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专题 26.6 反比例函数章末七大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 反比例函数中的动点问题】......................................................................................................................1
【题型2 反比例函数与x=a或y=a】.......................................................................................................................3
【题型3 反比例函数中的存在性问题】..................................................................................................................5
【题型4 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】.....................................................................................6
【题型5 反比例函数与图形变换】..........................................................................................................................8
【题型6 反比例函数与定值、最值】....................................................................................................................10
【题型7 反比例函数的应用】................................................................................................................................12
【题型1 反比例函数中的动点问题】
【例1】（2023春·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，已知直线y＝x＋2与双曲
k
线y= 交于A、B两点，且A点坐标为（a，4）．
x
（1）求双曲线解析式；
（2）将直线y＝x＋2向下平移两个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋
PQ的最小值，并求此时的Q点坐标；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，
请求出N点坐标．【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次
m
函数y =kx+b的图象与反比例函数y = 图象交于点A(-1,3)和B(3,c)，与x轴交于点C．
1 2 x
m
(1)求一次函数y =kx+b和反比例函数y = 的解析式；
1 2 x
(2)观察图象，请直接写出使y >y 的x取值范围；
1 2
(3)M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面
7
积为 时，直接写出点N的坐标．
2
【变式1-2】（2023春·河南周口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的顶点O与
k
坐标原点重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，点D的坐标为(8，6)．
x(1)求反比例函数的表达式；
(2)E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴的垂线交线段OA于点M，交双曲线于点P，在E点运动过程中，
M点正好是线段EP中点时，求点E的坐标．
3
【变式1-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）如图，A(1，3)，B(3，1)是反比例函数y= 的图象
x
3
上的两点，点P是反比例函数y= 的图象位于线段AB下方的一动点，过点P作PM⊥x轴于M，交线段
x
AB于Q．设点M横坐标为x，则△OPQ面积的最大值为 ，此时x= ．
【题型2 反比例函数与x=a或y=a】
【例2】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点
A(1,0)且与y轴平行，直线l 过点B(0,2)且与x轴平行，直线l ，与直线l 相交于点P，点E为直线l 上一
2 1 2 2
k
点，反比例函数y= (k>0)的图象过点E且与直线l 相交于点F．
x 1（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF，若△OEF的面积为△PEF的面积的3倍，求点E的坐标；
（3）当k<2时，G是y轴上一点，直接写出所有使得△EFG是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其
中一个点G的坐标的过程写出来．
【变式2-1】（2023春·浙江宁波·九年级宁波市第十五中学校考期中）如图，直线AC与反比例函数
k k
y= (k>0)的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函y= (k>0)的图象
x x
于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB=AC，且BC恰好平行于x轴．若S =1，则k的值为
△DCE
．
k
【变式2-2】（2023春·浙江舟山·九年级统考期末）已知：一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图像在
x
第一象限内交于点 ， 两点，且m，n满足 ，直线l经过点A且与y轴
A(m,2) B(3,n) (2m-3n) 2+√n-1=0
平行，点C是直线l上一点，过点C作CD⊥y轴于点D，交反比例函数图像于点E．(1)求一次函数与反比例函数的函数表达式．
CD
(2)如图1，当点C在点A上方时，连接OC，OA，且OC平分∠AOD，求 的值．
DE
(3)如图2，当点C在点A下方时，点H是DC的中点，点G在x轴上，若四边形ABGH是平行四边形．求
出点 G的坐标．
【变式2-3】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图1，一次函数y=kx-2(k≠0)的图像与y轴交于点A，
3
与反比例函数y=- (x<0)的图像交于点B(-3,b)，连接OB．
x
(1)b=___________，k=___________．
(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图
像于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．
【题型3 反比例函数中的存在性问题】
【例3】（2023春·江苏盐城·九年级景山中学校考期末）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形
的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．(1)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？______（填“存在”或“不存
在”）．
【深入探究】长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+ y=10，xy=12，
联立¿得x2-10x+12=0，再探究根的情况；
12
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l ：y= 与一次函数l ：y=-x+10来研究，作出图象，有交点，
2 x 1
意味着存在完全2倍体．
1
(2)那么长为4．宽为3的矩形C是否存在完全 倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
2
(3)如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请求出k的取值范围．
【变式3-1】（2023春·山西长治·九年级统考期末）（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比
k
例函数y= (x<0)的图象过点C(-4,2)，点D的纵坐标为4，直线CD与x轴，y轴分别交于点A,B．
x
(1)求直线CD的函数表达式；
1
(2)若点P是Rt△AOB直角边上的一个动点，当S = S 时，求点P的坐标；
△PCD 6 △AOB
(3)已知点D关于y轴的对称点为M，点C关于x轴的对称点为N,Q为y轴上的动点．问直线CD上是否存在点G，使得以点M,N,Q,G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点G的坐
标；若不存在，请说明理由．
m
【变式3-2】（2023春·四川资阳·九年级统考期末）如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= 的
x
图象交于点A（a，2a）（a＞0）和点B，且OA=√5，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，
与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q．
(1)求正比例函数与反比例函数的表达式；
(2)当点Q是PC的中点时，求C点的坐标；
(3)是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由．
【变式3-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）已知正比例函数y=3x的图象与反比例函数
k
y= (k≠0)的图象的一个交点A(m,3)．
x
k
(1)求反比例函数y= 的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
x
(2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围；
(3)在y=2的直线上是否存在一点P，使|PB-PA|的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【题型4 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】
【例4】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，正方形ABCD的顶点C、D在反比例函数
4
y= (x>0)的图像上，顶点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作一个正方形DFEG，顶点
x
4
G在反比例函数y= (x>0)的图像上，顶点E在x轴的正半轴上，则点D的坐标为 ，点G的
x
坐标为 ．【变式4-1】（2023春·河南周口·九年级统考期末）正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，点C在
2
反比例函数y= (x>0)的图象上，点D在第二象限内，若AO=3BO，则正方形ABCD的边长为（ ）
x
A．√10 B．3 C．√7 D．√5
【变式4-2】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）【思路点拨】：如图1，点A'是点A关于直线y=x的对
称点，分别过点A，A'作y轴，x轴的垂线，垂足为M，N，连结OA，OA'，A A'．可以利用轴对称图形
的性质证明△AMO≌△A'NO，从而由点A的坐标可求点A'的坐标．
1 1
【应用拓展】：如图2，若点A横坐标为 ，且在函数y= 的图象上．
2 x
(1)求点A关于直线y=x的对称点A'的坐标．
(2)若点B的坐标为(-1,1)，点P是直线y=x．上的任意一点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
【变式4-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．
(1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）．
-6
(2)如图在直角坐标系xOy中，直线y=-x+1与双曲线y= 相交于A，B两点，点P(-3,0)在x轴负半轴
x
上，Q为直角坐标平面上一点．
①分别求出A、B两点的坐标．
②当四边形APQB是平行四边形时，如图，请证明 ▱APQB是勾股四边形．
(3)在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．
【题型5 反比例函数与图形变换】
5
【例5】（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将反比例函数y= (x>0)的图象绕坐标原点(0，0)
x
1
顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y= x与旋转后的图象相交于B，则△OAB的
2
面积为 ．
【变式5-1】（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，
若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”．例如：点A(3，
6)，因为C=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值点”．4
(1)若点E为双曲线y= (x>0)上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求
x
证：点F为“等值点”；
(2)在第一象限内，若一次函数y= - x+b的图象上有两个“等值点”，求b的取值范围．
【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt△ABC的直角边AB在x轴
k
上，∠ABC=90∘．点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，4)，M是BC边的中点，函数y= (x>0)
x
的图象经过点M．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180∘后得到△DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点D，E，F），且 EF
k
在y轴上，点D在函数y= (x>0)的图象上，求直线DF的表达式．
x
【变式5-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD的顶点A(1,1)，点C(3,3)，反比
k
例函数y= (x>0)的图象经过点D．
x
k
(1)试说明反比例函数y= 的图象也经过点B；
xk
(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数y= 的图象分别交正
x
方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F．
①求△MEF的面积；
②在x轴上是否存在一点G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说
明理由．
【题型6 反比例函数与定值、最值】
k
【例6】（2023·山东济宁·校考二模）如图，直线y=2x+6与反比例函数y= (k>0)的图像交于点
x
A(m,8)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(00时，不等式2x+6- >0的解集；
x
(3)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【变式6-1】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，已知点A(1,4),B(7,1)，点P在线段AB上，并且点P
k
的横、纵坐标均为整数，经过点P的双曲线为L:y= (x>0)．
x
(1)当点P与点B重合时，求L的表达式；
(2)求线段AB所在直线的函数表达式；
(3)直接写出k的最小值和最大值．4
【变式6-2】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，动点M在函数y = （x＞0）的图像上，过点M
1 x
1
分别作x轴和y平行线，交函数 y = （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式
2 x
为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 y-2时，y随x的增大而增大
D.当x<-2时，y随x的增大而减小
应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：
粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元．
