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专题 26.2 反比例函数的应用【六大题型】
【人教版】
【题型1 图形问题】...............................................................................................................................................1
【题型2 表格问题】...............................................................................................................................................2
【题型3 工程问题】...............................................................................................................................................4
【题型4 行程问题】...............................................................................................................................................5
【题型5 销售问题】...............................................................................................................................................6
【题型6 物理问题】...............................................................................................................................................8
【知识点1 反比例函数的应用】
求函数解析式的方法：
（1）待定系数法
（2）根据实际意义求函数解析式
【题型1 图形问题】
【例1】（2022秋•岳阳月考）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为 60m2的矩形科技园ABCD，其
中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为xm，DC的长为ym．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量x能否取值为4m，若能，求出y的值，若不能，请说
明理由；
（3）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足
条件的所有围建方案．
【变式1-1】（2022秋•曲阳县期末）一菱形的面积为12cm2，它的两条对角线长分别acm，bcm，则a与b
之间的函数关系为a＝ ；这个函数的图象位于第 象限．【变式1-2】（2022•滨江区二模）用若根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长度为 1，矩形两
条邻边的长分别别为x，y，要求摆成的矩形的面积为8．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）能否摆成正方形？请说明理由．
【变式1-3】（2022春•江干区期末）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长x为1时，
这条边上的高y为6．
（1）①求y关于x的函数表达式；
②当x≥3时，求y的取值范围；
（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为 4，小赵说有一个三角形的一边与这边上的
高之和为6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？
【题型2 表格问题】
【例2】（2022•新华区校级一模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销
售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与
x+4成反比；当8＜x≤24时，T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件
每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：
x/周 8 24
T/千套 10 26
（1）求T与x的函数关系式；
（2）观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为 ．
（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不
存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额
的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．【变式2-1】（2022春•郑州期末）小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，
并上下移动镜片，直到地上的光斑最小（可以认为是焦点），此时他测了镜片与光斑的距离（可以当做
焦距），得到如下数据：
老花镜的度数 100 120 200 250 300
D/度
焦距f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3
（1）老花镜镜片是 （凸的、凹的、平的），度数越高镜片的中心 （越薄、越厚、没有
变化）；
（2）观察表中的数据，可以找出老花镜的度数D与镜片焦距f的关系，用关系式表示为： ；
（3）如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为0.7m，可求出这幅老花镜的度数为 ．
【变式2-2】（2022春•社旗县期中）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制问题
似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的
砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y
（g）的变化情况．实验数据记录如下表：
x（cm） 10 15 20 25 30
y（g） 30 20 15 12 10
（1）猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（2）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
（3）将活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？
【变式2-3】（2022春•常州期末）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成
本不断降低，具体数据如下表：
年度 投入技改资金x/万元 产品成本y/（万元/件）
2014 2.5 14.4
2015 3 12
2016 4 9
2017 4.5 8
（1）分析下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律，直接写出 y与x
的函数关系式：
（2）按照这种变化规律，若2018年已投入资金6万元．①预计2018年每件产品比2017年降低多少万元？
②若计划在2018年把每件产品成本降低到5万元，则还需要投入技改资金多少万元？
【题型3 工程问题】
【例3】（2022•市南区校级二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援湖北疫
区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区．已知该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输
时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系．
（1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式；（不需要写出
自变量x的取值范围）
（2）根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？
（3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了25%，最终提前
了1天完成任务，求实际完成运送任务的天数．
【变式3-1】（2022•市南区模拟）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间y（h）是
参加植树人数x（人）的反比例函数，且当x＝20人时，y＝3h．
（1）若平均每人每小时植树4棵，则这次共计要植树 24 0 棵；
（2）当x＝80时，求y的值；
（3）为了能在1.5h内完成任务，至少需要多少人参加植树？
【变式3-2】（2022•仙居县一模）县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 6×105
（单位：m3），某运输公司承担了运送土石方的任务．
（1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的
函数关系？
（2）这个运输公司共有80辆卡车，每天可运送土石方104（单位：m3），公司完成全部运输任务需要
多长时间？
（3）当公司以问题（2）中的速度工作了30天后，由于工程进度的需要，剩下的运输任务必须在20天
内完
成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？【变式3-3】（2022秋•商州区校级期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度 y
（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
（3）若码头原有工人10名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8天时间，在（2）的
条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？
【题型4 行程问题】
【例4】（2022春•宜兴市校级期末）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时
到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度；
（3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时 120公里，
最低车速不得低于每小时60公里，试问返程时间的范围是多少？
【变式4-1】（2022春•相城区期末）一列货车从北京开往乌鲁木齐，以 58km/h的平均速度行驶需要65h．
为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速．
（1）如果提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，试写出t与v之间的函数表达式；
（2）如果提速后平均速度为78km/h，求提速后全程运营时间；
（3）如果全程运营的时间控制在40h内，那么提速后，平均速度至少应为多少？
【变式4-2】（2022•丽水）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间
为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应
值如下表：
v（千米/小时） 75 80 85 90 95
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
【变式4-3】（2022•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点
k
B，与滑道y= （x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从
x
A处向右下飞向滑道，点 M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h
（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y
＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v 米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲
乙
右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v 的范围．
乙
【题型5 销售问题】
【例5】（2022秋•新都区期末）2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、
2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节
能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全
面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y
万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式；
（2）当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月．
【变式5-1】（2022•定海区模拟）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），第一场销售产品49台，然后每增加一场，
产品就少卖出1台．
（1）第5场销售多少台产品？并求出y与x之间的函数关系式．
（2）产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为10万元，第1场～
第20场浮动价与销售场次x成正比，第21场～第40场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如
表数据：
x（场） 3 10 36
P（万元） 10.6 12 13
①求P与x之间满足的函数关系式．
②当产品销售单价为13.6万元时，求销售场次是第几场？
③在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【变式5-2】（2022•河北模拟）小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点
卖玩具，已知小米所有玩具的进价均2元/个，在销售过程中发现：每天玩具销售量y件与销售价格x
元/件的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小
米销售这种玩具的日利润为w元．
（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式；
（2）求出每天销售这种玩具的利润w（元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求每天利润的最大值；
（3）若小米某天将价格定为超过4元（x＞4），那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该
天玩具销售价格的取值范围．
【变式5-3】（2022•青羊区模拟）某学校小组利用暑假中前40天参加社会实践活动，参与了一家网上书店
的经营，了解到一种成本为20元/本的书在x天销售量p＝50﹣x，在第x天的售价为y（元/本），y与x
315
的关系如图所示．已知当社会实践活动时间超过一半后．y＝20+
x（1）请求出当1≤x≤20时，y与x的函数关系式，请问第几天此书的销售单价为35元/本？
（2）这40天中该网点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
【题型6 物理问题】
【例6】（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升 10℃，加热到100℃，停止
加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水
机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正
确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
400
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=
x
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
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D．水温不低于30℃的时间为 min
3
【变式6-1】（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所
排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，
在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变
化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天
起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
y（mg/L）
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【变式6-2】（2022秋•温州期末）项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托盘（质量忽略不
计），测得物品质量x（kg）与可变电阻y（Ω）的多组对应值，画出函数图象（如图1）．图2是三种
测量方案，电源电压恒为8V，定值电阻为30Ω，与可变电阻串联．
U
【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流I相等，I= ．可变电阻、定值电阻两端的电压之和为
R
8V，则有I（y+30）＝8．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）三个托盘放置不同物品后，电表A，V ，V 的读数分别为0.1A，6V，4V．请从以下方案中选择一
0 1
个，求出对应物品的质量是多少kg？
（3）小明家买了某散装大米65kg，为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大米分批称重，用方案一、二、三来进行检验，设大米为a（60＜a≤65）kg，前两次称合适的千克数，第3次用含a的代
数式表示，请填写如表．
第1次（方案一） 第2次（方案二） 第3次（方案三）
大米（kg）
读数 I＝ A V＝ V V≥ V
0 1
【变式6-3】（2022春•盱眙县期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒
温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温
k
阶段，BC段是双曲线y= 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
x
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
