文档内容
专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（17大题型）
【题型目录】
题型一 反比例函数、二次函数图象综合判断
题型二 判断（画）反比例函数图象
题型三 已知反比例函数的图象，判断其解析式
题型四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
题型五 已知双曲线分布的象限，求参数范围
题型六 判断反比例函数的增减性
题型七 判断反比例函数图象所在的象限
题型八 已知反比例函数的增减性求参数
题型九 比较反比例函数值或自变量的大小
题型十 已知比例系数求特殊图形的面积
题型十一 根据图形面积求比例系数
题型十二 求反比例函数解析式
题型十三 反比例函数与几何综合
题型十四 一次函数与反比例函数图象综合判断
题型十五 一次函数与反比例函数的交点问题
题型十六 一次函数与反比例函数的实际应用
题型十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用
【知识梳理】
知识点一、反比例函数的定义
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于0的一切实数.
特别说明：
（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变
量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与 轴、 轴无
交点.
（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，在解
决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比
例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.
知识点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此只
需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为： ( )；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数 的值；
（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.
知识点三、反比例函数的图象和性质
1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反
比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：
（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反
比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数 ( 为常数， )中，由于 ，所以两个分支
都无限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺
序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不
与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，
当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的
增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出
的符号.
【经典例题一 反比例函数、二次函数图象综合判断】
1．（2023上·安徽阜阳·九年级校考期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数 的图象与反比
例函数 的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
2．（2022上·北京门头沟·九年级统考期末）函数 的图象如图所示，在下列结论中：①该函数
自变量 的取值范围是 ；② 该函数有最小值 ；③方程 有三个根；④如果 和
是该函数图象上的两个点，当 时一定有 ．所有正确结论的序号是 ．
3．（2022·河北保定·校考一模）如图，点 是抛物线l： 和双曲线
的一个交点，且位于直线 的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．
(1)当 时，求a和k的值；(2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围；
(3) 的面积为4，且 ，求k的值；
(4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1．
【经典例题二 判断（画）反比例函数图象】
1．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，己知点 ， ，反比例函数 图象的
一支与线段 有交点，则 的值可能为（）
A．10 B． C．8 D．2
2．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知点 、 ，
且 ，过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接 、 ，则下列结论：①点
P、Q一定在反比例函数 的图象上；② 一定为等腰直角三角形；③ 的度数随m的增大
而增大，其中成立的是 ．（填序号）3．（2023上·北京顺义·九年级校考期中）探究函数 的图象与性质，小安根据学习函数的经验，
对问题进行了探究．请补充完整：
(1)函数 的自变量x的取值范围是______；
(2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中 ______；
x … 0 2 3 …
y … 1 2 4 4 m 1 …
(3)如图，根据（2）中表里各组对应值 ，请把图象补充完整；
(4)若 是函数 图象上的两点，则 ______．
【经典例题三 已知反比例函数的图象，判断其解析式】
1．（2023下·广东河源·九年级校考开学考试）函数 的图象如图所示，若 ，则
关于 的函数图象可能为（ ）A． B． C． D．
2．（2022上·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上， 轴于点M，
且 的面积为4，则反比例函数的解析式为 ．
3．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）已知反比例函数 的图象经过第一、
三象限．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，此函数的图象过第一象限的两点 ， ，且 ，求 的取值范围．
【经典例题四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】
1．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）若一次函数 的图像与反比例函数 的图像的一个交点
的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．2．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，直线 与双曲线 交于A，B两点，
轴于点H，若 的面积为5，则k的值为 ．
3．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，一次函数 （ 、 为常数， ）的图象与反比
例函数 （ 为常数且 ）的图象都经过 ， 两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)过 、 两点的直线与反比例函数图象交于另一点 ，连接 ，求 的面积．
【经典例题五 已知双曲线分布的象限，求参数范围】
1．（2023·广东广州·统考中考真题）已知正比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图
象位于第一、第三象限，则一次函数 的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023上·湖南常德·九年级校考阶段练习）若反比例函数 的图像经过第二、四象限，
则 ．
3（2023下·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）已知反比例函数 （ 为常数，且 ）
(1)若在其图象的每一个分支上， 随 增大而减小，求 的取值范围；
(2)若点 在该反比例函数的图象上，求 的值；
【经典例题六 判断反比例函数的增减性】
1．（2024下·八年级课时练习）若函数 图像经过点 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． 随 的增大而减小 B．点 在该函数图像上
C．图像分别在第一、三象限 D．当 时，
2．（2023上·湖南常德·九年级统考阶段练习）若k的取值范围如图所示，则在反比例函数 的图象
的每一个分支上，y随x的增大而 ．
3．（2022上·广东汕头·九年级校考期末）已知点 在双曲线 上．
(1)求此双曲线的表达式与点A的坐标；
(2)如果点 在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大而减小，求点B的
坐标．
【经典例题七 判断反比例函数图象所在的象限】1．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）关于反比例函数 的图象性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点
C．当 时，y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小
2．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知反比例函数 的图像经过点 ，则该反
比例函数的图像在第 象限．
3．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）小东参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图像与性
质，因为 ，所以可以对比反比例函数 来探究
(1)【取值列表】下表列出了y与x的几组对应值，则 ______， ______；
x … 1 2 3 4 …
… 1 2 4 …
… 2 3 m 0 n …
(2)【描点连线】在平面直角坐标系中，已画出函数 的图像，请以自变量x的取值为横坐标，以
相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点，再描出点， 和 ，并绘制函数 的
图像．
(3)【观察探究】观察图像并分析表格，解决下列问题：判断下列命题的真假，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”
函数 随x的增大而增大（ ）
函数 的图像可由 的图像向上平移1个单位得到（ ）
函数 的图像关于点 成中心对称（ ）
【经典例题八 已知反比例函数的增减性求参数】
1．（2023上·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数 的图象上有
两点，当 时， ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系 中，对于每一象限内的反比例函数 图像，
的值都随 值的增大而增大，则 的取值范围是 ．
3．（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知反比例函数 图象经过一、三象限．(1)若函数过点 ，求当 时的函数值y，
(2)若点 ， 是反比例函数 图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理
由；
(3)设反比例函数 ，已知 ，且满足当 时，函数 的最大值是 ；当
时，函数 的最小值是 ，求x为何值时， ．
【经典例题九 比较反比例函数值或自变量的大小】
1．（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）反比例函数 的图象在第一、三象限，点 、
、 是图象上的三点，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·河南南阳·八年级校考阶段练习）若点 ， ， 都在反比例函数
（k为常数）的图像上，则 ， ， 的大小关系为 ．（用“ ”连接）
3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，直线 （ 为常数）与双曲线 （ 为
常数）相交于 ， 两点．(1)求直线 的解析式；
(2)在双曲线 上任取两点 和 ，若 ，试确定 和 的大小关系，并写出判断
过程；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
【经典例题十 已知比例系数求特殊图形的面积】
1．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图是反比例函数 和 在x轴上方的图象， 轴的平
行线 分别与这两个函数图象交于 、 两点，点 在 轴上，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象
限， 轴于点 ，反比例函数 的图象与线段 交于点 ，且 ，则 的面
积为 ．3．（2023上·四川巴中·九年级校考期中）如图，直线 与反比例函数 的图象相交于 ，
两点，延长 交反比例函数的图象于点 ，连接 ．
(1)求 和 的值；
(2)根据图象直接写出 的解集；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【经典例题十一 根据图形面积求比例系数】
1．（2023上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点 、
均在反比例函数 的图象上，若 的面积为8，则k的值为（ ）．A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2022下·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，矩形 的顶点O在坐标原点，顶点 分别
在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数 （k为常数， ， ）的图象上， ，将矩形ABOC
绕点A按逆时针方向旋 得到矩形 ．若点O的对应点 恰好落在此反比例函数图象上，则k的值
为 ．
3．（2022上·湖北随州·九年级统考期末）如图，反比例函数 的图像与一次函数
的图像交于第二、四象限内的点 和点 ．过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，
且 的面积为 ．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)结合图像直接写出 的解集．【经典例题十二 求反比例函数解析式】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图
象经过点 轴于点 轴于点 ， 交 于点 ．若 ，则 的值
为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）点A是反比例函数 图象上一点，
连接 ，并将线段 绕点A旋转 ，此时点O的对应点B恰也落在这个反比例函数图象上，已知点A
的横坐标为4，那么k的值为 ．
3．（2023上·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线
： 与反比例函数 的图象交于 、 两点，与 轴相交于点 ，已知点 ， 的坐标分别
为 和 ．
(1)求反比例函数的解析式：
(2)直接写出不等式 的解集．【经典例题十三 反比例函数与几何综合】
1．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，矩形 的顶点 和正方形 的顶点 都在反比例
函数 的图象上，点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，矩形 的顶点A和对称中心均在反比例函数
上，若矩形 的面积为6，则k的值为 ．
3．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）已知：如图是反比例函数 图象的一支，(1)求 的取值范围；
(2)若该函数图象上有两点 ， ，则 ______ （填“ ”“ ”或“ ”），并求出 与 的
关系式；
(3)若一次函数 的图象与该反比例函数图象，交于点 ，与 轴交于点 ，连接 ；
①求出 、 的值；
②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，若存
在请求出点 的坐标，若不存在请说明理由．
【经典例题十四 一次函数与反比例函数图象综合判断】
1．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）反比例函数 与一次函数 （ ）在同一平面
直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．2．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点
， ，则不等式 的解集是 ．
3．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图
象交于点 ．
(1)求n，a与b的值；
(2)若 ，请直接写出x的取值范围；
(3)求 的面积．【经典例题十五 一次函数与反比例函数的交点问题】
1．（2020上·浙江·九年级周测）观察函数 和 的图像可知，不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． C． D． 或
2．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，函数 与函数 （ ）的图像交于点A，则根
据图像可得不等式 的解集是 ．
3．（2023上·四川泸州·九年级校考期中）如图，一次函数 （ 为常数，且 ）的图像与反比
例函数 的函数交于 ， 两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 的周长最小，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【经典例题十六 一次函数与反比例函数的实际应用】
1．（2021下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德
州市某工厂自 年 月开始限产并进行治污改造，其月利润 万元 与月份 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A． 月份的利润为 万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加 万元
C． 月份该厂利润达到 万元
D．治污改造完成前后共有 个月的利润低于 万元
2．（2023上·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为 ，开机通电，热水器启
动开始加热（加热过程中水温 与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到 时自动停止加热，
随后水温开始下降（水温下降过程中水温 与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至 时，
热水器又自动以相同的功率加热至 ……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则
（1）当 时，水温 开机时间x分钟的函数表达式 ；
（2）当水温为 时， ；
（3）通电 分钟时，热水器中水的温度y约为 ．
3．（2022上·云南红河·九年级统考期末）国家卫健委官方网站消息，截至2022年11月25号，31个省
（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗344311.4万剂次，疫苗在2021年经
过三期临床试验时，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度 与注射时间 天之间的函数关系如图所示．
(1)根据图象求 与 之间的函数关系式；
(2)体内抗体浓度不低于 的持续时间为多少天？
【经典例题十七 一次函数与反比例函数的其他综合应用】
1．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图， 是坐标原点， 的直角顶点 ，
，反比例函数 的图象经过斜边 的中点 ， 为该反比例函数图象上的一点，若
则下列说法错误的是（ ）
AI
A． B．
C． D．
2．（2023上·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的
顶点B、D在反比例函数 的图象上，对角线 与 相交于坐标原点O，若点 ，菱形
的边长为5，则k的值是 ．3．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图，已知 ， 是一次函数 的图像与反
比例函数 的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
(3)求 的面积；
(4)在x轴上是否存在一点P，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【重难点训练】
1．（2023上·安徽合肥·九年级校联考期中）对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．点 在它的图象上 B．y随x的增大而减小C．它的图象在第一、三象限 D．当 时，
2．（2023上·山东威海·九年级统考期中）反比例函数 ， ， 在同一坐标系中的图象如
图所示，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，直线 与双曲线 交于 两点，
轴于点 ，连接 交 轴于点 ．下列结论：① ；② 的面积为定值；③ 是 的中点；
④ ．其中正确的结论有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图， 是坐标原点，菱形 的顶点 的坐标为 ，
顶点 在 轴的负半轴上，函数 的函数图象经过顶点 ，则 的值为（ ）A． B．32 C． D．16
5．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图是反比例函数 和 在x轴上方的图象， 轴的平
行线 分别与这两个函数图象交于 、 两点，点 在 轴上，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
6．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，过点A作
轴，垂足为点M，连接 ，若 ，则k的值是 ．
7．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， 的顶
点 在双曲线 上，顶点B在双曲线 （ ，且 ）上，边 在x轴上．①若 ，则 的长度为 ；
②若 的面积是7，则k的值是 ．
8．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图，在直线 ： 上方的双曲线 上有一个动
点 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，连接 ， ，则 面积的最大值是 ．
9．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，点B和点C都是第二象限内的点， ，
，双曲线 经过点C且与 交于点E．
（1）直线 的表达式为 ；
（2）若 ， ，则 ．
10．（2023上·湖南湘潭·九年级湘潭江声实验学校校考期中）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方
形 的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点 在反比例函数 的图象上，过 的中点 作矩形 ，使顶点 落在反比例函数的图象上，再过 的中点 作矩形 ，使顶点 落在反比
例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形 时，落在反比例函数图象上的顶点 的横坐标为
．
11．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，一次函数 与反比例函数
的图象交于点 ， ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式 的解集．
12．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）已知反比例函数 的图象经过第一、
三象限．
(1)求 的取值范围；(2)若 ，此函数的图象过第一象限的两点 ， ，且 ，求 的取值范围．
13．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
交于 ， 两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)求 的面积．
(3)当 时，直接写出x的取值范围．
14．（2023上·安徽合肥·九年级校联考期中）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列
表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数 的探究；下表是函数y与自
变量x的几组对应值：
x … 0 2 3 4 5 …
y … 7 4 3 2.5 …(1)函数 自变量x的取值范围为 ．
(2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系 中，画出该函数的图象．
(3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质： ．
15．（2023上·山东威海·九年级统考期中）如图，函数 与 的图象交于点A， ，连接
．
(1)直接写出k和b的值： ， ；
(2)若 ，求x的取值范围；
(3)在函数 的图象上存在点P，使得直线 能将 的面积二等分，直接写出点P的坐标： ．
