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专题 6.3 多边形找规律
1．以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：
（1）试根据所给的方法，将图④中的七边形分割成 6 个三角形；
（2）按这种方法，凸 边形可以分割成 个三角形；
（3）请根据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸 边形的内角和公式：凸
边形的内角和 ；
（4）利用（3）中的公式解答下面的问题：
凸 边形的内角和再加上某个外角等于 ，求这个多边形的边数以及这个外角的度数．
【解答】解：（1）图①是四边形，分割成3个三角形；
图②是五边形，分割成4个三角形；
图③是六边形，分割成5个三角形；
图④是七边形，分割成6个三角形；
以此类推，凸 边形可以分割成 个三角形．
故答案为：6．
（2）由（1）可得：凸 边形可以分割成 个三角形．
故答案为： ．
（3）由（2）得：凸 边形可以分割成 个三角形．
个三角形的内角的和为 ．
凸 边形的内角和为 ．（4）设加上的某个外角的度数为 ．
由题意得： ．
．
，
．
．
．
这个多边形的边数为9，这个外角的度数为 ．
2．探究多边形内角和时，我们常把多边形转化成三角形，再根据三角形内角和为 得
出多边形内角和．如图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空
（1）四边形内角和： ；
（2）五边形内角和： ；
（3）六边形内角和： ；
（4） 边形内角和： ．
【解答】解：（2）根据乘法分配律，得 ．
（3）根据乘法分配律，得 ．
（4） 从 边形内部任取一个点，并连接这个点与多边形的各个顶点，可将这个多边形分
成 个三角形，
多边形内角和： ．
故答案为： ； ； ．3．如图，以 边形的 个顶点和它内部 个点作为顶点，把原 边形分割成若干个互不重
叠的小三角形．观察图形，解答问题：
（1）填表：
1 2 3
个数
3 3 5 7
4 4 6
（2）填空，三角形内部有 个点，则原三角形被分割成 个不重叠的小三角形；四边
形内部有 个点，则原四边形被分割成 个不重叠的小三角形； 边形内部有 个点，
则原 边形被分割成 个不重叠的小三角形；
（3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，分割成互不重叠的小三角形共
有2021个，求这个多边形的边数．
【解答】解：（1）观察图形，完成下表，
1 2 3
个数
3 3 5 7
4 4 6 8
故答案为：6，8；
（2）三角形内部1个点时，共分割成3部分， ，
三角形内部2个点时，共分割成5部分， ，三角形内部3个点时，共分割成7部分， ，
，
所以，三角形内部有 个点时， ，
四边形的4个顶点和它内部的 个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为： ，
边形内部有 个点，则原 边形被分割成 个不重叠的小三角形；
故答案为： ， ， ；
（3）设这个多边形的边数为 ，则内部的点的个数为 ，
根据题意得， ，
解得： ，
答：这个多边形的边数为1445．
4．探究多边形内角和问题．
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．从多边形某一个顶点出发的
对角线可以把一个多边形分成几个三角形．这样就把多边形内角和问题转化为三角形内
角和问题了．
（1）请你试一试，做一做，把下面表格补充完整：
名称 图形 内角和
三角形
四边形
五边形
六边形根据表格探究发现的规律，完成下面的问题：
（2）七边形的内角和等于 度；
（3）如果一个多边形有 条边，请你用含有 的代数式表示这个多边形的内角和： ．
【解答】解：（1）
图形 内角和
三角形
四边形
五边形
六边形
（2） ；
（3） ．
故答案为：（2）900；（3） ．
5．如图1，已知 是 的一个外角，我们容易证明 ，即三角形
的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个
外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图 2， 与 分别为 的两个外角，则
（横线上填 、 或初步应用：
（2）如图3，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，则
．
（3）解决问题：如图4，在 中， 、 分别平分外角 、 ， 与
有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
（4）如图5，在四边形 中， 、 分别平分外角 、 ，请利用上面
的结论探究 与 、 的数量关系．
【解答】解：（1） ，
理由是： ， ，
，
．
故答案为： ．
（2） ．
理由是： ， ，
，
．
故答案为： ；
（3） ，
理由是： 平分 ， 平分 ，
， ，
中， ，
，
．
故答案为： ，
（4） ．
理由是： ， ，
平分 ， 平分 ，， ，
，
四边形 中， ，
又 中， ，
．
6．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正
三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
（1）观察上面每个正多边形中的 ，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6
的度数
（2）根据规律，计算正八边形中的 的度数；
（3）是否存在正 边形使得 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）观察上面每个正多边形中的 ，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6
的度数
（2）根据规律，计算正八边形中的 ；
（3）不存在，理由如下：
设存在正 边形使得 ，得 ．
解得 ， 是正整数， （不符合题意要舍去），
不存在正 边形使得 ．
7．（1）如图①所示，在 中， 18 0 度；
（2）如图②所示，在五角星中， 度；
（3）如图③所示，在七角星中， 度．
【解答】解：（1）如图①所示，在 中， 度；
（2）如图②所示，
是 的外角，
，
同理可得 ，
在 中，
，
；
（2）如图③所示，
是 的外角，
．
同理 ， ，
，
在 中， ，
．
故答案为：180；180；180．8．（1）如图1，在 中，已知 ， 分别平分 ， ， ， 分别
平分 ， 的外角 ， ．
①若 ，则 ， ；
②若 ，则 ， ．（用含 的式子表示）
（2）如图2，在四边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请探究 与
， 的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请直接写
出 与 ， ， ， 的数量关系 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ① 解 ：
故答案为： ； ．
② 解 ：
故答案为： ； ，（2）解： ．理由如下：
（ 3 ）
．
故答案为：
9．问题研究：如图1，在 中，点 是 和 的角平分线的交点，则 与
有怎样的数量关系？
证明：在 中，
即
在 中，
问题探究：根据上面的方法和结论，我们继续探究．
（1）如图2，在四边形 中， 是 和 的角平分线所在直线构成的钝角，
则 与 ， 有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图3，在四边形 中， 是 的平分线及外角 的平分线所在直线
构成的锐角，且 ，则 与 ， 有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图4，在四边形 中， 是 的平分线及外角 的平分线所在直线
构成的锐角，且 ，则 与 ， 有怎样的数量关系？（画出图形，直
接写出结论，不需说明理由）【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 四 边 形 内 角 和 定 理 得
，
、 分别平分 和 ，
，
，
即 ；
（2）由四边形内角和定理得 ，
，
由三角形的外角性质得， ，
、 分别是 和 的平分线，
， ，
，
；
（3）如图4，同（2）可求， ．10．【问题】用 边形的对角线把 边形分割成 个三角形，共有多少种不同的分割
方案 ？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入
手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设 边形的分割方案有 种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以， ．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用 ， 与 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，
再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 种不同的分割方案，所以，此类共有
种不同的分割方案．
第2类：如图④，用 ， 与 连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方
案，可视为 种分割方案．
第3类：如图⑤，用 ， 与 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，
再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 种不同的分割方案，所以，此类共有
种不同的分割方案．
所以， （种
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用 ， 与 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，
再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有
种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用 ， 与 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．
再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案
第3类：如图⑧，用 ， 与 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．
再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案．
第4类：如图⑨，用 ， 与 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．
再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案．
所以， （种
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则 与 的关系为： ，
共有 4 2 种不同的分割方案．
【结论】用 边形的对角线把 边形分割成 个三角形，共有多少种不同的分割方案
？（直接写出 与 的关系式，不写解答过程）．
【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（应用上述结论，写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：
不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用 ， 与 连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，
由探究三知，有 种不同的分割方案，所以，此类共有 种不同的分割方案．
第2类：如图2，用 ， 与 连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．
由探究二知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有 种分割方案．
第3类：如图3，用 ， 与 连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．
由探究一知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有 种分割方案．
第4类：如图4，用 ， 与 连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．
由探究二知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有 种分割方案．
第5类：如图5，用 ， 与 连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．
由探究三知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有 种分割方案．
所以， （种 ．
故答案为：18，42；
【结论】：
由题意知： ， ， ，
；
【应用】
根据结论得： ．
所以共有132种分割方案．
