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26.2 实际问题与反比例函数 分层作业
基础训练
1．某气球内充满了一定质量 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （单位： ）是气体体积
（单位： ）的反比例函数： ，能够反映两个变量 和 函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当m一定时， 与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问
题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关
系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【分析】将将 代入 求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．【详解】解：设 ，将 代入可得 ，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当 时， ，该项正确；
当当 时， ，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
3．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关
于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
∴ ，
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后
利用实际意义确定其所在的象限．
4．学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升 ，加热到 时，自动停止加热，水温开始下降．
此时水温 与通电时间 成反比例关系．当水温降至 时，饮水机再自动加热，若水温在
时接通电源，水温 与通电时间 之间的关系如图所示，则水温要从 加热到 ，所需要的时
间为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图像知加热时水温 与通电时间 成正比例关系，通电加热时水温每分钟上升 ，
所以关系式为 ，进而可求得水温要从 加热到 所需要的时间．
【详解】解：由图可知水温要从 加热到 ，水温 与通电时间 成正比例关系，关系式
为 ，
当 时， ．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂．几位同学
玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若
要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为 B．至少为 C．至多为 D．至少为
【答案】B
【分析】直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；把F=500N代入所求
的函数解析式即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：1600×0.5=Fl，
则F与l的函数表达式为：F= ；
当动力F=500N时，
500= ，
解得l= =1.6，
答：动力F=500N时，动力臂至少为1.6m，故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键．
6．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方
米空气中含药量 与时间 成正比例；药物释放完毕后， 与 成反比例，如图所示．根据图象信
息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要 小时
B．药物释放过程中， 与 的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于 的时间为
D．若当空气中含药量降低到 以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学
生才能进入教室
【答案】D
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可
【详解】根据题意：设药物释放完毕后 与 的函数关系式为 ，
结合图像可知 经过点（ ， ）
与 的函数关系式为设药物释放过程中 与 的函数关系式为
结合图像当 时药物释放完毕代入到 中，则 ，故选项A正确，
设正比例函数为 ，将（ ，1）代入得： ，解得 ，则正比例函数解析式为 ，故选
项B正确，
当空气中含药量大于等于 时，有 ，解得 ，结合图像 ，即 ，故选项C正
确，
当空气中含药量降低到 时，即 ，解得 ，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函
数解析式．
7．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示
的是该台灯的电流 与电阻 的关系图象，该图象经过点 ．根据图象可知，下列说法
正确的是（ ）
A．当 时， B．I与R的函数关系式是
C．当 时， D．当 时，I的取值范围是
【答案】D
【分析】设I与R的函数关系式是 ，利用待定系数法求出 ，然后求出当
时， ，再由 ，得到 随 增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：设I与R的函数关系式是 ，∵该图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴I与R的函数关系式是 ，故B不符合题意；
当 时， ，
∵ ，
∴ 随 增大而减小，
∴当 时， ，当 时， ，当 时，I的取值范围是 ，
故A、C不符合题意，D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
8．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生
长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）
变化的函数图像，其中BC段是双曲线 （k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为
（ ）
A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃
【答案】C
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可．
【详解】解：∵点B（12，18）在双曲线 上，
∴ ，解得：k=216．
当x=16时，y= =13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
9．如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中
点 处挂一个重 的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆
处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足 ．以
L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A．
B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 代入数据求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，函数为反比例函数，
当 时， ，即 函数图象经过点 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
10．一款简易电子秤的工作原理：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 ， 与踏板人的质
量m之间的函数关系式为 ，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为
12伏，定值电阻 的阻值为60欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算
为人的质量m，电流表量程为0~0.2安（温馨提示：导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流
I，满足关系式 ），则下面结论错误的为（ ）
A．用含I的代数式表示 为
B．电子体重秤可称的最大质量为120千克
C．当 时，若电源电压U为12（伏），则定值电阻 最小为70（欧）
D．当 时，若定值电阻 为40（欧），则电源电压U最大为10（伏）
【答案】C
【分析】由题意知， ，整理得 ，可判断A的正误；根
据 的性质可知， 随 的增大而增大，计算 时， 的值，进而可判断B的正误；根据定值电阻的阻值不变，可判断C的正误；当 时，计算 的值，进而可得 的值，根据
的性质，求 的最大值，进而可判断D的正误．
【详解】解：由题意知， ，
解得 ，
∴A正确，故不符合要求；
由 可知， 随 的增大而增大，
当 时， 的最大值为120（千克）；
∴B正确，故不符合要求；
∵定值电阻的阻值不变，
∴C错误，故符合要求；
当 时， （欧），
若定值电阻 为40（欧），则 （欧），
∵ ，
∴ 随 的增大而增大， 的最大值为 （伏），
∴D正确，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．
11．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函
数，其函数图象如图所示，当 时，该物体承受的压强p的值为 Pa．【答案】400
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
当S=0.25时， ．
故答案为：400
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．
12．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强
P（ ）与汽缸内气体的体积V（ ）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由 加压
到 ，则气体体积压缩了 ．
【答案】20
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为 ，然后问题可求解．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为 ，由图象可把点 代入得： ，
∴P关于V的函数解析式为 ，∴当 时，则 ，
当 时，则 ，
∴压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
13．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 是气球体积
的反比例函数，且当 时， ．当气球内的气体压强大于 时，气球将爆炸，为确保
气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
【答案】
【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：设 ，
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， 随着 的增大而减小，
当 时， ，
∴当 时， ，
即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进
行求解，是解题的关键．
14．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间
教室内空气中的浓度y（单位： ）与时间x（单位： ）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为 ，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为
．教室空气中的药物浓度不低于于 时，对杀灭病毒有效．当 时，本次消毒过程中有
效杀灭病毒的时间为 min
【答案】8
【分析】根据 的解析式可求出点A的坐标，进而可得熏蒸完后的关系式，令 ，结合函数的性质可
得有效时间．
【详解】解：当 时， ，
，
设熏蒸完后函数的关系式为： ，
，
∴熏蒸完后函数的关系式为 ，
∵药物浓度不低于 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴有效时长为： ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数
和正比例函数模型．
15．青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度
在 （千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差
小时．
【答案】
【分析】设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为 ，把点 代入求出函
数表达式，即可求解．
【详解】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为 ，
当 时， （小时），
当 时， （小时），
（小时），
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法
和步骤．
16．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的
底面积S（单位：m2） 与其深度 （单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度 需要满足16≤ ≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)当16≤ ≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为 ，再利用反比例函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：由图知：当深度 =20米时，底面积S=500米2，
∴ =500米2×20米=10000米3；
（2）由（1）得：
，
则 （ ），S随着 的增大而减小，
当 时，S=625； 当 时，S=400；
∴当16≤ ≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值
的范围是解本题的关键．
17．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始
加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通
电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水
温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在
什么时间段内接水？
【答案】(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝ ；
(2)a＝40；
(3)李老师要在7：38到7：50之间接水
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【详解】（1）当0≤x≤8时，设y＝kx+b，
1
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝kx+b得，
1
解得k＝10，b＝20．
1
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝ ，
将（8，100）的坐标代入y＝ ，
得k＝800
2
∴当8＜x≤a时，y＝ ．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝ ．（2）将y＝20代入y＝ ，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）当y＝40时，x＝ ＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
能力提升
1．由于机器设备老化，某工厂去年1月份开始对部分生产设备进行技术升级，边升级边生产．去年1-10
月其利润 （万元）与月份 之间的变化如图所示，设备技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设
备技术升级完成后是一次函数图象的一部分，下列说法正确的是（ ）
A．由图象可知设备技术升级完成前的五个月处于亏损状态，升级后开始盈利
B．由图象可知设备技术升级完成前后共有6个月的利润超过100万元
C．由图象可知设备技术升级完成后每月利润比前一月增加30万元
D．由图象可知设备技术升级完成后最大利润超过200万元/月
【答案】C
【分析】根据该图象因变量代表的意义即可判断A；求出反比函数的表达式，结合图象即可判断B，求出
5月份的利润，即可判断C；求出一次函数的表达式，再求出10月份的利润，即可判断D．
【详解】解：A：由图象可知设备技术升级完成前的五个月利润逐渐下降，升级后利润开始增加；故A不
正确，不符合题意；
B、设该反比例函数的表达式为 ，
将点 代入得： ，∴设该反比例函数的表达式为 ，
把 代入得： ，
∵y随x的增大而减小，
∴设备技术升级完成前有1个月的利润超过100万元，
由图可知，设备技术升级完成后，y随x的增大而增大，
∴设备技术升级完成后有3个月的利润超过100万元，
综上：设备技术升级完成前后，一共有4个月的利润超过100万元；
故B不正确，不符合题意；
C、把 代入 得： ，
∴反比例函数图象经过点 ，
∴设备技术升级完成后每月利润比前一月增加 （万元），
故C正确，符合题意；
D、设设备技术升级完成后的表达式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
∴ ，
∴y随x的增大而增大，
当 时，y取最大值，此时 ，
故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，解题的关键是正确理解函数图象，掌握用待
定系数法求解函数表达式的方法．
2．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是 ，然后按照一次函数关系一直
增加到 ，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至 ，然
后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至 ，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，
如此循环下去．（1） 的值为 ；
（2）如果在 分钟内温度大于或等于 时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
分钟．
【答案】 50 20
【分析】先利用待定系数法求得第一次循环中反比例函数的解析式，令 时即可求解，再利用待定系
数法求得第一次循环中一次函数的解析式，分别求得 时对应的 的值求差即可．
【详解】解：设第一次循环过程中反比例函数的解析式为 ，过点 ，
，
，
当 时，则 ，解得 ，
设第一次循环过程中一次函数的解析式为 ，
由题意得 ，解得 ，
一次函数的解析式为 ，
当 时，则 ，解得 ，
当 时则 ，解得 ，
分钟内温度大于或等于 时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持续时间为
（分钟）
故答案为：（1）50；（2）20．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数值，理解题意是解题的关键．
拔高拓展1．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天
恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示
恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬
菜避免受到伤害？
【答案】(1)y关于x的函数解析式为 ；
(2)恒温系统设定恒温为20°C；
(3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
【详解】（1）解：设线段AB解析式为y=kx+b（k≠0）
1
∵线段AB过点（0，10），（2，14），
代入得 ，
解得 ，
∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）．
∵B在线段AB上当x=5时，y=20，∴B坐标为（5，20），
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10），
设双曲线CD解析式为：y= （k≠0），
2
∵C（10，20），
∴k=200．
2
∴双曲线CD解析式为：y= （10≤x≤24），
∴y关于x的函数解析式为： ；
（2）解：由（1）恒温系统设定恒温为20°C；
（3）解：把y=10代入y= 中，解得x=20，
∴20-10=10．
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点睛】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应
注意临界点的应用．
