文档内容
专题 14 二次函数的应用
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：用二次函数的性质解决实际问题....................................................................................................2
考点二：用二次函数图象解决几何问题........................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................2
考点一：二次函数实际问题............................................................................................................................2
题型一：拱桥问题..................................................................2
题型二：隧道问题..................................................................6
题型三：喷泉问题.................................................................10
题型四：空中跳跃轨迹问题.........................................................13
题型五：球类飞行轨迹.............................................................17
题型六：最大利润/销量问题........................................................20
题型七：方案选择问题.............................................................23
题型八：图形面积问题.............................................................25
题型九：图形运动问题.............................................................30
题型十：现实生活问题.............................................................33
考点二：二次函数几何综合问题..................................................................................................................35
题型一：线段、周长问题...........................................................35
题型二：面积周长问题.............................................................38
题型三：角度问题.................................................................40
题型四：特殊三角形问题...........................................................42
题型五：特殊四边形问题...........................................................43
题型六：与圆有关问题.............................................................46
题型七：与面积有关问题...........................................................47专题 14 二次函数的应用
模块一：基础知识
考点 一 ： 用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
1.列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围
2.在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
考点二：用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相
似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的
等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就
是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题
目的
模块二：题型分类
考点一：二次函数实际问题
题型一：拱桥问题
1.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测
得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同
的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．2.赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，
图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立
如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x
（单位：m）近似满足函数关系y=−0.01(x−30) 2+9，据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，
通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．
(1)水面的宽度OA=_______m；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．
3.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面
宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，
若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4√3米 B．5√2米 C．2√13米 D．7米
4.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，
拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①求该函数的解析式：
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园
要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距
桥墩的距离CE至少为多少米?（√2≈1.41，精确到0.1米）
5.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、
DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所
在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离ℎ（单位：m）随时间t （单位：h）的变化满足函
1
数关系ℎ =− (t−19) 2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通
128
过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？6.如图，拱形桥的截面由矩形和抛物线组成，矩形长12m，宽4m，以当前水面为x轴建立如图所示的平
面直角坐标系．其中拱桥的最高点D到水面OB的距离为10m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若一艘货轮宽为8m，要确保货轮安全通过拱桥，求其装完货物后的最大高度；
(3)若要在拱桥抛物线的左右两侧同样的高度安装两个摄像头，要求摄像头到水面的距离不低于6m、不超
过8m，请直接写出两个摄像头水平距离的最大值．
7.如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度为12米，并且
以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，把测量
得到的数据记入下表：
x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6
y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99
(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；
(3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对
应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．题型二：隧道问题
1.如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐
1
标系，抛物线可以用y=− x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离
6
17
为 m．
2
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否
安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，
那么两排灯的水平距离最小是多少米？
2.如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的长AD为8m，宽AB为2m．以AD所在直线
为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为5m．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6m，宽2.4m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说
明．3.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以
OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：
OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点
A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
4.如图，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，
OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)该隧道设计为双向通行道，如果规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保
1
持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为＿ 米；
3
(3)在隧道修建过程中，需要搭建矩形支架AD−DC−CB（由三段组成）对隧道进行装饰，其中C、D在
抛物线上，A，B在地面OM上，求这个支架总长Z的最大值．5.如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到
地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双
向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5
米，才能安全B通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
6.按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天
比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，
人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行
道宽度设计是否达标？说明理由．
+7.如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧
道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距
离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF= y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y
的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
(1)根据
上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式
y=a(x−ℎ) 2+k(a<0)；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面
的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧
道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？题型三：喷泉问题
1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度
为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直
角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直
径扩大到24米（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
2.2024年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北
京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在
一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线
的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，
此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形
状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 米．3.如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA=2米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐
标系中的两条抛物线（图中的C ，C ）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经
1 2
测算发现抛物线C 的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．
2
(1)求抛物线C 的解析式；
2
(2)求抛物线C 与x轴的交点B的坐标；
1
(3)小明同学打算操控微型无人机在C ，C 之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活
1 2
动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．
4.如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽
象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度
DE=3m，竖直高度EF=0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离
喷水口的水平距离为2m、高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围5.消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，
具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作
在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈
抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求出水柱所在抛物线的解析式；
(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度
约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？
(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角
约为53°）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长
时间忽略，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
6.如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方
向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之
7
间的关系式是y=−x2+2x+ (x≥0)．
4
(1)柱子OA的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在
池外？
(2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为Rt△BCD
形状，其中BC边在地面上，点C离柱子的距离为2.1米，∠CBD=90°，灯孔P在CD边上，灯孔P离地1
面的距离为 米，若水流恰好落在灯孔P处，求tan∠DCB的值．
2
7.某公园要在小广场上建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子
OA，安置于柱子顶端A处的喷水向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过
OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1
米时到达最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，
求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，
此时他离花形柱子OA的距离为d米，则d的取值范围是______________；
(3)在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的
距离．为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图
3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与
抛物线水流之间的距离．
题型四：空中跳跃轨迹问题
1.“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔
跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：
水平距离
0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8
x/m
竖直高度
0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0
y/m
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________m，最大竖直高度为_________m；
②求满足条件的抛物线的解析式；
(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆．
2.一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水
面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离
为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
3.已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，
如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y
（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员
的成绩达标点，BC⊥x轴于点C，相关数据如下：
水平距离x（米） 5 10 20 30
空中飞行的高度y（米） 4.5 6 0 −18
(1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______；
(2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足y=−0.05x2+1.1x，则他第二次跳跃
落地点与起跳点平面的水平距离为d=______米，d______30，成绩是否达标？______．（填写是或否）4.第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为
了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运
动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，
经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速
0
度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路
线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且sin37°=0.6．忽略空气阻力，请回答
下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
5.跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿
势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台
1 7
终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C :y=− x2+ x+1近似表示滑
1 12 6
雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线
1
C :y=− x2+bx+c运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．
2 8
(1)求抛物线C 的函数解析式；
2
(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？6.将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10
名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他
们持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖
直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点
O的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为1.75m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳
下的距离均为0.5m，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
7.如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−1,−10)，运动员（将运动
员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点
(3 9 )
的坐标为 , ．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调
4 16
整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由．
(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点，且EM=7,EN=9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=(x−ℎ) 2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M,N两点），请直接写出k的取值范
围．
题型五：球类飞行轨迹
1.一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距
离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直
角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多
少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
2.掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，
行进高度y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2米，当水平
9 25
距离 米时，实心球行进至最高点： 米处．
2 8
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生） ，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离
大于等于12.4米，此项考试得分为满分17分，按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理
由．3.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进
路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度
5
为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水
平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
4.某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受
游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与
其一组对边平行，矩形DEFG为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从A(1,0)处抛出，弹珠的飞行轨迹
3 3
为抛物线L:y=ax2+bx+ (单位长度为1m)的一部分，且当弹珠的高度为 m时，对应的两个位置的水平
2 2
距离为2m．已知DE=1m，EF=0.6m，DA=4.7m．
(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标．
(2)请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的
情况下，调整EF的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出EF的取值范围．5.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对
击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点
P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；
若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x−1) 2+3.2．
(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判
断应选择哪种击球方式．
6.如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m
的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时
水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数
关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O
在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）7.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出，球每次出手后的运动轨迹都是
形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出
1米，已知OB=m米，排球场的边界点A距O点的水平距离OA为18米，球网EF高度为2.4米，且
1
OE= OA．
2
(1)C点的坐标为 （用含m的代数式表示）
(2)当m=2时，求抛物线的表达式．
(3)当m=2时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
(4)若运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L ，球落地后立即向右弹起，形
1
成另一条与L 形状相同的抛物线L ，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切
1 2
8
面为梯形的无盖排球回收框MNPQ（MQ∥PN），其中MQ=0.5米，MN=2米，NP= 米，若排球
9
经过向右反弹后沿L 的轨迹落入回收框MNPQ内（下落过程中碰到P、Q点均视为落入框内），设M点
2
横坐标的最大值与最小值的差为d，请直接写出d的值．
题型六：最大利润/销量问题
1.某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不
低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售
价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x
（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？2.冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，
小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容
融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；
而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次
增加x个，第二次冰墩墩售完后的利润为y元．
(1)用含x的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润y；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
3.深圳某公司生产A、B两种玩具，每个B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生产A种玩具，
3600元生产B种玩具，共生产玩具1000个，请解答下列问题：
(1)A、B两种玩具每个的成本分别是多少元？
(2)某大学生自主创业，在网上销售B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高
于进货价的50%．试营销阶段发现：当销售单价是8元时，每天的销售量为120件，销售单价每上涨1元，
每天的销售量就减少20件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
4.某厂家生产一种儿童电动玩具，3月份前4天生产的该儿童玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据
如下表所示：
第x天 1 2 3 4
售价y/（元/个） 30 32 34 36
销量t/个 100 120 140 160
从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关
系为t=−x2+50x−100（5≤x≤20，且x为整数）．
(1)直接写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后第几天的销量最大，最
大值为多少？
(2)若成本价为20元，求该工厂这些天（按20天计）出售儿童电动玩具得到的利润W（元）与x的函数关
系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值．5.某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，甲商品从开始销售至销售的第x天
总销量y （千克）与x的关系如图1所示，且y 是x的二次函数．乙商品从开始销售至销售第x天的总销量
1 1
y (kg)，y =ωx，其中ω是关于x的一次函数，其图象如图2．
2 2
(1)分别求出y ，y 与x的函数关系；
1 2
(2)甲、乙两种商品购进量相差多少；
(3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少．
6.“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要
求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（00)，△PAQ的面积为S(cm2 )．
(1)当点P与点C重合时，t=________s；
(2)求S与t之间的函数关系式；(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．5.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出
发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以
线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧），设点P的运动时间
为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）．
(1)如图2，当点M落在AB上时，x=_______；
(2)求点M落在AD上时x的值；
(3)若M点在AD下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
6.在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以
4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s的速度向点C运动，（点M不与A，B重
合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs．
(1)求证：△AMN∽△ABC；
(2)当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？
(3)把△AMN沿直线MN折叠得到△MNP，若△MNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于
x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？题型十：现实生活问题
1.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地
面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到
绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
2.如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于
10
水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的
x
连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B
的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 21
3.某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线y= x2 的形状，现按操作要求，电缆
100
最低点离水平地面不得小于6米．
(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有
多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20
米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
4.如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最
高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB=1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离
AE=（ ）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6考点二：二次函数几何综合问题
题型一：线段、周长问题
1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数
的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段 上的一个动点，过点M作直
线l平行于y轴交 于点F，交二次函数 的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与 相似时，求线段 的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线 对称，求点N的坐标．
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1) 2−4a经过点D(−2,3)，与x轴交于点A，B两点，与y轴
交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找到一点E，使得△BCE的周长最小，求出这个最小值；
(3)连接AC，在第一象限的抛物线上找一点P，使得点P到x轴的距离和点P到直线AC的距离相等，求点
P的坐标．3.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为
C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的
点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME
的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4.抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−3,0),B(1,0)，与y轴交于点C．
(1)
(2)求抛物线的解析式
(3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、
C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．5.如图，直线y=−2x+3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A，C两点，且
A(−1，0)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH⊥BC于H，求PH+2HB的最大值．
(3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M'恰好落在抛
物线上，求M点坐标．
6.如图，已知抛物线y= 1 (x+ ℎ) 2+k．点A(−1,2)在抛物线的对称轴上，B ( 0, 5) 是抛物线与y轴的交
4 4
点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
(1)直接写出ℎ，k的值；
(2)如图，若点D的坐标为(3,m)，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探
求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．7.抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）．
（1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标；
②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标；
（2）如图（3）， 是原点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段 ， （不
含端点）于 ， 两点，若直线 与抛物线只有一个公共点，求证 的值是定值．
题型二：面积周长问题
1
1.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
2
侧），与y轴交于点C，其中OA=2，b−c=−4．
(1)求B，C的坐标；
S
(2)如图②，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD，BC，BD，OD交BC于点E，当 △DBE的
S
△OBES
值最大时，求此时点D的坐标及 △DBE 的最大值．
S
△OBE2.如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O(0,0)和点A(4,0)，它的对称轴交抛物线于点B．C,D两点在
对称轴上（点C在D的上方），且关于点B对称，直线OD交抛物线于点E，连接OC,CE．
(1)求抛物线的解析式；
21
(2)如图（1），若△OCE的面积为 ，求点D的坐标；
2
(3)如图（2），若∠OEC=90°，求点D的坐标．
3.已知抛物线y=x2−2ax+a2+2a−3，直线l:y=x+a．
(1)记抛物线的顶点为N(p,q)，求q关于p的函数关系式；
(2)设直线l与抛物线相交于点A,B，在点A,B之间的抛物线上有一动点P．求△PAB的面积的最大值．题型三：角度问题
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 和点 ．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上一点（不与点 重合），直线 将 的面积分成2：1两部分，求点 的坐
标；
（3）点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴移动，运动时间为 秒，当
时，求 的值．
2
2.已知抛物线L:y=− x2+bx+c与y轴的交点为C(0,2)，与x轴的交点分别为A(3,0)、B(点A在点B右
3
侧).
(1)求抛物线的表达式.
(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位，所得的拋物线与x轴的左交点为M，与y轴的交点为N，若
∠NMO=∠CAO，求m的值.1
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线
2
1
y=− x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
2
(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标．
(3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当EF∥OB，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行
四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点 是
抛物线上一动点．
（1）如图1，当 ， ，且 时，
①求点M的坐标：
②若点 在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作
，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点 在对称轴上，当 ， ，且直线EM交x
轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为 ，
连接GF．若 ，求证：射线FE平分 ．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于点A(−4,0)和点B(2,0)，与y轴
交于点C．
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如果点D的坐标为(−8,0)，连接AC、DC，点P为抛物线上一点，
当∠OCP=∠DCA时，求点P的坐标．
题型四：特殊三角形问题
1.已知经过原点O的抛物线y=−x2+4x与x轴的另一个交点为A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)点B是OA的中点，点N是y轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点M，使得△OMN
与△OBM全等，且点B与点N为对应点，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点，
与y轴交于点C．
(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；
(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出
点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若
不存在，请说明理由．题型五：特殊四边形问题
1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线l:x=−1，且与y轴的交点坐标为(0,−1)，直线l与x
轴相交于点C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．设
点P的横坐标为m．当四边形APBC为正方形时，求m的值．
2.已知抛物线 ．
(1)如图①，若抛物线图象与 轴交于点 ，与 轴交点 ．连接 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 是抛物线上一动点（与点 不重合），过点 作 轴于点 ，与线段 交于点 ．是否
存在点 使得点 是线段 的三等分点？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 与 轴交于点 ，同时与抛物线 交于点 ，以线段 为
边作菱形 ，使点 落在 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 没有交点，求 的取值范围．3.如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x−5经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线y=t交抛物线于点P、Q，抛物线的顶点为D，四边形DPEQ为菱形．
①当t=3时，求菱形DPEQ的面积；
②当点E落在△ABC内部（不含边上）时，直接写出t的取值范围．
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于点 ，抛物
线的对称轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为 ，连接 ， ，
求 的最小值．
（3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由；
5.如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．
(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请
说明理由．
6.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于
点 ，且点 的坐标为 ．
(1)求点 的坐标；(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 ， ， ，
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．题型六：与圆有关问题
1..如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线
的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心， 为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋ EP的值最小，若存在，
请求出最小值；若不存在，请说明理由．
2.如图，已知二次函数 的图象经过点 且与 轴交于原点及点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点 的坐标及直线 的表达式；
（3）判断 的形状，试说明理由；
（4）若点 为 上的动点，且 的半径为 ，一动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度
沿线段 匀速运动到点 ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 匀速运动到点 后停止运动，求点
的运动时间 的最小值．题型七：与面积有关问题
1.已知二次函数 ，其中 ．
(1)当该函数的图像经过原点 ，求此时函数图像的顶点 的坐标；
(2)求证：二次函数 的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线 上运动，平移后所
得函数的图像与 轴的负半轴的交点为 ，求 面积的最大值．
2.已知抛物线 与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点 ，求 的最小值；
（2）已知点 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l： 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 上，且 ，过点A且与x轴
垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证： 与 的面积相等．
