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解密22 抛物线
【考点解密】
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直
线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
坐标
对称轴 x轴 y轴
焦点
F F F F
坐标
离心率 e＝1
准线
x＝－ x＝ y＝－ y＝
方程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口
向右 向左 向上 向下
方向
焦半径 x＋ －x＋ y＋ －y＋
0 0 0 0
通径长 2p
【方法技巧】
求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距
离公式，求出三角形的高，即可得出.【核心题型】
题型一：定义法求焦半径
1．（2023·山西晋中·统考二模）设F为抛物线C： 的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x
轴，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．4
2．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距
离为6，到 轴的距离为3，O为坐标原点，则 （ ）
A． B．6 C． D．9
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，
若 的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
题型二：定义法求焦点弦
4．（2021秋·陕西西安·高二统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 与
抛物线 交于A（点A在第二象限）， 两点，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点
， ，与抛物线C的准线交于点Q，若 （O为坐标原点），
，则 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）抛物线 的焦点为 ，对称轴为 ，过 且与 的夹角为 的直线交 于
， 两点， 的中点为 ，线段 的中垂线 交 于点 ．若 的面积等于 ，则 等于（ ）
A． B．4 C．5 D．8
题型三：求距离的最值问题
7．（2023·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
A，B的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，
简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P是满足 的阿氏圆上的任意一点，点Q
为抛物线 上的动点，Q在直线 上的射影为R，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·山东德州·高三统考期末）曲线 上有两个不同动点 ，动点 到 的最小
距离为 ，点 与 和 的距离之和 的最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知点 是抛物线 上任意一点，则点 到抛物线 的
准线和直线 的距离之和的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．5
题型四：抛物线的对称问题
10．（2021·宁夏中卫·统考一模）已知抛物线C： （ ）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆 的切线，切点分别为点A，B.若 ，则p的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 与抛物线 ： 交于 两点， 为坐
标原点，若 的外接圆经过点 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．4
12．（2020·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上，且点 到准线
的距离为6， 的垂直平分线与准线 交于点 ，点 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：抛物线的综合问题
13．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知抛物线 上的一个动点P到抛物线的焦点
F的最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过焦点F的直线l交抛物线C于 两点，M为抛物线上的点，且 ， ，求 的面积．
14．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知点 在抛物线 上，且到抛物线 的焦
点 的距离为2.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 ，若直线 与直线 交于点 ，且点 到
直线 ､直线 的距离分别为 .求证： 为定值.15．（2023·江西赣州·统考一模）已知抛物线 为其焦点，点 在 上，且 （
为坐标原点）.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 是 上异于点 的两个动点，当 时，过点 作 于，问平面内是否存在一个定点 ，
使得 为定值？若存在，请求出定点 及该定值：若不存在，请说明理由.
【高考必刷】
一、单选题
16．（2023·陕西商洛·统考一模）已知F为抛物线 的焦点，P为该抛物线上的动点，点 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
17．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的
曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫
星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对
称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值 称为抛
物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角 满足， ，
则其焦径比为（ ）A． B． C． D．
18．（2023·河南·统考模拟预测）已知点 是抛物线C： 的焦点，过 的直线 交抛物线C于不同的两点
M，N，设 ，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·河北石家庄·统考一模）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被
称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望
远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作
拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面
所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
20．（2023·福建泉州·统考三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若， ，则 到 的距离等于（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·全国·高三专题练习）以抛物线 的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，
过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且 ，则△PBF的周长为
（ ）
A．16 B．12 C．10 D．6
22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，
B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上
一点，圆 与线段 相交于点 ，且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知抛物线 ，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，
点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点 ，则 的最小值为4
B．过点 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
C．若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则 ODE的周长为D．点H为抛物线C上的任意一点， ， ，当t取最大值时， GFH的面积为2
25．（2023·辽宁·校联考一模）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 上的点 作 的切线
m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为 ，则（ ）
A． B． 为 中点
C．四边形 是菱形 D．若 ，则
26．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线 的焦点，点 在抛物线W上，过点F
的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作 ， 的垂线，垂足分别为M，
N，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
27．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线 上的动点， 为坐标原点， 在抛物线
C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点， ，则（ ）
A． 的最小值为4
B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8
C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为
D．过点 作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分 ，则直线GH的斜率为定值
三、填空题
28．（2023·全国·校联考一模）抛物线 ： 的准线截圆 所得的弦长为_________.29．（2023·山西大同·校联考模拟预测）若P，Q分别是抛物线 与圆 上的点，则 的最小值
为________．
30．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知直线 ，抛物线 的焦点为 ，过点 的直
线交抛物线 于 两点，点 关于 轴对称的点为 .若过点 的圆与直线 相切，且与直线 交于点 ，则
当 时，直线 的斜率为___________.
31．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线 为抛物线内一点，不经过
点的直线 与抛物线相交于 两点，连接 分别交抛物线于 两点，若对任意直线 ，总存在
，使得 成立，则该抛物线方程为______.
四、解答题
32．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为 ， ，Q在准线上，Q的纵坐标为
，点M到F与到定点 的距离之和的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求 的面积．
33．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点， 为
的准线 上的一点，直线 的斜率为 的面积为1．
(1)求 的方程；(2)过点 作一条直线 ，交 于 两点，试问在 上是否存在定点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线
斜率的平方？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E： 的焦点关于其准线的对称点为 ，椭圆
C： 的左，右焦点分别是 ， ，且与E有一个共同的焦点，线段 的中点是C的左顶点．
过点 的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明： ．
