................................53
题型七：方案选择问题.............................................................63
题型八：图形面积问题.............................................................70
题型九：图形运动问题.............................................................83
题型十：现实生活问题............................................................106
考点二：二次函数几何综合问题................................................................................................................111
题型一：线段、周长问题..........................................................111
题型二：面积周长问题............................................................132
题型三：角度问题................................................................139
题型四：特殊三角形问题..........................................................151
题型五：特殊四边形问题..........................................................156
题型六：与圆有关问题............................................................170
题型七：与面积有关问题..........................................................175专题 14 二次函数的应用
模块一：基础知识
考点 一 ： 用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
1.列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围
2.在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
考点二：用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相
似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的
等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就
是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题
目的
模块二：题型分类
考点一：二次函数实际问题
题型一：拱桥问题
1.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测
得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同
的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
1
【答案】（1）6m；（2）①y'= (x+6) 2+1；②2m
12
【分析】（1）设y =a x2，由题意得F(6,−1.5)，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y 的
1 1 1
值即可；
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，设y =a (x−6) 2+1，将点H代入求值即可；
2 2②设彩带长度为h，则h= y −y ，代入求值即可．
1 2
【详解】解（1）设y =a x2，由题意得F(6,−1.5)，
1 1
∴−1.5=36a ，
1
1
∴a =− ，
1 24
1
∴y =− x2 ，
1 24
1
∴当x=12时，y =− ×122=−6，
1 24
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，
∴设y =a (x−6) 2+1，
2 2
∵H(0,4)，
∴4=a (0−6) 2+1，
2
1
∴a = ，
2 12
1
∴y = (x−6) 2+1，
2 12
1
(左边抛物线表达式：y'= (x+6) 2+1)
12
②设彩带长度为h，
1 1 1
则h= y −y = (x−6) 2+1−(− x2 )= x2−x+4，
2 1 12 24 8
∴当x=4时，h =2，
min
答：彩带长度的最小值是2m ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据
数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．
2.赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，
图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立
如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系y=−0.01(x−30) 2+9，据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．
(1)水面的宽度OA=_______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．
【答案】(1)60
(2)4条．
【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当y=5时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为9m即可得到答案．
【详解】（1）解：令y=0，则−0.01(x−30) 2+9=0，
∴(x−30) 2=900，
解得x=0或x=60，
∴A(60，0)，
∴OA=60m，
故答案为：60；
（2）解：令y=5，得−0.01(x−30) 2+9=5，
∴(x−30) 2=400
解得x =10，x =50．
1 2
∴可设计赛道的宽度为50−10=40m，
∵每条龙舟赛道宽度为9m，
∴最多可设计赛道4条．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
3..三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水
面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，
若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A．4√3米 B．5√2米 C．2√13米 D．7米
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的
小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
3
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO= ，
2
3
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+ ，
2
∵BC=10，
∴点B（﹣5，0），
3
∴0=a×（﹣5）2+ ，
2
3
∴a=- ，
50
3 3
∴大孔所在抛物线解析式为y=- x2+ ，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为
50 2
y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为-7，
36
∴点E坐标为（-7，- ），
25
36
∴- =m（x﹣b）2，
256√ 1 6√ 1
∴x= − +b，x=- − +b，
1 5 m 2 5 m
∴MN=4，
6√ 1 6√ 1
∴| − +b-（- − +b）|=4
5 m 5 m
9
∴m=- ，
25
9
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=- （x﹣b）2，
25
∵大孔水面宽度为20米，
9
∴当x=-10时，y=- ，
2
9 9
∴- =- （x﹣b）2，
2 25
5 5√2
∴x= √2+b，x=- +b，
1 2 2 2
5 5
∴单个小孔的水面宽度=|（ √2+b）-（- √2+b）|=5√2（米），
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思
想解答．
4.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，
拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①求该函数的解析式：
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园
要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距
桥墩的距离CE至少为多少米?（√2≈1.41，精确到0.1米）
【答案】(1)d，h
(2)见解析
(3)①h=−0.5d2+2d+0.88；②C处距桥墩的距离CE至少为0.7米
【分析】根据函数的定义进行判断作答即可
（2）①待定系数法求解析式即可；②令h=2，代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数
故答案为：d，h；
（2）解：描点，连线，作图如下；
（3）①解：设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，
把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：¿，
解得：¿，∴二次函数的解析式为h=−0.5d2+2d+0.88；
②解：令h=2，得：−0.5d2+2d+0.88=2，
解得d=2±√1.75
d≈0.7或d≈3.3，
∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【点睛】本题考查了函数的定义，二次函数解析式，二次函数的图象，二次函数的应用．解题的关键在
于正确的求二次函数解析式．
5.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、
DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所
在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离ℎ（单位：m）随时间t （单位：h）的变化满足函
1
数关系ℎ =− (t−19) 2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通
128
过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
3
【答案】(1)y=− x2+11
64
(2)禁止船只通行时间为32小时．
【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解．
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关
系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
1
【详解】（1）解：由题意知：DO=EO= ED=8m，CO=11m，
2
∴A(−8,8)，B(8,8)，C(0,11)，
设抛物线解析式为y=ax2+11，
则8=a⋅82+11，
3
解得a=− ，
643
∴y=− x2+11；
64
1 1
（2）解：把h=11−5=6代入h=− (t−19) 2+8，得6=− (t−19) 2+8，
128 128
解得t =35，t =3，
1 2
∴当3≤t≤35时，禁止船只通行，禁止通行时间为35−3=32(h)，
即禁止船只通行时间为32小时.
【点睛】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．
6.如图，拱形桥的截面由矩形和抛物线组成，矩形长12m，宽4m，以当前水面为x轴建立如图所示的平
面直角坐标系．其中拱桥的最高点D到水面OB的距离为10m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若一艘货轮宽为8m，要确保货轮安全通过拱桥，求其装完货物后的最大高度；
(3)若要在拱桥抛物线的左右两侧同样的高度安装两个摄像头，要求摄像头到水面的距离不低于6m、不超
过8m，请直接写出两个摄像头水平距离的最大值．
1
【答案】(1)y=− x2+2x+4
6
22
(2) m
3
(3)4√6m
【分析】（1）根据点D的坐标为(6,10)可设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10，将点A的坐标为(0,4)
代入即可求解；
（2）求出宽为8m的货轮与抛物线的交点横坐标，根据抛物线的解析式即可求其装完货物后的最大高度；
（3）令y=6时，求解对应的一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵矩形AOBC的长为12m，宽为4m，点D到OB的距离为10m．∴点A的坐标为(0,4)，点D的坐标为(6,10)．
设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10．
把A(0,4)代入，得4=(0−6) 2 ⋅a+10．
1
解得a=− ．
6
1 1
∴y=− (x−6) 2+10=− x2+2x+4．
6 6
1
∴该抛物线的解析式为y=− x2+2x+4．
6
12 8
（2）解： − =2(m)，
2 2
22
当x=2时，y= ，
3
22
∴要确保货轮安全通过拱桥，其装完货物后的最大高度是 m．
3
（3）解：由图像可知，函数值越小，水平距离越大．
1
当y=6时，− x2+2x+4=6
6
解得：x =6−2√6,x =6+2√6
1 2
∴两个摄像头水平距离的最大值为：6+2√6−(6−2√6)=4√6（m）
【点睛】本题考查了二次函数与拱桥问题．将实际问题与二次函数问题建立正确的联系是解题的关键．
7.如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且
以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量
得到的数据记入下表：x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6
y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99
(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；
(3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对
应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．
【答案】(1)见解析
(2)7.0
(3)能
【分析】（1）根据表格中数据进行描点、连线即可；
（2）根据图象得出y=−1时，x≈−3.5或x≈3.5，然后可得答案；
（3）根据表格中数据求出x=±2和x=±6时纵坐标的值，求得其差得出船靠中间行驶时，船左右两边到
竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）由图象可得：当y=−1时，x≈−3.5或x≈3.5，
∴拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度约是3.5−(−3.5)=7.0米，
故答案为：7.0；
（3）由表格中数据可得，当x=−2时，y=−0.31；当x=2时，y=−0.31，
当x=−6时，y=−3.02；当x=6时，y=−3.02，
∵−0.31−(−3.02)=2.71米，2.71−2=0.71>0.5，
∴这艘船能安全通过，
故答案为：能．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用函数图象的性质解决问题是解题的关键．
题型二：隧道问题
1.如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐
1
标系，抛物线可以用y=− x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离
6
17
为 m．
2
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否
安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，
那么两排灯的水平距离最小是多少米？
1
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，
6
理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是4√3m．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，
根据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y
的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
( 17)
【详解】解：（1）由题知点B(0,4),C 3, 在抛物线上
2
所以¿，解得¿，
1
∴y=− x2+2x+4，
6
b
∴当x=− =6时，y=10
2a
1
∴抛物线解析式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10米；
6
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
22
当x=2或x=10时，y= >6，
3
所以可以通过；
1
（3）令y=8，即− x2+2x+4=8，可得x2−12x+24=0，解得x =6+2√3，x =6−2√3
6 1 2
x −x =4√3
1 2
答：两排灯的水平距离最小是4√3m
2.如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的长AD为8m，宽AB为2m．以AD所在直线
为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为5m．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6m，宽2.4m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说
明．
3
【答案】(1)y=− x2+5
16
(2)这辆货运卡车能通过该隧道，理由见解析
【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，利用待定系数法求抛物线的
解析式．
（2）把x=±2.4代入（1）所求解析式中求出y的值，再与货车的高进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)，
根据题意，得A(−4，2)，B(4，2)，E(0，5)．由¿，
解得¿，
3
∴所求的抛物线的解析式为y=− x2+5．
16
（2）解：这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
3
当x=±2.4时，y=− ×(±2.4) 2+5=3.92．
16
∵3.92>3.6，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式有几种方法，一般式、顶点式、交点式，因题而
异，灵活处理．确定抛物线的解析式的关键是会找抛物线上的几个关键点．
3.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以
OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：
OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点
A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
9
【答案】(1)y=− (x−5) 2+9
25
5√3 5√3
(2)A(5− ,6),B(5+ ,6)
3 3
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．【详解】（1）依题意，顶点P(5,9)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，
9
将(0,0)代入，得0=a(0−5) 2+9．解之，得a=− ．
25
9
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−5) 2+9．
25
9
（2）令y=6，得− (x−5) 2+9=6．
25
5√3 5√3
解之，得x = +5,x =− +5．
1 3 2 3
5√3 5√3
∴A(5− ,6),B(5+ ,6)．
3 3
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答
时求出二次函数的解析式是关键．
4.如图，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，
OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)该隧道设计为双向通行道，如果规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保
1
持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为＿ 米；
3
(3)在隧道修建过程中，需要搭建矩形支架AD−DC−CB（由三段组成）对隧道进行装饰，其中C、D在
抛物线上，A，B在地面OM上，求这个支架总长Z的最大值．
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2+6；
6
(2)3；
(3)15．
【分析】（1）利用待定系数法进行求解，即可得到抛物线解析式；10 1
（2）把x=2代入y=−(x−6) 2+6中，得到y= ，再根据车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，即可求
3 3
出通过隧道车辆的高度限制；
（3）设D ( x,− 1 (x−6) 2+6 ) ，由题意可知，AD=BC=− 1 (x−6) 2+6，D与C关于直线x=6对称，进
6 6
1
而得到DC=12−2x，根据Z=AD+DC+BC，求得Z=− (x−3) 2+15，再利用二次函数的性质，即
3
可求出支架总长Z的最大值．
【详解】（1）解：由题意知：抛物线的顶点P(6,6)，
设抛物线的表达式为y=a(x−6) 2+6
将(0,0)代入y=a(x−6) 2+6，得：0=a(0−6) 2+6，
1
∴a=−
6
1
∴抛物线表达式为：y=− (x−6) 2+6；
6
1 10
（2）解：把x=2或x=10代入y=−(x−6) 2+6中，得y=− (2−6) 2+6= ，
6 3
1
∵车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，
3
10 1
∴限高为 − =3米，
3 3
故答案为：3；
（3）解：设D ( x,− 1 (x−6) 2+6 ) ，
6
∵矩形支架AD−DC−CB，
1
∴DC∥x轴，AD=BC=− (x−6) 2+6，
6
∴D与C关于直线x=6对称，
∴DC=2(6−x)=12−2x，
[ 1 ] 1 1
∴Z=AD+DC+BC=12−2x+2 − (x−6) 2+6 =− x2+2x+12=− (x−3) 2+15，
6 3 3
∵a<0∴当x=3时，Z有最大值15，
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合的思想，熟练
掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
5.如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到
地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双
向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5
米，才能安全B通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2+10
6
(2)这辆特殊货车不能安全通过隧道
【分析】（1）抛物线顶点坐标为D(6,10)，设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10,，把点B的坐标代入
即可；
（2）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的横坐标为x=6+1+4，代入
（1）所得解析式，判断是否大于6.5即可．
【详解】（1）解：根据题意，顶点D的坐标为D(6,10)，点B的坐标为(0,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10，
把点B(0,4)代入得：36a+10=4，
1
解得：a=− ，
6
1
即所求抛物线的解析式为：y=− (x−6) 2+10；
6
（2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：x=6+2÷2+4=11时，1 35
y=− (11−6) 2+10= <6+0.5，
6 6
∴不能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车不能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程
度较高．
6.按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天
比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，
人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行
道宽度设计是否达标？说明理由．
+
【答案】(1)原计划每天修20米
(2)①y=−0.3x2+10.8；②5.5米；③达标，理由见解析
【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①由题意可得E(−4,0),F(4,0),A(−6,0),B(6,0),M(0,10.8)，然后运用待定系数法解答即可；②
车的宽度为4米，令x=4时求得y=6，然后再减去0.5即可解答；③如图：由CE，DF高均为0.3米，
则点G的纵坐标为0.3，令y=0.3可解答点G的横坐标为√35，然后求出FG的长度即可解答．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米
2400 (1400 2400−1400)
则根据题意可得： − + =10
x x x+5
解得：x=−25或x=20
经检验，x=20是分式方程的解．答：原计划每天修20米．
（2）解：①根据题意可得：C(−4,0),D(4,0),A(−6,0),B(6,0),M(0,10.8)
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c
由题意可得：¿，解得：¿
所以抛物线的函数表达式为y=−0.3x2+10.8
②∵车的宽度为4米，车从正中通过，
∴令x=4时，y=−0.3×16+10.8=6，
∴货车安全行驶装货的最大高度为6−0.5=5.5（米）．
③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令y=0.3，则有：0.3=−0.3x2+10.8，解得：x=√35（舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：FG=√35−4≈5.92−4=1.92>1.25
∴人行道宽度设计达标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特
征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
7.如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧
道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距
离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF= y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y
的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0(1)根据
上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式
y=a(x−ℎ) 2+k(a<0)；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面
的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧
道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
1
【答案】(1)6，y=− (x−4) 2+6．
8
(2)见解析
(3)隧道需标注的限高应为4.5米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在x=4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式
即可；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令x=1，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可
解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6，
设y=a(x−4) 2+6(a<0)
∵D的坐标为(0,4)
1
∴4=a(0−4) 2+6(a<0)，解得a=−
81
∴y=− (x−4) 2+6．
8
1
故答案为：6，y=− (x−4) 2+6．
8
（2）解：根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
1
（3）解：令x=1，可得y=− (1−4) 2+6=4.875
8
隧道需标注的限高应为4.875−0.35=4.5（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的
数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
题型三：喷泉问题
1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度
为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直
角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直
径扩大到24米（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．1
【答案】(1)y=− (x+3) 2+5(−80不合题意，故舍去②，
1 2a
1 1
令将y=0代入y=− x2− x+2，
8 2
解得x=−2+2√5或−2−2√5（舍去），
故B点的坐标为(−2+2√5，0)；
（3）解：由题意可得：− 1 m2+ 1 m+2− ( − 1 m2− 1 n+2 ) ≥0.5，
8 2 8 2
1
解得：m≥ ，
2
1 1
又∵− m2+ m+2≥0.5，
8 2
解得：m≤6，1
∴ ≤m≤6．
2
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
4.如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽
象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度
DE=3m，竖直高度EF=0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离
喷水口的水平距离为2m、高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+2，OC=6米
8
(2)(2,0)
(3)2≤d≤2√3−1
【分析】（1）由顶点A(2,2)得，设y=a(x−2) 2+2，再根据抛物线过点(0,1.5)，可得a的值，从而解
决问题；
1
（2）过点H作HM∥x轴，交上边缘抛物线于点M，当y=1.5时，则− (x−2) 2+2=1.5
8
解得：x =4，x =0，则M(4,1.5)，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的
1 2
坐标；
（3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x−2) 2+2，
又∵抛物线过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，1
∴a=− ，
8
1
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=− (x−2) 2+2；
8
1
令y=0，则− (x−2) 2+2=0
8
解得：x =6，x =−2
1 2
∴OC=6米．
（2）解：如图，过点H作HM∥x轴，交上边缘抛物线于点M，
1
对于上边缘抛物线y=− (x−2) 2+2，当y=1.5时，
8
1
则− (x−2) 2+2=1.5
8
解得：x =4，x =0，
1 2
则M(4,1.5)，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B是点C向左平移4m得到，
由（1）知OC=6米，
∴OB=6−4=2(米)
∴点B的坐标为(2,0)；
（3）解：∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
1
∴0.5=− (x−2) 2+2，解得x=2±2√3，
8
∵x>0，
∴ x=2+2√3，
当x>2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2√3，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2√3，
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2√3−3=2√3−1，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2√3−1．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，
二次函数的图象的平移，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
5.消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，
具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．
在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈
抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求出水柱所在抛物线的解析式；
(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度
约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角
约为53°）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长
时间忽略，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
1
【答案】(1)抛物线解析式为：y=− (x−5) 2+50
15
(2)此时水柱能射入该层窗口，理由见解析
75−25√5
(3)应伸长 米
4
【分析】（1）根据二次函数解析式，用代入法来求出解析式．
（2）根据解析式求出最大值，再进比较．
（3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题．
【详解】（1）由题意得到：B点坐标：(5,50)，A点坐标：(20,35)，
设抛物线的解析式为：y=a(x−5) 2+50，
把A点坐标代入得：35=a(20−5) 2+50，
1
解得，a=− ，
15
1
∴抛物线解析式为：y=− (x−5) 2+50．
15
1 145
（2）当x=0时，y=− (0−5) 2+50= ，
15 3
第16层楼顶高度为：16×2.9=46.4(m)，
46.4+0.9=47.3(m)，46.4+2.4=48.8(m)，
145
∵47.3< <48.8，
3
∴此时水柱能射入该层窗口
（3）过A作AF平行于x轴，设CA伸长至A'处，A A'的长即为其伸长的长度，设为A A'=t(m)，
过A'作A'E⊥AF于E，则∠A' AE=53°，
∴A'E=A A'×sin53°≈0.8t(m)，AE=A A'×cos53°≈0.6t(m)，
即相当于将点A向左平移0.6t个单位长度，再向上平移0.8t个单位长度．
1
新抛物线的解析式：y'=− (x−5+0.6t) 2+50+0.8t，
15
当x=0时，y'=55，
1
∴− (0−5+0.6t) 2+50+0.8t=55，
15
75+25√3 75−25√3
解得：t = （舍去），t = ，
1 3 2 3
75−25√3
∴应伸长t= 米．
3
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键用代入法来求出解析式，再转化成一元二次方
程解决问题．
6.如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方
向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之
7
间的关系式是y=−x2+2x+ (x≥0)．
4(1)柱子OA的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在
池外？
(2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为
Rt△BCD形状，其中BC边在地面上，点C离柱子的距离为2.1米，∠CBD=90°，灯孔P在CD边上，
1
灯孔P离地面的距离为 米，若水流恰好落在灯孔P处，求tan∠DCB的值．
2
7 (√11 )
【答案】(1)柱子OA的高度为 米，水池的半径至少要 +1 米才能使喷出的水流不至于落在池外
4 2
4
(2)
5
【分析】（1）柱子OA的高度即为抛物线与y轴交点的纵坐标，令二次函数解析式中的x=0即可求解；
令y=0，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可；
1
（2）把y= 代入解析式即可求出点P的横坐标，过点P作PE⊥BC于点E，可求出PE,CE的值，在
2
Rt△PCE中即可求tan∠DCB的值．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线与y轴的交点的纵坐标的值即为柱子OA的高度，
7
∴当x=0时，y= ，
4
7
∴柱子OA的高度为 米，
4
水池的半径指的是OB的长度，
7 7
∴在y=−x2+2x+ 中，当y=0时，−x2+2x+ =0，
4 4
√11 √11
∴x = +1，x =1− ，
1 2 2 2
又∵x>0，√11
∴x= +1，
2
(√11 )
∴水池的半径至少要 +1 米才能使喷出的水流不至于落在池外．
2
1 1 7
（2）解：灯孔P离地面的距离为 米，即点P的纵坐标为 ，且点P在抛物线y=−x2+2x+ (x≥0)的图
2 2 4
像上，
1 7 1 5 1
∴当y= 时，−x2+2x+ = ，解得x = ，x =− (舍去)，
2 4 2 1 2 2 2
(5 1)
∴P , ，
2 2
如图所示，过点P作PE⊥BC于点E，
(5 )
∴∠CEP=90°，E ,0 ，
2
∵点C离柱子的距离为2.1米，
5 2 1
∴CE=OE−OC= −2.1= ，且PE= ，
2 5 2
2
PE 5 4
∴在Rt△PCE中，tan∠DCB= = = ．
CE 1 5
2
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质与实际应用的综合，掌握从实际问题中抽象出二次函数模型，
三角形函数的计算方法等知识是解题的关键．
7.某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子
OA，安置于柱子顶端A处的喷水向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1
米时到达最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，
求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，
此时他离花形柱子OA的距离为d米，则d的取值范围是______________；
(3)在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的
距离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图
3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与
抛物线水流之间的距离．
【答案】(1)y=−(x−1) 2+2.25
(2)0.30.8，
9
∴野兔此次跳跃能跃过篱笆，
故答案为：能．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的抛物线解析式是解题的关键．
2.一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离
为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+√11)m．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为x=1，经过点(0，10)，(3，7)，利用待定系数法即可求解；
（2）令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，经过点(0，10)，(3，7)，
设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，
∴¿，解得¿，
∴y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
（2）解：令y=0，则−x2+2x+10=0，
解得x=1±√11（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+√11)m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解
析式是解题的关键．
3.已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，
如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y
（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，BC⊥x轴于点C，相关数据如下：
水平距离x（米） 5 10 20 30
空中飞行的高度y（米） 4.5 6 0 −18
(1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______；
(2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足y=−0.05x2+1.1x，则他第二次跳跃
落地点与起跳点平面的水平距离为d=______米，d______30，成绩是否达标？______．（填写是或否）
【答案】(1)y=−0.06x2+1.2x(x≥0)；
(2)d=11+√481；＞；是．
【分析】 （1）设该二次函数的解析式为y=ax2+bx(a≠0)，根据点A,B的坐标，利用待定系数法求解
即可得；
（2）求出当函数y=−0.05x2+1.1x的函数值为y=−18时，x的值，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，设该二次函数的解析式为y=ax2+bx(a≠0)，
∵OA=20米，
∴A(20,0)，
将点A(20,0),B(10,6)代入y=ax2+bx得：¿，
解得¿，
则该二次函数的解析式为y=−0.06x2+1.2x(x≥0)，
故答案为：y=−0.06x2+1.2x(x≥0)．
（2）解：对于二次函数y=−0.05x2+1.1x，
当y=−18时，−0.05x2+1.1x=−18，
解得x=11+√481或x=11−√481<0（不符合题意，舍去），
则d=11+√481，
∵11+√481−30=√481−19=√481−√361>0，
∴11+√481>30，即d>30，
故答案为：d=11+√481；＞；是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
4.第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为
了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运
动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，
经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速
0
度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路
线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且sin37°=0.6．忽略空气阻力，请回答
下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
1
(2)y=− x2
160
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．在Rt△OBD中，利用
sin37°求出OD即可；
（2）利用勾股定理求出BD，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；
（3）将x=−60代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．
在Rt△OBD中，OD=AB⋅sin37°=150×0.6=90(m)，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）解：在Rt△OBD中，BD=√AB2−OD2=√1502−902=120(m)，
∴B(−120,−90)，
由题意抛物线顶点为(0,0)，经过(−120,−90)．
设抛物线的解析式为y=ax2，
则有−90=a×(−120) 2，
1
∴a=− ，
160
1
∴抛物线的解析式为y=− x2 ．
160
（3）解：当x=−60时，y=−22.5，
∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【点睛】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自
变量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．
5.跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿
势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台
1 7
终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C :y=− x2+ x+1近似表示滑
1 12 6
雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线
1
C :y=− x2+bx+c运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．
2 8
(1)求抛物线C 的函数解析式；
2
(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+3
8 2
(2)12
8
(3)
3
1
【分析】（1）根据题意将点(0,3)，(4,7)代入抛物线C :y=− x2+bx+c求出b、c即可得出答案；
2 8
（2）设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同，根据题意得：
1 3 1 7
− m2+ m+3=− m2+ x+1，求出m的值即可；
8 2 12 6
（3）运动员与小山坡的高度差为h,则h=− 1 x2+ 3 x+3− ( − 1 x2+ 7 x+1 ) ，求出最值即可．
8 2 12 6
1
【详解】（1）把点(0,3)，(4,7)代入抛物线C :y=− x2+bx+c得：
2 8
¿，
解得：¿，
1 3
∴抛物线C :y=− x2+ x+3；
2 8 2
（2）设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同，
1 3 1 7
根据题意得：− m2+ m+3=− m2+ m+1，
8 2 12 6
化简得：m2−8m−48=0，
解得：m=12或m=−4（舍），
故运动员与点A的水平距离是12米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
（3）设运动员与小山坡的高度差为h,
则h=− 1 x2+ 3 x+3− ( − 1 x2+ 7 x+1 )
8 2 12 6
1 1
=− x2+ x+2
24 3
1 8
=− (x−4) 2+
24 3
1
∵− <0，
24
8
∴当x=4时，h有最大值，最大值为 ，
38
∴运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是 米．
3
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模
型相结合是解题的关键．
6.将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10
名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他
们持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖
直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点
O的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为1.75m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳
下的距离均为0.5m，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
1 1 2
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2（或y=− x2+ x+1）
25 25 5
(2)能够达到比赛的要求，见解析
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点为(5,2)，过点A(0,1)，用待定系数法可得函数解析式；
1
（2）结合（1）令y=1.75得− (x−5) 2+2=1.75，x=7.5或x=2.5，根据(7.5−2.5)÷0.5+1=11，可
25
知在绳下可以站11人，故九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【详解】（1）设大绳所在抛物线的解析式为y=a(x+h) 2+k
由题意得顶点坐标为(5,2)，则抛物线解析式为y=a(x−5) 2+2，
1
将点A(0,1)代入y=a(x−5) 2+2可得，a=− ，
25
1 1 2
∴所求的抛物线的解析式是y=− (x−5) 2+2（或y=− x2+ x+1）；
25 25 5
1
（2）当y=1.75时，− (x−5) 2+2=1.75，
25解得x =2.5，x =7.5，
1 2
(7.5−2.5)÷0.5+1=11（人）
则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
7.如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−1,−10)，运动员（将运动
员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点
(3 9 )
的坐标为 , ．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调
4 16
整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由．
(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点，且EM=7,EN=9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线
解析式为y=(x−ℎ) 2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M,N两点），请直接写出k的取值范
围．
( 3) 2 9
【答案】(1)y=− x− + ；(4,−10)
4 16
(2)不会失误，见解析
(3)−14≤k≤−11
( 3) 2 9
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a x− + ，(0,0)代入解析式，得a=−1，进而可得空中运
4 16( 3) 2 9 ( 3) 2 9
动时对应抛物线的解析式为y=− x− + ，令y=−10，则−10=− x− + ，求出满足要求
4 16 4 16
的x，进而可得B点坐标．
( 3) 2 9
（2）由题意知，当距点E水平距离为4米时，对应的横坐标为4−1=3．将x=3代入y=− x− +
4 16
9 9
中，得y=− ．根据10− =5.5>5，判断作答即可．
2 2
（3）由题意知，当抛物线经过点M时，k最大．由EM=7，可知M(6,−10)，由B(4,−10)，可得
4+6
h= =5，此时抛物线解析式为y=(x−5) 2+k，将点B(4,−10)代入得k=−11，由题意知，当经过
2
点N时，k最小，同理可求得k=−14，进而可得k的取值范围．
( 3) 2 9
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a x− + ，
4 16
将(0,0)代入解析式，得a=−1，
( 3) 2 9
∴空中运动时对应抛物线的解析式为y=− x− + ，
4 16
( 3) 2 9
令y=−10，则−10=− x− + ，
4 16
5
解得x =− （舍去），x =4，
1 2 2
∴B的坐标为(4,−10)．
（2）解：当距点E水平距离为4米时，对应的横坐标为4−1=3．
( 3) 2 9 9
将x=3代入y=− x− + 中，得y=− ．
4 16 2
9
∵10− =5.5>5，
2
∴该运动员此次跳水不会失误．
（3）解：由题意知，当抛物线经过点M时，k最大．
∵EM=7，
∴M(6,−10)．
∵B(4,−10)，4+6
∴h= =5，
2
此时抛物线解析式为y=(x−5) 2+k，
将点B(4,−10)代入得k=−11，
由题意知，当经过点N时，k最小．
同理可求得k=−14，
∴−14≤k≤−11．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知
识的熟练掌握与灵活运用．
题型五：球类飞行轨迹
1.一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距
离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直
角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多
少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+3，球不能射进球门
12
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可
得到函数表达式，再把x=0代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点(0,2.25)代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线解析式为y=a(x−2) 2+3，
把点A(8,0)代入，得36a+3=0，1
解得a=− ，
12
1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2+3，
12
8
当x=0时，y= >2.44，
3
∴球不能射进球门；
1
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=− (x−2−m) 2+3，
12
1
把点(0,2.25)代入得2.25=− (−2−m) 2+3，
12
解得m =−5（舍去），m =1，
1 2
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题
意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
2.掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，
行进高度y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2米，当水平
9 25
距离 米时，实心球行进至最高点： 米处．
2 8
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生） ，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离
大于等于12.4米，此项考试得分为满分17分，按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理
由．
1 25
【答案】(1)y=− (x−4.5) 2+
18 8
(2)该生在此项考试中得不到满分，理由见解析【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
25
【详解】（1）根据题意设y关于x的函数表达式为：y=a(x−4.5) 2+ ，
8
把(0,2)代入解析式得，
25
2=a(x−4.5) 2+ ，
8
1
解得：a=−
18
1 25
∴y关于x的函数表达式为：y=− (x−4.5) 2+
18 8
（2）该生在此项考试中得不到满分，理由：
1 25
当y=0，则，− (x−4.5) 2+ =0，
18 8
解得：x =12，x =−1（舍去），
1 2
∵12<12.4，
∴该生在此项考试中得不到满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
3.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进
路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度
5
为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水
平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
4 8 5
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设y=a(x−3) 2+3，
5
∵y=a(x−3) 2+3经过点(0， )，
3
5
∴ =a(0−3) 2+3
3
4
解得∶a=− ,
27
4 4 8 5
∴y=− (x−3) 2+3=− x2+ x+ ，
27 27 9 3
4 8 5
∴y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
4 8 5 4 8 5
∵对于二次函数y=− x2+ x+ ，当y=0时，有− x2+ x+ =0
27 9 3 27 9 3
∴4x2−24x−45=0，
15 3
解得∶x = ， x =− (舍去)，
1 2 2 2
15
∵ >6.70，
2
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解
题的关键．
4.某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受
游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与
其一组对边平行，矩形DEFG为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从A(1,0)处抛出，弹珠的飞行轨迹
3 3
为抛物线L:y=ax2+bx+ (单位长度为1m)的一部分，且当弹珠的高度为 m时，对应的两个位置的水平
2 2
距离为2m．已知DE=1m，EF=0.6m，DA=4.7m．(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标．
(2)请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的
情况下，调整EF的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出EF的取值范围．
1 3
【答案】(1)，y=− x2−x+ ，(−1,2)
2 2
(2)00.555，∴该同学抛出的弹珠不能投入箱子；
若调整EF的高度，使得弹珠可以投入箱子，EF的取值范围为02.4，
∴球能越过球网，
1
当y=0时，0=− (x−6) 2+3，
36
解得：x =6+6√3，x =6−6√3（不合题意，舍去），
1 2∴D(6+6√3,0)，
∵6+6√3<18，
∴球不会出界；
（4）∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水
平距离，
又∵L 是与L 形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
2 1
1
∴设L 的表达式为y=− (x−h) 2+1，
2 36
1
将点A(18,0)代入，得0=− (18−h) 2+1
36
解得：h =12（舍去），h =24，
1 ❑2
1
∴L 的表达式为y=− (x−24) 2+1，
2 36
( 8)
设点M的横坐标为t(t≥24)，则Q(t,0.5)，P t+2, ，
9
1
当y=0.5时，0.5=− (t−24) 2+1，
36
解得：t =24+3√2，t =24−3√2（舍去），
1 2
8 8 1
当y= 时， =− (t+2−24) 2+1，
9 9 36
解得：t =24，t =20（舍去），
1 2
∴24≤t≤24+3√2，
∴d=24+3√2−24=3√2．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质并
数形结合是解题的关键．
题型六：最大利润/销量问题
1.某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不
低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售
价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x
（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【答案】(1)y=−50x+1200
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，y与x的函数关系式为y=kx+b，将
(5,950),(6,900)代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性
质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5,950),(6,900)代入得：
¿，解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1200，
（2）解；根据题意可得：(x−4)y=1800，
∴(x−4)(−50x+1200)=1800，
整理得：x2−28x+132=0，
解得：x =6,x =22，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
w=(x−4)(−50x+1200)
=−50x2+1400x−4800
=−50(x−14) 2+5000，
∵−50<0，函数开口向下，
∴当x<14时，w随x的增大而增大，
∵4≤x≤7，
∴当x=7时，w有最大值，此时w =−50(7−14) 2+5000=2550，
max
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的
关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
2.冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，
小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容
融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；
而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次
增加x个，第二次冰墩墩售完后的利润为y元．
(1)用含x的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润y；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
1 40
【答案】(1)y=− x2+ x+1500
3 3
(2)购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润
最大，最大利润是1802元
x
【分析】（1）由题意第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少 元，根据利润=一
3
个利润×数量，即可求得第二次冰墩墩售完后的的利润y；
（2）由题意知，第二次购买雪容融的数量为100−(50+x)=(50−x)个，根据两种玩偶销售利润的和得
关于x的函数式，然后求最大值即可．
x
【详解】（1）由题意，第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少 元，则第二次冰
3
( x)
墩墩售完后的的利润y= 30− (50+x)；
3
1 40
整理得：y=− x2+ x+1500．
3 3
（2）第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，第二次购买雪容融的数量为100−(50+x)=(50−x)个，
∴第二次售卖两种玩偶的销售利润
1 40 1 25
w= y+5(50−x)=− x2+ x+1500+250−5x=− x2+ x+1750,
3 3 3 3
1( 15) 2 625
∴w=− x− + +1750,
3 2 12
由题意知，x为正整数，所以当x=12或13时，w最大，最大值为1802；当x=12时，50+x=62，50-x=38；当x=13时，50+x=63，50-x=37；
即购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润
最大，最大利润是1802元．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题
意是解题的关键．
3.深圳某公司生产A、B两种玩具，每个B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生产A种玩具，
3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个，请解答下列问题：
(1)A、B两种玩具每个的成本分别是多少元？
(2)某大学生自主创业，在网上销售B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高
于进货价的50%．试营销阶段发现：当销售单价是8元时，每天的销售量为120件，销售单价每上涨1元，
每天的销售量就减少20件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A、B两种玩具每个的成本分别是4元和6元
(2)当销售单价为9元时利润最大为300元
【分析】（1）设A玩具每个的成本为x元，B玩具每个的成本为1.5x元，根据“公司投入1600元生产A
种玩具，3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个”列方程求解，注意分式方程需要验根；
（2）设销售单价为a元，则销售量为：120−20(a−8) 件，根据题意可得6≤a≤9，由题意列二次函数
关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A玩具每个的成本为x元，B玩具每个的成本为1.5x元．
1600 3600
根据题意得： + =1000
x 1.5x
解得：x=4
经检验 x=4是原方程的解．
∴1 .5x=6
答：A、B两种玩具每个的成本分别是4元和6元．
（2）解：设销售单价为a元，则销售量为：120−20(a−8) 件；由题可知a≥6且a−6≤50%×6
∴6≤a≤9
根据题意得：w=(a−6)[120−20(a−8)] =−20a2+400a−1680 =−20(a−10) 2+320
∵−20<0 当6≤a≤9时，w随a的增大而增大，
∴当销售单价为9元时利润最大为300元．
【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，找到题中的等量关系是解题的关键．
4.某厂家生产一种儿童电动玩具，3月份前4天生产的该儿童玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据
如下表所示：第x天 1 2 3 4
售价y/（元/个） 30 32 34 36
销量t/个 100 120 140 160
从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关
系为t=−x2+50x−100（5≤x≤20，且x为整数）．
(1)直接写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后第几天的销量最大，最
大值为多少？
(2)若成本价为20元，求该工厂这些天（按20天计）出售儿童电动玩具得到的利润W（元）与x的函数关
系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值．
【答案】(1)销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为t=20x+80（1≤x≤4），第5天以后第
20天的销量最大，最大值为500；
(2)W（元）与x的函数关系式为W =¿；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元．
【分析】（1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t与第x天满足的关系式，并根据第5天以后儿
童电动玩具销量t（套）和第x天的关系式，由函数性质求出最值；
（2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案．
【详解】（1）解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系，
设t＝kx+b把(1,100),(2,120)代入得：
¿，
解得¿，
∴销量t与第x天满足的关系式为t=20x+80（1≤x≤4）；
∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为t=−x2+50x−100=−（x−25）2+525，
∵−1<0，
∴当x<25时，t随x的增大而增大，
∵5≤x≤20，
∴当x=20时，t有最大值，最大值为−(20−25) 2+525=500，
∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为t=20x+80（1≤x≤4），第5天以后第20天的销
量最大，最大值为500；
（2）解：设y与x的函数解析式为y=mx+n，
把(1,30),(2,32)代入得：
¿，
解得¿，∴y与x的函数解析式为y=2x+28，
①当1≤x≤4时，W =(2x+28−20)(20x+80)=40x2+320x+640=40(x+4) 2，
当x=4时，W有最大值，最大值为40×(4+4) 2=2560；
②当5≤x≤20时，W =(28−20)(−x2+50x−100)=−8(x−25) 2+4200，
∵−8<0,5≤x≤20，
∴当x=20时，W有最大值，最大值为−8×25+4200=4000，
∴第20天时W的最大值为4000元．
∴W（元）与x的函数关系式为W =¿；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数
的解析式．
5.某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，甲商品从开始销售至销售的第x天
总销量y （千克）与x的关系如图1所示，且y 是x的二次函数．乙商品从开始销售至销售第x天的总销量
1 1
y (kg)，y =ωx，其中ω是关于x的一次函数，其图象如图2．
2 2
(1)分别求出y ，y 与x的函数关系；
1 2
(2)甲、乙两种商品购进量相差多少；
(3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少．
【答案】(1)y =−x2+30x，y =ωx=−3x2+60x；
1 2
(2)甲、乙两种商品购进量相差75kg
(3)甲乙均在第1天销量最大，分别是29kg、75kg．【分析】（1）依据题意，设y =ax2+bx，结合图象上的点代入计算可以得解；又ω是关于x的一次函数，
1
过(0，60)，(20，0)，从而先求出ω与x的关系，再代入可以的y 的关系式；
2
（2）依据题意，分别依据顶点式求出两种商品的最大值，然后作差可以得解；
（3）依据题意，设第t天，甲、乙商品销量最大，表示出来后，求出最大值即可得解．
【详解】（1）解：由题意，设y =ax2+bx，
1
∴¿，
∴y =−x2+30x，
1
又ω是关于x的一次函数，过(0，60)，(20，0)，
设ω=kx+60，
∴0=20k+60，
解得k=−3，
∴ω=−3x+60，
∴y =ωx=−3x2+60x；
2
（2）解：由题意得，y =−x2+30x=−(x−15) 2+225，
1
∵−1<0，
∴当x=15时，甲商品的最大值为225；
又y =−3x2+60x=−3(x−10) 2+300，
2
∵−3<0，
∴当x=10时，乙商品的最大值为300．
∴y −y =75(kg)，即乙商品比甲商品多购进75kg．
乙 甲
即甲、乙两种商品购进量相差75kg；
（3）解：第t天，乙商品销量：−3t2+60t−[−3(t−1) 2+60(t−1)]
=3(−2t+1)+60
=−6t+63，
∴当t=1时，ω =57．
乙
此时甲商品销量：−t2+30t−[−(t−1) 2+30(t−1)]
=(−2t+1)+30=−2t+31，
∴当t=1时，ω =29．
甲
答：甲乙均在第1天销量最大，分别是29kg、75kg．
【点睛】本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
6.“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要
求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（0288时，即可获得奖励，当0288，即有：W =−20x+520>288，解得：10≤x<11.6，去除第10天重复计算的奖励，问题得解．
【详解】（1）解：结合图象，分段计算，
当10≤x≤15时，P=40，
当0288时，即可获得奖励，
当0288时，有2288，
即有：W =−20x+520>288，
解得：10≤x<11.6，
即此时可以获得奖励为：20×2=40（元），
∵第10天重复计算，
∴总计获得的奖励为：160+40−20=180（元）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解
一次函数解析式等知识，明确题意，正确得出函数关系，是解答本题的关键．
7.2022年2月20日，北京冬奥会顺利闭幕，冬奥会带来了冰雪消费热．最美志愿者陈老师决定购进“冰
墩墩”和“雪容融”两种纪念品进行销售，已知每件“冰墩墩”比每件“雪容融”的进价高30元，用1500元购进“冰墩墩”的数量和用600元购进“雪容融”的数量相同．经市场调查，整理出“冰墩墩”
的售价x（元/件）与销量y（件）的关系如表：
售价x
50≤x≤60 608，
π
∴方案3的菜园面积最大，
∴在三种方案中，最佳方案是方案3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、圆的面积、等腰三角形的性质，根据题意计算三个方案的边长及
半径是解本题的关键．
3.某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游配套工厂等因素影响，生产成本不同．
甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0)，图象为如图的虚线
所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为y=kx(k≠0)，其图象为如图的实线
所示．(1)求a、b、k的值．
(2)若甲、乙两城一共生产50件产品，请设计一种方案，使得总生产成本最小．
(3)从甲城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：y =nx，y =3x；从乙
甲A 甲B
城把产品运往A、B两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：y =x，y =2x；现在A地需要40
乙A 乙B
件，B地需要10件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含n的式子表示）．
1
【答案】(1)a= ，b=1，k=3；
4
(2)当甲城生产4件，乙城生产46件时，总成本最小；
(3)当n=2时，总运费最小值为64万元；当n<2时，总运费最小值为(4n+56)万元；当n>2时，总运费最
小值为64万元．
( 5)
【分析】（1）根据函数图象过原点得到c=0，将(2,3)和 1, 代入解析式即可求解；
4
1
（2）由（1）可得甲、乙的函数表达式，设生产成本为w，则得到w= x2+x+3(50−x)，化简后根据
4
二次函数的最值判断即可；
（3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为
(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，根据
题意列出不等式求出m的取值范围，再表示出p，根据判断即可得到结果；
【详解】（1）∵y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，
∴c=0，
( 5)
将(2,3)和 1, 代入解析式y=ax2+bx+c(a≠0)得¿，
4
②×4−①得：b=1，
1
代入①中得a= ，
4
∴¿，
将(2,6)代入y=kx中得k=3，
1
∴a= ，b=1，k=3；
4
1
（2）由（1）可得，甲：y= x2+x，乙：y=3x，
4
1 1 1
设生产成本为w，则得到w= x2+x+3(50−x)= x2−2x+150= (x−4) 2+146，
4 4 4∴当x=4时，甲、乙两城生产这批产品总成本和最少，
50−4=46，
∴甲城生产4件，乙城生产46件，此时生产成本最小；
（3）设从甲城运往A地区的产品数量为m件，甲、乙两城总运费为p，则从甲城运往B地的产品数量为
(4−m)件，从乙城运往A地的产品数量为(40−m)件，从乙城运往B地的产品数量为(10−4+m)件，
由题意可得：¿，
解得：0≤m≤4，
∴p=mn+3(4−m)+40−m+2(10−4+m)，
=mn+12−3m+40−m+12+2m，
=mn−2m+64，
=(n−2)m+64，
当0≤n≤2，0≤m≤4时，p随n的增大而减小，
∴m=4时，p的值最小，
最小值为4(n−2)+64=4n+56；
当n>2，0≤m≤4时，p随n的增大而增大，
则m=0时，p的值最小，最小值为64；
∴当0≤n≤2时，总运费为(4n+56)万元；
当n>2时，总运费为64万元．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式以及一次函数在实际问题
当中的应用，理解清楚题目中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
4.为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、
乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20− m2 ，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
【答案】(1)y =0.4x，y =0.2x+0.3；
1 2
(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；
当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；
（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；
（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．
【详解】解：（1）由题意得y =0.4x，
1
在直角坐标系中描出以(x,y)坐标的对应点，易得y 的图象成一条直线，
2
设y =kx+b，则¿，
2
解得¿，
∴y =0.2x+0.3．
2
（2）当y = y ，则0.4x=0.2x+0.3，
1 2
解得x=1.5；
∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；
当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．
（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润：
w=0.4m+0.2n+0.3 =0.4m+0.2
(
20−
1 m2)
+0.3，
2
即w=−0.1m2+0.4m+4.3 =−0.1(m−2) 2+4.7，
当m=2时，n=18，w有最大值，
答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，
求出解析式．
5.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2
米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长
度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(06，
20−x−(x−6)
∵ >0，
2
∴x<13，
∴642，
4
169
∴乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是
m2
．
4
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意，正确的列出二次函数表达式．
7.空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100
米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方
米．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成
的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析．
【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．
100−x
【详解】解：（1）设AD=x米，则AB= 米
2
x(100−x)
依题意得， ＝450
2
解得x=10，x=90
1 2∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
x(100−x) 1
S= ＝− (x−50) 2+1250，0＜x＜a
2 2
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
1
当x=a时，S =50a- a2
最大 2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
x(100+a−2x) a 2 a 2 a
S= ＝−[x−(25+ )] +(25+ ) ，a≤x＜50+
2 4 4 2
a 100
当a＜25+ ＜50时，即0＜a＜ 时，
4 3
a a 10000+200a+a2
则x=25+ 时，S =（25+ ）2= ，
4 最大 4 16
a 100
当25+ ≤a，即 ≤a＜50时，S随x的增大而减小
4 3
a(100+a−2a) 1
∴x=a时，S最大= =50a− a2 ，
2 2
100 10000+200a+a2 1 (3a−100) 2
综合①②，当0＜a＜ 时， -（50a− a2 ）= ＞0
3 16 2 16
10000+200a+a2 1
＞50a− a2 ，
16 2
10000+200a+a2
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为 平方米
16
100
当 ≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
3100 a 10000+200a+a2
∴当0＜a＜ 时，围成长和宽均为（25+ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为 平
3 4 16
方米；
100 a 1
当 ≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50- ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（50a− a2 ）平
3 2 2
方米．
【点睛】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解题的关键是注意分类
讨论变量大小关系．
8.为了增加校园绿化，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛种植“两花一草”，如图，取四边中点，
构成正方形EFGH（甲区域），在四个角落构造4个全等的矩形（已区域），甲、乙两区域种植不同花
卉，剩余区域种植草坪．
(1)经了解，甲区域建造费用为50元/m2，乙区城建造费用为80元/m2，草坪建造费用为10元/m2，设每个
矩形的面积为xm2，建造总费用为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)当建造总费用为74880元时，矩形区城的长和宽分别为多少米？
(3)甲区域建造费用调整为40元/m2，乙区域建造费用调整为a元/m2（a为10的倍数），草坪建造单价不
变，最后建造总费用为55000元，求a的最小值．
【答案】(1)y=280x+48000
(2)矩形区域的长和宽分别为12米和8米
(3)a的最小值是50．
【分析】（1）先求出正方形ABCD、正方形EFGH、种植草坪的面积，然后根据“费用=单价×面积”即
可解答；
（2）设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则m+n=20，mn=x．然后代入（1）所得解析式可得
x=96，即m(20−m)=96，即可求得m的值，进而完成解答；
3750
（3）先根据题意可得800×40+4x⋅a+10(1600−800−4x)=55000，即a= +10；再求得x的
x
最大值，最后代入即可解答．【详解】（1）解：由题意可知：正方形ABCD的面积为40×40=1600m2，正方形EFGH的面积为
800m2，种植草坪的面积为1600−800−4x，根据题意可得：
y=800×50+4x⋅80+10(1600−800−4x) =280x+48000．
（2）解：设一个矩形区域的长和宽分别为m，n，则m+n=20，mn=x．
依题意可得：280x+48000=74880，解得x=96．
∴m(20−m)=96，解得m =12，m =8（舍去）．
1 2
∴m=12，n=8．
答：矩形区域的长和宽分别为12米和8米．
（3）解：依题意，800×40+4x⋅a+10(1600−800−4x)=55000．
3750
∴a= +10．
x
∵x=m(20−m)=−(m−10) 2+100，
∴当m=10时，x最大=100．
∴a≥47.5．
∴a的最小值是50．
【点睛】本题主要考查了列函数关系、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关
知识点成为解答本题的关键．
9.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线
是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进行切割：
(1)求抛物线解析式；
(2)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(3)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长．
1
【答案】(1)y=− x2+8
2
(2)(96−32√5)dm2
(3)20dm【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由四边形EFGH是正方形得到GH=FG=2OG，设H ( t,− 1 t2+8 ) (t>0)，− 1 t2+8=2t，解得：
2 2
t =−2+2√5，t =−2−2√5（舍），即可得到答案；
1 2
（3设H ( t,− 1 t2+8 ) (t>0)，矩形EFGH的周长=−t2+4t+16=−(t−2) 2+20，由二次函数的性质即可
2
得到答案．
1
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：y=ax2+8，把B(4,0)代入得：0=16a+8，∴a=− ，
2
1
∴抛物线的解析式为：y=− x2+8，
2
（2）∵四边形EFGH是正方形，
∴GH=FG=2OG，
设H ( t,− 1 t2+8 ) (t>0)，
2
1
∴− t2+8=2t，
2
解得：t =−2+2√5，t =−2−2√5（舍），
1 2
∴此正方形的面积=FG2=(2t) 2=4t2=4(−2+2√5) 2=(96−32√5)dm2；
（3）如图2，由（1）知：设H ( t,− 1 t2+8 ) (t>0)，
2∴矩形EFGH的周长=2FG+2GH=4t+2 ( − 1 t2+8 ) =−t2+4t+16=−(t−2) 2+20，∵−1<0，
2
∴当t=2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值为20dm．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和求二次函数的最值是解题的关键．
10.如图，在边长2为的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP
翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点
F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
(1)求证：△CMP∽△BPA．
(2)求△CNP的周长．
(3)求线段AM长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)4
5
(3)
2
【分析】（1）先证明∠CPM+∠APB=90°，推出∠CPM=∠PAB，即可证明结论；
（2）证明Rt△ADN≌Rt△AEN(HL)，推出DN=EN，据此即可求解；
1
（3）设PB=x，则CP=2−x．由△CMP∽△BPA，推出CM= x(2−x)．得到当DM最小时，AM
2
1 1 3
最小．推出DM=DC−CM=2− x(2−x)= (x−1) 2+ ，利用二次函数的性质即可求解．
2 2 2【详解】（1）证明：由折叠知∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN．
∵点C，P，B共线，
∴2∠CPM+2∠APB=180°，
∴∠CPM+∠APB=90°．
∵∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA；
（2）解：∵将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，
∴AE=AB，∠AEP=∠AEN=∠ABP=90°，PE=PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=AE，∠ADC=∠AEN．
∵AN是公共边，
∴Rt△ADN≌Rt△AEN(HL)，
∴DN=EN，
∴△CNP的周长=CN+EN+EP+CP=CD+CB=4；
（3）解：设PB=x，则CP=2−x．
∵△CMP∽△BPA，
PB AB
∴ = ，
CM PC
1
∴CM= x(2−x)．
2
∵AM=√AD2+DM2=√4+DM2，
∴当DM最小时，AM最小．
1 1 3
∵DM=DC−CM=2− x(2−x)= (x−1) 2+ ，
2 2 23
∴当x=1时，DM的最小值为 ，
2
√ (3) 2 5
∴AM的最小值= 4+ = ．
2 2
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与
性质、勾股定理、二次函数最值等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用
辅助线，属于中考压轴题．
题型九：图形运动问题
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=9cm,AB=15cm．动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿边
AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=90°，另一边PQ与射线AC相交于点Q，以AP,AQ为
边作平行四边形APMQ．设点P的运动时间为x(s)，平行四边形APMQ与△ABC重叠部分图形的面积
为y(cm2)．
(1)当点Q在边AC上时，AQ的长为____________cm；(用含x的代数式表示)
(2)当点M落在边BC上时，求x的值；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)5x
60
(2)
41
(3)y=¿
【分析】（1）根据勾股定理得到AC=12cm，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）当点M落在边BC上时，如图1，根据平行四边形的性质得到PM=AQ=5x，PB=15−4x，
PM∥AC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
60 60 12 12 15
（3）当00)，△PAQ的面积为S(cm2 )．
(1)当点P与点C重合时，t=________s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．
7
【答案】(1)
2
(2)S=¿(3)2或4
【分析】（1）先计算出点P与点C重合时运动的路程，再根据运动速度即可求出运动时间；
（2）分情况讨论：当00
∴当x=1时,y =0.5米．
min
2.如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于
10
水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的
x
连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B
的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 21
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2
2
16
(2) 米
3
(3)7≤OD≤12
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的
顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2
米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【详解】（1）解：依题意，B点到地面的距离为2米，
10
设B点坐标为(x，2)，代入 y= ，
x
解得x=5，
∵C点距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2 米，
∴C的坐标 (√2+5，1)，
由题意得：B(5，2)，
故设滑道BCD所在抛物线的解析式为 y=a(x−5) 2+2，
将C的坐标(√2+5，1)代入，得 a(√2+5−5) 2+2=1，
1
解得：a=− ，
2
1
则 y=− (x−5) 2+2；
2
1
（2）令y=0，− (x−5) 2+2=0，
2
解得：x =7,x =3 (不合题意，舍去)，
1 2
10
又将 y=6 代入 y= ，
x
5
解得 x= ，
3
5 16
甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离为 7− = (米)．
3 3
（3）根据上面所得B (5，2)，D (7，0)时，此时∠BDO=45°，则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7，
OP 1
又∵ ≥ ，
OD 2
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助
二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
1
3.某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线y= x2 的形状，现按操作要求，电缆
100
最低点离水平地面不得小于6米．
(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有
多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20
米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
【答案】(1)22米
(2)14.75米
【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；
（2）以点D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物
线的解析式为 y= 1 x2− 3 x+20 ，直线 DE 的解析式为 y= 1 x ，设 M ( m, 1 m2− 3 m+20 )
100 10 5 100 10
为抛物线上一点，过点M作 轴于F，交 于G，则 ( 1 )，由
(01，
17+5√201
∴m= ，
128( 17+5√201)
∴M 1， ；
128
当点M在BC的下方时，如图3，
，
17−5√201
同理可得：m= ，
128
( 17−5√201)
∴M 1， ；
128
( 17+5√201) ( 17−5√201)
综上所述，M点坐标为 1， 或 1， ．
128 128
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，翻折变
换的性质，解直角 ，二次函数的图象和性质，涉及知识点多，难度较大，添加辅助线构造相似三角形是
解此题的关键．
6.如图，已知抛物线y= 1 (x+ ℎ) 2+k．点A(−1,2)在抛物线的对称轴上，B ( 0, 5) 是抛物线与y轴的交
4 4
点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
(1)直接写出ℎ，k的值；
(2)如图，若点D的坐标为(3,m)，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．
【答案】(1)h=1，k=1
( 15)
(2)存在，最小值为√74+1，Q 0,
7
(3)D(2√3−1,4)
【分析】（1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案；
1 1
（2）由（1）可知y= (x+1) 2+1，求得D(3,5)，作C点关于直线x=− 的对称点C'，连接C'D交抛物
4 2
线对称轴于点K，连接CQ，当C'、K、D三点共线时，C'D有最小值，即DK+KQ+QC的值最小，利用
坐标点的距离公式，得到C'D=√74，即可求出DK+KQ+QC的最小值，再利用待定系数法求出直线
5 20
C'D的解析式为y= x+ ，进而得到点K的坐标，即可求得点Q的坐标．
7 7
（3）如图，过D作DE⊥AC于E，设D ( m, 1 m2+ 1 m+ 5) ，则C(m,0)，可得
4 2 4
CD2=
(1
m2+
1
m+
5) 2
，DE2=
3
AD2 CE2=AC2−AC⋅AD+
1
AD2 ，
4 2 4 4 4
DE2+CE2=AD2+AC2−AC⋅AD，而CD2=DE2+CE2，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：∵点A(−1,2)在抛物线的对称轴上，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴h=1，
1
∴y= (x+1) 2+k，
4
( 5)
∵B 0, 是抛物线与y轴的交点，
4
1 5
∴ +k= ，
4 4
∴k=1；
（2）解：存在最小值，理由如下：
1
由（1）可知，y= (x+1) 2+1，
4∵点D是抛物线上一点，坐标为(3,m)，
1
∴m= ×(3+1) 2+1=5，
4
∴D(3,5)，
1
作C点关于直线x=− 的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，
2
由对称性可知，C'K=CQ，
∴DK+KQ+QC=DK+KQ+C'K≥C'D+KQ，
当C'、K、D三点共线时，C'D有最小值，即DK+KQ+QC的值最小，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，QK与抛物线对称轴垂直，
∴KQ=1，
∵D(3,5)，CD⊥x轴，
∴C(3,0)，
∴C'(−4,0)，
∴C'D=√(3+4) 2+(5−0) 2=√74，
∴DK+KQ+QC的最小值为√74+1，
设直线C'D的解析式为y=kx+b，
∴¿，
解得：¿，
5 20
∴直线C'D的解析式为y= x+ ，
7 7
5 20 15
令x=−1，则y=− + = ，
7 7 7
( 15)
∴K −1, ，
7( 15)
∴Q 0, ．
7
1 1 1 5
（3）∵y= (x+1) 2+1= x2+ x+ ，
4 4 2 4
如图，过D作DE⊥AC于E，设D ( m, 1 m2+ 1 m+ 5) ，则C(m,0)，
4 2 4
∴CD2=
(1
m2+
1
m+
5) 2
，
4 2 4
∵∠DAC=60°，
3 1
∴DE2=(AD⋅sin60°) 2= AD2 ，CE2=(AC−AD⋅cos60°) 2=AC2−AC⋅AD+ AD2
，
4 4
∴DE2+CE2=AD2+AC2−AC⋅AD
=(m+1) 2+4+ (1 m2+ 1 m+ 5 −2 ) 2 +(m+1) 2− √ (m+1) 2+ (1 m2+ 1 m− 3) 2 ⋅ √(m+1) 2+4，
4 2 4 4 2 4
而CD2=DE2+CE2，
解得：m=±2√3−1，
∵D在第二象限，则m>0，
∴m=2√3−1，
∴D(2√3−1,4).
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法
求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
7.抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）．（1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标；
②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标；
（2）如图（3）， 是原点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段 ， （不
含端点）于 ， 两点，若直线 与抛物线只有一个公共点，求证 的值是定值．
【答案】（1）① ， ；②点 的坐标是 ．（2）见解析
【分析】
（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出 ，点E在抛物线上，求出纵坐标为 ，再根据
平行四边形的性质，求出 ；
②连 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，设点 坐标为 ，点
坐标为 ，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到 ，再由则
，列出方程求解；
（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用
求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线 与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点 坐标为 ，点 坐标为 ，再求出结果．
【详解】
（1）解：①∵抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边），
∴令 =0，解得： ， ，
∴ ，
∵点E在抛物线上，点 的横坐标是 ，
∴ ，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴
∴ ；
②设点 坐标为 ，点 坐标为 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴将 沿 平移可与 重合，点 坐标为 ．
∵点 在抛物线上，∴ ．
解得， ，所以 ．
连 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ．
则 ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，解得 ， （不合题意，舍去）．∴点 的坐标是 ．
（2）方法一：证明：依题意，得 ， ，∴
设直线 解析式为 ，则 ，解得 ．
∴直线 的解析式为 ．
同理，直线 的解析式为 ．
设直线 的解析式为 ．
联立 ，消去 得 ．
∵直线 与抛物线只有一个公共点，
∴ ， ．
联立 ，且 ，解得， ，
同理，得 ．
∵ ， 两点关于 轴对称，∴ ．
∴ ．
∴ 的值为 ．
方法二：证明：同方法一得直线 的解析式为 ．设直线 的解析式为 ， 与抛物线唯一公共点为 ．
联立 ，消去 得 ，∴ ．
解得 ．∴直线 的解析式为 ．
联立 ，且 ，解得 ．
∴点 坐标为 ．同理，点 坐标为 ．
∵ ，∴ ．
∴ 的值为 ．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是
学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题．
题型二：面积周长问题
1
1.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
2
侧），与y轴交于点C，其中OA=2，b−c=−4．
(1)求B，C的坐标；
S
(2)如图②，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD，BC，BD，OD交BC于点E，当 △DBE的
S
△OBES
值最大时，求此时点D的坐标及 △DBE 的最大值．
S
△OBE
【答案】(1)B(6,0)，C(0,6)
(2)当 S △DBE的值最大时，此时点D的坐标为 ( 3, 15) ，此时 S △DBE的最大值为 3
S 2 S 4
△OBE △OBE
【分析】（1）根据题意，可确定点A的坐标，代入抛物线，与联立b−c=−4方程组求解即可；
S DE S DE
（2）根据题意，设点B到OD的距离为h，可得 △DBE= ，则 △DBE 的最大值即 的最大值，如图
S OE S OE
△OBE △OBE
DE 1 3
所示，过点D作DF⊥x轴交BC与点F，可证△DFE∽△OCE，可得 =− (a−3) 2+ ，根据
OE 12 4
抛物线的顶点式的知识即可求解．
1
【详解】（1）解：∵抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A，OA=2，且点A在x轴的负半轴上，
2
∴A(−2,0)，
1
∴− ×(−2) 2−2b+c=0，整理得，−2b+c=2，
2
∵b−c=−4，
∴联立方程组得，¿，解得，¿，
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+2x+6，
2
1
令y=0，则− x2+2x+6=0，整理得，x2−4x−12=0，解得，x =−2，x =6，
2 1 2
∵A(−2,0)，
∴B(6,0)，
令x=0，则y=6，
∴C(0,6)，
∴B(6,0)，C(0,6)．
（2）解：设点B到OD的距离为h，
1
DE·h
S 2 DE S DE
∴ △DBE= = ，则 △DBE 的最大值即 的最大值，
S 1 OE S OE
△OBE OE·h △OBE
2
如图所示，过点D作DF⊥x轴交BC与点F，∵B(6,0)，C(0,6)，设BC所在直线的解析式为y=kx+n(k≠0)，
∴¿，解得，¿，
∴直线BC的解析式为y=−x+6，
1
∵点D在抛物线y=− x2+2x+6，点F在BC上，
2
∴设D ( a,− 1 a2+2a+6 ) (00)个单位，所得的拋物线与x轴的左交点为M，与y轴的交点为N，若
∠NMO=∠CAO，求m的值.
2 4
【答案】(1)y=− x2+ x+2
3 3
(2)m=2或4
【分析】（1）将A、C坐标代入抛物线解析式，求得b、c,即可得解；
（2）表示出平移后的抛物线的解析式，从而求得OM和ON的长，根据 tan∠NMO=tan∠CAO可得
ON OC
= ，进而即可求解．
OM OA
2
【详解】（1）解：∵抛物线L:y=− x2+bx+c与y轴的交点为C(0,2)，与x轴的交点分别为A(3,0)、
3
∴ ¿
解得： ¿
2 4
∴抛物线的表达式为：y=− x2+ x+2；
3 32 4
（2）∵抛物线的表达式为：y=− x2+ x+2
3 3
2 4
令y=0，得；− x2+ x+2=0
3 3
解得：x =−1，x =3，
1 2
∴B(−1，0)，
2 4
∵平移后的抛物线的解析式为：y=− (x+m) 2+ (x+m)+2
3 3
2 4 2
当x=0时，y=− m2+ m+2=− (m+1)(m−3)
3 3 3
( 2 )
∴ N 0，− (m+1)(m−3)
3
∵所得的抛物线与x轴的左交点为M，
∴M(−1−m,0)，
∵∠NMO=∠CAO，
∴tan∠NMO=tan∠CAO，
2
ON OC |− (m+1)(m−3)|
∴ = ，即 3 2
OM OA =
|−1−m| 3
解得：m=2或4
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，图象平移的规律等知识，解决问题的关键是求出
抛物线平移后的解析式．
1
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线
2
1
y=− x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
2(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行
四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+2
2 2
(2)(2,3)
(3)(2,1)或(2−2√2,1+√2)或(2+2√2,1−√2)
【分析】（1）求得A,B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b,c的值，获得抛物线的解析式．
（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
（3）根据题意可得EF=OB，以EF=OB的关系建立方程求解即可．
1
【详解】（1）解：在y=− x+2中，令y=0，得x=4，令x=0，得y=2
2
∴A(4，0),B(0，2)，
1
把A(4，0),B(0，2)代入y=− x2+bx+c，得
2
¿，解得¿，
1 3
∴抛物线得解析式为y=− x2+ x+2；
2 2
（2）解：由（1）得：OA=4,OB=2，
如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为G，∵BE∥x轴，
∴∠BAC=∠ABE，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=2∠ABE
即∠DBE+∠ABE=2∠ABE，
∴∠DBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠BAC
设D点的坐标为 ( x,− 1 x2+ 3 x+2 ) ，则BG=x,DG=− 1 x2+ 3 x
2 2 2 2
DG
∵tan∠DBE= ，
BG
BO DG BO
∴tan∠BAC= ， = ，
AO BG AO
1 3
− x2+ x
∴ 2 2 2
=
x 4
解得x =0（舍去），x =2，
1 2
1 3
当x=2时，− x2+ x+2=3，
2 2
∴点D的坐标为(2,3)；
（3）解：如图，
∵EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴EF=OB，
设 E ( m,− 1 m+2 ) ,F ( m,− 1 m2+ 3 m+2 ) ，
2 2 2EF= |( − 1 m+2 ) − ( − 1 m2+ 3 m+2 )| =2，
2 2 2
解得 m =2,m =2−2√2,m =2+2√2，
1 2 3
∴E点的坐标为(2,1)或(2−2√2,1+√2)或(2+2√2,1−√2)．
【点睛】本题考查了待定系数法，2倍角关系和平行四边形点存在类问题，将2倍角关系转化为等角关系
是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到EF=OB是(3)问题的解题关键，本题综合难度不
大．
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点 是
抛物线上一动点．
（1）如图1，当 ， ，且 时，
①求点M的坐标：
②若点 在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作
，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点 在对称轴上，当 ， ，且直线EM交x
轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为 ，
连接GF．若 ，求证：射线FE平分 ．
【答案】（1）① ；② ，见解析；（2）见解析
【分析】（1）①直接将点 代入解析式，又有 ，
即可解出坐标；②相等，先求出点 ，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定
理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；
（2）根据已知条件求出点 的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与 轴的交点，添加辅助线，
利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边
长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．
【详解】
解：（1）如答案图6.
① 点 在抛物线上，且 ，
，解得 ，（舍去）
，
， ．
② ，
点 在该抛物线上，
， ．
设直线MB交x轴于点H，解析式为 ，
解得
当 时， ，
， ．
过点M作 轴，垂足为R，， ，
，
根据勾股定理得 ，
，
． ，
， ， ，
， ．
（2）如答案图7.
证明：对称轴 ， ，
， ，
．过点M作 轴，垂足为Q，
， ，
．
当 时，解得 ， ，
．
， ，
，
． ，
．
设直线EM的解析式为 ，解得
．设直线EM交y轴于点S，过点S作 ，垂足为P ．
当 时， ．
．当 时， ，
，
， ．
，
，
．
， ，
，
， ．
设 ，则 ．
在 中，
，
．
（负值舍去），
， ，
．
， ，
射线FE平分 ．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判
定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关
知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于点A(−4,0)和点B(2,0)，与y轴
交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如果点D的坐标为(−8,0)，连接AC、DC，点P为抛物线上一点，当∠OCP=∠DCA时，求点P
的坐标．
1
【答案】(1)y= x2+x−4，C(0,−4)
2
(2)P(4,8)或P(−8,20)
【分析】（1）将A(−4,0)和B(2,0)代入y=ax2+bx−4即可求解；
（2）根据∠OCP=∠DCA，则tan∠OCP=tan∠DCA，分P在y轴右侧和左侧两种情况分别计算．
【详解】（1）解：将A(−4,0)和B(2,0)代入y=ax2+bx−4得：
¿，
解得¿，
1
∴抛物线y= x2+x−4，
2
当x=0时，y=−4，
∴C(0,−4)，
（2）解：当P在y轴右侧时，如图：1
设P(m, m2+m−4)，
2
1
∴PE=m，EC= m2+m，
2
∵∠OCP=∠DCA，
过点A作CD的垂线，交于F，
1 1
∵S =S −S = ×8×4− ×4×4=8，
△ACD △OCD △AOC 2 2
1
∵ AF⋅CD=8，
2
1
即 AF×4√5=8，
2
4√5
解得：AF= ，
5
AF CO 1
∵tan∠ADF= = = ，
DF DO 2
8√5
∴DF= ，
5
12√5
∴CF=CD−DF= ，
54√5
AF 5 1
∴tan∠DCA= = =
CF 12√5 3
5
1
∴tan∠OCP=tan∠DCA=
3
m 1
=
∴ 1 3，
m2+m
2
解得m =4，m =0（舍），
1 2
∴P(4,8)，
当P在y轴左侧时，如图：
1
设P(m, m2+m−4)，
2
1
∴PE=−m，EC= m2+m，
2
−m 1
=
同理可得：1 3，
m2+m
2
解得m =−8，m =0（舍），
1 2
∴P(−8,20)，
综上所述：P(4,8)或P(−8,20)．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数值、以及角的存
在性等知识，解题的关键是掌握由两个角相等，则这两个角的正切值也相等．
题型四：特殊三角形问题
1.已知经过原点O的抛物线y=−x2+4x与x轴的另一个交点为A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)点B是OA的中点，点N是y轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点M，使得△OMN
与△OBM全等，且点B与点N为对应点，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(4,0)，直线x=2(2)存在，点M的坐标为(2,4)或(3,3)
【分析】（1）由−x2+4x=0可求得A点坐标，根据抛物线的对称轴公式即可求解；
（2）分两种情况，①当△OMN≌△MOB时，②当△OMN≌△OBM时，根据全等三角形的性质
即可求得结果．
【详解】（1）解：∵过原点O的抛物线y=−x2+4x与x轴的另一个交点为A．
令y=0，则−x2+4x=0，解得x =0，x =4，
1 2
∴A(4,0)，
∵抛物线y=−x2+4x，
4
∴抛物线的对称轴为x=− =2，
−2
∴A(4,0)，抛物线的对称轴为直线x=2；
（2）∵点B是OA的中点，
∴B(2,0)，
①当△OMN≌△MOB时，
∵△OMN≌△MOB，
∴∠MON=∠OMB，∠OMN=∠MOB，
∴BM∥ON，MN∥OB，
∵B(2,0)，抛物线y=−x2+4x，
∴y=−x2+4x=4，
∴M(2,4)；
②当△OMN≌△OBM时，过点M作MH⊥x轴于H，∵△OMN≌△OBM，
∴∠NOM=∠BOM=45°，
∴OH=MH，
设M(m,−m2+4m)，
∴−m2+4m=m，解得m =3，m =0（舍去），
1 2
∴点M (3,3)，
综上所述：存在，点M的坐标为(2,4)或(3,3)．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质等知识，解
决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象性质以及全等三角形的判定和性质．
2.如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C．
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出
点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存
在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
4
【答案】(1)D(0， )
3
−1+√13 1−√13 −1−√13 1+√13
(2)存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，E( ， )或( ，
2 2 2 2
)
(3)存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的点F(−2，1)或( √5，√5 +3)或(−
√5，3− √5 )
(4)存在点K，使△AHK是等腰三角形，K点坐标为(1，0)或(2 √5 −3，0)或(−2 √5 −3，0)或(2，
0)
(5)存在点G，使△ACG是等腰三角形，G点坐标为(−1，1)或(−1，√14 )或(−1，− √14 )或(−1，
3+ √17 )或(−1，3− √17 )
4
【分析】（1）设D(0，t)，由DC=BD，则|3−t|= √1+t2，求出t即可求D(0， )；
3
（2）点E在线段AC的垂直平分线上，再由△AOC是等腰直角三角形可得AC垂直的直线为y=−x，联
立方程组¿即可求E点坐标；
（3）设F(t，t+3)，由BC=BF和BC=CF，建立方程求出t的值，即可求出答案；
（4）求出顶点H(−1，4)，设K(m，0)，分三种情况讨论：①当AH=HK时，可得K(1，0)；②当
AH=AK时，可得．K(2 √5 −3，0)或(−2 √5 −3，0)；③当HK=AK时，可得K(2，0)；
（5）设G(−1，t)，分三种情况讨论∶①当AG=CG时，可得G(−1，1)；②当AG=AC时，可得
G(−1，√14 )或(−1，− √14 )；③当AC=CG时，可得G(−1，3+ √17 )或(−1，3− √17 )．
【详解】（1）解：令x=0，则y=3，
∴C(0，3)，
令y=0，则x=−3，
∴A(−3，0)，
令y=0，则−x2−2x+3=0，
解得x=−3或x=1，
∴B(1，0)，
设D(0，t)，
∴DC=BD，
∴|3−t|= √1+t2，
4
解得t= ，
34
∴D(0， )；
3
（2）解：存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，理由如下：
∵A(−3，0)，C(0，3)，
3 3
∴AC的中点为(− ， )，
2 2
∵OC=OA，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴过AC的中点与AC垂直的直线为y=−x，
联立方程组¿，
解得¿或¿，
−1+√13 1−√13 −1−√13 1+√13
∴E( ， )或( ， )；
2 2 2 2
（3）解：存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形，理由如下：
设F(t，t+3)，
当BC=BF时，
∴(t−1) 2+(t+3) 2=10，
解得t=0(舍去)或t=−2，
∴F(−2，1)；
当BC=CF时，t2+t2=10，
∴t=± √5，
∴F( √5，√5 +3)或(− √5，3− √5 )，
即满足条件的点F(−2，1)或( √5，√5 +3)或(− √5，3− √5 )；
（4）解：存在点K，使△AHK是等腰三角形，理由如下：
∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴顶点H(−1，4)，
设K(m，0)，
①当AH=HK时，4+16=(m+1) 2+16，
解得m=1或m=−3(舍)，
∴K(1，0)；
②当AH=AK时，4+16=(m+3) 2，解得m=2 √5 −3或m=−2 √5 −3，
∴K(2 √5 −3，0)或(−2 √5 −3，0)；
③当HK=AK时，(m+1) 2+16=(m+3) 2，
解得m=2，
∴K(2，0)；
综上所述：K点坐标为(1，0)或(2 √5 −3，0)或(−2 √5 −3，0)或(2，0)；
（5）解：存在点G，使△ACG是等腰三角形，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
设G(−1，t)，
①当AG=CG时，4+t2=1+(t−3) 2，
解得t=1，
∴G(−1，1)；
②当AG=AC时，4+t2=18，
解得t= ±√14，
∴G(−1，√14 )或(−1，− √14 )；
③当AC=CG时，1+(t−3) 2=18，
解得t=3+ √17或t=3− √17，
∴G(−1，3+ √17 )或(−1，3− √17 )；
综上所述：G点坐标为(−1，1)或(−1，√14 )或(−1，− √14 )或(−1，3+ √17 )或(−1，3− √17
)．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角
三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
题型五：特殊四边形问题
1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线l:x=−1，且与y轴的交点坐标为(0,−1)，直线l与x
轴相交于点C．(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．设
点P的横坐标为m．当四边形APBC为正方形时，求m的值．
【答案】(1)y=x2+2x−1
(2)0或1
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；
（2）根据题意可得P(m,m2+2m−1),A(m,0),m>−1，再由正方形的性质可得PA=AC，从而得到关
于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−1；
（2）解：∵直线l:x=−1与x轴相交于点C．
∴点C(−1,0)，
∵PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m．
∴P(m,m2+2m−1),A(m,0),m>−1，
∴AC=m−(−1)=m+1，PA=|m2+2m−1|，
∵四边形APBC为正方形，
∴PA=AC，
∴m+1=|m2+2m−1|，
解得：m=−2（舍去）或m=1或m=−3（舍去）或m=0，
综上所述，m的值为0或1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形
结合思想解答是解题的关键．
2.已知抛物线 ．(1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交于点 ．是否
存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ，以线段 为
边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交点，求 的取值范围．
【答案】(1)① ，②存在，点P坐标为(2，-3)或（ ，- ），理由见解析
(2)b< 或b>
【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-
2m-3）若点 是线段 的三等分点，则 或 ，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得
出点E的坐标．再根据该抛物线与线段 没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）
进行讨论，求出b的取值范围．
(1)
①解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得
，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）
若点 是线段 的三等分点，
则 或 ，
即 或 ，
解得：m=2或m= 或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m=
∴点P坐标为(2，-3)或（ ，- ）
(2)解：把点D（-3，0）代入直线 ，解得n=4，
∴直线 ，
当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD= =5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）∵点 在抛物线 上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴ ，
∵该抛物线与线段 没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-9<4
解得：b<
当CE在抛物线右侧时，
3b-9>4
解得：b>
综上所述，b< 或b>
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．
3.如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x−5经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线y=t交抛物线于点P、Q，抛物线的顶点为D，四边形DPEQ为菱形．
①当t=3时，求菱形DPEQ的面积；
②当点E落在△ABC内部（不含边上）时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)y=−x2+6x−5
(2)①2；②1
