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专题14 空间几何体的折叠及多面体的问题
1、（2019•新课标Ⅲ，理16文16）学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型，如图，该模型为长
方体 ，挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中心， ， ， ，
，分别为所在棱的中点， ， ， 打印所用原料密度为 ，不考虑打
印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ．
2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
3、（2020江苏9）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边
形边长为 ，高为 ，内孔半径为 ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ．4、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD–ABC D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为
1 1 1 1
球心， 为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
5、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长
方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是
由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半
正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有
________个面，其棱长为_________．
题组一、 几何体的多边形问题
1-1、（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图所示，该几何体由一个直三棱柱 和一个四棱锥
组成， ，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则
B．若平面 与平面 的交线为 ，则AC//l
C．三棱柱 的外接球的表面积为
D．当该几何体有外接球时，点 到平面 的最大距离为
1-2、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体
作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或
平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除 如图
所示，底面 为正方形， ，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为
（ ）
A． B． C． D．
C
1-3、（2021·全国高三专题练习（文））碳70 70 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳
原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个
面，则其六元环的个数为（ ）．A．12 B．25 C．30 D．36
1-4、、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的
正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题组二、空间几何体的折叠问题
2-1、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）（多选题）如图，矩形 中， 为边
的中点，沿 将 折起，点 折至 处（ 平面 ），若 为线段 的中点，二面角
大小为 ，直线 与平面 所成角为 ，则在 折起过程中，下列说法正确的是
（ ）A．存在某个位置，使得
B． 面积的最大值为
C．当 为锐角时，存在某个位置，使得
D．三棱锥 体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积为
2-2、（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等
的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），
则该容器的容积为（ ）
A． B． C． D．
2-3、（2022·江苏宿迁·高三期末）如图，一张长､宽分别为 的矩形纸， ， 分别是其四条边的
中点.现将其沿图中虚线折起，使得 四点重合为一点 ，从而得到一个多面体，则（ ）
A．在该多面体中，
B．该多面体是三棱锥
C．在该多面体中，平面 平面D．该多面体的体积为
2-4、（2022·江苏扬州·高三期末）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足
，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（ ）
A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BM
B．若 ，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若 且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61π
D．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为
题组三、运用空间向量解决空间几何体的折叠问题
3-1、（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图 ，菱形 的边长为 ， ，将 沿 向
上翻折，得到如图 所示得三棱锥 .
(1)证明： ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，
求出 ；若不存在，请说明理由.3-2、（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足
，将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
(2)若 ，求锐二面角 的大小.
3-3、（2023·江苏南通·统考一模）如图，在 中， 是 边上的高，以 为折痕，将 折至
的位置，使得 .(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
1、（2023·江苏南京·校考一模）中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边
形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体
积为（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
2、（2023·吉林·统考三模）如图，菱形纸片 中， ，O为菱形 的中心，将纸片沿对角线
折起，使得二面角 为 ， 分别为 的中点，则折纸后 （ ）A． B． C． D．0
3、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，正八面体的棱长为2，则此正八面体的表面积与体积之比为（
）
A． B． C． D．
4、（2023·河北唐山·统考三模）把边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角 ，则三
棱锥 的外接球的球心到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
5、（2023·黑龙江大庆·统考三模）（多选题）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行
平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体
的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体 作勒洛四面体，如图，
则下列说法正确的是（ ）
A．平面 截勒洛四面体所得截面的面积为
B．记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧 ，则其长度为
C．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4D．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
6、（2023·河北唐山·统考三模）（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形
的屋状的楔体（图示的五面体 ．底面长方形 中 ， ，上棱长 ，且
平面 ，高（即 到平面 的距离）为 ， 是底面的中心，则（ ）
A． 平面
B．五面体 的体积为5
C．四边形 与四边形 的面积和为定值
D． 与 的面积和的最小值为
7、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知直三棱柱 中， ， ，
分别为棱 ， 的中点，过点 作平面 将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为
，则 __________；平面 截此三棱柱的外接球的截面面积为__________．
8、（2023·吉林长春·统考三模）如图，平面五边形 中，△ 是边长为2的等边三角形，
， ， ，将△ 沿 翻折，使点 翻折到点 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
