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专题 6.3 平行四边形的性质（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在 中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC， 的面积为48，
OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
2．下列图形中，三角形ABC和平行四边形ABDE面积相等的是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将 沿AE折叠至 处，
与CE交于点F，若 ， ，则 的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
4．如图，在 中，用直尺和圆规作 的平分线 交 于点E，若 ，
，则 的长为（ ）A． B．
C． D．
5．如图所示，平行四边形 的对角线交于点 ，下列结论错误的是( )
A．平行四边形 是中心对称图形 B．
C． D． 与 的面积相等
6．如图，在
▱
ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，AE⊥BC于点E，连接DE，交AC于点G．
以DE为边作等边△DEF，连接AF，交DE于点N，交DC于点M，且M为AF的中点．在
下列说法中：①∠EAN＝45°，② AE＝ CM，③S ＝S ，④AF⊥DE．正确的个数
△AGE △DGC
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在 ABCD中，AB＞AD，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，F；再分别以点
▱
E，F为圆心 EF的长为半径画弧，两弧交于点G，则下列结论中错误的是（ ）A．AG平分∠DAB B．AD＝DH C．DH＝BC D．CH＝DH
8．如图， 的对角线 ， 相交于点O，且 ，E，F，G分别是是 ，
▱
， 的中点，且 的周长为7，则 的周长为（ ）
▱
A．10 B．15 C．20 D．25
9．如图， 中，对角线 相交于点 交 于点 ，连接 ，若
的周长为28，则 的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
10．平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线相等 D．内角和为360º
11．平行四边形的两条对角线长分别是 、 ，一边长为12，则 、 可能是下列各组中
的( )
A．8与14 B．10与14 C．18与20 D．10与38
12．如图所示，在 中， 与 相交于点 ， 为 的中点，连接 并延长交
于点 ，则 与 的面积比值为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
13．平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E，∠ADC的平分线交BC边于点
F，AB=5， EF=1，则BC=______ ．
14．如图，在 中， ， ， ， 为 上的两个动点，且
，则 的最小值是________．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E
处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．
16．如图，在 ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点
▱
E，连接B′D，若∠B=60°，∠ACB=45°，AC= ，则B′D的长是_____．17．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为
20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．
18．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于
点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝
BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．
19．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，AB＝2，E为AC上一点，
将 ADE沿DE翻折，点A恰好落DC上的点F处，连接BF，则BF的长是____．
20．如图，已知 的面积为 ，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，且
， ， ，连接 ， ，则图中阴影部分的面积为______．21．在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，以A，B，C为顶点画
平行四边形，则第四个顶点D的坐标是___________（写出所有情况）
22．如图，点O是 的对称中心，点E为 边的中点，点F为 边上的点，且
．若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是
______．
23．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10 ，它的两条对角线交于点 ，以AB、
为邻边作平行四边形 ,平行四边形 的对角线交于点 ，同样以AB、
为邻边作平行四边形 ,……，依次类推，则平行四边形 的面积为
_________________．三、解答题
24．如图，在平行四边形 中，E是 上一点．
（1）用尺规完成以下基本操作：在 下方作 ，使得 ， 交 于
点F．（保留作图痕迹，不写作法)
（2）在（1）所作的图形中，已知 ， ，求 的度数．
25．已知：在 中， ， ， 的面积为9．点 为边 上动点，过点
作 ，交 的延长线于点 ． 的平分线交 于点 ．
（1）如图1，当 时，求 的长；
（2）如图2，当点 为 的中点时，请猜想并证明：线段 、 、 的数量关系．
26．已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD
上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．
（1）求证：G是CD的中点；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直
尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM；
（2）在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN．
28．如图，平行四边形 在直角坐标系中，点 、点 都在 轴上，其中 ，
， ， 是线段 的中点．
（1）直接写出点 ， 的坐标；
（2）平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案
1．B
【分析】
由平行四边形对角线互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得 ，代入即可
求出BC边长.
【详解】
解：∵在 中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OA=3，
∴AC=2OA=6，
∵AC⊥BC，
∴ ，
∴BC=8.
故选：B
【点拨】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平
分的性质是解答此题的关键.
2．C【分析】
根据三角形的面积公式和平行四边形的面积公式解答即可．
【详解】
解：①三角形ABC的面积＝ ，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，不相等；
②三角形ABC的面积＝ ，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
③三角形ABC的面积＝ ，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
④三角形ABC的面积＝ ，平行四边形ABDE的面积＝4×2＝8，相等；
故选：C．
【点拨】此题考查平行四边形的性质，关键是根据三角形的面积公式和平行四边形的面积
公式解答．
3．B
【分析】
由平行四边形的性质得出 ，由折叠的性质得 ，
，由三角形的外角性质求出 ，由三角形内角和定理求出
，即可得出 的大小．
【详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角
和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出 和 是解决问题的关
键．
4．B
【分析】
根据 平分 ，四边形 是平行四边形，易得 ，可得，根据作图得 ，有 ，利用 可证 ，则有
， ，即 是 边上的中点，得到 ， ，由勾股定
理得 ，根据 可求得结果．
【详解】
解：如图示
平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
由作图可知： ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴在等腰三角形 中， 是 边上的中点
∴ ，
，
由勾股定理得： ，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的作法和定义、等腰三角形
三线合一的性质，熟练掌握平行加角平分线可得等腰三角形是解题得关键．
5．C【分析】
根据中心对称图形的定义可得A说法正确；根据平行四边形的性质可得C错误，B正确；
根据等底同高的三角形的面积相等可得D正确．
【详解】
解：A．平行四边形 是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意；
B． 四边形 是平行四边形，
， ， ，
在 和 中，
，
，
故说法正确；
C． ，说法错误，故本选项符合题意；
D．过 作 ，
， ，
与 的面积相等，说法正确；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角线互相平
分，平行四边形的对边相等．
6．B
【分析】
连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，首先通过SAS证明△DAE≌△DCF，得AE＝CF，
∠DAE＝∠DCF＝90°，则∠ACF＝150°，由AC≠CF，则∠EAN≠45°，故①错误；易证
△AHM≌△FCM（AAS），得HM＝CM＝ a，从而 CM＝ a＝ AE，故②正确；因为AD BC，得S ＝S ，从而可证③正确；因为△EDF是等边三角形，若AF⊥DE，则
△AEC △DCE
AF垂直平分DE，则AD＝AE，显然AD≠AE，故AF与AD不垂直，故④错误．
【详解】
解：连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，AD BC，
∵AE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE＝30°，
设BE＝CE＝a，则AB＝BC＝AC＝2a，
∴AE＝ a，
∵∠ADC＝∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中， ，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝90°，
∴∠ACF＝150°，
∵AC≠CF，
∴∠CAF≠∠CFA≠15°，
∴∠EAN≠45°，故①错误；
∵∠AHM＝∠FCM＝90°，MA＝MF，∠AMH=∠FMC，
∴△AHM≌△FCM（AAS），∴HM＝CM＝ a，
∴ CM＝ a＝ AE，故②正确；
∵AD BC，
∴S ＝S ，
△AEC △DCE
∴S −S ＝S −S ，
△AEC △GCE △DCE △GCE
即S ＝S ，
△AGE △DGC
故③正确；
∵△EDF是等边三角形，
若AF⊥DE，则AF垂直平分DE，则AD＝AE，
显然AD≠AE，故AF与AD不垂直，故④错误；
∴正确的是②③，一共2个，
故选：B．
【点拨】本题是四边形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判
定与性质，以及线段垂直平分线的性质等知识，通过作辅助线，构造出△DAE≌△DCF是解
题的关键．
7．D
【分析】
根据角平分线的作法、平行线的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，即可得出
答案.
【详解】
根据角平分线的作法可知A正确；
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAH=∠HAB．
又∵ABCD为平行四边形，
∴CD AB，AD=BC，
∴∠DHA=∠HAB=∠DAH，
∴AD=DH，故B正确；
∴DH=BC，故C正确；
无法确定CH=DH，故D错误；故答案选择D．
【点拨】本题考查了四边形、平行线、角平分线和等腰三角形，根据角平分线的作法判断
出AG为角平分线是解决本题的关键.
8．C
【分析】
根据平行四边形的性质和中位线定理计算即可；
【详解】
∵E，F，G分别是是 ， ， 的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 的周长为7，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ；
▱
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，准确计算是解题的关键．
9．D
【分析】
根据平行四边形的性质OA=OC及OE⊥AC，可得AE=CE，从而△ADE的周长为AD+CD，
由此可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵OE⊥AC
∴OE是线段AC的垂直平分线
∴AE=CE
∵平行四边形ABCD的周长为28，即2（AD+CD）=28
∴AD+CD=14
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=14
故选：D．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、多边形的周长，关键是
根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，从而把△ADE的周长转化为平行四边形的两邻边
的和．
10．C
【分析】
根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等；对边平行；②角：平行四边形的
对角相等；邻角互补；③对角线：平行四边形的对角线互相平分；可筛选出答案．
【详解】
A、平行四边形的两组对边分别平行，正确，故此选项不符合题意；
B、平行四边形的两组对角分别相等，正确，故此选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故此选项符合题意；
D、平行四边形内角和为360°，正确，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质，在记忆平行四边形的性质时要从三方面来记：
①角；②边；③对角线．
11．C
【分析】
是平行四边形的两条对角线的长，则它们的一半与平行四边形长为12的边构成三角
形，根据三角形三边关系中“三角形的任意两边之和大于第三边”即可从选项中判定出正
解的答案．
【详解】
解：∵平行四边形的对角线互相平分，此平行四边形的两对角线长为
∴这两条对角线的一半就是 ，
∴这两条对角线的一半与边长为12的边组成的三角形的三边为： 、 、12
根据三角形任意两边之和大于第三边得：
Ａ选项中 ，不符合；Ｂ选项中 ，不符合；Ｃ选项中
，符合；Ｄ选项中 ，不符合．
故选：C【点拨】本题考查的知识点有两个：一是平行四边形的对角线互相平分，一是三角形的三
边关系，综合运用这两个知识点逐个判定是解题的基本方法．
12．C
【分析】
根据平行四边形的性质得到OB=OD，利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3，根据同
高三角形面积比的关系得到S ：S =1：3，利用平行四边形的性质得S
△ADE △ABE 平行四边形
=2S ，由此即可得到 与 的面积比.
ABCD △ABD
【详解】
在 中，OB=OD，
∵ 为 的中点，
∴DE=OE,
∴DE:BE=1：3，
∴S ：S =1：3，
△ADE △ABE
∴S ：S =1：4，
△ABE △ABD
∵S =2S ,
平行四边形ABCD △ABD
∴ 与 的面积比为3:8，
故选：C.
【点拨】此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练
运用解题是关键.
13．11
【分析】
分两种情形分别计算，只要证明AB=BE，CD=CF，即可推出AB=BE=CF，由此即可解决问
题．
【详解】
解：如图，
∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠BAE=∠EAD，∠ADF=∠CDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∴∠BAE=∠AEB，∠DFC=∠CDF，
∴AB=BE，CD=CF，
即2AB+EF=BC，
∵AB=5，EF=1，
∴BC=11．
如图，
由（1）可知：AB=BE，CD=CF，
∵AB=CD=5，
∴AB=BE=CF=5，
∵BE+CF-EF=BC，EF=1，
∴BC=2×5-1=9，
综上：BC长为11或9，
故答案为：11或9．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．
【分析】
过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于
BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时， 最小
为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．
【详解】
解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，
∴MD＝AN，AD＝MN，
作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，
则AM＝A′M，
∴AM＋AN＝A′M＋DM，
∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，
∵AD//BC，AO⊥BC，
∴∠DA ＝90°，
∵ ， ，，
∴BC＝
BO＝CO＝AO＝ ，
∴ ，
在Rt△AD 中，由勾股定理得：
D＝
∴ 的最小是值为： ，
故答案为：
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，
构造平行四边形将AN转化为DM是解题的关键．
15．40°【分析】
由平行四边形的性质得∠B=∠D=50°，再由三角形的外角性质得∠AEC=∠D+∠DAE=70°，
则∠AED=110°，然后由折叠的性质得∠AED=∠AED′=110°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；
熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
16．
【分析】
由翻折的性质得△ABC≌△AB'C，先证明△EAC为等腰直角三角形，求出AE=EC= ，在
Rt△CDE中，求出ED=1，CD=2，在Rt△AEB'中，求出B'E=1，在Rt△EDB'中，即可求
B'D= ．
【详解】
解：∵将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，
∴△ABC≌△AB'C，
∴AB=AB'，∠B=∠AB'C，∠ACB=∠ACB'，
∵∠B=60°，∠ACB=45°，
∴∠ACB'=45°，
∴∠BCB'=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°，∴△EAC为等腰直角三角形，
∵AC= ，
∴AE=EC= ，
∵平行四边形ABCD，
∴∠ADC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，∠ECD=30°，EC= ，
∴CD=2ED，
由勾股定理得： ,
解得：ED=1，CD=2，
∴AB=AB'=2，
在Rt△AEB'中，由勾股定理得：B'E=1，
在Rt△EDB'中，由勾股定理得：B'D= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了图形的翻折，平行四边形的性质，直角三角形，确定△EAC为等腰直
角三角形是解题的突破点，熟练掌握勾股定理求边是解题的关键．
17．40
【分析】
连接AC，BD，根据ASA定理可得出△AOE △COF，同理可得△AOB △COD，△BOF
△DOE，故可得出四边形EDCF的面积，即可得出最终结果．
【详解】
如图，连接AC，BD，
四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，AD BC，
∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
，
△AOE △COF(ASA)，
同理可得△AOB △COD，△BOF △DOE，
S = ，S ，
四边形EDCF 四边形AEFB
S =S =20 cm2，
四边形EDCF 四边形AEFB
S =40 cm2．
平行四边形ABCD
故答案为：40．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定，难度一般，熟知平行四边
形的对角线互相平分是解答此题的关键．
18．②③．
【分析】
证明△CED≌△HEB，利用平行四边形的性质，可判断③正确，利用同角的余角相等，对顶
角的性质，可判断②正确．
【详解】
根据条件，无法证明CE＝ BE，
∴①错误；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠C+∠FDH= 90°，∠FHD+∠FDH= 90°，
∴∠C=∠FHD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，∴∠A=∠FHD，
∵∠FHD＝∠BHE；
∴∠C=∠A＝∠BHE，
∴结论②正确；
∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴ED=EB，∠CED＝∠HEB=90°，
∵∠C=∠BHE，
∴△CED≌△HEB，
∴CD=HB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，
∴AB＝BH，
∴结论③正确，
∵∠BHD=∠HBE+ 90°，∠BDG =∠EDB+ 90°，∠EDB=∠EBD，∠EBD＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，
∴结论④错误，
故答案为：②③．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，互余的性质，三角形的全等判定和性质，角的大
小比较，三角形的外角性质，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用三角形的全等是解题
的关键．
19．2
【分析】
如图，在平行四边形ABCD中，先证明出∠CAD＝∠BCA＝75°，由△ADE沿着DE翻折得
出△ADF是等边三角形， ∠EAF＝∠EFA＝15°，结合题意证出AF＝BC，进而证明
△AFC≌△BCF，即可得出结果．
【详解】
解：如图，连接AF，作CM⊥AB于点M，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，
∴AM＝CM，∴∠DAB＝120°，∠BCA＝75°，
∴∠CAD＝∠BCA＝75°，
∵△ADE沿着DE翻折，点A恰好落在CD上的F点处，
∴AD＝FD，AE＝EF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠CAD﹣∠DAF＝75°﹣60°＝15°，
∴∠EAF＝∠EFA＝15°，
∵AD＝FD＝4，AD＝BC，
∴BC＝4，∠BCM＝30°，
∴BM＝2，
∴CM＝ ，
∵∠CAB＝45°，
∴AM＝CM＝ ，
∴AC＝ AM＝ ，
∵∠AFD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠AFC＝∠BCF＝120°，
∵BC＝AD，AD＝AF，
∴AF＝BC，
在△AFC和△BCF中，
，
∴△AFC≌△BCF（SAS），
∴AC＝BF＝ ．
故答案为：2 ．【点拨】此题考查平行四边形性质和折叠问题，涉及等边三角形，三角形全等的知识．
20．5
【分析】
由 ，可得 ，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作
BH⊥ED于H，可得：四边形BGKH是矩形，即： ，再根据三角形面积公式即可
得到结论．
【详解】
解：如图，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作BH⊥ED于H，
∵ ，
∴四边形DCFE是平行四边形
∴DE∥BC，DE=CF
∵BF=4CF
∴BC=3CF
∵AG⊥BC，BH⊥ED
∴AG⊥DE
∴∠AGB=∠GKH=∠BHK=90°
∴四边形BGKH是矩形，
∴BH=GK
∵AG=AK+KG
∴AG=AK+BH∴S +S = DE•AK+ DE•BH= DE（AK+GK）= CF•AG
△ADE △BDE
∵S =15，即： BC•AG=15
△ABC
∴ ×3CF•AG=15
∴ CF•AG=5
∴S +S 5
△ADE △BDE=
故答案为：5．
【点评】
本体考查了平行四边形性质及三角形面积，是一道基础几何计算题，解题关键能得到：两
个阴影三角形的底和高分别与△ABC的底和高的数量关系．
21．（2，2），（8，-2），（-4，-8）
【分析】
首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可
得D点坐标．
【详解】
解：如图，当四边形ACBD为平行四边形时，
D（2，2）；
当四边形ABCD为平行四边形时，
D（8，-2）；
当四边形ABDC为平行四边形时，
D（-4，-8）；
故答案为：（2，2），（8，-2），（-4，-8）．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质、坐标与图形的性质等知识；熟练掌
握平行四边形的性质与平移的性质是解题的关键．
22．
【分析】
根据三角形性质可得S= ， S= ，根据平行四边形性质可得 ，
1 2
然后可以得到解答．
【详解】
解：如图，连结OC，则A、O、C三点在同一直线上，
∵O是AC中点，E是BC中点，
∴S= ，
1
∵DF= ，
∴S= ，
2∴S：S= ，
1 2
即 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四
边形的对称性是解题关键．
23．
【分析】
根据平行四边形的性质对角线互相平分可知O 是AC与DB的中点，根据等底同高得到
1
,而 ，得到 ，同理易知
，以此类推，可以得到结果。
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理可得
，
，
，
以此类推有： ，
而 =10∴ ，
故答案为：
【点拨】此题考查了平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳
总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）延长 ，在射线 上截取两点 ，使得 ，作 的垂线 ，交 于
点 ，在 上截取 ，作 的中垂线，交 于点 ，则 即为所求；
（2）根据三角形的外角性质以及平行线的性质即可求得 的度数
【详解】
（1）如图所示，
根据作图可知 ，
四边形 是平行四边形
，
四边形 是平行四边形
则 即为所求；
（2） ， ，由（1）可知
【点拨】本题考查了尺规作图-作垂线，平行四边形的性质，三角形的外角性质，平行线的
性质，掌握基本作图是解题的关键．
25．
（1） 的长为4
（2）AC=CD+DB；证明见解析
【分析】
（1）根据三角形的面积公式得出CP，进而利用勾股定理得出PA即可；
（2）延长BD，过A作AO∥BC，利用平行四边形的性质解答即可．
（1）
， 的面积为9， ，
，
，
由勾股定理得： ；
（2）
过 作 交BD的延长线于点O，
， ，
四边形 是平行四边形，
∴AC=BO，是 的中点，
延长 肯定可以过点 点，
∴ ，
∵ 的平分线交 于点 ，
∴ ，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质和平行四边形的性质，解题的关键是
根据平行四边形的性质进行解答．
26．（1）见解析；（2）BE的长是 ．
【分析】
（1）通过证 ≌ 得到CG=CF，再结合已知条件即可证明结论；
（2）求出DC=CE=2CF=4，再由平行四边形的性质得到AB，最后根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵点F为CE的中点，
∴CF= CE，
在 与 中， ，
∴ ≌ ，
∴CG=CF= CE，
又∵CE=CD，
∴CG= CD，即G是CD的中点；
（2）∵CE=CD，点F为CE的中点，CF= 2，
∴CD=CE=2CF= 4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴在 中，由勾股定理得： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟
练应用各性质及判定定理进行推理论证是解题的关键．
27．
【分析】
（1）连接BE并延长交AD于M，易得四边形BCDM为平行四边形，再根据三角形中位线
判断M点为AD的中点，然后连接CM即可；
（2）连接BE并延长交AD于M，M点为AD的中点，再连接CM、DE，它们相交于F，连
接AF并延长交CD于N，则AN⊥CD．
（1）
如图，CM即为所求
（2）
如图，AN即为所求
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角
形的性质．
28．（1）C (3，0)，D (6，4)；（2）存在， ( ， )， ( ， )， ( ， )
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可求得OC的长，从而求得点C，D的坐标；
（2）分AD为对角线，DE为对角线，AE为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可
求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵OB=3，
∴OC=6-3=3，
∴点C的坐标为(3，0)，点D的坐标为(6，4)；
（2）存在，
理由如下：
∵E是线段OD的中点，
∴点E的坐标为( ， )，即(3，2)，
设点N的坐标为( ， )，
当AD为对角线时，
， ，
解得： ， ，∴ 的坐标为( ， )；
当DE为对角线时，
， ，
解得： ， ，
∴ 的坐标为( ， )；
当AE为对角线时，
， ，
解得： ， ，
∴ 的坐标为( ， ) ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按
对角线进行分类讨论，画出图形再计算．
