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专题26.3 反比例函数综合
一、知识点梳理
一、知识点梳理
确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因
此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ( )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数 的值；
（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.
二、题型总结
【题型1 反比例函数与几何综合】
【例1】．如图一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数 的图像交于点A（2，5）和点B（n，
2）．(1)求m，n的值；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
【变式1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与y轴相交于点A，与反比例函数
(k≠0)在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作 轴于点C．
(1)求k的值．
(2)求△ABC的面积．
【变式1-2】．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于C（2，n）、D两点，与x
轴，y轴分别交于A、B（0，2）两点，如果△AOC的面积为6．
(1)求点A的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式；
(3)如图2，连接DO并延长交反比例函数的图像于点E，连接CE，求点E的坐标和△COE的面积．
【变式1-3】．如图， 的顶点A是一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第
四象限的交点，AB垂直x轴于B，且 ．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求出它们的交点A、C的坐标和 AOC的面积．
【题型2 反比例函数与一次函数综合】
【例2】．如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的纵
坐标6，点B的坐标为(-3，-2)．(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)结合图像直接写出 时 的取值范围．
【变式2-1】．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于A（1，6），B（6，1）两点.
(1)求一次函数 的表达式与反比例函数 的表达式；
(2)当 时，直接写出自变量x的取值范围为__
(3)求△AOB的面积；
【变式2-2】．如图，一次函数 的图像与反比例函数 （k为常数，且k≠0）的图像都经过点
A（m，2）、B（－2，n）,设直线AB与y轴交于点C．(1)m=_______, n=________, k=________；
(2)连接OA、OB, 求△AOB的面积；
(3)结合图像直接写出：当__________________时，y>y．
1 2
【变式2-3】．如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于 ， 两点．
(1)求一次函数表达式和反比例函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)求 的面积．
【题型3 反比例函数与最短路径问题】
【例3】．如图，在矩形ABCO中， ，点D是边AB的中点，反比例函数 的图
象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为 ．(1)求反比例函数和直线DE的解析式．
(2)在x轴上找一点P，使 的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下， 的周长最小值是_________．
【变式3-1】．如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反
比例函数y 的图象经过点M，交BC于点N．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．
【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
点A在反比例函数 的图象上，点D的坐标为 ．(1)求反比例函数的关系式；
(2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数 的图象上时，求线段OD扫过图形
的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标.
【变式3-3】．已知反比例函数 和一次函数 ，其中一次函数图象过 ， 两
点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数 的图象分别与函数 图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使
得 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【题型4 反比例函数与平行四边形综合】
【例4】．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于第一象限内的点 和，与x轴交于点C．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)①观察图象，直接写出不等式 的解集；②请连接OA、OB，并计算△AOB的面积；
(3)是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二象限内的点
和 ，与x轴交于点C．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)不等式 的解集是______．
(3)在坐标平面内是否存在点P，使得由点O，B，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-2】．如图，在 中， ， ， ．一次函数交 轴于点 ，交
反比例函数于 、 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】．如图，一次函数 与 轴交于点A，与反比例函数 的图象相交于B、C两点，
BD⊥ 轴交 轴于点D，OA＝OD， ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)求点C的坐标，并直接写出不等式 的解集；
(3)在所在平面内，存在点E使以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件
的点E的坐标．
【题型5 反比例与等腰三角形综合】
【例5】．已知一次函数 与反比例函数 的图像交于A(－4，3)、B(2， )两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 AOB的面积；
(3)点P在 轴上，当 PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【变式5-1】．如图，已知一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点， 点的
坐标是 ， 点的坐标是 ．(1)求出两个函数解析式；
(2)在 轴正半轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），C（-1，2）是平行四边形OABC的两
个顶点，反比例函数 的图像经过点B．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)将平行四边形OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数 的图像上，并
说明理由；
(3)在x轴上是否存在一点P，使 是以OC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
【变式5-3】．如图，反比例函数y= 的图像与一次函数y=mx+b的图像交于两点A(1，3)，B(n，−1)．(1)求反比例函数与一次函数的函数关系式；
(2)根据图像，直接回答：当 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)连接AO、BO，求 ABO的面积；
(4)在反比例函数的图△像上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．
三、课后练习
1．如图，直线一次函数y= x+2与双曲线反比例函数相交于点A（m,3），与x轴交于点C，求反比例函数
解析式．
2．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ．(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请直接写出当 时，反比例函数 的函数值 的取值范围是_______．
3．如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y 的图象交于A、B两点与x轴相
交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3n，n）和（m，﹣3）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式x﹣2 的解集；
(3)点P为反比例函数y 图象的任意一点，若 ，求点P的坐标．
4．如图，直线y=kx+b与双曲线y= 相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求 AOB的面积；
△
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象
交于 、 两点．
(1)求直线 的解析式；
(2)若点P在y轴上，求 的最小值．6．如图，已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，
1
m），与x轴交于点C．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）不等式kx+b＞ 的解集是 ；
1
（3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ，B两点，分别连接 ， ．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象交于A，B
两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 AOB的面积；
(3)在△x轴上是否存在一点P，使 AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说
明理由． △
9．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(4，0)，过B作BC⊥AB交反比例函数 (m≠0)
的位于第一象限的图象于点C，已知AC= ，设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)．
(1)求反比例函数与直线BC的解析式；(2)E是x轴上一点，且 BCE是等腰三角形，求出所有符合条件的E点坐标．
△
10．如图，一次函数 经过点 ， ，与反比例函数 的图象交于点
，D两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出当 时x的取值范围；
(3)点P在x轴上，是否存在 是以CD为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存
在，说明理由．
