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专题03 反比例函数与一次函数综合三类型
类型一 反比例函数与一次函数图像综合判断
1．如图，直线y＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数 的图象交于C(1，
1
m)，D(n，－1)，连接OC、OD．
（1）求k的值；
（2）求 COD的面积；
（3）根据图象直接写出y＜y 时，x的取值范围．
1 2
2．如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点C（6，m）．
(1)求直线和反比例函数的表达式；
(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S POC＝2S AOC，请求出点P的坐标．
△ △
3．如图，一次函数 （ 为常数，且 ）的图象与反比例函数 （ 为常数，且
）的图象相交于 ， 两点．(1)求 的值；
(2)若一次函数 的图象与反比例函数 的图象有且只有一个公共点，求 的值．
4．一次函数y＝﹣ x+3的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A(4，1)．
(1)画出反比例函数y＝ 的图象，并写出﹣ x+3＞ 的x取值范围；
(2)将y＝﹣ x+3沿y轴平移n个单位后得到直线l，当l与反比例函数的图象只有一个交点时，求
n的值．
5．如图：一次函数的图象与反比例函数 的图象交于 和点 ．
（1）求点 的坐标；（2）根据图象回答，当 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
6．如图，已知双曲线y＝ 与直线y＝mx+5都经过点A（1，4）．
（1）求双曲线和直线的表达式；
（2）将直线y＝mx+5沿y轴向下平移n个单位长度，使平移后的图象与双曲线y＝ 有且只有一
个交点，求n的值．
类型二 反比例函数与一次函数的交点问题
7．如图所示，平面直角坐标系中，直线 分别与 ， 轴交于点A，B，与曲线 分
别交于点C，D，作CE 轴于点E，已知OA=4，OE=OB=2．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)在 轴上存在一点P，使 ，请求出P的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线 交于A，B两点，其中A的坐标为（1，
a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：
(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值
(3)求线段OQ长度的最大值.
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交
于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：
2．
(1)求k和b的值；
(2)将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝ （k＜0）的图象
上，并说明理由．
10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y= （x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）
（1）求b、k、m的值；
（2）根据图象直接写出-x+b< （x> 0）的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的
最大值和最小值．11．在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ，函数 ．
(1)当函数 的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．
(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组 （m<0），求m的取值范围．
12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）
两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
类型三 反比例函数与一次函数的实际应用
13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶
段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线
段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息
解答下列问题：
(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，
才能使蔬菜避免受到伤害？
14．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为
毫克，已知服药后， 小时前每毫升血液中的含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比例， 小
时后 与 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题．
(1)求当 时， 与 的函数关系式；
(2)求当 时， 与 的函数关系式；
(3)若每毫升血液中的含药量不低于 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？15．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5
分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含
药量 （微克）与时间 （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时 与 成反比例函数关系．
（1） ；
（2）当 时， 与 之间的函数关系式为 ；当 时， 与 之间的函数关系式为
；
（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
16．当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还
给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，
学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．
学生注意力指标 随时间 （分钟）变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象
是线段，当 时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点 对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高
效时间段．
17．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃
尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的
6 12 18 24
时间x（分）
空气中的含药
量y（毫克/立 12 6 4 3
方米）
(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函
数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，
说明理由；
(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的
病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
18．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y
（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下
降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动
开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当 时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
