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第 19 讲 等比数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.等比数列的概念
(1)定义：如果数列{a }从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常
n
数 q，即＝q 恒成立，则称{a }为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
n
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，则称G 为x与y的等比中项，且G2＝
xy.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a }的首项为a ，公比是q，则其通项公式为a ＝a q n － 1 ；
n 1 n 1
通项公式的推广：a ＝a qn－m.
n m
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝＝.
n 1 n
3.等比数列的性质
已知{a }是等比数列，S 是数列{a }的前n项和.
n n n
(1)若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则a·a＝a a ，特别地，如果2s＝p＋
s t p q
q，则a＝a ·a .
p q
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a ，a ，a ，…仍是等比
k k＋m k＋2m
数列，公比为 q m .
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S ，S －S ，S －S ，…仍成等比数
n 2n n 3n 2n
列，其公比为 q n .
二、考点和典型例题
1、等比数列基本量的运算
【典例1-1】（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列 中，
，且 ，则 （ ）
A．1024 B．960 C．768 D．512
【答案】A
【详解】
解：依题意设公比为 ，且 、 ，由 ，则 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ；
故选：A
【典例1-2】（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列 中， 成
公比为3的等比数列，则 （ ）
A．14 B．34 C．41 D．86
【答案】C
【详解】
因为 成公比为3的等比数列，可得 ，所以
又因为数列 为等差数列，所以公差 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列 的前n项和为 ，已知
， ， 成等差数列，则 的公比为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，化为： ，解得 ．
故选：D
【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我
军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，
在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈
速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，
有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产
生的数据量都是前一天的 倍，那么训练n天产生的总数据量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据题意可知每天产生的数据量是以 为首项， （ ）为公比的等比数列，
所以训练n天产生的总数据量为 ，
故选：D
【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知正项等比数列 满足
，则 的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．8
【答案】C
【详解】
等比数列 满足 ，且公比 ，则 ，
， ， ，当且仅当时等号成立．
故选：C.
【典例1-6】（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边
一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为 ；最
右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公
比为 ．已知标准对数视力 对应的国际标准视力准确值为 ，则标准对数视力
对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据： ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
依题意，以标准对数视力 为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视
力 为该数列第3项，
标准对数视力 对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为
，
因此，标准对数视力 对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为
.
故选：D2、等比数列的判定与证明
【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）（多选）已知 为数列 的前 项之和，
且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C． 可能为等比数列 D． 的最小值为0，最大值为20
【答案】BCD
【详解】
当 时， ，解得 或 ，当 时， ，
，
整理得 ，当 时，若 ，可得 ，若
， ，
可得数列 为等比数列， ；当 时，可得 ，数列
为等差数列，
若 ，可得 ，若 ，可得 ；故A错误；B正确；C正确；当
时， ；
当 时， ；当 时， ；当
时， ；故D正确.
故选：BCD.
【典例2-2】（2022·湖南·雅礼中学二模）（多选）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的
一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一
次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
将圆盘从小到大编为 号圆盘，则将第 号圆盘移动到3号柱时，需先将第
号圆盘移动到2号柱，需 次操作；
将第 号圆盘移动到3号柱需1次操作；
再将 号圆需移动到3号柱需 次操作，
故 ， ，又 ，
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：AD.
【典例2-3】（2022·江苏泰州·模拟预测）（多选）若正整数m．n只有1为公约数，则称
m，n互质，对于正整数k， （k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： ， ， ，
．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么 ，例如：
，则（ ）
A．
B．数列 是等比数列
C．数列 不是递增数列
D．数列 的前n项和小于
【答案】ABD
【详解】
，A对；
∵2为质数，∴在不超过 的正整数中，所有偶数的个数为 ，
∴ 为等比数列，B对；
∵与 互质的数为
共有 个，∴
又∵ = ，∴ 一定是单调增数列，C错；
， 的前n项和为
，D对.故选：ABD．
【典例2-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列 的前n项和 满足
．数列 满足 ， ．
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求证： ．
【解析】(1)
当 时， ；
当 时， ，
所以 ，整理得 ．
所以 ，又 ，故 ．
所以 ，即 为等比数列．所以
(2)
由题意得 ，所以 与 同号，
又因为 ，所以 ，即 ，即 ．
所以数列 为递增数列，所以 ，
即 ，累加得 ．
令 ，，所以 ，
两式相减得： ，所以 ，所以 ，所以 ．
【典例2-5】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知各项都为正数的数列
满足 ， .
(1)若 ，求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】(1)
因为
所以 ，
因为 所以
所以
所以
所以 是首项和公比均为 的等比数列.
(2)
由（1）易得：
因为 所以
所以3、等比数列的性质及应用
【典例3-1】（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列 满足
，若存在 、 ，使得 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，由 可得 ，解得 ，
因为 ，则 ， ，可得 ，
由已知 、 ，所以，
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：D.
【典例3-2】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列 满足 ，
则 的最大值为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【答案】A
【详解】
由 ，得 .
又 ，得 .故.
由 ，得 ，得 ，且 .故当 或4时， 取得最大值，即
.
故选：A.
【典例3-3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列 的前n
项和为 ，且满足 ，则公比q＝（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】
由 ，则 ，所以 ，即 ，
解得q＝3或q＝－1（舍去）．
故选：D．
【典例3-4】（2022·海南海口·二模）已知数列 的各项均为正整数且互不相等，记
为 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等比数列；②数列 是等比数列；③ ．
注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】
选择①②为条件，③为结论．
证明过程如下：设等比数列 的公比为q，由题意知 且 ．则 ， ， ，
因为 是等比数列，所以 ，
即 ，展开整理得 ，
所以 ，即 ．
选择①③为条件，②为结论，
证明过程如下：设 的公比为q，由题意知 且 ．
因为 ，即 ，因为 ，所以 ．
所以 ，所以 ．
因为 ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列．
选择②③为条件，①为结论，
证明过程如下：设 的公比为 ，由题意知 且 ．
则 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 ．所以 ．
当 时， ，
所以 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列．
【典例3-5】（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知数列 为等比数列，且(1)求 的通项公式；
(2)若 ， 的前 项和为 ，求满足 的最小正整数
【答案】(1) (2)5
【解析】(1)
设等比数列 首项为 ，公比为q，
则 ，解之得 ，则等比数列 的通项公式
(2)
由 ，可得
则 的前 项和
由 ，可得
令 ，则
由 ，可得
由 ，可得
则有 在 单调递减，在 单调递增
又 ， ，
则 ，
即由不等式 ，可得
则满足 的最小正整数为5
