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第 19 讲 空间距离、二面角与空间向量
真题展示
2022 新高考一卷第 19 题
如图，直三棱柱 的体积为4，△ 的面积为 ．
（1）求 到平面 的距离；
（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正
弦值．
【思路分析】（1）利用柱与锥的体积关系求得三棱锥的体积，再由等体积法求
点 到平面 的距离；
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直
角坐标系，利用向量法可求二面角 的正弦值．
【解析】（1）由直三棱柱 的体积为4，可得 ，
设 到平面 的距离为 ，由 ，
， ，解得 ．
（2）【解法一】(面面垂直性质+坐标法)：由直三棱柱 知 平面
，又BB 平面 ，
1
所以平面 平面 ，又平面 平面 ，又平面 平面 ，
所以 平面 ， ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标
系，， ，又 ，解得 ，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ，
则 ，2， ， ，1， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，1， ，
， ，
二面角 的正弦值为 ．
【解法二】法二(定义法)：直三棱柱 ABC-A B C 中，AA =AB，则四边形
1 1 1 1
ABB A 是正方形，
1 1
连接AB 、A B，则AB ⊥A B，
1 1 1 1
又平面 A BC⊥平面 ABB A ，平面 A BC∩平面 ABB A =A B，A B 平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ABB A ，
1 1
∴AB ⊥平面A BC，又BC 平面A BC，∴AB ⊥BC，
1 1 1 1
在直三棱柱ABC-A B C 中，BB ⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴BB ⊥BC，
1 1 1 1 1
又AB , BB 平面ABB A ，AB ∩BB =B ，∴BC⊥平面ABB A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又AB 平面ABB A ，∴BC⊥AB。
1 1
设AB=A A=a，BC=b，则a× ab=4， ab=2 ，解得a=b=2.
1
设AB ∩A B=O，由AB ⊥平面A BC，知AO⊥平面A BC，由(1)知AO= ，
1 1 1 1 1
在平面 ABD 中，过 A 作 AE⊥BD 于 E，连接 OE，则 BD⊥平面 AEO，从而
BD⊥OE，
故∠AEO是二面角A-BD-C的补角的平面角，△ABD中，可求得AD=BD= ，又AB=2，由等面积法可得AE= ，
∴Rt△AEO中，sin∠AEO= = .即二面角A-BD-C的正弦值为 .
【试题评价】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．
知识要点整理
知识点一 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP在直线l
上的投影向量为AQ＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
知识点二 点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为
(如图)．
思考 怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案 两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一
条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个
平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．
知识点三 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大
于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点四 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面
设两异面直线 l ，l 所成的角为θ，其方
1 2
直线所成
向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，
的角v〉|＝
直线与平 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线
面所成的 AB的方向向量为u，平面α的法向量为
角 n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β
两个平面
的法向量分别为n ，n ，则cos θ＝|cos
1 2
的夹角
〈n ，n 〉|＝
1 2
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表
示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立
空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的
放矢，化解自如．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝BC＝1，AA＝，则异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为( )
1 1 1 1 1 1 1
A. B. C. D.
答案 C
解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
1
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1，)，D(0,0，)，
1 1
所以AD1＝(－1,0，)，DB1＝(1,1，)，
因为cos〈AD1，DB1〉＝＝＝.
所以异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.
1 1
反思感悟 本例以长方体为背景，求异面直线所成角．显然可以是从长方体中的共点的三条棱互相垂直关
系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹
角即可．
二、利用线面垂直关系
例2 如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AB⊥平面BBC C，E为棱C C的中点，已知AB＝，BB ＝2，BC
1 1 1 1 1 1 1
＝1，∠BCC ＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
1
解 过点B作BP垂直BB 交C C于点P，
1 1
因为AB⊥平面BBC C，所以AB⊥BP，AB⊥BB，
1 1 1
以B为坐标原点，分别以BP，BB，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.
1因为AB＝，BB＝2，BC＝1，∠BCC ＝，
1 1
所以CP＝，C P＝，BP＝，则各点坐标分别为
1
B(0,0,0)，A(0,0，)，B(0,2,0)，C，
1
C ，E，A(0,2，)，P.
1 1
(答案不唯一)
反思感悟 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅
速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有 0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的
垂直关系“AB⊥平面BBC C”，可作为建系的突破口．
1 1
三、利用面面垂直关系
例3 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，
BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．
答案
解析 由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方形边长为2，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(2,1,0)，
EM＝(－1,1,2)，AF＝(2,1,0)，
cos 〈EM，AF〉＝＝＝，
又异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线EM与AF所成角的余弦值为.
反思感悟 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系．
四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
例4 如图所示，已知平行六面体ABCD－ABC D 的底面为正方形，O，O分别为上、下底面的中心，且
1 1 1 1 1
A 在底面ABCD上的射影是O.
1(1)求证：平面ODC⊥平面ABCD；
1
(2)若点E，F分别在棱AA，BC上，且AE＝2EA，问点F在何处时，EF⊥AD?
1 1
(1)证明 如图所示，以O为坐标原点，OA，OB，OA 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标
1
系．
设OA＝1，OA＝a.
1
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O(－1,0，a)．
1 1
则O1C＝(0,0，－a)，
∴OC∥z轴，又z轴和平面ABCD垂直，
1
∴OC⊥平面ABCD，
1
又OC 平面ODC，
1 1
∴平面⊂O
1
DC⊥平面ABCD.
(2)解 由(1)可知，OE＝，AA1＝(－1,0，a)，AD＝BC＝(－1，－1,0)．
设BF＝γBC，则BF＝(－γ，－γ，0)，故点F的坐标为(－γ，1－γ，0)，∴FE＝.
EF⊥AD FE·AD＝0，而FE·AD＝－－γ－γ＋1＝0，解得γ＝.
故当F为⇔BC的三等分点(靠近B)时，有EF⊥AD.
反思感悟 依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系．
三年真题
1．直三棱柱 中， ，D为 的中点，E为 的中点，
F为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
则 ，易知平面 的一个法向量为 ，则 ，故 ，
平面 ，故 平面 .
（2）解： ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， .
因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 .
（3）解： ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，则 ，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
2．如图，四面体 中， ，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2) 与平面 所成的角的正弦值为
（1）因为 ，E为 的中点，所以 ；
在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为E为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）连接 ，由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 最小，即 的面积最小.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
因为E为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ,
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
设 与平面 所成的角的正弦值为 ，
所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
3．如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，
，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【详解】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ， ，
由平面几何知识易知， ，则四边形 和四边形
是矩形，∴在Rt 和Rt ， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而 ，
∴ 平面 ，而 平面 ．
（2）因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、 所在直线
分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，∴ ．
4．如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）解：过点 作 ，如图建立平面直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
；设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
所以 .
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
5．在四棱锥 中， 底面 ．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；
(2) .
（1）证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
（2）
解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
，
则 ，
则 ，设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
6．如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ，
M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
（2）因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ，
所以 ，故 ，
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.7．如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，
则 ，
解得 ，
所以点A到平面 的距离为 ；
（2）取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
8．如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III） .
【详解】（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 , , , , , , ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，
所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（II）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
（III）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
9．在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ．
（1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】
（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.
则 ，故 .设平面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，故 .
二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .
10．如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【详解】(1)如图所示，取 的中点 ，连结 ，
由于 为正方体， 为中点，故 ，从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，
即点 为 中点.
(2)以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，
不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.
11．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，
M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，所以 ， ．由题意 且 ， 平面 ，而
平面 ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因为 ，所以
，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，以点 为坐标原点，如图所示，建立
空间直角坐标系,
则 ,
又 为 中点，所以 .
由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量
从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
12．如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， 为 的中点，且
．（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、
、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，则 ，解得 ，故 ；[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结 ．因为 底面 ，且 底面 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
从而 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，于是 ．
所以 ．所以 ．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结 交 于点N．由[方法二]知 ．
在矩形 中，有 ，所以 ，即 ．
令 ，因为M为 的中点，则 ， ， ．
由 ，得 ，解得 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
，所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体 ，联结 ，交点记为H，由于 ， ，所以
平面 ．过H作 的垂线，垂足记为G．
联结 ，由三垂线定理可知 ，
故 为二面角 的平面角．
易证四边形 是边长为 的正方形，联结 ， ．
，
由等积法解得 ．
在 中， ，由勾股定理求得 ．所以， ，即二面角 的正弦值为 ．
13．已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，
D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）[方法一]：几何法
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正方体
，如图所示，
过E作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ，因为E，F分别为 和 的中点，所以 是BC的中点，
易证 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱 是直三棱柱， 底面 ，
， ， ，又 ， 平面 ．所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
， ．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
[方法三]：因为 ， ，所以 ，故 ， ，所以，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．
所以 ，此时 ．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长 交 的延长线于点S，联结 交 于点T，则平面 平面 ．作 ，垂足为H，因为 平面 ，联结 ，则 为平面 与平面 所成
二面角的平面角．
设 ，过 作 交 于点G．
由 得 ．
又 ，即 ，所以 ．
又 ，即 ，所以 ．
所以 ．
则 ，
所以，当 时， ．
[方法三]：投影法
如图，联结 ，在平面 的投影为 ，记面 与面 所成的二面角的平面角为 ，则
．
设 ，在 中， ．
在 中， ，过D作 的平行线交 于点Q．
在 中， ．
在 中，由余弦定理得 ， ，
，
， ，
当 ，即 ，面 与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为 ．
三年模拟1．如图，将长方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，其中 ，劣弧 的长为
为圆 的直径.
(1)在弧 上是否存在点 （ 在平面 的同侧），使 ，若存在，确定其位置，若不存
在，说明理由；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)存在，当 为圆柱 的母线，
(2)
【详解】（1）存在，当 为圆柱 的母线， .
连接 ，因为 为圆柱 的母线，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
因为 为圆 的直径，所以 .
，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）以 为原点， 分别为 轴，垂直于 轴直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示.，
因为 的长为 ，所以 ，
设平面 的法向量 ，
令 ，解得 ，
所以 .
因为 轴垂直平面 ，所以设平面 的法向量 .
所以 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
2．如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 是正方形， .(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 平面 ，且 平面 ，
所以 .
在正方形 中， .
而 ， 平面 ，
故 平面 .
（2）以 为坐标原点，分别以 为 轴，
建立空间直角坐标系.
设 ，则 ，
从而 .
设平面 的法向量为 ，
，
令 ，则 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，故 与夹面 的所成角大小为 .
3．如图，已知四棱锥 的底面 是菱形，平面 平面 ， 为 的
中点，点 在 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，且 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）设 的交点为 ，连接 ，已知 为 的重心，
所以 ， ，所以在 中， ，
所以 ，所以 平面 ， 平面 ，
则 平面 .
（2）因为 所以所以 为等边三角形，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，
取 的中点为 ，连接 ，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
则 平面 ，以 为坐标原点， 为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 与平面 所成的角为 ，所以 ，
设菱形的边长为 ，所以 ，所以
，
因为 ，所以 ，
，
设 平面 ，
，令 ，
所以 ，
设 平面 ，
，令 ，
所以 ，
则 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
4．在三棱柱 中， 平面 ， ，点E为AB的中点且 ．
(1)证明： 平面MEC；
(2)P为线段AM上一点，若二面角 的大小为 ，求AP的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设CM与BN交于点F，连接EF，由已知可得四边形BCNM是平行四边形，
F是BN的中点，E是AB的中点，故 ，又 平面MEC， 平面MEC，故 平面MEC．
（2）设 ， 平面ABCD，故 平面ABCD，
如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 （ ），
， ．
设平面PEC的一个法向量为 ，则 ， ，
令 ，则 ，
平面ADE的一个法向量为 ， ，
解得 （负值舍去），故AP的长为 ．
5．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 是棱 的中点，
且 平面(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ， ， ， 面 ， 面 ，
故 面 ， 面 ， ，面 面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，故 .
， ， ， ，故 ，
， 是 中点，故 ， ， 平面 ，
故 面 ， ，故 面 .
（2）如图所示以 为 轴建立空间直角坐标系，， ， ， ， ，，
设平面 法向量为 ， ，
取 ， ，
设平面 法向量为 ， ，
取 ， ，
，
设二面角 的平面角为 ， .
6．如图，多面体 中，四边形 为菱形， 平面 ，且
.(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由于四边形 为菱形，则
平面 平面
又 平面 平面
平面 ，又 平面
（2）如下图，取 的中点 ，连接 ，
为等边三角形， ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则由题意得，又 ，
则 ，
，
由（1）知 平面 ，则可取 为平面 的法向量
设平面 的法向量为 ，则 ，
，令 得 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
由题知二面角 的锐二面角，
所以二面角 大小为 .
7．在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形， ， ， ，
， 是等边三角形．现将 沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥 （如图2）
且 ．
(1)求证：平面 平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，如图所示：
因为 是等边三角形， 为 中点，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ， ， ，
所以四边形 为矩形，所以 .
又因为 ，所以 ，即 .
因为 ， ， ，所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）连接 ，
以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示：， ， ， ， ，
因为 ， ，所以 .
因为 ，
所以 ，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
即 .
由题知：平面 的法向量为 .
所以 .
因为二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
8．在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形， ， ， ，
， 是等边三角形．现将 沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥 （如图2）
且 ．(1)求证：平面 平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【详解】（1）依题意，ABCD是梯形， ， ， ，
， 是等边三角形．
设 是 的中点，则 三点共线，且
折叠后， ， ，即 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）可知 两两相互垂直，以 为原点建立空间直角坐标系如图所示，
平面 的法向量为 ，
，
， ,
，设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，设二面角 为 ，由图可知 为锐角，
所以 .
9．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， 底面AB ，且
分别为 中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【详解】（1）因为 分别为 的中点，所以 ，
在直角梯形 中，因为 ，所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由 平面 ， 平面 ，得 ，又 ，
建立如图空间直角坐标系，设 ，
则 ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，即 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 .10．如图，在三棱柱 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面 为菱形，
点 在底面上的投影为AC的中点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求点 到侧面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ？若存在，请求出
的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在满足条件的点 ，1向量的加减运算，求出 ，利用线面夹角公式得出 ，求得 ，即
可求出 的长.
【详解】（1）证明：由点 在底面ABC上的投影为AC的中点 ，知 平面ABC，
又 平面ABC，故 ，
因 是以AC为斜边的等腰直角三角形，故 ，
而 ， 平面 ， ，故 平面 ，
由 平面 ，得 ．
（2）由点 ， 为AC的中点，侧面 为菱形，知 ，
由 是以AC为斜边的等腰直角三角形， ，可得 ， ，
由（1）知直线 ， ， 两两垂直，故以点 为坐标原点，
直线 ， ， 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
又 ，故点 到平面 的距离为：
（3）假设存在满足条件的点E，并 ，
则 ，
于是，由直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ，
可得 ，
即 ，解得 ．
又 ，故 ．
因此存在满足条件的点 ，且 ．
11．已知三棱台 的体积为 ，且 ， 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【详解】（1）
由已知， 平面 ， 平面 ，所以 ，
在三棱台 中， ，所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 ，得证.
（2）
取 ， 的中点 ，连接 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 为 的中点，所以 ，
由（1）问可知，平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 分别为 轴的正方向，因为 ， ，且 ，所以 ，
所以 ， ， ， ， ， ，
在三棱台 中，设 ，
， ， ，
所以 或 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
， ，
由 可知，平面 的一条法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
， ，
由 可知，平面 的一条法向量为 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
12．在四棱锥 中， ， ， ， ， 平面 ， 与
平面 所成角 ，又 于 ， 于 .(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过 作 ，则四边形 为矩形，
以 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，因为 与平面 所成角 ，
所以 ，所以 ，所以 ,
， ，
设 ，
所以 ，即 ,
因为 ，所以 ,解得 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）可知 平面 ，
则 为平面 的一个法向量.
,所以 ,即 ，
又因为 平面 ， 平面 ,所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
则 为平面 的一个法向量.
则
所以二面角 的余弦值为 .
13．如图，已知 为圆锥 底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上， ， ， 平
分 ，D是 上一点，且平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：因为 ，且 平分 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2）取 的中点M，连接 ，则 两两垂直，
以O为坐标原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴建立如图空间直角坐标系则 ，
， ， ， ，
由（1）知 平面 ，所以 是平面 的一个法向量.
设平面 的法向量 ，
因为 ， ，
则
取 ，则 ，
因此 ，
所以二面角 的正弦值为 .14．如图，在长方体 中，已知 ，E为BC中点，连接 ，F为线段
上的一点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接DE．依题意，可作图如下：由 为 中点，则 ，则 ，∴ ，
即 ，∵ 平面ABCD， 平面ABCD，∴ ．
又 ，∴ 平面 ， 平面 ， 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ，
同理，可知 ，则 ，
∴ ，即 ，∴ ．∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，且 ，∴ 平面 ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，∴ ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则
即 ，令 ，则 ，有 ， ， ，
∴ ，即平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
