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专题 6.4 反比例函数中四边形存在性问题
【例题精讲】
【例1】如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接 、 ，求 的面积；
（3）直线 经过点 且平行于 轴，点 在直线 上，点 在 轴上，以 、 、 、
为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点 、 的坐标，如果不
可以，说明理由．
【解答】解：（1）将点 代入 ，
，
，
将 代入 ，
，
，
将 ， 代入 ，
，解得 ，
；
（2）设直线 与 轴交于 ，与 轴交于点 ，
， ，
；
（3）以 、 、 、 为顶点的四边形可以是平行四边形，理由如下：
设 ， ，
①当 为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
， ；
②当 为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
， ；
③当 为平行四边形的对角线时，
，解得 ，
， ；
综上所述： ， 或 ， 或 ， ．
【例2】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，
两点，分别连接 ， ．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请根据函数图象的轴对称性，直接写出点 的坐标为 ；当 ，则
自变量 的取值范围是 ；
（3）在平面直角坐标系内，是否存在一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为
菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将 代入 得， ，，
，
将 代入 得，
，
；
（2）根据函数图象的轴对称性知，点 与 关于直线 对称，
过 作 轴，过 作 交于 ，
则 ，
，
当 ，则自变量 的取值范围是 或 ，
故答案为： ， 或 ；
（3）存在，如图，
，
点 在 上方时，四边形 是菱形，， ， ，
由平移的性质得 ，
以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，点 的坐标为 ．
【例3】如图，已知一次函数图象 与 轴交于点 ，与反比例函数图象
交于点 和点 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点 的坐标和 的面积；
（3）若点 为 轴上的一个动点， 为平面内一个动点，当以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形时，请求出 点坐标．
【解答】解：（1） 一次函数图象 与 轴交于点 ，
，一次函数的解析式为 ，
点 在直线 上，
，
即 ，
又 反比例函数 过 点，
，
反比例函数为 ；
（2） 反比例函数与一次函数交于点 和点 ，
联立两解析式得 ，
解得 或 ，
，
设直线 与 轴交于点 ，则 ，
，
，
即 的面积为 ；（3）画出图形可知，四边形 为对角线长度为6的正方形，
①当 时，设 ，
则 ，
，
解得 ，
，
②当 时，
同理可得： ，
③当 时，设 ，设 的中点为 ，
则 ， ，
，
，
，解得 ，
， ，
综上，满足条件的 点的坐标为 或 或 或 ．
【例4】如图：点 在函数 的图象上，矩形 的边 在 轴上， 是
对角线 的中点，函数 的图象又经过 、 两点，点 的横坐标为 ，解答
下列问题：
（1）直接写出 的值， 3 ；
（2）求点 的坐标；（用含 代数式表示）
（3）当 时，求证：矩形 是正方形．
【解答】解：（1）由函数 的图象过点 ，
，
故答案为：3；
（2）如图，连接 ，则 过 ，过 作 交 于 点
点 的横坐标为 ， 在双曲线 上，
的纵坐标是 ，
为 中点，
由平行四边形性质得出 为 中点，，
，
即 点的纵坐标是 ，
代入双曲线 得： 的横坐标是 ，
， ；
（3）当 时，点 ， ，点 ， ，
点 ， ， ，
为 中点，
点 ， ，
，
矩形 是正方形．
【题组训练】
2．如图，直线 和 的解析式分别是 和 ， 与 相交于点 ，
轴于点 ，反比例函 的图象与直线 相交于点 和 ，点 是 轴
上一个动点．（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象，请直接写出当 时 的取值范围；
（3）当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点 的坐
标．
【解答】解：（1）当 时，
解得 ，
，
，
点 在反比例函数 的图象上，
，
；
（2）当 时，
解得 或4，
，
当 或 时， ；
（3）当 时， ，
，
，当 为平行四边形的边时，则 ， ，
或 ，
当 为对角线时，根据中点坐标公式可得 ，即 ，
综上： 或 或 ．
3．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与
轴交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）直线 过点 ，与反比例函数图象交于点 ，与 轴交于点 ， ，连接
．
①求 的面积；
②点 在反比例函数的图象上，点 在 轴上，若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形，请求出所有符合条件的点 坐标．
【解答】解：（1）把 ， 代入 得，
，
，
把 ， 代入 得，，
；
（2） 点 ， 点的纵坐标是0， ，
点 的纵坐标是 ，
把 代入 得 ，
，
①如图1，
作 轴于 ，交 于 ，
当 时， ，
，
，
，
；
②如图2，当 是对角线时，即：四边形 是平行四边形，
， ，点 的纵坐标为0，
，
当 时， ，
，
，
当 为边时，即：四边形 是平行四边形（图中的 ，
由 得，
，
，
当 时， ，
，
综上所述： 或 ．
4．如图，已知反比例函数 与正比例函数 的图象交于 ， 两点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）当 时，请结合图象直接写出 的取值范围；
（3）若点 在 轴上，点 在双曲线上，当 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边
形时，求此时点 的坐标．
【解答】解：（1） 点 在直线 上，
，
，
点 在双曲线 上，
，
反比例函数的表达式为 ；
（2）由（1）知，反比例函数的解析式为 ①，
正比例函数的解析式为 ②，
联立①②解得， 或 ，
，
当 时， 的取值范围为 或 ；（3）由（1）知，点 ，
由（2）知， ，
设点 ， ，
以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
①当 与 为对角线时， ，此种情况不符合题意；
②当 与 为对角线时， ，
，
， ，
③当 与 为对角线时， ，
，
， ，
即满足条件的点 的坐标为 ， 或 ， ．
5．如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，点 在反比
例函数图象上，连接 ，过点 作 轴于点 ．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点 在第一象限，且以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出
点 的坐标．【解答】解：（1） 正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
，
，
，
．
反比例函数的表达式为： ．
（2）当 时， ，
．
．
在第一象限，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
， ，
轴，
的坐标为 或 ．
6．如图，在平面直角坐标系中， 、 是矩形 的两个顶点，双曲线
经过 的中点 ，点 是矩形 与双曲线 的另一个交点．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；（2）动点 在第一象限内，且满足
①若点 在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标；
②若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满
足条件的所有点 的坐标．
【解答】解：（1） 四边形 是矩形，
，
，
点 是 的中点，
，
，
，
当 时， ，
，
故答案为： ， ；
（2）①由题意知，
，．
，
，
，
的坐标为 ；
②由①知，点 在直线 上，设直线 交 轴于 ，
当 时，若点 在第一象限，
，
，
当点 在第四象限舍去，
当 时，同理得， ， ，
当 时，点 ，
则点 与 关于 对称，
，
综上，点 或 或 或 ．
8．如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 在反比例函数的第一象限内的图象上， ， ，动点 在 轴的上方，且满足
．
（1）若点 在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标；
（2）连接 、 ，求 的最小值；
（3）若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则请你直接
写出满足条件的所有点 的坐标．
【解答】解：（1）设点 的纵坐标为 ，
．
，
，
四边形 是矩形， ， ，
，
，
点 在这个反比例函数的图象上，
点 的横坐标为 ，
；（2）如图，点 在直线 上运动，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
此时 的最小值即为 的长，
在 中，由勾股定理得， ，
的最小值为10；
（3）当 时，如图， ，
，
， ，
， ，
当点 在 的右侧时，同理 ， ，
当 时，如图，由勾股定理得 ，，
，
，
同理，当 在 的右侧时， ，
当 时，点 在 的垂直平分线 上，点 又在直线 上，故不存在，
综上： ， 或 ， 或 或 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， 轴于 ， 轴于 ，
， ，有一反比例函数图象刚好过点 ．
（1）分别求出过点 的反比例函数和过 ， 两点的一次函数的表达式．
（2）动点 在射线 （不包括 点）上，过点 作直线 轴，交反比例函数图象于
点 ．是否存在这样的点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：（1）由题意知， ， ， ，
设过点 的反比例函数解析式为 ，
代入 点坐标得， ，
解得 ，
过点 的反比例函数的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 点和 点坐标得， ，
解得 ，
过 ， 两点的一次函数的表达式为 ；
（2）存在，
设 ，则 ，
①若以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形则点 在直线 上，且 ，
，
整理得 ，解得 或 ，
当 时，
，
此时 ，
即 ；
当 时，
，
此时 ，
即 ；
②若以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形则点 在直线 上，且 与 互相
垂直平分，
则 点的纵坐标为3，且 ，
解得 ，
，
，
， ，
综上所述，若以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形则 点的坐标为 或
或 ， ．10．如图1，一次函数 与反比例函数 交于 ， 两点，点 的横坐标为
．
（1）求出反比例函数的表达式及点 的坐标；
（2）当 时，直接写出 的取值范围；
（3）如图2，在第二象限中存在一点 ，使得四边形 是菱形，求菱形 的面积．
【解答】解：（1） 点 在一次函数 ①的图象上，且点 的横坐标为 ，
，
点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的表达式为 ②，
联立①②解得， 或 ，
；
（2）由（1）知， ， ，
由图象知，当 时， 的取值范围为 或 ；（3）如图，连接 ，交 于 ，
四边形 是菱形，
， ，
由（1）知， ， ，
，点 ，
，
．
11．如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点 、点 ，与 轴交于点 ，
其中点 的坐标为 ，点 的横坐标为 ．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）直接写出不等式 的解集．
（3）点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以点 ． ， ， 为顶点的四边形
是菱形，请直接写出点 的坐标．【解答】解：（1）将点 的坐标 代入反比例函数 中得：
，
反比例函数的关系式为 ；
（2） 点 的横坐标为 ，
，
．
由图象可知，不等式 的解集为 或 ；
（3）①当以 为一边时，如图，
则 ；
②当以 为一条对角线时，如图，此时点 与原点重合， ，
综上，以点 ． ， ， 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 或 ．
13．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 坐标为 ，四边形 为平行
四边形，反比例函数 的图象经过点 ，与边 交于点 ，若 ，
．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点 是 轴上一动点，求 最大时 的值；
（3）连接 ，在反比例函数图象上是否存在点 ，平面内是否存在点 ，使得四边形
为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，过点 作 轴于 ，，
，
，
，
，
，
点 在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为 ；
（2） 点 ，点 ，
解析式为： ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
点 ，
设 解析式为： ，
，
，
解析式为： ，联立方程组可得： ，
或 （舍去），
点 ；
在 中， ，则当点 ， ， 三点共线时， ，此时，
取得最大值，
由（1）知 ， ，设直线 的解析式为： ，
，解得 ，
直线 的解析式为： ，
令 ，即 ，得 ，
最大时 的值为6．
（3）存在，理由如下：
若四边形 为矩形，则 是直角三角形，
则①当点 为直角顶点时，如图2，过点 作 的垂线与 交于点 ，分别过点 ，
作 轴的垂线，垂足分别为点 ， ，
由“一线三等角”模型可得 ，
则 ，
， ，
， ，
，即 ，
设 ，则 ，，
点 在反比例函数 的图象上，
则 ，
解得 ，（负值舍去），
， ；
②当点 为直角顶点时，这种情况不成立；
综上，点 的坐标为 ， ．
14．如图，已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，过点 作
轴于点 ，过点 作 轴于点 ．
（1）双曲线解析式为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ；
（2）若点 在直线 上，是否存在点 使 ，若存在，请求出此时点
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点 为 轴上的一个动点， 为平面内一个动点，当以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形时，直接写出 点坐标．【解答】解：（1） 直线 经过点 ， ，
， ，
， ，
， ，
双曲线 经过点 ，
，
双曲线的解析式为 ，
故答案为： ， ， ；
（2）存在，理由如下：
， 轴，
，
，
，
设点 是 轴上一点，且 ，，
，
， ，
分别过点 和 作 的平行线，
显然 在 上，
令 ，则 ，
， ；
（3）如图2中，①当 时， ， ．
②当 时， ， ．
③当 时，设 ，设 的中点为 ， ，
，
，
，
解得 ，
， ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
15．如图，已知直线 与双曲线 交于 、 两点，且 点坐标为 ．
（1）求双曲线解析式；（2）将直线 向下平移两个单位得直线 ， 是 轴上的一个动点， 是 上的一
个动点，求 的最小值，并求此时的 点坐标；
（3）若点 为 轴上的一个动点， 为平面内一个动点，当以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形时，请求出 点坐标．
【解答】解：（1） 直线 ，经过点 ，
，
，
，
双曲线 经过点 ，
，
双曲线的解析式为： ；
（2）如图，作 关于 轴的对称点 ，过 于 ， 交 轴于 ，
则 取得最小值，此时 ，
， ， ，将直线 向下平移两个单位得直线 ，
的解析式为： ，且 是第一、三象限的角平分线，
，
，
， ，
，
， ，
， ， ，
，
，
的最小值为 ；
，
此时 ；
（3）当 时，
或 ，
，
如图，当 为边时，若 ，，
，
由平移知，点 ；
当 为边时，若 ，
同理 ，
由平移知，点 ；
当 为对角线时，设 ，
线段 的中点 坐标为 ， ，
则 ，
，
解得 或 ，，或 ，
当 时， ；
当 时， ．
综上： 或 或 或 ．
16．如图，已知直线 与双曲线 交于 、 两点，且 点坐标为 ．
（1）求双曲线解析式及 点坐标．
（2）将直线 向下平移一个单位得直线 ， 是 轴上的一个动点， 是 上的一
个动点，求 的最小值．
（3）若点 为 轴上的一个动点， 为平面内一个动点，当以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形时，直接写出 点坐标．
【解答】解：（1） 直线 经过点 ，
，
，
，
双曲线 经过点 ，
，双曲线的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，
；
（2）如图1中，
直线 向下平移一个单位得直线 ，
直线 是一三象限的角平分线，
过点 作 直线 交 于点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，
，
由题意 ， ， ，
的最小值为 ；
（3）如图2中，①当 时， ， ．
②当 时， ， ．
③当 时，设 ，设 的中点为 ， ，
，
，
，
解得 ，
， ，
， ，
， ，综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
17．如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
直线 与 轴交于点 ，
（1）请直接写出 ， 的值；
（2）若点 在 轴上，若点 在 轴上，求 的最小值；
（3） 是直线 上一点， 是双曲线上一点，是否存在点 ， ，使得四边形
是正方形？若存在，求出点 ， 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 直线 与双曲线 交于 ， 两点，
， ，
， ；
（2）如图，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于 轴的对称点 ，则 ，
，，
即当点 ， ， ， 共线时， 的值最小，最小值为 的长，
由（1）得 ， ，
， ，
，
即 的最小值为 ；
（3）存在，理由如下：
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得，
，
，
直线 的解析式为 ，，
，
，
同理可得直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
，
， ， ，
，
当 时，四边形 是正方形，
设点 ，
，
解得 或 ，
或 ，
设点 ，
当点 坐标为 时， ，
，
解得 或 ，
或 （舍去）；当点 坐标为 时， ，
，
解得 或 ，
（舍去）或 （舍去），
综上，存在点 ， ，使得四边形 是正方形．
18．如图，直线 经过点 ，并与反比例函数 交于点 ．
（1）求直线 和反比例函数的表达式；
（2）点 为反比例函数图象第二象限上一点，记点 到直线 的距离为 ，当 最小
时，求出此时点 的坐标；
（3）点 是点 关于原点的对称点， 为线段 （不含端点）上一动点，过点 作
轴交反比例函数于点 ，点 为线段 的中点，点 为 轴上一点，点 为平面
内一点，当 ， ， ， 四点构成的四边形为正方形时，求点 的坐标．
【解答】解：（1）将 代入 中得，
，，
反比例函数的表达式为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 与 代入得，
，
，
直线 的解析式为 ；
（2）将直线 向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点 时，此时 最小，
设直线 的解析式为 ，
方程 有两个相等的实数根，
整理得 ，
△ ，
解得 或 ，
直线 与 轴交于正半轴，
舍去，
解方程 ，得 ，
，
；
（3）分两种情况讨论：
①当 时，如图，作 轴交 于点 ，轴，
，
四边形 为正方形，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
与 关于原点对称，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
，
直线 的解析式为 ，，点 在直线 上，
点 的横坐标为2，
当 时， ，
；
②当 时，如图，过点 作 轴的平行线 ，交 于点 ，过 作 轴的平行
线交 于点 ，
则四边形 是矩形，
，
，
四边形 为正方形，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
由①知直线 的解析式为 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，，
为等腰直角三角形，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
，
是 的中点，
，
设 ，则 ，
，
（舍去）或 ，
，
，
当 时，同理可得 ，
， ，
设 ，则 ，， ，
，
解得 ，
，
综上， 点的坐标为 或 ．
19．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于
点 ，与 轴交于点 ，点 是反比例函数 的图象上一动点，过点
作直线 轴交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，且 ，连接 ，
．
（1）求 ， 的值．
（2）当 的面积为3时，求点 的坐标．
（3）设 的中点为 ，点 为 轴上一点，点 为坐标平面内一点，当以 ， ， ，
为顶点的四边形为正方形时，求出点 的坐标．
【解答】解：（1） 直线 过点 ，
，，
直线 过点 ，
，
，
过点 ，
；
（2） ， ， ， ，
，
，
，
，
， ；
（3）如图1，
， ，
，
当 是边，点 在 轴正半轴上，作 于 ，作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， （舍去），
如图2，
当点 在 轴的负半轴上时，
由上知： ，
，
，
当 是对角线时，当 是对角线时，点 在 轴负半轴上时，
可得： ， ，
，
，
，
如图4，
， ，
，
， （舍去），
当 时， ，
， ，综上所述： 或 ， ， ．
