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专题 6.4 反比例函数中四边形存在性问题
【例题精讲】
【例1】如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接 、 ，求 的面积；
（3）直线 经过点 且平行于 轴，点 在直线 上，点 在 轴上，以 、 、 、
为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点 、 的坐标，如果不
可以，说明理由．【例2】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，
两点，分别连接 ， ．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请根据函数图象的轴对称性，直接写出点 的坐标为 ；当 ，则自变
量 的取值范围是 ；
（3）在平面直角坐标系内，是否存在一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为
菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，已知一次函数图象 与 轴交于点 ，与反比例函数图象
交于点 和点 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点 的坐标和 的面积；
（3）若点 为 轴上的一个动点， 为平面内一个动点，当以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形时，请求出 点坐标．【例4】如图：点 在函数 的图象上，矩形 的边 在 轴上， 是
对角线 的中点，函数 的图象又经过 、 两点，点 的横坐标为 ，解答
下列问题：
（1）直接写出 的值， ；
（2）求点 的坐标；（用含 代数式表示）
（3）当 时，求证：矩形 是正方形．【题组训练】
2．如图，直线 和 的解析式分别是 和 ， 与 相交于点 ，
轴于点 ，反比例函 的图象与直线 相交于点 和 ，点 是 轴
上一个动点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象，请直接写出当 时 的取值范围；
（3）当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点 的坐
标．3．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与
轴交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）直线 过点 ，与反比例函数图象交于点 ，与 轴交于点 ， ，连接
．
①求 的面积；
②点 在反比例函数的图象上，点 在 轴上，若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形，请求出所有符合条件的点 坐标．4．如图，已知反比例函数 与正比例函数 的图象交于 ， 两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）当 时，请结合图象直接写出 的取值范围；
（3）若点 在 轴上，点 在双曲线上，当 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边
形时，求此时点 的坐标．5．如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，点 在反比
例函数图象上，连接 ，过点 作 轴于点 ．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点 在第一象限，且以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出
点 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中， 、 是矩形 的两个顶点，双曲线
经过 的中点 ，点 是矩形 与双曲线 的另一个交点．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）动点 在第一象限内，且满足
①若点 在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标；
②若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满
足条件的所有点 的坐标．8．如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 在反比例函数
的第一象限内的图象上， ， ，动点 在 轴的上方，且满足
．
（1）若点 在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标；
（2）连接 、 ，求 的最小值；
（3）若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则请你直接
写出满足条件的所有点 的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， 轴于 ， 轴于 ，
， ，有一反比例函数图象刚好过点 ．
（1）分别求出过点 的反比例函数和过 ， 两点的一次函数的表达式．
（2）动点 在射线 （不包括 点）上，过点 作直线 轴，交反比例函数图象于
点 ．是否存在这样的点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，一次函数 与反比例函数 交于 ， 两点，点 的横坐标为
．
（1）求出反比例函数的表达式及点 的坐标；
（2）当 时，直接写出 的取值范围；
（3）如图2，在第二象限中存在一点 ，使得四边形 是菱形，求菱形 的面积．11．如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点 、点 ，与 轴交于点 ，
其中点 的坐标为 ，点 的横坐标为 ．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）直接写出不等式 的解集．
（3）点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以点 ． ， ， 为顶点的四边形
是菱形，请直接写出点 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 坐标为 ，四边形 为平行
四边形，反比例函数 的图象经过点 ，与边 交于点 ，若 ，
．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点 是 轴上一动点，求 最大时 的值；
（3）连接 ，在反比例函数图象上是否存在点 ，平面内是否存在点 ，使得四边形
为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，过点 作
轴于点 ，过点 作 轴于点 ．
（1）双曲线解析式为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ；
（2）若点 在直线 上，是否存在点 使 ，若存在，请求出此时点
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点 为 轴上的一个动点， 为平面内一个动点，当以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形时，直接写出 点坐标．15．如图，已知直线 与双曲线 交于 、 两点，且 点坐标为 ．
（1）求双曲线解析式；
（2）将直线 向下平移两个单位得直线 ， 是 轴上的一个动点， 是 上的一
个动点，求 的最小值，并求此时的 点坐标；
（3）若点 为 轴上的一个动点， 为平面内一个动点，当以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形时，请求出 点坐标．16．如图，已知直线 与双曲线 交于 、 两点，且 点坐标为 ．
（1）求双曲线解析式及 点坐标．
（2）将直线 向下平移一个单位得直线 ， 是 轴上的一个动点， 是 上的一
个动点，求 的最小值．
（3）若点 为 轴上的一个动点， 为平面内一个动点，当以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形时，直接写出 点坐标．17．如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
直线 与 轴交于点 ，
（1）请直接写出 ， 的值；
（2）若点 在 轴上，若点 在 轴上，求 的最小值；
（3） 是直线 上一点， 是双曲线上一点，是否存在点 ， ，使得四边形
是正方形？若存在，求出点 ， 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，直线 经过点 ，并与反比例函数 交于点 ．
（1）求直线 和反比例函数的表达式；
（2）点 为反比例函数图象第二象限上一点，记点 到直线 的距离为 ，当 最小
时，求出此时点 的坐标；
（3）点 是点 关于原点的对称点， 为线段 （不含端点）上一动点，过点 作
轴交反比例函数于点 ，点 为线段 的中点，点 为 轴上一点，点 为平面
内一点，当 ， ， ， 四点构成的四边形为正方形时，求点 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于
点 ，与 轴交于点 ，点 是反比例函数 的图象上一动点，过点
作直线 轴交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，且 ，连接 ，
．
（1）求 ， 的值．
（2）当 的面积为3时，求点 的坐标．
（3）设 的中点为 ，点 为 轴上一点，点 为坐标平面内一点，当以 ， ， ，
为顶点的四边形为正方形时，求出点 的坐标．
