文档内容
专题 26.6 反比例函数全章专项复习【3 大考点 10 种题型】
【人教版】
【考点1 反比例函数】..............................................................................................................................................1
【题型1 反比例函数的识别】..................................................................................................................................2
【题型2 反比例函数定义的应用】..........................................................................................................................4
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】.............................................................................................6
【考点2 反比例函数的图象与性质】......................................................................................................................9
【题型4 反比例函数性质的应用】........................................................................................................................10
【题型5 比例系数k的几何意义的应用】............................................................................................................13
【考点3 反比例函数的应用】................................................................................................................................18
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】...........................................................................................................18
【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】...........................................................................................23
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】...........................................................................................................26
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】...................................................................................................33
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】...............................................................................................42
【考点1 反比例函数】
（1）反比例函数的定义
k
一般的，形如y= (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：y=kx-1，xy=k。
x
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不
相交 ．
（2）求反比例函数的解析式
k
①所求的反比例函数为:y= (是常数，k≠0);
x
②根据已知条件(自变量与函数的对应值) 列出含k的方程;
③由代人法解待定系数k的值;
k
④把k值代人函数关系式y= 中。
x【题型1 反比例函数的识别】
kQq
【例1】（2024·辽宁大连·三模）对于物理学中的库仑定律，我们给出以下公式：F= ．其中F为点电
r2
荷A、B之间的作用力大小，k为常数，Q为点电荷A所带的电量，q为点电荷B所带的电量，r为两个点电
荷之间的距离．若两个点电荷A、B的电量均为已知，且把r2整体看作变量t，则下列说法正确的是（ ）
A．当r增大时，F随着t的增大先减小再增大；
B．当r增大时，F随着t的增大而增大；
C．若改变题目条件，令F已知，Q⋅q为自变量，r2为因变量，则r2为关于Q⋅q的反比例函数；
D．若改变题目条件，令F已知，Q⋅q为自变量，r2为因变量，则r2为关于Q⋅q的正比例函数．
【答案】D
【分析】本题考查了函数关系式：反比例函数与正比例函数的判断；根据两类函数的定义即可进行判断．
k
形如y= (k≠0)，y=kx(k≠0)的函数分别称为反比例函数与正比例函数，其中k为常数．
x
【详解】解：当两个点电荷A、B的电量均为已知时，F关于t是反比例函数，当r增大时，t也增大，此时
F随t的增大而减小，故A、B均错误；
k
当F已知，Q⋅q为自变量，r2为因变量，此时r2= ⋅(q⋅Q)，则r2为关于Q⋅q的正比例函数，故C错
F
误，D正确；
故选：D．
【变式1-1】（2024·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
1 1 2
A．xy=− B．y=5−x C．y= D．y=
3 5x x
【答案】B
k
【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如y= 这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念
x
即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数k≠0．
1
【详解】A、xy=− 是反比例函数，此选项不符合题意；
3
B、y=5−x是一次函数，不是反比例函数，此选项符合题意；
1
C、y= 是反比例函数，此选项不符合题意；
5x
2
D、y= 是反比例函数，此选项不符合题意；
x故选：B．
【变式1-2】（2024·河南·二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分
检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图
甲所示，将粮食放在湿敏电阻R 上，使R 的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所
1 1
示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，R 的阻值为40Ω
1
B．R 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
1
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5%
D．湿敏电阻R 与粮食水分含量之间是反比例关系
1
【答案】D
【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关
键．
根据图象对每一个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知R 的阻值为40Ω，故本选项不符合题
1
意；
B、由图象可知，R 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
1
C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是12.5%，故本选项不符合题意；
D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象
中得到当水分含量为0时，R 的阻值为40Ω，此时这水分含量× R 的阻值为0，不符合成反比例关系的定
1 1
义，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（2024·北京·一模）下列数表中分别给出了变量y与x的几组对应值，其中是反比例函数关系
的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案．
【详解】解：C中，xy=1，其余的都不具有这种关系
∴C是反比例函数关系，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数，反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数．
【题型2 反比例函数定义的应用】
【例2】（2024·湖南株洲·一模）若函数y=(m+1)xm2−4m−6是y关于x的反比例函数，则m= ．
【答案】5
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出m+1≠0且m2−4m−6=−1，求出m的值即可．
【详解】解：∵函数y=(m+1)xm2−4m−6是y关于x的反比例函数，
∴m+1≠0且m2−4m−6=−1，
解得，m=5．
故答案为：5．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·单元测试）若函数y=(m+2)x|m)−3是反比例函数，则m的值是 ．
【答案】2
k
【分析】本题考查反比例函数的定义：形如y= （k为常数，k≠0）的函数就叫做反比例函数，解题的关
x
键是根据反比例函数的定义列出关于m方程或不等式，求解即可．
【详解】解：∵函数y=(m+2)x|m)−3是反比例函数，
∴|m)−3=−1且m+2≠0，
解得：m=2，
∴m的值为2．
故答案为：2．1
【变式2-2】（23-24九年级·全国·课后作业）当m取何值时，函数y= 是反比例函数？
3x2m+1
【答案】m=0
k
【详解】试题分析：根据反比例函数的定义．即y= （k≠0），只需令2m+1=1即可．
x
1
试题解析：∵函数y=
是反比例函数，
3x2m+1
∴2m+1=1，
解得：m=0．
k
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的一般式y= （k≠0）的特征是解题的关键.
x
【变式2-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知函数y=(5m﹣3)x2﹣n+(n+m)，
(1)当m，n为何值时是一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数？
3
【答案】(1)n=1且m≠
5
(2)n=1，m=﹣1
(3)n=3，m=﹣3
【分析】（1）根据一次函数的定义知2−n=1，且5m−3≠0，据此可以求得m、n的值；
（2）根据正比例函数的定义知2−n=1，m+n=0，5m−3≠0，据此可以求得m、n的值；
（3）根据反比例函数的定义知2−n=−1，m+n=0，5m−3≠0，据此可以求得m、n的值．
【详解】（1）解：当函数y=(5m﹣3)x2﹣n+(n+m)是一次函数时，2−n=1，且5m−3≠0，
3
解得：n=1且m≠ ；
5
{
2−n=1
)
（2）当函数y=(5m﹣3)x2﹣n+(n+m)是正比例函数时， m+n=0 ，
5m−3≠0
解得：n=1，m=﹣1．
{2−n=−1
)
（3）当函数y=(5m﹣3)x2﹣n+(n+m)是反比例函数时， m+n=0 ，
5m−3≠0解得：n=3，m=﹣3．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一
种特殊形式以及三种函数的形式．
【题型3 利用待定系数法求反比例函数的解析式】
k
【例3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知反比例函数y= 的图像经过点(−2,5).
x
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当y=−4时，x的值；
（3）这个函数的图像在哪几个象限？y随着x的增大怎样变化？
( 1 ) ( 1 )
（4）点A − ,20 、B − ,1 在此函数的图像上吗？
2 10
10 5
【答案】（1）y=− ；（2）x= ；（3）函数图像在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而
x 2
增大；（4）点A在函数图像上，点B不在函数图像上.
k
【分析】（1）把（-2，5）代入y= ，求出k值即可得答案；（2）把y=-4代入反比例函数解析式即可求
x
出x的值；（3）根据反比例函数的性质即可得答案；（4）根据k=xy即可得答案.
k
【详解】（1）∵反比例函数y= 的图像经过点(−2,5)，
x
k
∴5= ，
−2
解得k=-10，
10
∴反比例函数的解析式为：y=− .
x
10
（2）∵反比例函数的解析式为：y=− ，
x
10
∴当y=-4时，-4=− ，
x
5
解得：x= .
2
（3）∵-10<0，
10
∴反比例函数y=− 的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；
x1 1 1
（4）∵− ×20=-10，− ×1=− ≠-10，
2 10 10
( 1 ) ( 1 )
∴点A − ,20 在此函数的图象上，点B − ,1 不在此函数的图象上.
2 10
k
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，对于y= (k≠0)，当k>0时，图象
x
值一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随
x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.
k 8
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）已知反比例函数y= (k≠0),当x=−3时,y= ．
x 3
求：
（1）y关于x的函数解析式；
（2）当x=−4时函数y的值．
8
【答案】（1）y=− ；（2）y=2．
x
8 k
【分析】（1）将x=-3，y= 代入y＝ (k≠0)，即利用待定系数法求该函数的解析式；
3 x
（2）将x=-4代入（1）中的反比例函数解析式，求y值即可．
【详解】解：（1）根据题意，得
8 k
=− ，
3 3
解得，k=−8；
8
∴该反比例函数的解析式是y=− ；
x
8
（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y=− ，
x
8
∴当x=−4时，y=− =2，即y=2．
−4
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还借用了反比例函数图象上点的
坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
【变式3-2】（23-24九年级·上海金山·期末）已知：y= y + y ，y 与x+1成正比例，y 与x成反比例．当
1 2 1 2
x=1时，y=7；当x=3时，y=4．求y与x的函数解析式．
1 6
【答案】y＝ （x+1）+
2 x【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计
算即可得解
k
【详解】解：（1）设y＝k（x+1）（k≠0），y＝ 2（k≠0），
1 1 1 2 x 2
k
∴y＝k（x+1）+ 2．
1 x
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
{2k
1
+k
2
=7
)
∴ k ，
4k + 2=4
1 3
{ k = 1 )
∴ 1 2 ，
k =6
2
1 6
∴y关于x的函数解析式是：y＝ （x+1）+ ；
2 x
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准
确计算．
【变式3-3】（2024九年级·全国·专题练习）（1）平面直角坐标系中，点A(7−2m，5−m)在第二象
限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式；
k−3 2
（2）若反比例函数y= 的图像位于第二、四象限内，正比例函数y=( k−1)x过一、三象限，求整
x 3
数k的值．
1
【答案】（1）y=− ；（2）2．
x
7
【分析】（1）由点A(7−2m，5−m)在第二象限，可知7−2m<0，5−m>0，得： 0，由此可得： 0
7
解得： 0，
3
3
解得：k> ，
2
3
∴ 0 k<0
x
图 象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
在每个象限内，y随x的增大而减 在每个象限内，y随x的增大而增
性 质
小 大
（2）反比例函数的k的几何意义
k
由如y= (是常数，k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|
x
k | .如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|.
矩形PAOB △OPA △OPB
【题型4 反比例函数性质的应用】
【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝
6
2．一个反比例函数y＝− 的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于
x
BO，则点P的坐标为 ．
【答案】(−3,2)或(3,−2)或(2,−3)
【分析】求得B的坐标，然后根据题意得点P横纵坐标的绝对值是2和3或3和2，由此可得出答案．
【详解】解：Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2，∴B的横坐标为﹣2，
6
把x＝﹣2代入y=− 得，y＝3，
x
∴B（﹣2，3），
∵图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，
设点P(x,y)，
∴|x)=2,|y)=3或|x)=3,|y)=2，
∵反比例图像在二四象限，
∴x与y异号，
∴点P的坐标为：(−3,2),(2,−3),(3,−2)，
故答案为：(−3,2)或(3,−2)或(2,−3)．
【点睛】本题考查反比例函数的对称性，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质以及分类讨论的思想．
【变式4-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）若点A(−3,y )，B(−1,y )，C(2,y )都在反比例函数
1 2 3
k
y= (k<0)的图象上，则y ，y ，y 的从小到大的关系是 ．
x 1 2 3
【答案】y 0，y >0，
1 2
∵−3<−1<0，
∴00，
∴点C(2,y )位于第四象限，
3
∴y <0，
3
∴y x ，则y >y ．其中真命题是（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】A
(1 )
【分析】根据轴对称的性质和图象点的特征可知①正确；根据点 ,−2 关于y=2的对称点坐标在函数
2
3 3 3
y= 图象上，即可判定②正确；由y= 上任意一点为(x,y)，则点(x,y)与y=2对称点的纵坐标为4−
x x x
可判断③错误；由关于y=2对称点性质可判断④不正确；
3 3
【详解】解：∵点( ，2)是函数y= 的图象的点，也是对称轴直线y=2上的点，
2 x
3 3
∴点( ，2)是图象C与函数y= 的图象交于点；
2 x
∴①正确；
1 1
点( ，−2)关于y=2对称的点为点( ，6)，
2 2
1 3
∵( ，6)在函数y= 上，
2 x
1
∴点( ，−2)在图象C上；
2
∴②正确；
3
∵y= 中y≠0，x≠0，
x
3
取y= 上任意一点为(x,y)，
x
3
则点(x,y)与y=2对称点的纵坐标为4− ；
x
∴图象C上的点的纵坐标不一定小于4.故③错误；3
A(x ，y )，B(x ，y )关于y=2对称点为(x ，4−y )，B(x ，4−y )在函数y= 上，
1 1 2 2 1 1 2 2 x
3 3
∴4−y = ，4−y = ，
1 x 2 x
1 2
若x >0>x ，则y >y ；
1 2 1 2
若x >x >0或0>x >x ，则y a>−2
【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答．
【详解】∵m2+1>0，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵y y <0，y + y <0，
1 2 1 2
∴y ，y 异号，
1 2
m2+1
∵点A(a,y )，B(2,y )在反比例函数y= （m是常数）的图象上，
1 2 x
∴A点在第三象限，B点在第一象限，
∴a<0
m2+1 m2+1
∴y = ,y = ，
1 a 2 2
m2+1 m2+1
∴ + <0，
a 2
∴(m2+1)
(1
+
1)
<0，
a 2
∴a>−2
∴−20，
∴ k=2.
故选：D.
k k
【点睛】本题考查了反比例函数y= (k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y= (k≠0)图象上任意一点
x x
向x轴于y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k).
k
【变式5-1】（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线y= (k<0)经过Rt△OAB斜边OA的中点D，且与直
x
角边AB相交于点C．若点A的坐标为(−6,4)，则△ACD的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
【答案】D
【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几
何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点
坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S
△OBC
，然后利用△AOC的面积=S −S 进行计算，进而求出结论．
△AOB △OBC
【详解】解：∵点A的坐标为(−6,4)，点D为OA的中点，
∴D点坐标为(−3，2)，
6
∴k=−3×2=−6，即反比例函数解析式为y=− ，
x
1
∴S = ×6=3，
△OBC 21
∴△AOC的面积=S −S = ×4×6−3=9，
△AOB △OBC 2
∵点D为OA的中点，
1 1
∴△ACD的面积= S = ×9=4.5．
2 △AOC 2
故选：D．
【变式5-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在
k 7
y= (k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S = ，则k= ．
x △ABE 2
【答案】7
【分析】设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据三
角形的面积公式可得S =S ，S =S ，由S =S −S ，S =S −S ，可
△ODF △BCE △ADF △ABC △OAD △ODF △ADF △ABE △BCE △ABC
7
得S =S = ，由k的几何意义进行计算即可得到答案．
△OAD △ABE 2
【详解】解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵ AD⊥x，
∴BC⊥x轴，
∴BC∥y轴，OF⊥BC，1 1 1 1
∵S = OF⋅AD，S = BC⋅OF，S = AF⋅AD，S = AF⋅BC，
△ODF 2 △BCE 2 △ADF 2 △ABC 2
∴S =S ，S =S ，
△ODF △BCE △ADF △ABC
∵S =S −S ，S =S −S ，
△OAD △ODF △ADF △ABE △BCE △ABC
7
∴S =S = ，
△OAD △ABE 2
|k)
∵S = ，
△OAD 2
∴|k)=7，
∵k>0，
∴k=7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积计算，熟练掌
握平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，添加适当的辅助线，是解题的关键．
8
【变式5-3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，▱ABCO的顶点B在双曲线y= 上，顶点C在双曲线
x
k
y= 上，BC的中点P恰好落在y轴上，已知S =10，则k的值为（ ）
x ▱OABC
A．−8 B．−6 C．4 D．−2
【答案】D
【分析】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，根据全等三角形的判定可得
1 1
△BEP≌△CDP(AAS)，推得S =S ；根据三角形的面积可得S = ×8=4，S = |k)，推
△BEP △CDP △BOE 2 △COD 2
1
得S =S +S +S =4+ |k)=5，求解k即可，注意k<0．
△BOC △BPO △CPD △DOC 2
【详解】
解：连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，如图：∴∠BEP=∠CDP，
又∵∠BPE=∠CPD，BP=CP，
∴△BEP≌△CDP(AAS)；
∴S =S ，
△BEP △CDP
8
∵点B在双曲线y= 上，
x
1
∴S = ×8=4，
△BOE 2
k
∵点C在双曲线y= 上，
x
1
∴S = |k)，
△COD 2
∵四边形ABCO是平行四边形，S =10，
▱OABC
1
∴S =S +S +S =4+ |k)=5，
△BOC △BPO △CPD △DOC 2
解得：k=−2（正数舍去），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函
1
数图象上点到y轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是 |k)．
2
【考点3 反比例函数的应用】
【题型6 利用反比例函数解决实际问题】
【例6】（23-24九年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生
的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力
保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随
时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为(10,40)，点C的坐标为(24,40)，CD为反比例函数图
象的一部分．(1)求CD所在的反比例函数的解析式；
(2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的
注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
960
【答案】(1)y = (x>24)
CD x
(2)老师安排不合理，理由见解析
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键；
k
（1）设CD所在反比例函数的解析式为y = ，再代入C(24,40)即可得到答案；
CD x
（2）先求解y =2x+20，再把y=38代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论；
AB
k
【详解】（1）解：由题意，设CD所在反比例函数的解析式为y =
CD x
∵过点C(24,40)，
k
∴40=
24
∴k=960，
960
∴y = (x>24)．
CD x
（2）解：老师安排不合理，理由如下：
由题意，设y =mx+n
AB
∵直线过点A(0,20)和B(10,40)
{ n=20 )
∴
10m+n=40
解得m=2，n=20，
∴y =2x+20
AB
令y =2x+20=38，
AB
∴38=2x+20，∴x=9
960
令y = =38，
CD x
480
∴x=
19
480 309
∵ −9= <20，
19 19
∴老师安排不合理．
【变式6-1】（23-24九年级·山东济南·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气
体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到
0.01m3）
96
【答案】(1)p=
V
(2)0.69m3
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关
系是解题的关键．
（1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案；
（2）将p=140kPa代入关系式，求出解，再判断即可．
k
【详解】（1）设p= (k≠0)，
V
k
将A(0.8,120)代入，得120= ，解得k=96，
0.8
96
∴所求函数的表达式为p= ；
V
（2）∵96>0，∴在第一象限内，p随V的增大而减小．
96
当p=140kPa时，V = ≈0.69(m3)．
140
∴为了安全起见，气体的体积应不小于0.69m3．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量?
素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．
在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多
次试验，将砝码的质量x(g)与对应的OB长度y(cm)记录下来，并绘制成散点图（如图2） ．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B
中放置一个内盛34g水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 OB=24cm．
(1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证．
(2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．
1200
【答案】(1)图见解析；反比例函数；y= ；见解析
x
(2)16g
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键．
（1）把各点依次连起来，可以猜想是反比例函数的图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可，
并任选一对值验证即可；
（2）当OB=24cm时, 即y=24，代入（1）中求出的函数表达式中即可求得x的值，则可求得空矿泉水瓶
的质量．
【详解】（1）解：连线如下图所示：反比例函数；
k
设 y关于x的函数表达式为 y= ，
x
k
把(40，30)代入函数表达式得30= ，解得k=1200，
40
1200
∴y关于x的函数表达式为 y= ．
x
1200
把x=80代入函数表达式，得 =15， 成立．
80
（2）解：当OB=24cm时, 即y=24, 解得x=50(g)．
则50−34=16(g)．
所以空矿泉水瓶的质量为16g．
【变式6-3】（23-24九年级·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为20°C，通电开机后，饮水机
自动开始加热，此过程中水温y（°C）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100°C时自动停
止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（°C）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20°C
时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温y（°C）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；(3)有一天，小明在上午7:10（水温20°C），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:15，请问
此时饮水机内水的温度约为多少°C？并求：在7:10∼11:15这段时间里，水温共有几次达到100°C？
【答案】(1)y=10x+20(0≤x≤8)
(2)t=40
(3)饮水机内水温约为70°C，共有6次达到100°C
【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）先求出反比例函数解析式进而得出t的值即可得出答案；
（3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案．
【详解】（1）解：由图象可知，当0≤x≤8时是一次函数，
设y=kx+b将(0,20)、(8,100)代入得：
{8k+b=100)
，
b=20
{k=10)
解得 ，
b=20
∴水温y（°C）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=10x+20(0≤x≤8)；
m
（2）在水温下降过程中，设水温y（°C）与开机时间x（分）的函数关系式为y= ，
x
m
依据题意得：100= ，解得m=800，
8
800
∴反比例函数解析式为：y= ，
x
800
当y=20时，20= ，
t
解得：t=40；
（3）由（2）t=40，结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，
7:10∼11:15经历时间为245分钟，
245÷40=6⋯5,8>5，
∴当x=5时，y=10×5+20=70(°C)，
答：饮水机内水温约为70°C，共有6次达到100°C．【题型7 反比例函数与一次函数图象的交点问题】
m
【例7】（23-24九年级·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数y= 与y=mx−2(m≠0)的图像大概是
x
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数图像性质，熟练掌握两个函数图像与系数之间的关系是解题的
关键；
一次函数与反比例函数的图像与系数的符号有关，所以分m>0与m<0两种情况进行讨论；当m>0可以得
m m
出y= 与y=mx−2所在的象限以及m＜0可以得出y= 与y=mx−2所在的象限，进而求解即可．
x x
【详解】根据题意需分m>0、m＜0两种情况讨论：
m
当m>0时，y= 的图像在第一、三象限，y=mx−2的图像在第一、三、四象限，只有选项C符合；
x
m
当m＜0时，y= 的图像在第二、四象限，y=mx−2的图像在第二、三、四象限，无选项符合；
x
故选C．
k
【变式7-1】（23-24九年级·上海·期末）已知函数y= (k≠0)中，在每个象限内，y的值随x的值增大而增
x
大，那么它和函数y=−kx(k≠0)在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性
质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
k
【详解】解：∵函数y= 中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
x
∴k<0，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数y=−kx的图象经过第一、三象限，
故选：A．
ab
【变式7-2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）一次函数y=ax+b与反比例函数y= （a，b为常数且均
x
不等于0）．在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象和性质，先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求
出ab的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可求解，熟练掌握相关性质与函数
图象的关系是解题的关键．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴a>0，b<0，
∴ab<0，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴ab<0，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴ab<0，
∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象相符，故该选项符合题意；D、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a<0，b<0，
∴ab>0，
∴反比例函数图象经过一、三象限，与选项图象不符，故该选项不合题意；
故选：C．
k
【变式7-3】（23-24九年级·山东济宁·阶段练习）若函数y=k(x−1)和函数y= 的图象在同一坐标系中，
x
则其图象可为下图中的（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出k
取值，然后在判断一次函数的图象与y轴的交点，最后判断反比例函数图象所在象限即可；关键是由k的取
值确定一次函数的图象与y轴的交点位置．
【详解】解：①：一次函数图象是y随x的增大而增大，则k>0．与y轴交于负半轴，反比例函数图象在
一、三象限，故错误，不符合题意；
②：一次函数图象是y随x的增大而增大，则k>0．与y轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故
正确，符合题意；
③：一次函数图象是y随x的增大而减小，则k<0，与y轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故
正确，符合题意；
④：一次函数图象是y随x的增大而减小，则k<0，与y轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故
错误，不符合题意；
故：②③正确，
故选：C．
【题型8 反比例函数与一次函数的综合】
【例8】（23-24九年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=−x+2k
的图象与反比例函数y= 在第二象限的图象交于点A(n,3)，与x轴交于点B，连结AO并延长交这个反
x
比例函数第四象限的图象于点C．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)求△ABC的面积．
k
(3)当直线AC对应的函数值大于反比例函数y= 的函数值时，直接写出x的取值范围．
x
3
【答案】(1)y=−
x
(2)S =6
△ABC
(3)x<−1或00)的交点为A(1,a)，
x
k
与x轴的交点为B(−1,0)，点C为双曲线y= (x>0)上的一点．
x
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)如图1，当点C的横坐标为4时，判断△AOC的形状，并说明理由；
(3)如图2，当∠AOC=45°时，求点C的坐标．
2
【答案】(1)a=2，y= (x>0)
x
(2)△AOC为直角三角形，理由见解析
( ❑√6)
(3)C ❑√6,
3
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理的逆定理，熟练利用待定系数法求函数解析式，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）把B(−1,0)代入一次函数，求得一次函数的解析式，再求出点A坐标即可；再将点A坐标代入反比例
函数，即可解答；
（2）求出点C坐标，利用勾股定理的逆定理即可判断△AOC为直角三角形；
（3）过点A做AF垂直OA交射线OC于点F，过点A做AD垂直y轴交y轴于点D，过点F做FE垂直AD交
直线AD于点F，利用全等三角形的性质得到点F的坐标，求得OF的解析式，点C即为反比例函数与一次
函数的交点．
【详解】（1）解：∵直线AB过点B(−1,0)，
∴−1+b=0，解得：b=1，
∴直线AB的表达式为y=x+1．
∵点A(1,a)在直线AB上，
∴a=1+1=2，
∴点A的坐标为(1,2)．
k
又∵双曲线y= (x>0)过点A(1,2)，
x
∴k=1×2=2，
2
∴反比例函数的表达式为y= (x>0)．
x
（2）解：△AOC为直角三角形，理由如下：
2
∵点C在y= 上，且点C的横坐标为4，
x
1
∴点C的纵坐标为 ，
2
( 1)
即点C 4,
2
∴OA2=(1−0) 2+(2−0) 2=5，
AC2=(4−1) 2+ (1 −2 ) 2 = 45 ，
2 4
OC2=(4−0) 2+ (1 −0 ) 2 = 65 ，
2 4
45 65
∴OA2+AC2=5+ = =OC2
4 4
∴△AOC为直角三角形；（3）解：如图（2），过点A做AF垂直OA交射线OC于点F，过点A做AD垂直y轴交y轴于点D，过点F
做FE垂直AD交直线AD于点F．
∵AF⊥OA
∴∠OAF=90∘
又∵∠AOC=45∘
∴∠AFO=45∘=∠AOF
∴OA=AF
∵AD⊥y轴，FE⊥AD
∴∠ADO=90∘=∠AEF
∴∠DOA+∠OAD=90∘
又∵∠OAF=90∘
∴∠DAO+∠EAF=90∘
∴∠AOD=∠EAF
∴△ADO≌△AEF(AAS)
∴AE=OD=2，EF=AD=1
∴易得F(3,1)，
设OF的函数解析式为y=mx
1
∴1=3m即m=
3
1
∴OF的函数解析式为y= x
3
2
{ y= )
x
联立 ，
1
y= x
3
2 1
即 = x，∴x=±❑√6
x 3∵x>0
1
∴x=❑√6，∴y= ❑√6
3
( ❑√6)
即C ❑√6, ．
3
k
【变式8-2】（23-24九年级·山西长治·期末）如图，正比例函数y=−3x与反比例函数 y= 的图象交于
x
点A、B两点，A点纵坐标为−3．
(1)求点A的坐标与反比例函数的表达式；
k
(2)观察图象，直接写出满足不等式 −3x< 的x的取值范围；
x
(3)将直线y=−3x向上平移m个单位，交x轴于点E，当△AOE的面积为2时，求直线AB平移后的函数表
达式．
27
【答案】(1)点A的坐标为(−3,9)，反比例函数的表达式为y=− ；
x
(2)−33；
4
(3)y=−3x+ ．
3
【分析】（1）把x=3代入y=−3x可得点A的纵坐标，进而可得点A的坐标，再利用待定系数法即可求出
反比例函数的表达式；
（2）利用对称性求出点B的坐标，再根据函数图象即可求解；
1 4
（3）设E(a,0)，则OE=a，根据△AOE的面积为2可得 a×9=2，即得a= ，
2 9
(4 ) (4 )
得到E ,0 ，由直线y=−3x向上平移m个单位后的函数表达式为y=−3x+m，把E ,0 代入计算即
9 9
可求解；
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的平移，求一次函数解析式，掌握一次函数和反比例函数的图象及性质是解题的关键
【详解】（1）解：把x=3代入y=−3x得，y=−9，
∴点A的坐标为(−3,9)，
k k
把A(−3,9)代入y= 得，9= ，
x −3
∴k=−27，
27
∴反比例函数的表达式为y=− ；
x
27
（2）解：∵点A、B是正比例函数y=−3x与反比例函数y=− 图象的交点，
x
∴点A、B关于原点O对称，
∴B(3,−9)，
k
由图象可得，当−33时，−3x< ；
x
（3）解：设E(a,0)，则OE=a，
∵△AOE的面积为2，
1
∴ OE·|y )=2，
2 A
1
即 a×9=2，
2
4
∴a= ，
9
(4 )
∴E ,0 ，
9
(4 )
将直线y=−3x向上平移m个单位后的函数表达式为y=−3x+m，把E ,0 代入得，
9
4
0=−3× +m，
9
4
∴m= ，
3
4
∴直线AB平移后的函数表达式为y=−3x+ ．
3
【变式8-3】（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例
k (3 )
函数y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D和点E ,4 ，且点E为BC的中点．
x 2(1)求反比例函数的表达式和点D的坐标；
k
(2)若一次函数y=2x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E
x
之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
6
【答案】(1)y= (x>0)，D(3,2)；
x
(2)−4≤m≤1．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知
识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到BC∥AO，BA⊥OA，，再由E为
BC的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线y=2x+m恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
k (3 )
【详解】（1）解：∵反比例函数y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D和点E ,4 ，
x 2
3
∴ k= ×4=6，
2
6
∴反比例函数的表达式为y= (x>0)
x
∵四边形OABC是矩形，
∴ BC∥AO，BA⊥OA，
(3 )
∵点E ,4 ，且点E为BC的中点．
2
∴B(3,4)，
∴点D的横坐标为3，
6 6
在y= 中，y= =2，
x 3∴ D(3,2)；
(3 ) 3
（2）解：当直线y=2x+m经过点E ,4 时，则4=2× +m，
2 2
解得m=1；
当直线y=2x+m经过点D(3,2)时，则2=2×3+m，
解得m=−4；
k
∵一次函数y=2x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之
x
间的部分时（点M可与点D，E重合）
∴−4≤m≤1．
【题型9 反比例函数与几何问题的综合探究】
4
【例9】（23-24九年级·四川宜宾·期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于
x
点A(m,4)，与x轴交于点B， 与y轴交于点C(0,3)．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
4
(2)已知P为反比例函数y= 图象上的一点，S =2S ，求点P的坐标．
x △OBP △OAC
4
(3)若点Q是双曲线y= 在第一象限上的一个动点，连结OQ，将OQ绕点O逆时针旋转90度得到OM，
x
点M在第二象限，随着点Q的运动，点M的位置也不断变化，但始终在某函数图象上运动，请直接写出
这个函数解析式．
【答案】(1)m=1，一次函数的解析式为y=x+3
(2)P(2,2)或(−2,−2)
4
(3)y=− (x<0)
x【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C
的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出OB=3，OC=3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示，根据
1 1
S =2S 可得 OB⋅PD=2× OC⋅AH，求出PD=2，则点P的纵坐标为2或−2，由此即可得
△OBP △OAC 2 2
到答案；
（3）根据点Q的运动轨迹，可得点M的运动轨迹，设A 的对应点为M ，作A E⊥OC于点E，作
1 1 1
M F⊥OB于点F，证明∠A EO≌∠M FO(AAS)，求出M (−4,1)即可求解．
1 1 1 1
4
【详解】（1）∵点A(m,4)在反比例函数y= 的图象上，
x
4
∴4= ，
m
∴m=1，
∴A(1,4)，
又∵点A(1,4)，C(0,3)都在一次函数y=kx+b的图象上，
{4=k+b)
∴ ，
3=b
{k=1)
解得 ，
b=3
∴一次函数的解析式为y=x+3．
（2）对于y=x+3，当y=0时，x=−3，
∴B(−3，0)，
∴OB=3，
∵C(0,3)，
∴OC=3
过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示．∵S =2S
△OBP △AOC
，
1 1
∴ OB⋅PD=2× OC⋅AH．
2 2
1 1
∴ ×3×PD=2× ×3×1，
2 2
解得PD=2．
∴点P的纵坐标为2或−2．
4
将y=2代入y= 得x=2，
x
4
将y=−2代入y= 得x=−2，
x
∴点P(2,2)或(−2,−2)．
4
（3）∵点Q是双曲线y= 在第一象限上的一个动点，
x
∴将OQ绕点O逆时针旋转90度后，点Q的对应点M也在反比例函数图象上运动，
如图，设A 的对应点为M ，作A E⊥OC于点E，作M F⊥OB于点F，
1 1 1 1
∵∠A OE+∠COM =90°，∠M OF+∠COM =90°，
1 1 1 1
∴∠A OE=∠M OF，
1 1∵∠A EO=∠M FO=90°，OA =OM ，
1 1 1 1
∴∠A EO≌∠M FO(AAS)，
1 1
∴OF=OE=4，FM =A E=1，
1 1
∴M (−4,1)
1
k
设点M所在的反比例函数解析式为y= 1，
x
∴k =−4×1=−4，
1
∵点M在第二象限，
4
∴这个函数解析式是y=− (x<0)．
x
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法，旋转的性质，利用数形结合的思想求解是
解题的关键．
k
【变式9-1】（2024·河南周口·二模）如图，直线y=mx与反比例函数y= 的图像交于点A(−3,1)和点
x
B，四边形ACDE是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作DF∥AB，
与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F．
(1)求m和k的值．
(2)求点D的坐标．
(3)连接AF,BF，求△ABF的面积．
1
【答案】(1)m=− ,k=3
3
(2)D(0,2)
(3)6
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数的解析式、正方形的性质、三角形全
等的判定和性质、平行线间的距离相等等知识点，灵活运用相关判定和性质是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图：过点A作AG⊥x轴于点G，易证△ACG≌△CDO(AAS)可得AG=CO=1，
CG=DO=3−1=2，即可求得点D的坐标；
（3）利用中心对称求得B点的坐标，然后根据同底等高的三角形面积相等可知△ABF的面积=△ABD的
面积，据此即可解答．
k
【详解】（1）解：∵直线y=mx与反比例函数y= 的图像交于点A(−3,1)，
x
k 1
∴1=−3m,1= ，解得：m=− ,k=3．
3 3
（2）解：如图：过点A作AG⊥x轴于点G，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠ACD=90°，AC=CD，
∴∠ACG+∠OCD=90°，
∵∠OCD+∠CDO=90°，
∴.∠ACG=∠CDO，
在△ACG和△CDO中，∠ACG=∠CDO，∠AGC=∠COD=90°，AC=CD，
∴△ACG≌△CDO(AAS)，
∴AG=CO=1,CG=DO=3−1=2，
∴D(0,2)．
（3）解：如图，连接AD，BD，
k
∵直线y=mx与反比例函数y= 的图像交于点A(−3,1)和点B，
x
∴点B的坐标为(3,−1)，
∵DF∥AB，
1
∴S =S = ×2×(3+3)=6.
△ABF △ADB 22
【变式9-2】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，点P是反比例函数y= (x>0)图象上的一点．过点P
x
k
分别作x轴、y轴的平行线，分别与y轴、x轴交于点D、E，与经过点(2,5)的双曲线y= (k≠0,x>0)交
x
于点A，B，连接AB．
(1)求k的值；
(2)连接OA,OB．若点P横坐标为2，求△AOB的面积；
(3)若直线AB分别与x轴，y轴交于点M，N，求证：AM=BN．
【答案】(1)k=10
(2)24
(3)证明见解析
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合应用：
（1）待定系数法求出k值即可；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F ，根据
S =S −S =(S +S )−S =S ，进行求解即可；
△AOB 四边形ABOF △AOF △BOE 梯形BEFA △AOF 梯形BEFA
（3）过点B作BG⊥y轴于点G ，直线AB函数关系式，进而求出M,N的坐标，证明△NGB≌△AFM
，即可得出结论．k
【详解】（1）解：∵点(2,5)的双曲线y= (k≠0,x>0)上，
x
k
∴5= ，
2
解得：k=10；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F．
∵点P的横坐标为2，
2
∴y= =1，
2
∴点P的坐标为(2,1)．
同理可得A(10,1),B(2,5)．
10
∵点A，B都在反比例函数y= 的图象上，
x
∴S =S =5
△AOF △BOE
∴S =S −S =(S +S )−S =S
△AOB 四边形ABOF △AOF △BOE 梯形BEFA △AOF 梯形BEFA
1
= (1+5)(10−2)=24．
2
（3）过点B作BG⊥y轴于点G．
( 2) ( 2) ( 10)
设点P m, ，则点A 5m, ，B m, ．
m m m
设直线AB函数关系式为y=k′x+b(k′≠0)．
2
{ 5mk′+b= )
m
∴
10
mk′+b=
m2
{ k′=− )
m2
解得：
12
b=
m
2 12
∴直线AB的函数关系式为y=− x+
．
m2 m
12 2 12
当x=0时，y= ，当y=0时，− x+ =0，解得：x=6m；
m m2 m
( 12)
∴M(6m,0),N 0, ，
m
12
∴OM=6m，ON= ．
m
12 10 2
∴NG=ON−OG=ON−BE= − = ，
m m m
FM=OM－OF=6m−5m=m，
2
∴NG=AF= ，GB=FM=m．
m
∵∠NGB=∠AFM=90°，
∴△NGB≌△AFM，
∴AM=BN．
8 k
【变式9-3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图1，已知直线y=mx分别与双曲线y= ，y= (x>0)交
x x
于P，Q两点，且点P的横坐标、纵坐标分别是点Q的横坐标、纵坐标的2倍．(1)求k的值；
8 k
(2)如图2，若A是双曲线y= 上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y= (x>0)于B，C两
x x
点，连接BC，设A点的横坐标为t．
①直接写出A，B，C的坐标，并求△ABC的面积；
②当m=2时，D为直线y=2x上的一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求A点坐
标．
【答案】(1)k=2
8 2 t 8 9
(2)①A点坐标为（t， ），C点坐标为（t， ），B点坐标为（ ， ），S ABC= ；②点A的坐标为
t t 4 t △ 4
( 4❑√7) (2❑√7 )
(2,4)或 2❑√7, 或 ,4❑√7
7 7
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与平行四边形的关系、坐标与图形等知
识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
（1）设Q点坐标为(a,b)，则P点的坐标为(2a,2b)，利用待定系数法求得ab=2求解即可；
( 8) ( 2) (t 8)
（2）①先根据已知的A点坐标为 t, ，C点坐标为 t, ，B点坐标为 , ，利用坐标与图形性质
t t 4 t
和三角形的面积公式求解即可；
②分当AC为边时和当AC为对角线时两种情况，利用平行四边形的性质和坐标与图形性质分别列方程求解
即可．
【详解】（1）解：设Q点坐标为(a,b)，则P点的坐标为(2a,2b)．
8 k
∵P点在双曲线y= 上，Q点在双曲线y= 上，
x x∴2a⋅2b=8，则ab=2，
∴k=ab=2．
（2）解：①∵A点的横坐标为t，AB∥x轴，AC∥y轴，
( 8) ( 2) (t 8)
∴A点坐标为 t, ，C点坐标为 t, ，B点坐标为 , ，
t t 4 t
8 2 6 t 3
∴AC= − = ，AB=t− = t，
t t t 4 4
1 1 6 3 9
∴S = AC⋅AB= × × t= ．
△ABC 2 2 t 4 4
②分两种情况考虑：
（Ⅰ）当AC为边时，如图1所示．
∵四边形ADBC为平行四边形，∴AC=BD，AC∥BD，
(t t )
∴D点的坐标为 , ，
4 2
|8 t ) 6 2 t 14 t
∴BD= − = ，即 = 或 = ，
t 2 t t 2 t 2
解得：t =2，t =−2（舍去），t =2❑√7，t =−2❑√7（舍去），
1 2 3 4
( 4❑√7)
∴A点的坐标为(2,4)或 2❑√7, ；
7
（Ⅱ）当AC为对角线时，如图2所示．∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
(1 2)
∴D点的坐标为 , ，
t t
| 1) 3 1 7 1 1
∴CD= t− = t，即 = t或 = t ，
t 4 t 4 t 4
2❑√7 2❑√7
解得：t = ，t =− （舍去），t =2，t =−2（舍去），
1 7 2 7 3 4
(2❑√7 )
∴A点坐标为 ,4❑√7 或(2,4)．
7
4❑√7 2❑√7
综上所述，点A的坐标为（2，4）或（2❑√7， ）或（ ，4❑√7）．
7 7
【题型10 反比例函数与点坐标变换的综合探究】
【例10】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，△OAB，△AAB，△AAB，…是分别以A，A，
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2
A，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C （x，y），C （x，
3 1 1 1 2 2
4
y），C （x，y），…均在反比例函数y= （x＞0）的图象上．则y+y+…+y 的值为（ ）
2 3 3 3 x 1 2 8A．2❑√10 B．6 C．4❑√2 D．2❑√7
【答案】C
【分析】根据点C 的坐标，确定y，可求反比例函数关系式，由点C 是等腰直角三角形的斜边中点，可
1 1 1
以得到OA 的长，然后再设未知数，表示点C 的坐标，确定y，代入反比例函数的关系式，建立方程解出
1 2 2
未知数，表示点C 的坐标，确定y，……然后再求和．
3 3
【详解】解：过C 、C 、C …分别作x轴的垂线，垂足分别为D、D、D…
1 2 3 1 2 3
4
其斜边的中点C 在反比例函数y= ，
1 x
∴C （2，2），即y=2，
1 1
∴OD =D A=2，
1 1 1
4
设AD=a，则C D=a 此时C （4+a，a），代入y= ，得：a（4+a）=4，
1 2 2 2 2 x
解得：a=2❑√2−2，即：y=2❑√2−2；
2
同理：y=2❑√3−2❑√2；
3
y=2❑√4−2❑√3；
4
……y =2❑√8−2❑√7；
8
∴y+y+…+y=2+(2❑√2−2)+(2❑√3−2❑√2)+⋯+(2❑√8−2❑√7)
1 2 8
=2+2❑√2−2+2❑√3−2❑√2+⋯+2❑√8−2❑√7
=2❑√8
=4❑√2；
故选：C.
【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知
识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
2
【变式10-1】（23-24九年级·全国·期末）如图，已知反比例函数y= 的图象上有一组点B ，B ，……，
x 1 2
B ，它们的横坐标依次增加1，且点B 横坐标为1．“①，②，③……”分别表示如图所示的三角形的面
n 1
积，记S =①−②，S =②−③，……，则S +S +……+S = ．
1 2 1 2 2017
2017
【答案】
2018
【分析】由反比例函数系数k的几何意义可知，△A OB 、△A OB 、△A OB 、△A OB ……的面
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 1 1 1 1
积都等于 |k)=1，得出S +S +……+S =1− + − +⋅⋅⋅ − ，进而即可求解．
2 1 2 2017 2 2 3 2017 2018
【详解】解：如图，由反比例函数系数k的几何意义可知，
1
△A OB 、△A OB 、△A OB 、△A OB ……的面积都等于 |k)=1，
1 1 2 2 3 3 4 4 2又∵点B ，B ，……，B ，它们的横坐标依次增加1，且点B 横坐标为1，
1 2 n 1
1 1
∴S = |k)= ×2=1，
△① 2 2
1 1 1
S = |k)× = ，
△② 2 2 2
1 1 1
S = |k)× = ，
△③ 2 3 3
1 1 1
S = |k)× = ，
△④ 2 4 4
……
1 1 1
∴S =①−②=1− ，S =②−③= − ,……，
1 2 2 2 3
1 1 1 1 1
∴S +S +……+S =1− + − +⋅⋅⋅ −
1 2 2017 2 2 3 2017 2018
1
=1−
2018
2017
= ，
2018
2017
故答案为： ．
2018
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
【变式10-2】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴与y轴正半
轴分别交于点A、B，设OA=a，OB=b（a>0，b>0）．将△AOB绕点A顺时针方向旋转90°得到
△ADC，点B的对应点为点C；再将△ADC沿射线AB方向平移，使点A与点B重合得到△BEF，点D的
对应点为点E，点E在y轴上，点G为线段EF的中点，点C与点G恰好落在同一个反比例函数的图象上．(1)当a=1时，求反比例函数的解析式．
a
(2)求 的值．
b
(3)若线段BD、GO交于点P，且△PGC的面积为4，求a的值．
3
【答案】(1)y= ；
x
1
(2) ；
2
(3)❑√2．
【分析】（1）过点C作CM⊥x轴于点M，由题意可得OA=AD=BE=1，OB=CD=EF=b，
EF∥CD∥x轴，AD∥y轴，∠MAD=∠D=∠AOB=90°，进而得OE=b+1， C(1+b,1)，由点G
(1 )
为线段EF的中点，EF=b，得G b,1+b ，从而利用待定系数法求解即可；
2
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，由题意可得OA=AD=BE=a，OB=CD=EF=b，EF∥CD∥x轴，
AD∥y轴，∠MAD=∠D=∠AOB=90°，进而得OE=b+a，由点G为线段EF的中点，EF=b，得
(1 ) 1
G b,a+b ，从而利用待定系数法求解得a(a+b)= b(a+b)，解得a=−b（舍去）或，b=2a，从而
2 2
即可得解；
(1 )
（3）由（2）得b=2a，C(a+b,a)，G b,a+b ，D(a,a)，进而得C(3a,a)，G(a,3a)，
2
OE=b+a=3a，CD=OB=EF=2a，EG=OA=a，连接AG，OD，BG，则EF∥x轴，AD∥y轴，
(a 3a)
先证A、D、G三点共线，得OB=DG=3a−a=2a，进而证四边形BODG是平行四边形，得P ,
2 2
，进而根据面积公式列方程求解即可．【详解】（1）解：过点C作CM⊥x轴于点M，
由题意可得OA=AD=BE=1，OB=CD=EF=b，EF∥CD∥x轴，AD∥y轴，
∠MAD=∠D=∠AOB=90°，
∴OE=b+1，四边形AMCD是矩形，
∴AM=CD=b，CM=AD=1，
∴OM=OA+AM=1+b，
∴C(1+b,1)，
∵点G为线段EF的中点，EF=b，
1
∴EG= b，
2
(1 )
∴G b,1+b ，
2
k
设反比例函数的解析式为y= ，
x
(1 ) k
把C(1+b,1)，G b,1+b 代入y= 得
2 x
1
k=1×(1+b)，k= b×(1+b)，
2
1
∴1×(1+b)= b×(1+b)，
2
解得b=−1（舍去）或，b=2，
∴k=1×1+2=3，
3
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）解：过点C作CM⊥x轴于点M，由题意可得OA=AD=BE=a，OB=CD=EF=b，EF∥CD∥x轴，AD∥y轴，
∠MAD=∠D=∠AOB=90°，
∴OE=b+a，四边形AMCD是矩形，
∴AM=CD=b，CM=AD=a，
∴OM=OA+AM=a+b，
∴C(a+b,a)，
∵点G为线段EF的中点，EF=b，
1
∴EG= b，
2
(1 )
∴G b,a+b ，
2
k
设反比例函数的解析式为y= ，
x
(1 ) k
把C(a+b,a)，G b,a+b 代入y= 得
2 x
1
k=a(a+b)，k= b(a+b)，
2
1
∴a(a+b)= b(a+b)，
2
解得a=−b（舍去）或，b=2a，
a 1
∴ = ；
b 2
(1 )
（3）解：由（2）得b=2a，C(a+b,a)，G b,a+b ，D(a,a)，
2
∴C(3a,a)，G(a,3a)，OE=b+a=3a，CD=OB=EF=2a，
∴EG=OA=a，
连接AG，OD，BG，则EF∥x轴，AD∥y轴，∴四边形OAGE是平行四边形，
∴AG∥y轴，AG=OE=3a，
∵AD∥y轴，
∴A、D、G三点共线，
∵AD=a，
∴OB=DG=3a−a=2a，
∴四边形BODG是平行四边形，
∴P为OG的中点，
(a 3a)
∴P , ，
2 2
∵C(3a,a)，G(a,3a)，D(a,a)，
1| 1 ) 1 1|3 )
∴S =S +S −S = a− a ×|3a−a)+ |3a−a)×|3a−a)− a−a ×|3a−a)=4
△PGC △DPG △DCG △DPC 2 2 2 2 2
，
解得a=❑√2或a=−❑√2（舍去）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，平行公理，坐标与图形，平移及旋转的性质，待定系
数法求反比例函数，熟练掌握待定系数法求反比例函数，平行四边形的判定及性质以及平行公理是解题的
关键．
4
【变式10-3】（23-24九年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数y= 的图象上有A(2,m)、B两点，连
x
1
接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD= AC，点F 是CD的中点，连接
2 1
AF 、BF ，得到△AF B；点F 是DF 的中点，连接AF 、BF ，得到△AF B；……按照此规律
1 1 1 2 1 2 2 2
继续进行下去，则△AF B的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
n2n+1
【答案】
2n
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出A(2,2)，得到AC=2，
OC=2，BD=1，进而求出B(4，1)，得到OD=4，则CD=2，根据梯形面积公式求出S =3，
四边形ACDB
1 3 1 7 1
再分别求出S =1，S = S = ，S = ，S = ，S = ，进而得到规律
△ACF 1 △BDF 1 2 △ACF 2 2 △BDF 2 4 △ACF 3 4 △BDF 3 8
2n−1 1 2n+1
S = ，S = ，则S =S −S −S = ．
△ACF n 2n−1 △DCF n 2n △AF n B 四边形ACDB △ACF n △BDF n 2n
4
【详解】解：∵A(2,m)在反比例函数y= 的图象上，
x
4
∴m= =2，
2
∴A(2,2)，
∵AC⊥x轴，
∴AC=2，OC=2
1
∴BD= AC=1，
2
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
4 4
在y= 中，当y= =1时，x=4，
x x
∴B(4，1)，
∴OD=4，∴CD=2，
AC+BD
∴S = ⋅CD=3，
四边形ACDB 2
∵点F 是CD的中点，
1
1
∴CF =DF = CD=1，
1 1 2
1 1 1 1 1
∴S = AC⋅CF = ×1×2=1，S = BD⋅DF = ×1×1= ，
△ACF 1 2 1 2 △BDF 1 2 1 2 2
∵点F 是DF 的中点，
2 1
1 1 1
∴DF = DF = CD= ，
2 2 1 4 2
3 3
∴CF =CD−DF = CD= ，
2 2 4 2
1 3 1 1
∴S = AC⋅CF = ，S = BD⋅DF = ，
△ACF 2 2 2 2 △BDF 2 2 2 4
∵F 为CF 的中点，
3 2
1 1 1
∴DF = DF = CD= ，
3 2 2 8 4
7
∴CF =CD−DF = ，
3 3 4
1 7 1 1
∴S = AC⋅CF = ，S = BD⋅DF = ，
△ACF 3 2 3 4 △BDF 3 2 3 8
……，
2n−1 1
以此类推可知，S = ，S = ，
△ACF n 2n−1 △DCF n 2n
2n−1 1 3⋅2n−2⋅2n+2−1 2n+1
∴S =S −S −S =3− − = = ，
△AF n B 四边形ACDB △ACF n △BDF n 2n−1 2n 2n 2n
2n+1
故答案为： ．
2n
