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专题 26.2 反比例函数的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 由反比例函数的解析式确定其性质】.....................................................................................................2
【题型2 判断反比例函数图象所在的象限】.........................................................................................................4
【题型3 判断反比例函数的增减性】......................................................................................................................7
【题型4 由反比例函数的增减性求字母的取值范围】.........................................................................................9
【题型5 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】...........................................................................................11
【题型6 比较反比例函数值或自变量的大小】...................................................................................................14
【题型7 反比例函数中的几何变换问题】...........................................................................................................15
【题型8 一次函数与反比例函数图象的综合判断】...........................................................................................26
【题型9 一次函数与反比例函数的的交点问题】...............................................................................................29
【题型10 反比例函数的实际应用】........................................................................................................................37
知识点1：反比例函数的性质
函数 图象 所在象限 增减性
第一、
三象限 在同一象限内，
随 的增大而减小
第二、
四象限 在同一象限内，
随 的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
【题型1 由反比例函数的解析式确定其性质】
4
【例1】（23-24九年级·河北·阶段练习）关于反比例函数y= 的图象，下列说法正确的是（ ）
x
A．必经过点(1,1) B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x<−1时，−40时，y>0，其中正确的说
法有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．根据反比例
函数的图像与性质逐一判断．
❑√5
【详解】解：在反比例函数y= 中，；图像不与坐标轴相交，
x
∵ ❑√5>0，
∴图像位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当x>0时，y>0；
∴正确的说法有3个，
故答案为：3．
【题型2 判断反比例函数图象所在的象限】
【例2】（23-24·广东广州·一模）已知一次函数y=ax+b经过点(−2,−3)，正比例函数y =ax不经过第三
1
b
象限，则反比例函数y = 的图象位于（ ）
2 x
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数、一次函数、反比例函数图象．熟练掌握正比例函数、一次函数、反比例
函数的图象是解题的关键．由正比例函数y =ax不经过第三象限，可得a<0，由一次函数y=ax+b经过点(−2,−3)，可知一次函数
1
b
经过第二、三、四象限，即b<0，进而可判断反比例函数y = 的图象位于第二、四象限．
2 x
【详解】解：∵正比例函数y =ax不经过第三象限，
1
∴a<0，
又∵一次函数y=ax+b经过点(−2,−3)，
∴一次函数经过第二、三、四象限，
∴b<0，
b
∴反比例函数y = 的图象位于第二、四象限，
2 x
故选：D．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点P(a,a)，则这个函数的图像位
于第 象限．
【答案】一、三/三、一
【分析】本题考查了反比例函数图象．熟练掌握反比例函数图象是解题的关键．
根据P(a,a)在第一或第三象限，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，P(a,a)在第一或第三象限，
∴反比例函数的图像位于第一、三象限，
故答案为：一、三．
【变式2-2】（23-24九年级·全国·单元测试）反比例函数的图像过点(a,b)与点(a+2,t)，若a、b同号，则
此图像在第 象限，用含a、b的式子表示t= ．
ab
【答案】 一、三
a+2
k
【分析】设反比例函数解析式为y= ，可得k=ab>0，故反比例函数的图像在第一、三象限；由反比例函
x
ab
数的图像过点(a,b)与点(a+2,t)可得ab=(a+2)t，于是t=
.
a+2
k
【详解】解：设反比例函数解析式为y= ，
x
∵反比例函数的图像过点(a,b)，
∴k=ab，
∵a、b同号，∴k>0，
∴反比例函数的图像在第一、三象限；
∵反比例函数的图像过点(a,b)与点(a+2,t)
∴ab=(a+2)t，
ab
∴t= .
a+2
ab
故答案是：一、三； .
a+2
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟悉性质是解题关键.
2
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）已知五个函数①y=5x，②y=x−1，③y=−x+3，④y=
x
2
，⑤y=− ，现有两个条件：（1）第二、第四象限内均有它的图象，（2）在每个象限内，y随x的增大
x
而增大，则同时满足这两个条件的函数是 （只填序号）．
【答案】⑤
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质
是解题的关键．画出相应的函数图象，根据一次函数图象和反比例函数图象的性质逐一判断即可．
【详解】解：依次画出这五个函数的图象，如图所示，
①
由y=5x图象可知，经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
②由函数y=x−1图象可知，第二象限没有它的图象，经过第一、三、四象限，在每个象限内，y随x的增大
而增大，故②不符合题意；
③
由函数y=−x+3图象可知，经过第一、二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故③不符合题
意；
④
2
由函数y= 图象可知，第二、第四象限内没有它的图象，经过第一、三象限，且在每个象限内，y随x的
x
增大而减小，故④不符合题意；
⑤
2
由函数y=− 图象可知，经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，故⑤符合题意；
x综上所述，⑤符合题意；
故答案为：⑤．
【题型3 判断反比例函数的增减性】
【例3】（23-24九年级·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
2 2
A．y=x+2 B．y=−x+2 C．y= D．y=−
x x
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．
根据一次函数和反比例函数的增减性逐项判定即可得．
【详解】解：A、一次函数y=x+2中，k=1>0，所以y随x的增大而增大，则此项符合题意；
B、一次函数y=−x+2中，k=−1<0，所以y随x的增大而减小，则此项不符合题意；
2
C、反比例函数y= 中，k=2>0，所以函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减
x
小，则此项不符合题意；
2
D、反比例函数y=− 中，k=−2<0，所以函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而
x
增大，则此项不符合题意；
故选：A．
k
【变式3-1】（23-24·上海·三模）反比例函数y= ，k>0，则在第三象限，y随x增大而 ．（选填
x
“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】此题考查反比例函数的性质．由k>0，根据反比例函数的性质即可得出结论．
k
【详解】解：∵反比例函数y= ，k>0，
x
∴反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小，
∴在第三象限，y随x增大而减小，
故答案为：减小．
−mn
【变式3-2】（23-24·上海·模拟预测）若正比例函数y=mnx过第二象限，则反比例函数y= 的图象在
x
每个象限，y随x的增大而 （选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出mn<0，从而推出−mn>0，最后由反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数y=mnx过第二象限，
∴mn<0，
∴−mn>0，
−mn
∴则反比例函数y= 的图象在每个象限，y随x的增大而减小，
x
故答案为：减小．
5
【变式3-3】（23-24九年级·江西九江·阶段练习）已知反比例函数y= ，当−5≤ y<−1时，自变量x的取
x
值范围是 ．
【答案】−5−5
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，由k的值，可以得到该函数图象
在第几象限，再根据反比例函数的性质，从而可以得到x的取值范围．
5
【详解】解：∵y= ，
x
∴该函数图象在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
5
∴当y=−5时，则 =−5，则x=−1，
x
5
当y=−1时，则 =−1，则x=−5
x
∴当−5≤ y<−1时，−5a>−2
【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答．
【详解】∵m2+1>0，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵y y <0，y + y <0，
1 2 1 2
∴y ，y 异号，
1 2m2+1
∵点A(a,y )，B(2,y )在反比例函数y= （m是常数）的图象上，
1 2 x
∴A点在第三象限，B点在第一象限，
∴a<0
m2+1 m2+1
∴y = ,y = ，
1 a 2 2
m2+1 m2+1
∴ + <0，
a 2
∴(m2+1)
(1
+
1)
<0，
a 2
∴a>−2
∴−20，则a的取值范围为（ ）
1 2
A．a<0 B．a<−2 C．−20
【答案】D【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y）、（a＋2，y）在图象的同一分支
1 2
上时；②当点（a，y）、（a＋2，y）在图象的两支上时，分别求解即可．
1 2
【详解】解：∵|k|+1>0，
∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，
∵ y −y >0，
1 2
∴ y ＞y，
1 2
①当点（a，y）、（a＋2，y）在同一象限时，
1 2
∵y＞y，
1 2
i.当在第一象限时，
∴00；
ii.当在第三象限时，
∴a0；
②当点（a，y）、（a＋2，y）不在同一象限时，
1 2
∵y＞y，
1 2
∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，
因此，本题a的取值范围为a<−2或a>0，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当k<0
时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当k>0时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
k
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知反比例函数y= (k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与
x
最小值之差是4，则k= ．
【答案】6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；
∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每
个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
【题型5 由双曲线分布的象限求字母的取值范围】
【例5】（23-24九年级·湖南常德·阶段练习）若反比例函数y=(m−0.1)x−|m|的图像经过第二、四象限，
则m= ．
【答案】−1
【分析】根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值．
【详解】解：∵y=(m−0.1)x−|m|
是反比例函数，
∴−|m)=−1，即m=±1，
∵函数图像经过第二、四象限，
∴m−0.1<0，即m<0.1，
∴m=−1．
故答案为−1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的定义是解答
本题的关键．
1−3k
【变式5-1】（23-24九年级·上海闵行·阶段练习）若反比例函数y= 的图象不经过第一象限，则k的
x
取值范围是 ．
1
【答案】k>
3
【分析】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则1−3k<0，解之即可求得k的取值范围，从
而求解．
1−3k
【详解】解：反比例函数y= 的图象不经过第一象限，
x
则经过二四象限，
∴1−3k<0．1
解得：k> ．
3
1
故答案为：k> ．
3
【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
m
【变式5-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）若反比例函数y= （m≠0）与正比例函数y=7x无交点，则m
x
的取值范围是
【答案】m<0
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求解 ．
【详解】解：∵正比例函数y=7x中，7＞0，
∴正比例函数y=7x的图象过第一、三象限，
m
∵反比例函数y= （m≠0）与正比例函数y=7x无交点，
x
m
∴反比例函数y= （m≠0）的图象过第二、四象限，
x
∴m＜0．
故答案为：m＜0．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数和反比例函数的性质，熟知一次函数
和反比例函数的性质是解题的关键．
k
【变式5-3】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数y= (k≠0)的图象经过第一、三象限，
x
k 1 1 2
A(x ,y )与B(x ,y )是反比例函数y= 图象上的两个点，若x −x =k−1且 = + ，则k的值为
1 1 2 2 x 2 1 y y k2
2 1
．
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根
k k 1 x 1 x 1 1 2 x x 2
据图象上点的坐标特征得到y = ，y = ，变形为 = 1 ， = 2 ，由 = + 得到 2= 1+
1 x 2 x y k y k y y k2 k k k2
1 2 1 2 2 1
2 2
，即可得到x −x = ，由x −x =k−1，可得k−1= ，再求解即可．
2 1 k 2 1 kk
【详解】解：∵点A(x ，y )，B(x ，y )为反比例函数y= (k≠0)图象上的两点，
1 1 2 2 x
k k
∴y = ，y = ，
1 x 2 x
1 2
1 x 1 x
∴ = 1 ， = 2 ，
y k y k
1 2
1 1 2
= +
∵ ，
y y k2
2 1
x x 2
∴
2= 1+
，
k k k2
2
∴ x −x = ，
2 1 k
∵ x −x =k−1，
2 1
2
∴k−1= ，
k
解得：k=2或−1，
k
∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过第一、三象限，
x
∴k=2，
故答案为2．
【题型6 比较反比例函数值或自变量的大小】
2024
【例6】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知(x ,y )，(x ,y )，(x ,y )是反比例函数y= 的图象上
1 1 2 2 3 3 x
的三个点，且x 0，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y 0，
2024
∴反比例函数y= 的图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
x
∵x 0，
1 2 3∴点(x ,y )在第一象限，点(x ,y )和点(x ,y )在第三象限，
3 3 1 1 2 2
∵x 0>y >y ，
3 1 2
∴y 0，x >0，
1 2 3
10
又∵反比例函数y= ，在每一象限内，y随x的增大而减小，且2<5，
x
∴x y >y
3 1 2
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据反比例
函数的图像和性质解题即可．
【详解】解：∵k2+2>0，
故反比例函数经过一、三象限，
所以每一象限y随x的增大而减小，所以y >0>y >y ，
3 1 2
故答案为：y >y >y ．
3 1 2
【变式6-3】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）若点A(x ,−1)，B(x ,1)，C(x ,5)都在反比例函数
1 2 3
5
y= 的图象上，则x ，x ，x 大小关系是 ．
x 1 2 3
【答案】x x >x
1 3 2 2 3 1
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例
函数的性质，进行判断即可．
5
【详解】解：∵y= ，5>0，
x
∴双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随着x的增大而减小，
5
∵点A(x ,−1)，B(x ,1)，C(x ,5)都在反比例函数y= 的图象上，
1 2 3 x
∴点A在第三象限，B,C在第一象限，
∴x <0,x >0,x >0，
1 2 3
∵5>1，
∴x >x >0，
2 3
∴x 0)个单位长度，得到的图像分别记为C 和l ．已知图像C 经过
x 1 1 1
点M(3,2)．
①求出平移后的图像l 对应的函数表达式；
1
2
②直接写出不等式 ≤ax−4解集．
x−2
6
【答案】(1)x+1，y；y=
x+1
(2)①y=2x−4；②1≤x<2或x≥3．
【分析】（1）根据材料可得，将P(x,y)向右平移1个单位后，P′坐标为(x+1,y)，再将P′坐标代入原函
数解析式；
2
（2）①直接把A点坐标代入y= 即可求出m的值，然后再把A点坐标代入y=ax求出a的值，最后利用反
x2
比例函数的图像与正比例函数的图像的交点关于原点对称确定B点坐标；根据题意得到函数y= 的图像和
x
2
直线AB向右平移n(n>0)个单位长度，得到的图像C 的解析式为y= 和图像l 的解析式，然后把M点
1 x−n 1
的坐标代入即可得到n的值，从而得到图像C 的解析式和l 的解析式；
1 1
2 2 2
②不等式 +4≤ax可理解为比较y= 和y=2x−4的函数值，由于y= 和y=2x−4为函数
x−2 x−2 x−2
2 2
y= 的图像和直线AB同时向右平移2个单位长度得到的图像；结合图像解不等式 ≤2x−4得出解
x x−2
集．
【详解】（1）解：设变换后新的函数图像上任意点P的坐标为(x,y)，
将P(x,y)向右平移1个单位后，P′坐标为(x+1,y)，
6 6
将P′(x+1,y)代入y= 得：y= ，
x x+1
6
∴平移后的图像对应的函数表达式为：y= ．
x+1
6
故答案为：x+1，y；y= ；
x+1
2 2
（2）解：①把A(1,m)代入y= 得：m= =2，
x 1
∴A(1,2)，
把A(1,2)代入y=ax得：a=2，
2
∴反比例函数y= 的图像与正比例函数y=2x的图像的交点关于原点对称，
x
∴B点坐标为(−1,−2)，
2 2
函数y= 的图像和直线y=2x的图像向右平移n(n>0)个单位长度，得到的图像C 的解析式为y= ，
x 1 x−n
图像l 的解析式为y=2(x−n)，
1
2
把M(3,2)代入得： =2，
3−n
解得：n=2，
2
∴图像C 的解析式为y= ，l 的解析式为y=2(x−2)=2x−4，
1 x−2 1
∴平移后的图像l 对应的函数表达式为：y=2x−4；
12
②由①得，函数y= 的图像和直线y=2x同时向右平移2个单位长度，
x
∵平移之前A(1,2)，B(−1,−2)，
2
∴平移以后两个函数图像的解析式为：图像C 的解析式为y= ，l 的解析式为y=2x−4；平移后的
1 x−2 1
两个图像交点分别是(3,2)，(1,−2)，直线y=2x−4与x轴的交点为(2,0)，
2
∵不等式 +4≤ax，
x−2
又∵a=2，
2
即： ≤2x−4，
x−2
∴结合图像可知解集为：1≤x<2或x≥3，
2
∴不等式 ≤ax−4的解集为：1≤x<2或x≥3．
x−2
【点睛】本题主要考查图形的几何变换，考查了反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特
征，会确定反比例函数与一次函数的交点坐标以及待定系数法确定解析式，用数形结合法解不等式．理解
和掌握通过图形的平移、旋转、对折确定点的坐标从而确定函数的表达式是解题的关键．
【变式7-1】（23-24九年级·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt△ABC的直角边AB在
x轴上，∠ABC=90∘．点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，4)，M是BC边的中点，函数
k
y= (x>0) 的图象经过点M．
x（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180∘后得到△≝¿（点 A，B，C 的对应点分别为点D，E，F），且 EF在
k
y轴上，点D在函数y= (x>0)的图象上，求直线DF的表达式．
x
【答案】（1）6；（2）y=2x-1．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和坐标与图形的特点求得点M的坐标，将其代入反比例函数解析式
求得k的值；
（2）根据旋转的性质推知：△≝≅△ABC，故其对应边、角相等：DE=AB，EF=BC，
∠≝=∠ABC=90°，由函数图象上点的坐标特征得到：D(2,3)，E(0,3).结合EF=BC=4得到F(0,−1)
，利用待定系数法求得结果.
【详解】（1）∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（3，0），CB=4．
∵M是BC边的中点，
∴点M的坐标为（3，2）．
k
∵函数y= (x>0)的图像进过点M,
x
∴k=3×2=6．
（2）∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB=2．
∴DE=2．
∵EF在y轴上，∴点D的横坐标为2．
6
∵点D在函数y= 的图象上，
x
当x=2时，y=3．
∴点D的坐标为（2，3）．
∴点E的坐标为（0，3）．
∵EF=BC=4，
∴点F的坐标为（0，-1）．
设直线DF的表达式为y=ax+b，将点D，F的坐标代入，
{3=2a+b) { a=2 )
得 解得 .
−1=b b=−1
∴直线DF的表达式为y=2x-1．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质.解题
时，注意函数思想和数形结合数学思想的应用.
3
【变式7-2】（23-24·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=− x+3与x轴、y轴分
4
k k
别交于点A、B，与双曲线y= 交于点C(6,m)，D两点，直线x=t分别与直线l和双曲线y= 交于
x x
M、N，连接BN，CN．
(1)求k的值；
(2)点M在线段AB上（不与端点A、B重合），若CM=CN，求△BCN的面积；
(3)将点N沿直线AB翻折后的对应点为N′，当N′落在x轴上时，求t的值．
【答案】(1)−9
(2)18❑√106
(3)2±
4
( 3)
【分析】（1）先求出C 6,− ，再代入反比例函数解析式计算即可得解；
2
( 3 ) ( 9)
（2）结合题意得出M坐标 t,− t+3 ，N坐标 t,− ，过C作CH⊥MN于点H，求出H纵坐标为
4 t
1( 3 9) 1( 3 9) 3
− t+3− ，得到 − t+3− =− ，求出t的值即可得解；
2 4 t 2 4 t 2
（3）将x轴沿直线AB翻折得直线l′，过点O作OP⊥AB交直线l′于点P，交直线AB于点Q，由题意得出直
4 (36 48) (72 96)
线OP解析式y= x，求出Q , ，从而得到P , ，待定系数法求出直线l′解析式
3 25 25 25 25
24 96
{ y=− x+ )
24 96 7 7
y=− x+ ，联立 ，求出x的值即可得解．
7 7 9
y=−
x
3 3
【详解】（1）解：将C(6,m)代入直线y=− x+3得：− ×6+3=m，
4 4
3
解得：m=− ，
2
( 3) k ( 3)
再将C 6,− 代入y= 得：k=6× − =−9；
2 x 2
3 −9 ( 3)
（2）解：由（1）得直线l:y=− x+3，双曲线y= ，C点坐标 6,− ，
4 x 2
( 3 ) ( 9)
∴M坐标 t,− t+3 ，N坐标 t,− ，
4 t
过C作CH⊥MN于点H，∵CM=CN
，
∴H为MN中点，
1( 3 9)
∴H纵坐标为 − t+3− ，
2 4 t
1( 3 9) 3
∴ − t+3− =− ，
2 4 t 2
解的t =2，t =6（舍），
1 2
∴t=2，
( 3) ( 9) 3 ( 9)
可得M 2, ，N 2,− ，MN= − − =6，
2 2 2 2
1
∴S =6×6× =18；
△BCN 2
（3）解：将x轴沿直线AB翻折得直线l′，过点O作OP⊥AB交直线l′于点P，交直线AB于点Q，
3 4
由直线l:y=− x+3可得直线OP解析式y= x，
4 33 36
{ y=− x+3) { x= )
4 25
联立 得： ，
4 48
y= x y=
3 25
(36 48)
∴Q , ，
25 25
(72 96)
∵Q为OP中点，则P , ，
25 25
设直线l′的解析式为：y=mx+n，
(72 96)
{72
m+n=
96
)
将P , 及A(4,0)代入直线l′解析式可得： 25 25 ，
25 25
4m+n=0
24
{ m=− )
7
解得： ，
96
n=
7
24 96
∴直线l′解析式y=− x+ ，
7 7
24 96
{ y=− x+ )
7 7 24 96 9
联立 得− x+ =− ，
9 7 7 x
y=−
x
❑√106
解得：x=2± ，
4
❑√106
当t=2± 时，将点N沿直线AB翻折后的对应点N′会落在x轴上，
4
❑√106
∴t=2± ．
4
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、三角形
面积公式、求中点坐标等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
m
【变式7-3】（23-24·四川成都·一模）如图，已知直线y=−x+m+1与反比例函数y= (x>0,m>0)的图
x
象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．(1)如图1，当点A坐标为(1,3)时，
①求直线AB的解析式：
②若点P是反比例函数在第一象限直线AB上方一点，当△ABP面积为2时，求点P的坐标；
(2)将直线CD向上平移2个单位得到直线EF，将双曲线位于CD下方部分沿直线CD翻折，若翻折后的图
象（图中虚线部分）与直线EF有且只有一个公共点，求m的值．
【答案】(1)①y=−x+4；②P(3+❑√6，3−❑√6)或(3−❑√6，3+❑√6)
(2)m=3+2❑√2
【分析】（1）①根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得m的值，代入一次函数即可求得直线
AB的解析式；
②作MN∥AB，过C作CQ⊥MN于Q；联立AB与反比例函数解析式，求得A，B的坐标，进而求得
AB的长，根据三角形面积求得MN，AB的距离，进而求得MN的解析式，联立MN与反比例函数解析式
即可求得P点的坐标；
m
（2）过点O作OJ⊥EF，交y= 于点H，交AB于点I，由题意可知直线EF的解析式为y=−x+m+3，
x
则E(m+3,0),F(0,m+3)，同（1）可得C(m+1，0),D(0，m+1)，证明I为CD的中点，得到
(m+1 m+1)
I ， ，则直线OI的解析式为y=x，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线EF有且只有一
2 2
个公共点，则H点对应的点为J，则IJ=IH，即I是JH的中点，求出H(❑√m，❑√m)，根据两点中点坐标m+3
❑√m+
公式得到 2 m+1，由此求解即可；
=
2 2
m
【详解】（1）解：①∵A(1，3)在y= 上，
x
∴m=1×3=3，
把m=3代入y=−x+m+1中得：y=−x+4，
3
则直线AB解析式为：y=−x+4，反比例函数解析式为：y= ；
x
3
②由直线y=−x+4与反比例函数y= 的图象分别交于点A和点B，
x
{y=−x+4
)
则 3 ，
y=
x
{x=1) {x=3)
解得 或 ，
y=3 y=1
∴B(3，1)，
∴AB=❑√(3−1) 2+(3−1) 2=2❑√2，
如图，过P作MN∥AB分别交x轴、y轴于点M、N，过C作CQ⊥MN于Q，
1
设MN，AB的距离为d，则 AB⋅d=2，
2
解得d=❑√2，
∴MN，AB的距离为❑√2，
∴CQ=❑√2，
∵y=−x+4，令x=0，则y=4，令y=0，则x=4，即C(4，0),D(0，4)
∴OC=OD=4，
∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠OCD=45°，
∵MN∥CD，
∴∠QMC=∠OCD=45°，
∴△CQM是等腰直角三角形，
在Rt△CQM中，CM=❑√2CQ=2，
∴直线MN是直线AB向右平移2个单位后得到的直线，
∴直线MN的解析式为y=−x+6，
{y=−x+6
)
联立 3 ，
y=
x
{x=3+❑√6) {x=3−❑√6)
解得 或 ，
y=3−❑√6 y=3+❑√6
∴ P(3+❑√6，3−❑√6)或(3−❑√6，3+❑√6)；
m
（2）解：过点O作OJ⊥EF于J，交y= 于点H，交AB于点I，如图，
x
∴OJ⊥CD，
由题意可知直线EF的解析式为y=−x+m+3，
∴E(m+3,0),F(0,m+3)，
同（1）可得C(m+1，0),D(0，m+1)，
∴OD=OC，
∵OI⊥CD，
∴I为CD的中点，
(m+1 m+1)
∴I ， ，
2 2∴直线OI的解析式为y=x，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线EF有且只有一个公共点，则H点对应的点为J，
∴IJ=IH，即I是JH的中点，
{y=x
) {x=❑√m) {x=−❑√m)
联立 m ，解得 或 ，
y= y=❑√m y=−❑√m
x
∴H(❑√m，❑√m)，
m+3
❑√m+
∴ 2 m+1，
=
2 2
∴2❑√m+m+3=2m+2，
∴2❑√m=m−1，
∴m2−6m+1=0，
解得：m=3+2❑√2（负值舍去）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，等腰直角三角形的性
质，解一元二次方程，一次函数的平移，轴对称的性质，正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解是解
题的关键．
【题型8 一次函数与反比例函数图象的综合判断】
m
【例8】（23-24九年级·四川内江·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m与y= (m≠0)的图象
x
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可．
m
【详解】解：当m>0时，∴反比例函数y= 图象在一、三象限，函数y=mx+m的图象经过一、二、三
x
象限，故A选项符合题意，B选项不符合题意；
m
当m<0时，∴反比例函数y= 图象在二、四象限，函数y=mx+m的图象经过二、三、四象限，故C，D
x
选项都不符合题意．
故选：A．
k
【变式8-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在同一直角坐标系中，函数y=kx−k与y= (k≠0)的大
|x|
致图象是（ ）
A．①或④ B．②或③
C．①或③ D．②或④
【答案】B
【分析】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，根据k的取值范围，分别讨论k>0和k<0时的情
况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：当k>0时，
一次函数y=kx−k经过一、三、四象限，
k
函数y= (k≠0)的图象在一、二象限，
|x|
故选项②的图象符合要求．
当k<0时，
一次函数y=kx−k经过一、二、四象限，
k
函数y= (k≠0)的图象经过三、四象限，
|x|
故选项③的图象符合要求．
故选：B．a
{ (a≥0))
b 1 1
【变式8-2】（23-24·广东广州·二模）定义新运算：a⊗b= 例如 1⊗3= ,−2⊗1=− ，则
b 3 2
(a<0)
a
y=x⊗2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查定义新运算，一次函数与反比例函数的图象，根据新运算的法则，列出关系式，进行判
断即可．
x
{ (x≥0))
2
【详解】解：由题意，得：y=x⊗2=
，
2
(x<0)
x
∴当x≥0时，函数图象是过原点的向上的直线，当x<0时，函数图象是过第三象限的双曲线；
故符合题意的是：C
【变式8-3】（23-24九年级·江苏泰州·期中）变量y与x、变量z与y之间的函数关系分别如图①，②所
示，则表示变量z与x之间的函数关系的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质．由图①可得
1 2
1 1 z= =
y= x+1，由图②可得z= ，所以 1 x+2，由x+2≠0可得答案．
2 y x+1
2
【详解】解：设图①y与x的函数关系式为y=kx+b，
{−2k+b=0) { k= 1 )
由图①得 ，解得 2 ，
b=1
b=1
1
∴y= x+1，
2
k′
设z与y之间的函数关系式为y= ，
y
由图②得k′=zy=1，
1
∴z= ，
y
1 2
∴z= =
1 x+2，
x+1
2
∵x+2≠0，
∴变量z与x之间的函数关系的图象可能是A．
故选：A．【题型9 一次函数与反比例函数的的交点问题】
m
【例9】（23-24九年级·四川内江·期中）如图，直线y=kx+b与双曲线y= (x<0)相交于A(−3,1)、
x
B(−1,n)两点，与x轴相交于点C．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积；
m
(3)直接写出当x<0时，关于x的不等式kx+b< 的解集．
x
3
【答案】(1)一次函数的表达式为y=x+4；反比例函数表达式为y=− (x<0)
x
(2)4
(3)x<−3或−10)的函数图象经过点D，点
xP是反比例函数上一动点，直线PC的解析式为：y=ax+b(a≠0)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果PC把四边形ABCD的面积分成1:3两部分，直接写出直线PC的解析式；
(3)对于一次函数y=ax+b(a≠0)，当y随x的增大而增大时，直接写出点P的横坐标x的取值范围．
8
【答案】(1)y=
x
5
(2)y=x或y= x−9
2
4
(3) 6
∴当x=6时，y=10×6+20=80
答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃．
【变式10-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药
后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组
成，如图（当x≥4时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）
A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时
【答案】B
【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持
续时间．
【详解】解：0≤x<4时，设线段的解析式为y=kx，
由于线段过点(4,8)，则有8=4k，
解得：k=2，
即线段解析式为y=2x；
k k
当x≥4时，设y= 1，把点(4,8)代入y= 1中，得k =4×8=32，
x x 1
32
即y= ，
x
32
当y=4时，4=2x，得x=2；当y=4时，4= ，得x=8；
x∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为8−2=6（小时）；
故选：B．
【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待
定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合．
【变式10-2】（23-24九年级·广西梧州·阶段练习）如图1，在左侧托盘A（固定）中放置一个重物，在右
侧托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相
应的托盘B中的砝码质量，得到如下相关数据：
托盘B与点O的距离 1
15 20 25 30
x/cm 0
托盘B中的砝码质量 3
20 15 12 10
y/g 0
(1)根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用反比例函数
近似地表示y与x的函数关系．请直接写y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离；
(3)当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加砝码还是减少砝码？为什么？
300
【答案】(1)y=
x
(2)当砝码质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm
(3)应往托盘B中添加砝码．理由见解析
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两
个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）观察可得：x,y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）把y=24代入解析式求解，可得答案；
（3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小．
【详解】（1）解：根据表格可得：xy=300，
300
∴y与x的函数关系式为：y= ；
x
300
（2）解：当y=24时，代入得，24= ，
x
解得：x=12.5，
∴当砝码质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm；
（3）解：根据反比例函数的增减性，
∵300>0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
故当活动托盘B与点O的距离不断减小时，即x变小，此时y变大，
∴应往托盘B中添加砝码．
【变式10-3】（23-24九年级·福建福州·阶段练习）研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t
之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在0
