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专题 26.2 反比例函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段
的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB、BC表
示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
（2）若大棚内的温度低于12℃时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
【思路点拨】
本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键．
（1）设线段AB解析式为y=kx+b(k≠0)，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利
用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y=12时x的值，进而即可求
解．
【解题过程】
（1）解：设线段AB解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵线段AB过点(0,10)，(2,14)，
{ b=10 )
∴ ，
2k+b=14
{k=2
)
解得 ，
b=10
∴线段AB的解析式为：y=2x+10(0≤x≤5)
当x=5时，y=20，∴这个恒温系统设定的恒定温度为：20℃．
（2）解：根据解析（1）可知，线段AB的解析式为：y=2x+10(0≤x≤5)
当x=5时，y=20，
∴B坐标为(5,20)，
∴点C的坐标为(10,20)，
∴线段BC的解析式为：y=20(5≤x≤10)，
m
设双曲线CD解析式为：y= (m≠0)
x
∵C(10,20)，
∴.m=200，
200
∴双曲线CD的解析式为：y= (10≤x≤24)，
x
∵当0≤x≤5时，12=2x+10，
∴x=1，
200
∵当10≤x≤24时，12= ，
x
50
∴x= ，
3
50 47
∴气温不低于12℃的适宜温度是： −1= (h)．
3 3
47
答：这天内有 小时水果生长不受伤害．
3
◆ 学霸必刷
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度
v（单位：km/min）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内
赶到学校，那么他骑行的速度至少是（ ）A．0.2km/min B．0.25km/min C．0.3km/min D．0.4km/min
2．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单
位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于144kPa
时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
2 2 3 3
A．不大于 m3 B．不小于 m3 C．不大于 m3 D．不小于 m3
3 3 2 2
3．（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的
变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I/A．与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880，0.25)．
根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
200
A．当I<0.25时，R<880 B．I与R的函数关系式是I= (R>0)
R
C．当R>1000时，I>0.22 D．当880<R<1000时，I的取值范围是0.22<I<0.25
4．（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升10°C，加热到
100°C，停止加热，水温开始下降．此时水温y(°C)与通电时间x(min)成反比例．当水温降至20°C时，
饮水机再自动加热．若水温在20°C时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正
确的是（ ）
A．水温从20°C加热到100°C，需要7min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是400
y=
x
77
C．水温从100°C降至20°C，所需时间为40min D．水温不低于30°C的时间为 min
3
5．（23-24九年级下·吉林长春·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度
x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点(150,10)．根据图象可知，下列说法不正确的是
（ ）
A．这篇文章一共1500字．
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟．
C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字．
D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟
完成任务．
6．（2024·广西柳州·三模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支
点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活
中，有着广泛的运用，比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力F (N)和
1
阻力臂L (m)的函数图象如图所示，若小明想使动力F 不超过120N，则动力臂L （单位：m）需满足
1 2 2
（ ）
A．L <5 B．L >5 C．L ≥5 D．0<L ≤5
2 2 2 2
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）学校举行篮球比赛．图中的四个点分别描述了甲、乙、丙、丁四位同学投
篮的命中率y（投进的次数占尝试投篮次数的百分率）与尝试投篮次数x的情况，其中所有投进的球记2
分，描述乙、丁两位同学情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则投篮得分最多的是（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升10°C，温度到100°C停
止加热．然后水温开始下降，此时水温y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系，水温降至30°C时，饮水
机重复上述程序开始加热，加热时水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示．水温从30°C开始加热至
100°C，然后下降至30°C这一过程中，水温不低于50°C的时间为 min．
9．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临
床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中
4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为
小时．
10．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和
k
2，每个台阶凸出的角的顶点记作T （m为1∼8的整数）.函数y= (x<0)的图象为曲线L.
m x（1）若L过点T ，则它必定还过另一点T ，则m= ；
4 m
（2）若曲线L使得T ∼T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个.
1 8
11．（2024·安徽·模拟预测）人工智能(AI)饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温y(℃)与
通电的时间x(min)成一次函数关系，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热．在
水温开始下降时，水温y(℃)与通电的时间x(min)成反比例函数关系．当水温降至室温时，饮水机再次自
动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y(℃)与通电时间x（min）之
间的关系如图所示．
（1）求a的值；
（2）求加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
12．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分
钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比
例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，
（1）求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？13．（23-24八年级下·全国·单元测试）某草莓生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在
自然光照且温度为18°C的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内
k
温度y(°C)随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线y= 的一部分．请根据图象信息解答
x
下列问题：
（1）求k的值；
（2）当x=16时，大棚内的温度约为多少？
（3）一天24小时大棚内温度超过12°C的时间有多少小时？
14．（23-24八年级下·全国·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力
随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为
理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分
钟）的变化规律如下图所示．
（1）开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成
效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．
15．（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防H1N1甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教
室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内
每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封
闭教室期间，y与x均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后y与x满足反比例函数的关系，如图所示．
（1）研究表明，室内空气中的含药量低于3mg/m3时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟
后学生方可返回教室？
（2）当室内空气中的含药量不低于6mg/m3且持续时间不低于15分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试
通过分析判断此次消毒是否完全有效？
16．（2024九年级下·内蒙古包头·专题练习）墨墨在妈妈生日当天购买了一个足浴盆作为生日礼物送给妈
妈．墨墨妈妈在使用该足浴盆泡脚时，最初注入的水的温度是25℃，加热6min后，水温达到最高温度
40℃，然后该足浴盆自动停止加热进行保温，设定保温过程中，水温的最低温度不低于30℃，当水温降
至30℃时，该足浴盆又会再次自动加热，以此循环．加热时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关
系；保温时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系，第一个加热和保温过程如图所示．
（1）分别求出该足浴盆在第一个加热和保温过程中y与x的函数关系，并且写出自变量x的取值范围；
（2）墨墨妈妈在使用时，决定当水温不低于30℃时，才使用该足浴盆泡脚，若墨墨妈妈泡脚的时间为30分钟，则该足浴盆加热了几次？
17．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消
毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完
a
毕后，y与t的函数关系式为y= （a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
t
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放
开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
（3）当每立方米空气中的含药量y达到0.6毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？18．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
