专题 13 二次函数的图像与性质
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：二次函数的定义................................................................................................................................3
考点二：二次函数的图像与性质....................................................................................................................3
考点三：二次函数图像变换............................................................................................................................4
考点四：二次函数的最值问题........................................................................................................................5
考点五：二次函数的图象与各项系数之间的关系........................................................................................6
考点六：二次函数与一元二次方程之间的关系............................................................................................6
模块二：题型分类....................................................................................................................................................7
考点一：二次函数相关概念............................................................................................................................7
题型一：判断函数类型..............................................................7
题型二：判断二次函数..............................................................8
题型三：已知二次函数的概念求参数值................................................8
题型四：二次函数的一般形式........................................................8
题型五：利用待定系数法求二次函数的解析式..........................................9
考点二：二次函数的图象与性质..................................................................................................................11
题型一：根据二次函数解析式判断其性质.............................................11
题型二：将二次函数的一般式化为顶点式.............................................11
题型三：利用五点法绘二次函数图象.................................................12
题型四：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质...........................................13
题型五：二次函数增减性比大小.....................................................14
题型六：二次函数平移变换问题.....................................................14
题型七：已知抛物线对称的两点求对称轴.............................................15
题型八：根据二次函数的对称性求函数值.............................................16
题型九：根据二次函数的性质求最值.................................................16
题型十：根据二次函数的对称性求字母的取值范围.....................................17
题型十一：根据二次函数的最值求字母的取值范围.....................................17
题型十二：根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围.....................18
题型十三：根据二次函数的增减性求字母的取值范围...................................18
考点三：二次函数与各项系数之间的关系..................................................................................................19
题型一：二次函数判断各项系数及代数式.............................................19
题型二：二次函数、一次函数综合...................................................23
题型三：二次函数、一次函数、反比例函数图象综合...................................24
题型四：两个二次函数图象综合.....................................................25
考点四：二次函数与方程、不等式..............................................................................................................25
题型一：求二次函数与坐标轴交点坐标...............................................25
题型二：求二次函数与坐标轴交点个数...............................................26
题型三：抛物线与x轴交点问题.....................................................26
题型四：根据二次函数图象确定相应方程根的情况.....................................26
题型五：图象法确定一元二次方程的近似根...........................................27
题型六：求x轴与抛物线的截线长...................................................29
题型七：图象法解一元二次不等式...................................................29
题型八：根据交点确定不等式的解集.................................................30
题型九：二次函数与斜三角形相结合的应用方法.......................................31专题 13 二次函数的图像与性质
模块一：基础知识
考点一： 二次函数的定义
1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别
是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠ 0) ，
它直接显示二次函数的顶点坐标是 ( h ， k ) ；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2
其中x，x 是图象与x轴交点的 横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解
析式的这三种形式可以互化.
考点二：二次函数的图像与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
a>0 k>0
h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
图
象 y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
(− ，
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
)
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
值
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
考点三： 二次函数图像变换
1.二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
（或 ）
2.二次函数图象的翻折与旋转：
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
考点四：二次函数的最值问题自变量取值范围 图象 最大值 最小值
b
y 当x=− 时，二次函数
2a
x
4ac−b2
a>0 取得最小值
O 4a
全体实数 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
4ac−b2
a<0 数取得最大值
x 4a
O
y 当x=x 时，二次函数取 b
2 当x=− 时，二次函数
得最大值y 2a
y 2
2
x
4ac−b2
取得最小值
x O x 4a
1 2
y
当x=x
1
时，二次函数取
当x=−
b
时，二次函数
得最大值y 2a
1
y
1 4ac−b2
x 取得最小值
x x 4a
1 2
y
2
x ≤x≤x a>0
1 2
当x=x 时，二次函数取 当x=x 时，二次函数取
y 2 1
得最大值y 得最小值y
2 1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
考点 五 ：二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次函数的图象与各项系数之间的关系
（1）a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
（2）b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是
“左同右异”
（3）c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
（1）a+b+c表示当x=1 时y=ax2＋bx＋c（a≠0）对应的y值；
（2）a-b+c表示当x=-1 时y=ax2＋bx＋c（a≠0）对应的y值；
（3）4a+2b+c表示当x=2 时y=ax2＋bx＋c（a≠0）对应的y值；
（4）4a-2b+c表示当x=-2 时y=ax2＋bx＋c（a≠0）对应的y值；
其他特殊值类似
考点 六 ：二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴
的交点
a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
当b2－4ac＜0时
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ．
模块二：题型分类
考点一：二次函数相关概念
题型一：判断函数类型
1.下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径R之间的关系
2.线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方
形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y
与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M
从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长
的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的
函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
4.如图，某小区有一块三角形绿地ABC，其中∠B=90°，AB=BC．计划在绿地上建造一个矩形的休
闲书吧PMBN，使点P，M，N分别在边AC，BC，AB上．记PM=xm，PN= ym，图中阴影部分的
面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分
别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
题型二：判断二次函数
1.下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）3
A．y＝3x+1 B．y= C．y=√x2+1 D．y＝2x2+1
x
2.下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=x+ B．y=ax2+bx+c C．y=3(x−1) 2 D．y=3x
3
3.以下函数式二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．y=(2x−1) 2−4x2 .
a b
C． y= + +c(a≠0) D．y=(x−1)(x−2)
x2 x
4.关于x的函数y=(a−b)x2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠b B．a=b C．b=0 D．a=0
题型三：已知二次函数的概念求参数值
1.已知y＝（m﹣3）x2﹣2x+5是二次函数，则常数m的取值范围是 ．
2.若y=(m2+m)xm2−m是二次函数，则m的值等于（ ）
A．−1 B．0 C．2 D．−1或2
3.若函数y＝（a﹣1）x（b+1）+x2+1（x≠0）是二次函数，试讨论a、b的取值范围．
题型四：二次函数的一般形式
1.下列函数中，如果是二次函数，请把它化为一般式并指出相应的a、b、c的值．
1
（1）y= （x﹣1）（x+3）；
2
（2）y＝x（2x−√5）+13；
（3）y＝3（x2+2）﹣3（1﹣x）2；
（4）y＝（2x+3）（3x﹣4）﹣x（4x+1）．
2.将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（ ）
A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
题型五：利用待定系数法求二次函数的解析式
题组一：一般式
1.已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．求这个二次函数的表达式；
2.抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 6y 0 4 6 1
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为
3.二次函数=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个
数有（ ）
①ac<0
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；
③4是方程ax2+(b−2)x+c+9=0的一个根；
④当−1<x<3时，ax2+(b−1)x+c>0
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c … 1 m −2 −2 n …
1
且当x=− 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②−2和3是关于x的方程
2
20
ax²+bx+c=1的两个根，③0<m+n< ．其中，正确结论的个数是（ ）
3
A．0 B．1 C．2 D．35.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
6.已知二次方程x2+bx+c=0的两根为−1和5，则对于二次函数y=x2+bx+c，下列叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，函数的最大值是9． B．当x=−2时，函数的最大值是9．
C．当x=2时，函数的最小值是−9． D．当x=−2时，函数的最小值是−9．
题组二：顶点式
1.一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（
）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝﹣2（x﹣2）2+4
C．y＝2（x+2）2﹣4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
1
2.抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y= x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析
2
式为（ ）
1 1
A．y=− （x+3）2+5 B．y=− （x﹣3）2﹣5
2 2
1 1
C．y= （x+3）2+5 D．y= （x﹣3）2﹣5
2 2
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值
为 ．
4.一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同，且顶点为(1，4)，那么这个函数的关系式是 ．
题组三：交点式
1.已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为
．
2.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)和(0,3)，当x=2时，y的值为 ．
3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(−1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C，且OC=3．
（1）抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值s(1≤s≤2)，设h为点M，N
的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为 ．考点二：二次函数的图象与性质
题型一：根据二次函数解析式判断其性质
1.下列关于二次函数y=(x−2) 2−3的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点
C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2,−3)
2.关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0) D．y的最小值为−9
3.二次函数y=−x2−1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当x=0时，函数的最大值是−1
C．对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点
4.下列关于抛物线y=x2+4x−5的说法正确的是（ ）
①开口方向向上；②对称轴是直线x=−4；③当x<−2时，y随x的增大而减小；④当x<−5或x>1时，
y>0．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
1
5.抛物线y=a(x−ℎ) 2+k（a、h、k是常数，a<0，0< ℎ < ）过点A(−1,0)．下列四个结论：①k<0；
2
②该抛物线经过点(2ℎ +1,0)；③一元二次方程a(x−ℎ) 2+k=0的一个根在1和2之间；④点P
1
(x
1
,y
1
)，
P (x ,y )在抛物线上，当实数−1<x <2<x 时，y >y ．其中正确的结论是 （填写序号）．
2 2 2 1 2 1 2
6.已知整式M=a2−2a，下列关于整式M的值的结论：
①M的值可能为4； ②当a>1时，M的值随a的增大而增大；
③当a为小于0的实数时，M的值大于0； ④不存在这样的实数a，使得M的值小于−1．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
7.已知抛物线y=mx2−4mx过点A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y )，其中y =−4m，以下结论正确的是（
1 1 2 2 1 3 2
）
A．若|x −x |≤|x −x |，则y ≥ y ≥ y B．若|x −x |≥|x −x |，则y ≥ y ≥ y
1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1C．若y <y ≤ y ，则|x −x |<|x −x | D．若y <y ≤ y ，则|x −x |>|x −x |
1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3
题型二：将二次函数的一般式化为顶点式
1.将二次函数y=x2+4x−7化为y=a(x+ ℎ) 2+k的形式，正确的是（ ）
A．y=(x+4) 2−7 B．y=(x+2) 2−11
C．y=(x+2) 2−7 D．y=(x+2) 2−15
2.关于二次函数y=−x2+2x+2的最值，说法正确的是（ ）
A．最小值为 1 B．最小值为 2 C．最大值为 3 D．最大值为−1
3.抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象上，则b的最小值为 ．
4.若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是 ．
5.已知二次函数y=−x2+4x−3．
(1)用配方法将函数y=−x2+4x−3的解析式化为y=a(x+m) 2+k的形式，并指出该函数图像的对称轴
和顶点坐标；
(2)设该函数的图像与x轴交于点A、B，点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点记作D，求四边形
ADBC的面积．
题型三：利用五点法绘二次函数图象
1.已知，抛物线y=2x2−4．
(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出y=2x2−4的图象．
(2)将y=2x2−4的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式．
2.如上右2图，请结合图像完成下列问题：(1)请在图中画出函数：y=|x|+4的图像；
(2)结合图像直接写出方程：|x|+4=−x+6的解为：_______；
(3)在图中画出函数y=x2−2|x|+4的图像，并结合图像直接写出方程：x2−4|x|+3=x+3的解为：
．3.在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行
应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y=x2−2|x|（自变量x可以是任意实数）图象与性质进
行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：
(1)作图探究：
①下表是y与x的几组对应值：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 0 −1 0 n 8 …
m=___________，n=___________；
②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
(2)深入思考：
根据所作图象，回答下列问题：
①方程x2−2|x|=0的解是___________；
②如果y=x2−2|x|的图象与直线y=k有4个交点，则k的取值范围是___________；
(3)延伸思考：
将函数y=x2−2|x|的图象经过怎样的平移可得到y =(x+1) 2−2|x+1|−2的图象？请写出平移过程．
1
题型四：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.若二次函数y=a2x2+bx−c的图象过不同的六点A(−1,n)，B(5,n−1)，C(6,n+1)，D(4,y )，
1
E(√2,y )，F(2,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
2 1 3 3 2 1 1 2 3 1 3 22.已知a、b(0<a<b)为抛物线y=(x−c)(x−c−d)−2与x轴交点的横坐标，则|a−c|+|c−b|的值
是（ ）
A．b−a B．a−b C．a−b或b−a D．0
3.已知二次函数y=mx2+(1−m)x+2−m(m为常数，且m≠0)，则下列说法错误的是（ ）
A．当m=1时，函数图象的对称轴是y轴 B．当m=2时，函数图象过原点
1
C．当m>0时，函数有最小值 D．如果m<0，当x> 时，y随x的增大而减小
2
4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过不同的两点A(2−m,n)，B(m,n)，下列说法正确的是
（ ）
A．若m>2时都有n>c，则a<0 B．若m>1时都有n<c，则a<0
C．若m<0时都有n>c，则a>0 D．若m<0时都有n<c，则a>0
a 3
5.已知点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )均在抛物线y=− x2+ax+c其中y = a+c．下列说法正确
1 1 2 2 3 3 6 2 2
的是
A．若|x −x |≤|x −x |，则y ≥ y ≥ y B．若|x −x |≥|x −x |，则y ≥ y ≥ y
1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1
C．若y >y ≥ y ，则|x −x |<|x −x | D．若y >y ≥ y ，则|x −x |>|x −x |
1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 2 3
题型五：二次函数增减性比大小
1.若A(−6,y )，B(−3,y )，C(1,y )为二次函数y=x2−m图象上的三点，则y ，y ，y 的大小关系是
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
3 2 1 2 3 1 3 1 2 2 1 3
2.已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x
1
，x
2
，x
3
对应的函数值分别为y
1
，y
2
，y
3
．当−1<x
1
<0，1<x
2
<2，
x>3时，y，y，y 三者之间的大小关系是（ ）
3 1 2 3
A． B． C． D．
3.已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为y ，y ，y ．当﹣1＜x ＜0，1＜x
1 2 3 1 2 3 1 2
＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
题型六：二次函数平移变换问题
1.将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）A． B．
C． D．
2.将抛物线y=(x+3) 2向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过
原点．
3.若点P(m,n)在抛物线y=ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y=a(x+1) 2上的是（ ）
A．(m,n+1) B．(m+1,n) C．(m,n−1) D．(m−1,n)
4.将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是
A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点．
5.将抛物线y=x2−4x+5进行以下平移，平移后的抛物线顶点恰好落在坐标轴上的是（ ）
A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度
C．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
6.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛
物线的顶点坐标是 ．
7.在平面直角坐标系中将抛物线y=ax2−4ax+4a−4沿y轴平移后的顶点恰好落在了x轴上，则正确的
平移方式为（ ）
A．将抛物线向上平移2个单位 B．将抛物线向下平移2个单位
C．将抛物线向上平移4个单位 D．将抛物线向下平移4个单位
8.将抛物线y=−x2+(a+1)x+a(a>1)向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9.将抛物线y=ax2−2ax+1平移，使得平移后的抛物线与x轴相交于A、B两点，若AB=2，则下列平移
方式正确的是（ ）
A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
题型七：已知抛物线对称的两点求对称轴
1.已知二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a>0)，其图象过点A(0，2)，B(8，2)，则h的值应该是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点(m+1,m)，(3−m,m)，直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C的横坐标为 ．
3.如果抛物线y=ax2+bx+c经过(−6，−3)、(4，−3)，那么抛物线的对称轴是 ．
4.函数y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)的图象是由函数y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0)的图象x轴
上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
题型八：根据二次函数的对称性求函数值
1.二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0)的图象过点(5,6)，下列选项正确的是(
)
A．若对称轴为直线x=1，则a<0 B．若对称轴为直线x=2，则a<0
C．若对称轴为直线x=3，则a<0 D．若对称轴为直线x=4，则a>0
2.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)关于抛物线y=a(x+2) 2的对称轴对称的点的坐标是 ．
3.如果三点P (1,y )，P (3,y )和P (4,y )在抛物线y=−x2+6x+c的图象上，那y ，y ，y 之间的
1 1 2 2 3 3 1 2 3
大小关系是 ．
4.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−3,y )和(5,y )，顶点坐标为(m,n)，若y >y >n，则m的取值范围是
1 2 1 2
A．m<−3 B．m<1 C．m>1 D．m>5
5.已知点A(x ，y )，B(x ，y )在抛物线y=−(x−4) 2+m（m是常数）上．若x <4<x ，x +x >8，
1 1 2 2 1 2 1 2
则下列大小比较正确的是（ ）
A．y >y >m B．y >y >m C．m>y >y D．m>y >y
1 2 2 1 1 2 2 1
题型九：根据二次函数的性质求最值
1.已知函数y=x2−2x+3，当0≤x≤4时，y有最大值a，最小值b，则a+b的值为（ ）
A．13 B．5 C．11 D．14
2.若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值为n，则m+n=（ ）
A．−14 B．−6 C．−8 D．2
3.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出a+b+c
的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p= ，则其面积
2
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若p=5,c=2，则此三角形面积的
最大值为（ ）
√15
A．√3 B． C．√15 D．5
2
4.已知实数a≥0，b≥0，且a+b=4，记代数式w=a²+ab+b²，记w ，w 分别为代数式w的最大值与
1 2
最小值，则w −w 的值为 ．
1 2
5.若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值为n，则m+n=（ ）
A．−14 B．−6 C．−8 D．2
6.对于二次函数y=−(x−m) 2+1，已知m>3，当−1≤x≤3时，有下列说法：
①若y的最大值为−8，则m=4； ②若y的最小值为−8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为−3． 则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
7.在直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像过(m,b)，(m+1,a)两点.当b≥a，m<0时，二
次函数图象y=ax2+bx+c有最大值−2，a的最大值是 ．
题型十：根据二次函数的对称性求字母的取值范围
1.点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)上，存在正数m，使得−2<x <0且
1 1 2 2 1
m<x <m+1时，都有y ≠ y ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
A．1<m≤4 B．2<m≤4
C．0<m≤1或m≥4 D．1<m≤2或m≥4
2.已知抛物线y=x2+bx+c（c为常数）经过点(p,m)、(q,m)、(4,c)，当1≤q−p<6时，m的取值范围
为（ ）
15
A．c− ≤m<c+5 B．c−4≤m<c+5 C．
4
c<m≤c+5 D．c−3≤m<c+4
3.已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值−1，a可能为（ ）
A．−2 B．−1 C．0.5 D．1.54.二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为−5，则
a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
5.已知二次函数y=−x2+2ax+a+1，若对于−1<x<a范围内的任意自变量x，都有y>a+1，则a的取值
范围是 ．
6.若二次函数的解析式为y=(x−m)(x−1)(1≤m≤5)．若函数过(p,q)点和(p+5,q)点，则q的取值范围
为（ ）
9 25 9 25 9
A． ≤q≤ B．−4≤q≤− C．2≤q≤ D．− ≤q≤−2
4 4 4 4 4
7.在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b，其中a−b=4．
(1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函数的表达式．
(2)若(x ,y )、(x ,y )为此二次函数图象上两个不同点，当x +x =2时，y = y ，求a的值．
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)若点(−1,t)在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．
题型十一：根据二次函数的最值求字母的取值范围
1.已知抛物线y =x2，该抛物线经过平移得到新抛物线y ，新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横
1 2
坐标在1到2之间，若点P(1,p)，Q(2,q)在抛物线y 的图象上，则PQ的范围是（ ）
2
A．0≤PQ<1 B．1≤PQ<2 C．1≤PQ<√2 D．√2≤PQ<2
2.二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为−5，则
a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
3.已知二次函数y=−x2+4x+c的图象与直线y=x有且只有一个公共点，且当0≤x≤m时，函数
3
y=−x2+4x+c−
的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
4
7 9 7
A．−1≤m≤0 B．2≤m< C．2≤m≤4 D． <m≤
2 4 2
4.对于二次函数y=x2−4x+3，图象的对称轴为 ，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的
取值范围为−1≤ y≤0，则a的取值范围为 ．
题型十二：根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
1.已知二次函数y=−2x2+4x+3，当−1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）A．y≤5 B．y≤3 C．−3≤ y≤3 D．−3≤ y≤5
2.已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点(1,0)，则当2≤x≤6时，y的取值范围是（ ）
A．−5≤ y≤5 B．−4≤ y≤5 C．−3≤ y≤5 D．0≤ y≤5
3.已知y=2x2−4x+1，且¿，其中m≤3，n≥−3，则y的取值范围（ ）
A．−1≤ y≤17 B．1≤ y≤17 C．−1≤ y≤8 D．−1≤ y≤1
4.已知二次函数y=ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
x … −1 0 1 3 …
y … −2 3 6 6 …
当0<x<4时，y的取值范围是（ ）
A．3<y≤6 B．3<y≤7 C．y<7 D．y>3
题型十三：根据二次函数的增减性求字母的取值范围
1.如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是 ．
2.已知点A(m，y )、B(m+2，y )、C(x ，y )在二次函数y=ax2+4ax+c(a≠0)的图像上，且C
1 2 0 0
为抛物线的顶点．若y ≥ y >y ，则m的取值范围是（ ）
0 2 1
A．m<−3 B．m>−3 C．m<−2 D．m>−2
3.已知y=ax2+2ax+2a2+3二次函数（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且
−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( )
3 3
A．2或− B．−√2 C．− D．1
2 2
4.已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−6（a为常数）的图象与x轴有交点，当x>4时，y随x的增大而增
大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−3 B．−3≤a<4 C．a<4 D．−3≤a≤4
5.已知抛物线y=ax2−2x+c，当x≤1时，y随x的增大而减小，则a的取值范围为（ ）
A．−1<a<0 B．−1≤a<0 C．0<a<1 D．0<a≤1
1
6.已知二次函数y＝ (s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则st的最大为（ ）
2
49
A．4 B．6 C．8 D．
4
7.若点A(n+1,y ),B(n−2,y )在抛物线y=ax2−2ax+a2+1(a<0)上，且y <y ，则n的取值范围是
1 2 1 2
（ ）3
A．n≥3 B．n> C．0<n<3 D．n≤0
2
考点三：二次函数与各项系数之间的关系
题型一：二次函数判断各项系数及代数式
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b>0，②c<0，③b2−4ac>0，④a+b+c>0，
⑤4a+2b+c>0．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2..二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3.对称轴为直线x＝1的抛物线 （a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了
以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m为任意实
数）， ⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．64.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①c<0；②
a−c>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤2c−5b>0．其中正确的结论序号是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)，且a+b+c=−1，a−b+c=−3，则下列结论中错误的是（ ）
A．抛物线与x轴负半轴必有一个交点 B．2a+2b+c>0
C．abc>0 D．当0≤x≤2时，y =3a
最大
6.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … −1 0 1 2 …
y … m −2 −2 n …
1 20
且当x=− 时，对应的函数值y>0.有以下结论：①abc>0；②0<m+n< ；③4a+c>n+2b；④
2 3
1
P (t−1,y )和P (t+1,y )在该二次函数的图象上，则当实数t> 时，y >y ．其中正确的结论是
1 1 2 2 2 1 2
（ ）
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③7.如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下
结论：① ；② ；③若图象经过点 ，则 ；④若关于 的一元二次方程
无实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论错误的
有（ ）个．
b
（1）a<0,b<0,c>0；（2）− =1；（3）a+b+c<0；（4）关于x的方程ax2+bx+c=−1有两个
2b
不相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(−1，0)，对称轴为x=1，与x轴的另一个交点为
B，点C为抛物线顶点.下列结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③3a+b>0；④c<4b；⑤若△ABC是
1
等腰三角形时，a= ，其中结论正确的有（ ）
2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b2<4ac；③
2c<3b；④a+b>m(am+b)（m≠1），其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11.下表按照横坐标由小到大列出了y关于x的二次函数图像上一些不同的点，图像上任意一点纵坐标均不
大于7，下列说法错误的是（ ）
x 0 m 2 n
y=ax2+bx+c c 6 7 6
A．当c>0时，抛物线与坐标轴有3个交点 B．当x=m+n时，y=c
C．若以A(m,6)，B(n,6)，D(2,7)为顶点的三角形为等腰直角三角形，则△ABC周长为2√2+2
D．若直线y=kx+b，经过(4,8)，若b>8，则y=kx+b和y=ax2+bx+c的图像有一个交点
12.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和
(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③
1 2
4ac−b2<−4a；④ <a< ；⑤b>c．其中正确结论有（ ）
3 3
A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),a+b+c=0，下列结论错误的是（ ）
A．若抛物线经过点(−3,0),则b=2a B．若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2
C．抛物线与x轴一定有两个不同的公共点
D．点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线上，若0<a<c，则当x <x <1时，y >y
1 1 2 2 1 2 1 2
14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则化简√a2−2ab+b2−|b+c|−|a−c|= ．
题型二：二次函数、一次函数综合
1.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=cx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3.已知二次函数y=ax²+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．题型三：二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
c
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐
x
标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
c
2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax−b与反比例函数y= 在同一坐标系内
x
的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
c
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=αx+b和反比例函数y= 的图象如右图所示，则二次函数
x
y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
a+2b+4c
4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数y=cx+b2−4ac与反比例函数y=
4x
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A． B． C． D．题型四：两个二次函数图象综合
1
1.抛物线y ＝ （x-h）2＋k与y =a(x+3) 2−1交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，
1 2 2
1
分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①a= ；②点（√2，m）、
2
5 13
（√33，n）及（ ，p）都在y 上，则p＜n＜m；③y ≥y ，则x≤1；④PQ＝ ．
2 1 1 2 4
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
2.函数y ，y 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y= y + y 的图
1 2 1 2
像可能是（ ）
A． B． C． D．
3.已知二次函数y =ax2+bx+c和y =bx2+ax+c，a>b，则下列说法正确的是（ ）
1 2
A．当x<0时，y <y B．当0<x<1时，y <y
1 2 1 2
C．当0<x<1时，y >y D．当x>1时y <y
1 2 1 2
考点四：二次函数与方程、不等式
题型一：求二次函数与坐标轴交点坐标
1.如图，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（ ）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
2.经过 两点的抛物线 （ 为自变量）与 轴有交点，则线
段 长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
3.若对称轴为直线x=−2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点(1,0)，则一元二次方程
ax2+bx+c=0的根是 ．
4.抛物线y=2(x−3) 2−4与x轴交点坐标为 ．
5.抛物线y=−x2−3x+3与y轴交点的坐标为 ．
6.将抛物线C ：y=x2−2x+3向左平移2个单位长度后得到抛物线C ，则抛物线C 与y轴的交点坐标是
1 2 2
．
题型二：求二次函数与坐标轴交点个数
1.抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为 个．
2.抛物线y=2x2+2(k−1)x−k（k为常数）与坐标轴交点的个数是 ．
3.关于抛物线y=x2−(m+1)x+m下列说法正确的是（ ）
①开口向上；②与坐标轴有3个交点；③一定过点(1,0)；④顶点一定不在第二象限
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
题型三：抛物线与x轴交点问题
1.若二次函数y=x2+2x−2m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 ．
2.函数y=kx2−8x−8的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ．
3.函数y=ax2−(3a+1)x+2a+1（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则a= ．
4.已知抛物线y=kx2−2(k+2)x+k+2．
（1）若对称轴在直线x=−1处，则k= ；
（2）若顶点在y轴上，则k= ；
（3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ；
（4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
5.已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为 ．
题型四：根据二次函数图象确定相应方程根的情况
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置如图所示，甲、乙、丙三人关于x的
一元二次方程ax2+bx+c+m=0(a≠0)的根的情况判断如下，其中正确的有
（ ）
甲：当m=1时，该方程没有实数根；乙：当m=3时，该方程有两个相等实数根；
丙：当m=5时，该方程有两个不相等的实数根．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．方程ax2+bx+c=0的解为x =1，x =3
1 2
C．抛物线对称轴为直线x=2 D．抛物线与y轴交点坐标为(0,2)
3.数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形结合的思想方法判断方程x3−x−1=0的根
的情况是（ ）
A．有3个实数根 B．有2个实数根 C．有1个实数根 D．无实数根
题型五：图象法确定一元二次方程的近似根
1.在探究关于x的二次三项式x2+12x−15的值时，小明计算了如下四组值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x−15 −0.59 0.84 2.29 3.76
小明说，他通过这四组值能得到方程x2+12x−15=0的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分
位是 ．
2.阅读与思考．
小明在九年级总复习阶段，针对“求一元二次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相
应的任务：
九年级总复习笔记
专题：一元二次方程解法归纳 时间：2021年3月×日
引例：求一元二次方程x2−2x−3=0的解．
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法）求解．
解方程：x2−2x−3=0． 公式法：…… 配方法：……
【解析】解：……方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图所
示，把方程x2−2x−3=0的解看作是一个二次函数的图象
与x轴交点的横坐标．由图1可知该方程的近似解为
x =−1,x =3．
1 2
方法三：将方程x2−2x−3=0移项可得x2=2x+3，此时
原方程的解就是二次函数y=x2的图象与一个一次函数图
象交点的横坐标．由图2可知该方程的近似解为
x =−1,x =3．
1 2
任务：
（1）选择一种合适的方法（公式法、配方法）解方程；
（2）根据“方法二”的思路，直接写出图1中对应的二次函数表达式为_______；
（3）参照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2−x−6=0的解时，请在图3的平面直接坐标系中画
出相应函数图象并依据图象直接写出方程的近似解．题型六：求x轴与抛物线的截线长
1
1.已知抛物线y= x2 与一次函数y=2x+6交于A，B两点，则线段AB的长度为（ ）
4
A．20√2 B．20√3 C．40√3 D．20
2.已知：抛物线y=x2−mx−3与x轴交于A、B两点，且AB=4，则m的值为（ ）
A．2 B．−2 C．±2 D．±4
3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2mx+m−3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有
且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（ ）
3 1 3 3 1
A．m>0 B． <m≤ C．m> D． <m<
16 3 16 16 3
4.已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
题型七：图象法解一元二次不等式
1.如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y ），B（1，y ）两点，则关于x的不等式
1 2
ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的
是（ ）
A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4 B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4
C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2 D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x ＝2，x ＝4
1 2
3.如上3图是二次函数y =ax2+bx+c和一次函数y =mx+n的图像，观察图像写出y ≥ y 时，x的取值
1 2 2 1
范围（ ）
A．x≥0 B．0≤x≤1 C．−2≤x≤1 D．x≤14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是（ ）
A．x<−1 B．x>3 C．−1<x<3 D．x<−1或x>3
5.若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（ ）
A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2
题型八：根据交点确定不等式的解集
k
1.如图，在同一直角坐标系中抛物线y =ax2+bx+c与双曲线y = 交于A(x ,y )，B(x ,y )，
1 2 x a a b b
C(x ,y )三点，则满足y <y 的自变量x的取值范围是（ ）
c c 1 2
A．x>x 或x <x<x B．x <x<0或x <x<x
a b c a b c
C．x<x 或x<x 或x>x D．x<x 或0<x<x 或x>x
a b c a b c
2.我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2−4ac>0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴
趣小组画出一个“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②bc<0 ③
b
− =1 ④若m的取值范围是1<m≤3，则直线y=x+m与y=|ax2+bx+c|的图象有4个公共点，则正
2a
确的是（ ）A．①②③④ B．①② C．③④ D．②③④
3.无论k为何值，直线y=kx−2k+2与抛物线y=ax2−2ax−3a总有公共点，则a的取值范围是（ ）
2 2 2
A．a>0 B．a≤− C．a≤− 或a>0 D．a≥−
3 3 3
4.如图，二次函数y =ax2+bx+c的图像与反比例函数y = m 的图像交于A (1 ,3 ) ，C(−1,−1)，
1 2 x 3
B(1,1)三点．若y >y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．−1<x<1 B．x<−1或x>1
1 1
C．−1<x<0或 <x<1 D．−1<x<0或x>
3 3
题型九：二次函数与斜三角形相结合的应用方法
1.如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0)，交y轴于点B(0,3)．
(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出
满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2.如图1，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点A(−4,0),B(−1,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P坐标；
(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB=90°；请判断小明的说法是否正确，
如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
3.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B(1,0)，C(0,3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S =S ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明
△PAC △ABC
理由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y
轴交于点C．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个
动点，求△MCD面积的最大值．
(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B
与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5.对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积
的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线l 、l ，l 、l 之间的距离d叫做水
1 2 1 2
平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；
1
结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S= dℎ”．
2
尝试应用：
已知：如图2，点A(−5,3)、B(4,0)、C(0,6)，则△ABC的水平宽为______，铅垂高为______，所以
△ABC的面积为______．
学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，点B为抛物线的顶点，图象与y轴
交于点A，与x轴交于E、C两点，BD为△ABC的铅垂高，延长BD交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高BD=______，△ABC的面积为______．
6.如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(1,0)，B(−3,0)两点，交y轴于点C(0,3)，
点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BCE面积最大时，求M点的坐标；
(3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
7.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点(−2,5)和(2,−3)，与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，它的对称
轴为直线l，顶点为N
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BN,CN，求△BNC的面积；
(3)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D,E是l上的点．要使以P,D,E为顶点的三角形与
△BOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．8.如图，二次函数y=−x2+bx+c经过点A(4，0)、B(0，2)，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作
垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求m的值．
(3)点P在线段OA上时，
①连接AE、BE，当△ABE的面积最大时，求点E的坐标；
②若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值；
