文档内容
26.2 实际问题与反比例函数 导学案
学习目标
1 运用反比例函数的知识解决实际问题.
2 经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力.
3 经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想.
复习巩固
【提问一】回顾反比例函数的图象与性质？
【提问二】k的正负决定了什么？
新知探究
【问题一】市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
1）储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？
2）公司决定把储存室地底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m．相应地，
储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
【问题二】码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨【问题三】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离与
其重量成反比，则杠杆平衡。通俗一点可以描述为：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂
【提问】在我们使用撬棍时，如何操作可以比较省力撬动 物体呢？为什么？
【问题四】小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m
1)动力F与动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
2)若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半， 则动力臂至少要加长多少米？
【问题五】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆.已知电压为220伏，这个用电器的电
路图如图所示.
1)输出功率P与电阻R有怎样的关系？
2)用电器输出功率的范围多大？
典例分析
例1 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示．
1）写出符合表格数据的P关于V的函数表达式___________；
2）当气球的体积为20立方米时，气球内气体的气压P为多少千帕？
3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数表达式，基于安全考虑，气球的体
积至少为多少立方米？
【针对训练】
1. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 V（单位：m3）变化时，气体的密度 ρ（单位：
kg/m3）随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示.
1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
2）当密度ρ不低于4kg/m3时，求二氧化碳体积的取值范围。
2. 一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58km/h的平均速度行驶需要65h．为了实施西部大开发，京乌线决定
全线提速．
1）如果提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，试写出t与v之间的函数表达式；
2）如果提速后平均速度为78km/h，求提速后全程运营时间；
3）如果全程运营的时间控制在40h内，那么提速后，平均速度至少应为多少？3.强哥驾驶小汽车（出租）匀速地从如皋火车站送客到南京绿口机场，全程为280km，设小汽车的行驶时
间为t（单位：h），行驶速度为v（单位：km/h），且全程速度限定为不超120km/h．
1）求v关于t的函数解析式.
2）强哥上午8点驾驶小汽车从如皋火车站出发．
①乘客需在当天10点48分至11点30分（含10点48分和11点30分）间到达南京绿口机场，求小汽车行
驶速度v的范围；
②强哥能否在当天10点前到达绿口机场？说明理由．
能力提升
1.我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒
温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶
k
段，BC段是双曲线y= 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
x
1）求k的值；
2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
2. 我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18℃的条件
下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变k
化的函数图象，其中BC段是双曲线y = 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
x
1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
2）求k的值； 3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
感受中考
1．（2023·宁夏·统考中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 P
（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
4
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3，π取3）；
3
(2)请你利用P与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
2．（2021·四川乐山·统考中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的
变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学
生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当
20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合
题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．课堂小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.利用反比例函数解决实际问题的关键是什么？
【参考答案】
新知探究
【问题一】市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
1）储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？
2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m．相应地，
储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
解：根据圆柱的体积公式 S =S •h ∴ 104 =S•d
圆柱 底
104
则S关于d的函数解析式为 S= （d>0）
d
即储存室的底面积S是与其深度d的反比例函数.
104
把S=500带入到函数解析式S= ，解得 d=20 m
d
则当储存室的底面积为500 m2时，施工队施工时应该向地下挖20m.
104
把d=15带入到函数解析式S= ，解得 S≈666.67 m2
d
则把储存室的深度改为 15 m时，储存室的底面积应改为666.67 m2 .【问题二】码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨
【提示】本题存在的等量关系：
每日装载量×装载天数=货物的总量
货物的总量÷卸货天数=每日卸货速度
解：1）设货物总量为k吨，
则根据已知条件有k=30×8=240，
240
则v关于t的函数解析式为v=
t
240
把t=5带入到函数解析式v= ，解得 v=48(吨/天)
t
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，则平均每天卸载48吨.
240
对于函数v= ，当t>0,t的值越小，v的值越大.
t
这样若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨.
【问题三】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离与
其重量成反比，则杠杆平衡。通俗一点可以描述为：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂
【提问】在我们使用撬棍时，如何操作可以比较省力撬动 物体呢？为什么？
若阻力×阻力臂的乘积为定值，则动力臂越长，动力越小.所以，动力臂越长越省力.
【问题四】小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m
1)动力F与动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
2)若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半， 则动力臂至少要加长多少米？
600
解： 1）根据杠杆定理，得F•L=1200×0.5=600.所以，F关于L的函数解析式为F=
L
600
把L=1.5 m带入到函数解析式F= ，解得F=400（N）.
L600
则对于函数F= ，当L=1.5米时，F=400 N，此时杠杆两边平衡.因此要撬动石头至少需要400N的力.
L
600
2）把F=400×0.5=200 （N），带入到函数解析式F= ，
L
解得L=3（米），所以3-1.5=1.5（米）
600
对于函数F= ，当l>0时，l越大，F越小.
L
因此若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米
【问题五】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆.已知电压为220伏，这个用电器的电
路图如图所示.
1)输出功率P与电阻R有怎样的关系？
2)用电器输出功率的范围多大？
u2 u2
解： 1）根据电学知识，得p= ，所以输出功率P与电阻R的关系为p=
R R
2）因为该电阻为可调节的，范围为100~200 Ω 则Rmax=220 Ω，Rmin=110 Ω
u2 48400 u2 48400
∴ Pmax= = =440（w）∴ Pmin= = =220（w）
Rmin 110 Rmax 220
答：此电器功率的范围220W~440W
典例分析
例1 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气体体积V
（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示．
96
1）写出符合表格数据的P关于V的函数表达式_____ p ＝ ______；
V
2）当气球的体积为20立方米时，气球内气体的气压P为多少千帕？
3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数表达式，基于安全考虑，气球的体
积至少为多少立方米？
96
把v＝20代入p＝ 得：p＝4.8，当气球的体积为20立方米时，气球内的气压是4.8千帕
V
96 2 2
把p＝144代入p＝ 得，V＝ ，故p≤144时，v≥ ，
V 3 32
答：气球的体积至少为 立方米
3
【针对训练】
1. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 V（单位：m3）变化时，气体的密度 ρ（单位：
kg/m3）随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示.
1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
2）当密度ρ不低于4kg/m3时，求二氧化碳体积的取值范围。
k
1）解：设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ= ，
v
k
把点（6，2）代入解ρ= ，得k=12，
v
12
∴密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ= （v＞0）；
v
2）由图象得：当ρ≥4时，0＜v≤3，
答：当密度ρ不低于4kg/m3时，二氧化碳体积的取值范围是0＜v≤3．
2. 一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58km/h的平均速度行驶需要65h．为了实施西部大开发，京乌线决定
全线提速．
1）如果提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，试写出t与v之间的函数表达式；
2）如果提速后平均速度为78km/h，求提速后全程运营时间；
3）如果全程运营的时间控制在40h内，那么提速后，平均速度至少应为多少？
3770
解： 1）总路程为58×65＝3770 km，故提速后t与v之间的函数表达式为：t＝
v
3770 1 1
2）当v＝78km/h时，t＝ ＝48 h，答：提速后全程运营时间为48 小时；
78 3 3
3770
3）∵全程运营的时间控制在40h内，∴平均速度应为：v ≥ ＝94.25 km/h ，
40
答：提速后，平均速度至少应为94.25 km/h ．
3.强哥驾驶小汽车（出租）匀速地从如皋火车站送客到南京绿口机场，全程为280km，设小汽车的行驶时间为t（单位：h），行驶速度为v（单位：km/h），且全程速度限定为不超120km/h．
1）求v关于t的函数解析式.
2）强哥上午8点驾驶小汽车从如皋火车站出发．
①乘客需在当天10点48分至11点30分（含10点48分和11点30分）间到达南京禄口机场，求小汽车行
驶速度v的范围；
②强哥能否在当天10点前到达绿口机场？说明理由．
1）解：∵vt＝280，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
280 7
∴v关于t的函数表达式为：v＝ （t≥ ）．
t 3
14
①8点至10点48分时间长为 小时，8点至11点30分时间长为3.5小时
5
280 14 280
将t＝3.5代入v＝ 得v ＝80 km/h ；将t＝ 代入v＝ 得v ＝100 km/h ，
min max
t 5 t
∴小汽车行驶速度v的范围为：80 km/h ≤v≤100 km/h ；
280
不能．理由如下：8点至10点前时间长为2小时，将t＝2代入v＝ 得v＝140＞120 km/h ，超速了．
t
故强哥不能在当天10点前到达绿口机场
能力提升
1.我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒
温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶
k
段，BC段是双曲线y= 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
x
1）求k的值；
2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多
少小时？
k
解：1）把B（12，20）代入y= 中得：k=12×20=240；
x
2）设AD的解析式为：y=mx+n．把（0，10）、（2，20）代入
n=10 m=5
y=mx+n中得：{ ，解得：{ ，
2m+n=20 n=10
∴AD的解析式为：y=5x+10．240 240
当y=15时，15=5x+10，x=1，15= ，x= =16，∴16﹣1=15．
x 15
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．
2. 我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18℃的条件
下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变
k
化的函数图象，其中BC段是双曲线y = 的一部分．请根据图中信息解答下
x
列问题：
1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
2）求k的值； 3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
解：1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.
k k
2）∵点B（12，18）在双曲线y = 的上，∴18= ，∴解得：k=216
x 12
216 216
3）由（2）y= ，当x=16时，y= =13.5，
x 16
∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.
感受中考
1．（2023·宁夏·统考中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 P
（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
4
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3，π取3）；
3
(2)请你利用P与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．2．（2021·四川乐山·统考中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的
变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学
生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当
20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过
适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于
36？请说明理由．
k k
解：（1）令反比例函数为y= (x>0)，由图可知点(20,45)在y= 的
x x
图象上，
900
∴k=20×45=900， ∴y= ．将x=45代入
x
900
将x=45代入得：点A对应的指标值为 =20．
45
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(0,20)、B(10,45)代入y=kx+b中，
{b=20
得{ b=20 ，解得 ．∴直线 的解析式为 5 ．
5 AB y= x+20
10k+b=45 k= 2
2
5
{ x+20≥36(0≤x<10)
2
由题得 ，解得32 ．
45>36(10≤x≤20) ≤x≤25
5
900
≥36(2017，
5 5
