文档内容
专题 7.1 平行线证明综合
1．已知：如图，点 、 、 、 都在 的边上， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ， ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ，
．
，
．
．
（2）解： ， ，
．
平分 ，
．
．
由（1）知 ，
．
2．如图，在 中， ， ， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【解答】解：（1） ， ， ，
，，
，
；
（2） ， ，
，
，
．
3．已知：如图， 和 的平分线交于点 ， 交 于点 ， ．
（1）试说明： ；
（2）试探究 与 的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明： 和 的平分线交于点 ，
， ，
，
，
；
（2）解： ，理由如下：
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
．
4．如图， 平分 ， ， ．
（1）求 的度数；（2）若 ；求 的度数．
【解答】解：（1） ，
，
平分 ，
．
．
，
．
（2）设 ，则 ， ，
，
．
，
．
解得 ．
．
5．已知：如图， ， ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由．
（2）若 平分 ，若 ，求 的度数．
【解答】解：（1） ．
理由： ，
，又 ，
，
；
（2） ，
，
平分 ，
，
，
．
6．如图， 中， 、 是角平分线，它们相交于点 ， 是高， ，求
及 的度数．
【解答】解： ， ，
，
，
，
、 是角平分线，
，
，
答： ， ．
7．如图， ， ．
（1）试说明： ；
（2）若 是 的平分线， ，求 的度数．【解答】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
是 的平分线，
，
，
．
8．如图，若 ， 于 ， 于 ，求证： ．
【解答】证明： ，
，
，
， ，
，
，
．
9．如图， ， 分别是 ， 上的点， ， 是 上的点，连接 ， ，
已知 ， ．
（1）求证： ；（2）若 是 的平分线， ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
是 的平分线，
，
，
．
10．将一副三角板中的两个直角顶点 叠放在一起（如图① ，其中 ，
， ， ，设 ．
（1）填空： ， ；（用含 的代数式表示）
（2）若 ，求 的度数；
（3）若三角板 不动，三角板 绕顶点 转动一周，当 等于多少度时
？【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 知 ， ，
，
故答案为： ， ；
（2） ，
，
，
，
解得 ，
即 ；
（3）若 分以下两种情况：
①如图①，此时 ，
， ，
，
；
②如备用图所示，
此时 ，
， ，
，
综上，当 等于30或150度时 ．11．如图，在 中， ， ， 是角平分线， 是高．
（1）求 的度数；
（2）求 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
，
是角平分线，
；
（2） 是 边上的高，
，
，
．
12．如图，已知 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．【解答】解：（1）证明： ， ，
，
，
，
，
．
（2） ，
，
，
，
，
，
．
13．小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在 中， ， 平分 ， 于 ．
猜想 、 、 的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入 、 的值求
值，得到下面几组对应值：
度 10 30 30 20 20
度 70 70 60 60 80
度 30 15 20 30
上表中 2 0 ，于是得到 、 、 的数量关系为 ．
（2）小明继续探究，在线段 上任取一点 ，过点 作 于点 ，请尝试写出
、 、 之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换 、 两个字母位置，如图 3，过 的延长线是一点 作
交 的延长线于 ，当 ， 时， 度数为 ．【解答】解：（1） ， ，
中， ，
平分 ，
，
，
，
故答案为：20； ．
（2）如图，过点 作 于 ，
， ，
，
，
内角和为 ，
，
平分 ，
，
同时 ，
可得出 ，
综上所述， ；（3）同理（2），依旧可得 ，
故答案为：28．
14．（1）探究一：如图（a）， 平分 ， 平分 ，请确定 与 的数
量关系，并说明理由；
（2）探究二：如图（b）， 平分 ， 平分 ，请确定 与 的数量关
系 ；
（3）探究三：如图（c）， 平分 ， 平分 ，请确定 与 的数量关
系 ；
解决问题：如图，在 中， ， ， 分别平分 ， ， ， ，
分别在 ， ， 的延长线上， ， 分别平分 ， ， ， 分
别平分 ， ，则 ．
【解答】解：（1） 平分 ， 平分 ，
设 ， ，则 ， ，
即： ， ，
联立可得： ．
（2） 平分 ， 平分 ，
设 ， ，
则由外角定理可得： ， ，
即： ， ，
联立可得： ．
故答案为： ．
（3） 平分 ， 平分 ，
设 ， ，
则由外角定理可得： ，
，
联立可得： ．
故答案为： ．
解决问题：由（1）（2）（3）的结论可得：
，
，
．
故答案为： ．15．如图， ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，则 的大小为 ．
【解答】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
， ，
， ，
，
即 ，
解得： ，
．
故答案为： ．
16．如图，在 中， 是 的高线， 是 的角平分线，已知
．
（1）若 ，求 的度数；
（2）设 ，用含有 的代数式表示 的大小．
【解答】解：（1） 在 中， ，，
又 ， 是角平分线，
，
；
（2） 在 中， ，
，
又 ， 是角平分线，
，
．
17．如图， 的角平分线 、 相交于点 ．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）求证： ．
【解答】（1）解： ， ， ，
，
的角平分线 、 相交于点 ，
， ，
，
；
（2）证明： 的角平分线 、 相交于点 ，
， ，
，
，
，，
即 ．
18．如图所示， ， 均为直角三角形，且 ， ，过点 作
平分 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【解答】（1）证明： ，且 平分 ，
，
又 ，
，
．
（2）解：由（1）知， ．
在 中， ，
．
．
19．如图，直线 ，将 按如图所示的位置放置，点 在直线 上，
， ．
（1）若 ，则 的度数为多少？
（2）若 ，则 的度数为多少？（用含 的代数式表示）【解答】解：过点 作 ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
；
（2）过点 作 ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，．
20．如图，点 、 分别在 的边 、 上，连接 、 ，在 上取一点 ，
连接 ，若 ， ，求证： ．
【解答】证明： ， ，
．
．
．
，
．
．
21．某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在 中，角平分线 、 交于点 ．求 的度数．
（1）若 ，请直接写出 11 0 ；
【变式思考】
（2）若 ，请猜想 与 的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在 中，角平分线 、 交于点 ， ，交边 于
点 ，点 在 的延长线上，作 的平分线交 的延长线于点 ．若 ，猜
想 与 的关系，并说明理由．【解答】解：（1） ，
，
角平分线 、 分别平分 、 ，
， ，
，
在 中， ，
故答案为：110．
（2） ，
，
、 是角平分线，
，
，
（3） ．
理由：由（2）结论可知： ，
．
、 分别平分 和 ，
， ，
．，
．
，
．
，
，
．
．
22．如图， ， ， ， 是 的平分线．
（1） 与 平行吗？请说明理由；
（2）试说明 ；
（3）求 的度数．
【解答】（1）解： ，
理由是： ， ，
，
又 ，
，
；
（2）解： ，
，
，
是 的角平分线，
，，
，
；
（3）解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．如图，在 中， ， 于点 ， 平分 交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，交 于点 ，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求 的度
数．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
；
（2）如图，，
，
，
，
．
由（1）知， ，
．
24．如图，在 中， ， 分别是 的中线和高， 是 的角平分线．
（1）若 的面积为40， ，求 的长；
（2）若 ， ，求 的大小．
【解答】解：（1） 是 的中线， ，
，
， ，
，
；
（2）在 中， 为它的一个外角，且 ， ，
，
是 的角平分线，
，
，，
在 中， ．
25．如图，四边形 中，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，连接 交
于 ，交 于 ，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
【解答】证明：（1） ， ，
，
，
，
．
（2） ，
，
，
．
，
．
26．如图，已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ， 于点 ， ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ，，
又 ，
，
，
；
（2）解： 平分 ，
， ，
由（1）知 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
．
27．如图，在 中， ， ， 平分 ．
（1）计算：若 ， ，求 的度数；
（2）猜想：若 ，则 ；
（3）探究：请直接写出 ， ， 之间的数量关系 ．
【解答】解：（1） ， ，
，
平分 ，
，
，
，，
；
（2） ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（3） ，
平分 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
28．已知：如图，点 、 在线段 的异侧，点 、 分别是线段 、 上的点，
， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ，求 的度数．【解答】（1）证明： ， ， ，
，
；
（2）证明： ， ，
，
，
，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
解得 ，
，
，
．
29．如图，已知 ，点 ， 分别在 ， 上， 平分 交 于点 ．
（1）如图1，当 ，且 时，求 ；
（2）如图2，连接 ，当 时，完成以下问题：
①若 ，且 ，求 ；
②判断 与 的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1） ，
，
平分 ，
，
，
，
；
（2）① ， ，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
；
② ，
理由：设 ， ，
，
，，
，
，
，
平分 ，
，
，
即 ．
30．如图，已知 ， ， ，点 在点 右侧．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，点 是 上一点，连接 ，已知 ， ．
①若 ，且 ， ，求线段 的长；
②若 ，点 到 的距离与线段 的长度之比为 ，求线段 的长．
【解答】（1）证明： ，
．
，
．
．
（2）解：①由题意画出图形如下，设线段 的长为 ，则 ，
，
．
．
解得： ．
线段 的长为 ．
②连接 ，过点 作 于点 ，如图，
点 到 的距离与线段 的长度之比为 ，
设点 到 的距离为 ，则线段 的长度为 ，
， ．
．
．
．
．
