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专题 6.3 多边形找规律
1．以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：
（1）试根据所给的方法，将图④中的七边形分割成 个三角形；
（2）按这种方法，凸 边形可以分割成 个三角形；
（3）请根据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸 边形的内角和公式：凸
边形的内角和 ；
（4）利用（3）中的公式解答下面的问题：
凸 边形的内角和再加上某个外角等于 ，求这个多边形的边数以及这个外角的度数．2．探究多边形内角和时，我们常把多边形转化成三角形，再根据三角形内角和为 得
出多边形内角和．如图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空
（1）四边形内角和： ；
（2）五边形内角和： ；
（3）六边形内角和： ；
（4） 边形内角和： ．3．如图，以 边形的 个顶点和它内部 个点作为顶点，把原 边形分割成若干个互不重
叠的小三角形．观察图形，解答问题：
（1）填表：
1 2 3
个数
3 3 5 7
4 4
（2）填空，三角形内部有 个点，则原三角形被分割成 个不重叠的小三角形；
四边形内部有 个点，则原四边形被分割成 个不重叠的小三角形； 边形内部有
个点，则原 边形被分割成 个不重叠的小三角形；
（3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，分割成互不重叠的小三角形共
有2021个，求这个多边形的边数．4．探究多边形内角和问题．
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．从多边形某一个顶点出发的
对角线可以把一个多边形分成几个三角形．这样就把多边形内角和问题转化为三角形内
角和问题了．
（1）请你试一试，做一做，把下面表格补充完整：
名称 图形 内角和
三角形
四边形
五边形
六边形
根据表格探究发现的规律，完成下面的问题：
（2）七边形的内角和等于 度；
（3）如果一个多边形有 条边，请你用含有 的代数式表示这个多边形的内角和：
．5．如图1，已知 是 的一个外角，我们容易证明 ，即三角形
的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个
外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（ 1 ） 如 图 2 ， 与 分 别 为 的 两 个 外 角 ， 则
（横线上填 、 或
初步应用：
（2）如图3，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，则
．
（3）解决问题：如图4，在 中， 、 分别平分外角 、 ， 与
有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
（4）如图5，在四边形 中， 、 分别平分外角 、 ，请利用上面
的结论探究 与 、 的数量关系．6．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正
三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
（1）观察上面每个正多边形中的 ，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6
的度数
（2）根据规律，计算正八边形中的 的度数；
（3）是否存在正 边形使得 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．7．（1）如图①所示，在 中， 度；
（2）如图②所示，在五角星中， 度；
（3）如图③所示，在七角星中， 度．8．（1）如图1，在 中，已知 ， 分别平分 ， ， ， 分别
平分 ， 的外角 ， ．
①若 ，则 ， ；
②若 ，则 ， ．（用含 的式子表示）
（2）如图2，在四边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请探究 与
， 的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请直接写
出 与 ， ， ， 的数量关系 ．9．问题研究：如图1，在 中，点 是 和 的角平分线的交点，则 与
有怎样的数量关系？
证明：在 中，
即
在 中，
问题探究：根据上面的方法和结论，我们继续探究．
（1）如图2，在四边形 中， 是 和 的角平分线所在直线构成的钝角，
则 与 ， 有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图3，在四边形 中， 是 的平分线及外角 的平分线所在直线
构成的锐角，且 ，则 与 ， 有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图4，在四边形 中， 是 的平分线及外角 的平分线所在直线
构成的锐角，且 ，则 与 ， 有怎样的数量关系？（画出图形，直
接写出结论，不需说明理由）10．【问题】用 边形的对角线把 边形分割成 个三角形，共有多少种不同的分割
方案 ？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入
手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设 边形的分割方案有 种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以， ．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用 ， 与 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，
再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 种不同的分割方案，所以，此类共有
种不同的分割方案．
第2类：如图④，用 ， 与 连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方
案，可视为 种分割方案．
第3类：如图⑤，用 ， 与 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，
再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 种不同的分割方案，所以，此类共有
种不同的分割方案．
所以， （种
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用 ， 与 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，
再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有
种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用 ， 与 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案
第3类：如图⑧，用 ， 与 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．
再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案．
第4类：如图⑨，用 ， 与 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．
再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案．
所以， （种
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则 与 的关系为： ，
共有 种不同的分割方案．
【结论】用 边形的对角线把 边形分割成 个三角形，共有多少种不同的分割方案
？（直接写出 与 的关系式，不写解答过程）．
【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（应用上述结论，写出解答过程）
