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专题03 半角模型
【模型说明】
应用：①利用旋转构造全等三角形；
②利用翻折构造全等三角形。
【例题精讲】
例1．（三角形中的半角模型）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝
60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN
与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4）
【详解】特例探究：解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt DBM≌Rt DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
△ △
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt DBM≌Rt DCN（HL），
∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；
△ △
归纳证明
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
拓展应用
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ＝ ，故答案为： ．
例2．（四边形中的半角模型）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中 ， ， ，E、F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学
探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明 ，
再证明 ，可得出结论，他的结论应是______．
实际应用：
如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B
＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直
接到达，经测量得 ，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．
【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米
【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠ADG=90°，
在 ABE和 ADG中，
△ △
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，在 AEF和 AGF中，
△ △
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，
∴∠ADH=∠B，
在△ADH和△ABE中， ，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
在△AEF和△AHF中， ，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FH，
∵FH=DH+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF，
∵BE=10米，DF=15米， ∴EF=10+15=25（米）．
例3．（培优综合）如图1所示，已知点 在 上， 和 都是等腰直角三角形，
点 为 的中点.（1）求证： 为等腰直角三角形；
（2）将 绕点 逆时针旋转 ，如图2所示，（1）中的“ 为等腰直角三角
形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将 绕点 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“ 为等腰直
角三角形”成立吗？请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.
【详解】 证明： 和 都是等腰直角三角形，
，
点M为EC的中点，
， ，
， ， ，
， ，
，
同理 ，
是等腰直角三角形．
解：如图2， 是等腰直角三角形，
理由是：延长ED交AC于F，
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
为EC中点，
，， ，
，
， ，
，
，
在 和 中，
≌ ，
，
，
是等腰直角三角形．
是等腰直角三角形，
理由是：过点C作 ，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得 ≌ ，
， ， ，
作 于点N，
由已知 ， ，
可证得 ， ，
， ，
，
≌ ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
点M是DF的中点，则 是等腰直角三角形。
【变式训练1】如图，在 中， ， ，D、E是斜边
上两点，且 ，若 ， ， ，则 与 的面积之
和为（ ）A．36 B．21 C．30 D．22
【答案】B
【详解】解：如图，将 关于AE对称得到 ，
则 ， ，
，
，
，在 和 中， ，
， ，
，即 是直角三角形，
，
，
即 与 的面积之和为21，
故选：B．
【变式训练2】如图， 是边长为2的等边三角形， 是顶角为120°的等腰三角形，
以点 为顶点作 ，点 、 分别在 、 上．
（1）如图①，当 时，则 的周长为______；
（2）如图②，求证： ．【答案】（1）4；（2）见解析
【详解】解：（1）∵ 是等边三角形， ，
，
∴ 是等边三角形， ，则 ，
∵ 是顶角 的等腰三角形， ，
，
在 和 中， ，
， ，
∵ ，∴ 是等边三角形， ，
， ，
∴ 的周长 ．
（2）如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵ 是等边三角形， 是顶角 的等腰三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
， ， ，
，
∵ ， ，
在 和 中，
． ，
又∵ ， ．【课后作业】
1.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且
∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，
BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系
是 ；此时 ；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成
立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量
关系如何？并给出证明．
【答案】（1）BM+NC＝MN， ；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）NC﹣BM＝
MN，详见解析
【详解】（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN．
此时 ．
理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt BDM≌Rt CDN，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
△ △
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB＝AM+BM，
∴AM：AB＝2：3，
∴ ；
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在NC的延长线上截取CM ＝BM，连接DM ．
1 1
∵∠MBD＝∠MCD＝90°，BD＝CD，
1
∴△DBM≌△DCM ，
1
∴DM＝DM ，∠MBD＝∠MCD，MC＝BM，
1 1 1
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDN＝∠MDN＝60°，
1
∴△MDN≌△MDN，
1
∴MN＝MN＝MC+NC＝BM+NC，
1 1
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∴ ；
（3）证明：在CN上截取CM ＝BM，连接DM ．
1 1∵∠MBD＝∠MCD＝90°，BD＝CD，
1
∴△DBM≌△DCM ，
1
∴DM＝DM ，∠MBD＝∠MCD，MC＝BM，
1 1 1
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDN＝∠MDN＝60°，
1
∴△MDN≌△MDN，
1
∴MN＝MN．
1
∴NC﹣BM＝MN．
2．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延
长线上的点，且∠EAF ∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．
【答案】详见解析
【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
3．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：
AE+CF=EF（不用证明）．
（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，
F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的
猜想；
（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，
F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证
明．
【答案】（1）AE+CF=EF，证明见解析；（2） ，理由见解析.
【详解】（1）图2猜想：AE+CF=EF，
证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，∵∠DAB=∠BCD=90°，∴∠DAB=∠DCA'=90°，
又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），
∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，
∵∠ADC=120°，∴∠EDA'=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠EDF=∠A'DF=60°，
又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），
则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE；
（2）如图3，AE+CF=EF，
证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，
∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'=180°，∴∠DAB=∠DCA'，
又∵AD=CD，AE=A'C，
∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，
∵∠ADC=2α，∴∠EDA'=2α，
∵∠EDF=α，∴∠EDF=∠A'DF=α
又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），
则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE．
4．已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交
（或它们的延长线）于点 ．
当 绕点 旋转到 时（如图1），易证 ．（1）当 绕点 旋转到 时（如图2），线段 和 之间有怎样的
数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当 绕点 旋转到如图3的位置时，线段 和 之间又有怎样的数量关
系？请直接写出你的猜想．
【答案】（1） ，证明见解析（2）
【详解】（1）BM+DN=MN成立．
证明：如图，把 ADN绕点A顺时针旋转90°，得到 ABE，则可证得E、B、M三点共线．
△ △
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；
（2）DN-BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，如图，
在△ADQ与△ABM中，∵ ，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．
在△AMN和△AQN中， ，∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，∴DN-BM=MN．
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且
.
（1）求证： ；
（2）连结AC，若 ，求 的度数.
【答案】（1）见解析；（2）20°
【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合，
∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，
∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，
∴A，D，F′共线，
∵
∴∠BCF+∠ECD=∠ECF= ∠BCD，
∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；
（2）∵AB=BC，∠B=80°，
∴∠ACB=50°，
由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
又∵AD//BC，
∴∠ECB=70°，
而∠B=∠BCD=80°，
∴∠DCE=10°，
∴∠BCF=30°，
∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．
