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专题 26.2 反比例函数的图形与性质（二）【十大题型】
【人教版】
【题型1 反比例函数图象的对称性】......................................................................................................................1
【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】.....................................................................................................6
【题型3 两种函数图象的共存问题】......................................................................................................................8
【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】...............................................................11
【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】...................................................................................................18
【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】...............................................................................................24
【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】...................................................................................................32
【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】...............................................................................42
【题型9 反比例函数中的存在性问题】................................................................................................................50
【题型10 反比例函数中的规律问题】....................................................................................................................62
【知识点 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线 和直线
【题型1 反比例函数图象的对称性】
【例1】（2023春·杭州九年级期末测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一
组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 ．
k
【变式1-1】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，点A(√3a,-a)是反比例函数y= 的图象与⊙O的
x
一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．k
【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y= (k≠0)
x
经过点A(1,2)，B(2,m)．直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，BC，CD，
DA．求证：四边形ABCD是矩形．
a
【变式1-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y= 图象于P、Q
x
b
点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y= (x>0)的图象于A、B点，已知b-a=3，则图中
x
阴影部分的面积为 ；且当S =3时，b的值为 ．
△APB【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】
【例2】（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）已知反比例函数y＝（2m+1） 的图象在第一、三象
xm2-5
限，求m的值．
【变式2-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A(-3,8)．
(1)求y与x的函数关系式；
2
(2)当x取何值时，y= ．
3
【变式2-2】（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）若反比例函数 的图象在第二、四象限，
y=(2m-1)xm2-2
则m的值是 ．
【变式2-3】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）反比函数
y
=(m+1)x3-m2
的图象如图
1
所示．
（1）求m的值；
（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是 ；
（3）当直线y
2
＝﹣x与双曲线
y =(m+1)x3-m2
交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什
1
么范围时y＞y？
2 1
【题型3 两种函数图象的共存问题】
【例3】（2023春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例
b
函数y= 在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（ ）
xA． B．
C． D．
4
【变式3-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）反比例函数y= 与一次函数y=x+1在同一坐标系
x
中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
k
【变式3-2】（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图，关于x的函数y=- (k≠0)和y＝kx－k，它们在
x
同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
kb
【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y= （kb≠0），
x下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】
k
【例4】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，一次函数y=-x+5与反比例函数y= (x>0)的图
x
象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线y=x-1对称后的图象经过直线
y=-x+5上的点C，则线段AC的长度为 ．
k
【变式4-1】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）正比例函数y =2x的图象与反比例函数y = 的图象有
1 2 x
一个交点P的横坐标是2．
(1)求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；
(2)直接写出y >y >0的解集为________________．
1 2
(3)根据图象，直接写出当-40)，图象l 与图
1 2
x象l 关于直线x=1对称，直线y=kx与l 交于A，B两点，当A为OB中点时，则k 的值为 ．
1 2 2 1
k
2
【变式4-3】（2023春·江苏·九年级期末）如图，已知线段AB，A(2,1)，B(4,3.5)，现将线段AB沿y轴方
k
向向下平移得到线段MN．直线y=mx+b过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线y= 的一条分
x
支上，
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
k
(2)①直接写出不等式mx+b- ≥0的解集．
x
②若点P是y轴上一点，且△PMN的面积为8.5，请直接写出点P的坐标．
k
(3)若点C(x ,a)，D(x ,a-2)在双曲线y= 上，试比较x 和x 的大小．
1 2 x 1 2
【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】
k
【例5】（2023春·江西·九年级统考期中）如图，直线y=-x+k与反比例函数y= (x>0)的图像交于A，
x
B两点，则下列结论错误的是（ ）A．OA=OB B．当A，B两点重合时，k=4
C．当k=6时，OA=2√6 D．不存在这样的k使得△AOB是等边三角形
2
【变式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，已知A(1,y )，B(2,y )是反比例函数y= 图
1 2 x
象上的两点，动点P(x,0)在x轴正半轴上运动，当|AP-BP|达到最大时，点P的坐标是 ．
【变式5-2】（2023春·江西上饶·九年级校联考期末）如图，直线y=-x＋3与坐标轴分别相交于A，B两
k
点，过A，B两点作矩形ABCD，AB=2AD，双曲线y= 在第一象限经过C，D两点，则k的值是
x
（ ）27 27
A．6 B． C． D．27
4 2
【变式5-3】（2023春·全国·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，
OB k
=2，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y= 的图象过点
OA x
C，当△ACD面积为1时，k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】
【例6】（2023春·浙江舟山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴
k
上，其中∠OAB=90°，AO=AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y= (k>0, x>0)的图象过点C
x
且交线段 于点D，连接 ， ，若 3，则S 的值为（ ）
AB CD OD S = △BCD
△OCD 2 S
△OAD
5 3 5
A． B． C． D．3
3 2 2
【变式6-1】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例
k
函数y= (k>0,x>0)的图象经过菱形对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为6√2，则点C
x的坐标为 ．
【变式6-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为
k 2
(1，0)，点D(4，4)在反比例函数y= (x>0)的图像上，直线y= x+b经过点C，与y轴交于点E，连
x 3
接AC、AE．
(1)求k、b的值．
(2)求△ACE的面积．
k
(3)已知点M在反比例函数y= (x>0)的图像上，点M的横坐标为m．若S >S ，则m的取值范围
x △MAE △ACE
为___________．
【变式6-3】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+4
k
的图象与反比例函数y= 的图象相交于A(a,-2)，B两点．
x(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
(3)将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF(其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F)，若D、F
k
同时在反比例函数y= 的图象上，求点E的坐标．
x
【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】
【例7】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一
点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的
矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
（1）点C(2，3)______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点D(4，b)是第一象限内的一个“美好
点”，则b=______；
【深入探究】
k
（2）①若“美好点”E(m，6)(m>0)在双曲线y= （k≠0，且k为常数）上，则k=______；
x
k
②在①的条件下，F(2，n)在双曲线y= 上，求S 的值；
x △EOF【拓展延伸】
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P(x，y)是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（x>0）的图像
平移得到；
③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择）
A．图象与经过点(2，2)且平行于坐标轴的直线没有交点；
B．y随着x的增大而减小；
C．y随着x的增大而增大；
( 3)
D．图像经过点 10， ；
2
④对于图像上任意一点(x，y)，代数式(2-x)⋅(y-2)是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，
请说明理由．
【变式7-1】（2023春·湖北荆州·九年级统考期末）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性
2-x
质后，进一步研究了函数y= 的图象与性质，其探究过程如下：
x
(1)绘制函数图象，如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝________；
1 1
x … -4 -3 -2 -1 - 1 2 3 4 …
2 2
3 5 1 1
y … - - -2 -3 -5 3 1 m - - …
2 3 3 2
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题；
①当x＜0时，y随x增大而________；（填“增大”或“减小”）
2-x 2
②函数y= 的图象是由函数y= 的图象向________平移________个单位长度而得到；
x x
2-x
③函数y= 的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标）
x
2-x
(3)设A(x ,y )、B(x ,y )是函数y= 的图象上的两点，且x +x =0，试求y + y +3的值
1 1 2 2 x 1 2 1 2
k
【变式7-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，将函数y= (x>0)的图像T 向左平移4个单位
1
x
k
得到函数y= (x>-4)的图像T，T 与y轴交于点A(0,a)．
x+4 2 2
(1)若a=3，求k的值
(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T 上，线段BC
1
与T 相交于点E
2
①求正方形ABCD的面积；
②直接写出点E的坐标．
【变式7-3】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了
“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，
我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图
| 6 |
象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|=¿．结合上面经历的学习过程，研究函数y= 3+ 的图
x-1
象及其性质，并按要求完成下列各题．| 6 |
（1）当x=2时，y的值为___________；当y=0时，x的值为___________；函数y= 3+ 中，自变量
x-1
x的取值范围是___________；
（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写
出该函数的一条性质：____________；
| 6 |
（3）已知函数y=x+3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 3+ ≥x+3的解集
x-1
____________．
【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】
【例8】（2023春·江苏苏州·九年级校考期末）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，
那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
(1)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？______（填“存在”或“不存
在”）．
【深入探究】
长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+ y=10，xy=12，
联立¿得x2-10x+12=0，再探究根的情况；
12
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l ：y= 与一次函数l ：y=-x+10来研究，作出图象，有交点，
2 x 1
意味着存在完全2倍体．1
(2)那么长为3．宽为2的矩形C是否存在完全 倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
2
(3)如果长为3，宽为2的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围：______．
【变式8-1】（2023春·江苏·九年级期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：
1 1 √1 1
+ _________2 × ，3+3_________2√3×3，6+3_________2√6×3
2 8 2 8
（2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a＋b_________2√ab（填“＜”、“＞”、“≤”或
“≥”），并说明理由；
（3）结论应用：
4 9
若a＞0，则当a＝_________时，a+ 有最小值；若b＞0，b+ 有最小值，最小值为_________；
a b+1
9
（4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数y= （x＞0）的图像上，点B在反比例函数
x
7
y=- （x＜0）的图像上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形
x
ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由
【变式8-2】（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的
纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，
我们称这个过程为倒数变换．1
【知识运用】如图1，将y=x的图象经过倒数变换后可得到y= 的图象（部分）．特别地，因为y=x图
x
1
象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y= 的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求
x
1
y=x的图象与y= 的交点时速用了开平方的定义：¿，得x2=1，解得x=±1，则图象交点坐标为(1,1)或
x
(-1,-1)．
【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：
(1)请在图2的平面直角坐标系中画出y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．
(2)设函数y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．
A______，B______；
(3)设C(-1,m)，且S =4，求m．
△ABC
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·九年级溆浦县第一中学校考期中）阅读：若w为正实数，对于某一函数图
象上任意两点 、 ，若 恒成立，则称这个函数为王氏函数， 为王
P (x ,y ) P (x ,y ) |y - y |≥w|x -x | w
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
氏系数．
1
(1)分别判断y=3x-2和y= (x>0)是不是王氏函数；
x
1 1
(2)若y= ( ＜x＜2)是王氏函数，求w的取值范围；
x 3
(3)若y=x3 (a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函数，且w的最大值为27，求a的值．
【题型9 反比例函数中的存在性问题】
【例9】（2023春·福建泉州·九年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A(-2,0)，点B(0,2)，直k
线AB与反比例函数y= (x>0)的图象在第一象限交于点C(a,4)．
x
(1)求反比例函数的解析式；
k
(2)如图2，点E(4,m)是反比例函数y= (x>0)图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，
x
使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数
的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，
求点M的坐标．
【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x
k
与双曲线y= 与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
x
(1)当AB=2√5时，求k的值；
(2)点B关于y轴的对称点为C，连接AC，BC；
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②当△ABC的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接AP，BP，使△PAB的面积等于△ABC面
积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
k
【变式9-2】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，已知反比例函数y= 1 (x>0)的图象与直线
x
y=k x+b将于交于A(-1,6)、B(-6,m)两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点，
2(1)求反比例函数及直线AB的解析式；
(2)若S =25，求点C的坐标；
△ABC
(3)若点C的坐标为(1,0)，点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点
D､E､A､B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
5
【变式9-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，一次函数y=kx- (k≠0)的图像与y轴交于点
2
m ( 3)
B，与反比例函数y= (x>0)的图像交于点A 8, ，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点
x 2
C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．
(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；
(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不
存在，请说明理由；
(3)将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'C'D'．
①若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点O'、D'的坐标；
②如图3，在平移过程中，射线O'C'与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以O'、D'、F﹑Q为顶
点的四边形是菱形时，直接写出点O'的坐标．
【题型10 反比例函数中的规律问题】
【例10】（2023·浙江衢州·统考一模）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形1
拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y= 的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一
x
个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；
（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是
．（用含n的代数式表示）
2
【变式10-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，点B 在反比例函数y= （x＞0）的图象上，过点B 分别
1 1
x
3
作x轴和y轴的垂线，垂足为C 和A，点C 的坐标为（1，0）取x轴上一点C （ ，0），过点C 分别作
1 1 2 2
2
x轴的垂线交反比例函数图象于点B ，过B 作线段B C 的垂线交B C 于点A，依次在x轴上取点C （2，
2 2 1 1 1 1 1 3
5
0），C （ ，0）…按此规律作矩形，则第n（n≥2，n为整数）个矩形）A C C B 的面积为
4 n-1 n-1 n n
2
．
√5
【变式10-2】（2023·山东日照·二模）如图，已知点A是双曲线y＝ 在第一象限分支上的一个动点，连
x
接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，
点C的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是 ．【变式10-3】（2023春·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，点 ( √3)在直线 √3 上，过点
B 1, l :y= x
1 3 2 3
B 作A B ⊥l 交直线l:y=√3x于点A ，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，过C 的反
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
k
比例函数为y= 1；再过点C 作A B ⊥l ，分别交直线l 和l 于A ,B 两点，以A B 为边在△OA B 外
x 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2
k
侧作等边三角形A B C ，过C 的反比例函数为y= 2，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的
2 2 2 2 x
k = ．（用含n的代数式表示）
n
