专题6.3反比例函数中的三角形存在性问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题 6.3 反比例函数中三角形存在性问题 【例题精讲】 【例1】如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函 数 的图象的一个交点为 ，另一个交点为 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点 到直线 的距离； （3）在 轴上是否存在点 ，使得 为等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标， 若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 一次函数 过 ， ， ， 把 代入 得： ， 反比例函数为 ； （2）设点 到直线 的距离为 ，过 点作 轴，垂足为 ． 一次函数 与 轴交于点 ，点 的坐标是 ． ， 在 中， ， ， ． 点 到直线 的距离为 ． （3）设 ． 由 ，解得 或 ， ， ． 当 时， ， ， ， 或 ． 当 时，， ， ， ， 或 ， ． 当 时， ， ，， 综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ， 或 或 ， 或 ， ． 【例2】如图，直线 与双曲线 相交于 ， 两点， 点的坐标为 ． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在 轴正半轴上是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，请求出点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点 代入直线 中，得， ， 直线 的解析式为 ； 将点 代入双曲线 中，得， ， 双曲线的解析式为 ； （2）存在点 ，使 为直角三角形，由（1）知，直线 的解析式为 ①，双曲线的解析式为 ②， 联立①②解得， 或 ， ， ， 设 ， ， ， 是直角三角形， Ⅰ、当 时， ， ， ， ， Ⅱ、当 时， ， ， ， （不符合题意，舍去）， Ⅲ、当 时， ， ， ， ， 或 ， （不符合题意，舍去），， 或 ． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数 和 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点， ， ． （1）求反比例函数 的表达式． （2）连接 ， ， ，求 的面积． （3） 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使 得 是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【解答】解：（1） ， 点坐标轴为3， ， ， ， 是线段 的中点， ， ， ，， ； （2） ； （3）存在点 ，使得 是等腰直角三角形，理由如下： 设直线 的解析式为 ， ， ， ， 设 ， ①当 时， ， 点与 点重合， 此时 ； ②当 时， ， ， 解得 ， ； ③当 时， ，， 解得 ， ； 综上所述： 点坐标为 或 或 ． 【题组训练】 3．如图，直线 与坐标轴交于 、 两点，以 为边在 右侧作正方形 ，过 作 轴于 点，过点 的反比例函数 与直线 交于 、 两点． （1）求反比例函数 表达式； （2）根据图象，求出不等式 的解集； （3）在 上是否存在一点 使 为等腰三角形，若存在，求出 点坐标，若不存在， 请说明理由．【解答】解：（1） 四边形 是正方形， ， ， ， 轴， ， ， ， 在 和 中， ， ． 对于直线 ， 令 ，则 ， ， ， 令 ，则 ， ， ，， ， ， ， ，将点 代入反比例函数 中，得 ， 反比例函数的解析式为 ①． （2） 直线 的解析式为 ②， 联立①②得， ， 解得， 或 ， ， ， 由图象可得不等式 的解集为 ． （3）过点 作 轴于点 ． 同法可证 ， ， ， ，，设 ， ， ， ， ①当 为等腰三角形， 时， ， ， 解得： ， 此时 ． ②当 为等腰三角形， 时， ， ， 解得： ， ， 此时 ， ． ③当 为等腰三角形， 时， ， ， ， 解得： ， 此时 ． 点的坐标为： ， ， ， ， ． 4．如图，平行四边形 的面积为12， 轴， ， 与 轴分别交于点 ， ，对角线 ， 的交点为坐标原点，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象 经过点 ， ．（1）求反比例函数的解析式； （2）点 为 轴上的点，连接 ，若 为等腰三角形，求满足条件的点 的坐标． 【解答】解：（1） 轴， 轴．点 ，且平行四边形 对角线交于 坐标原点 ， ， ， ， 平行四边形 的面积为12， ， ， ． 点 ． 将点 代入 ，得 ， ． 反比例函数的解析式为 ； （2）在 中，根据勾股定理，得 ．当 是等腰三角 形时，分三种情况讨论： ①当 时，若点 在 轴的负半轴上，则点 ，若点 在 轴的正半轴上， 则点 ； ②当 时，点 在 的垂直平分线上，如图，， ， ， ， ， ， 点 的坐标为 ； ③当 时，点 在 的垂直平分线上， 点 的坐标为 ． 综上可知，点 的坐标为 或 或 或 ． 6．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ，设直线 交 轴于点 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若点 是反比例函数图象上的一点，且 是以 为底边的等腰三角形，求 点 的坐标．【解答】解：（1）将点 代入 得， ， ， 将点 代入 得， ， ， 将点 ， 代入 得， ， 解得 ， 一次函数的解析式为 ； （2）当 时， ， ， ， ， 点 在 的垂直平分线上， 点 的横坐标为 ， ． 7．已知点 、点 在反比例函数 图象上，点 是 轴上的一个动点．（1）求 的值； （2）若 ， ，试判断 的形状，并说明理由； （3）若点 在 轴正半轴上，当 为等腰直角三角形时，求出点 的坐标． 【解答】解：（1） 点 在反比例函数 图象上， ； （2） 是等腰直角三角形，理由如下： 当 ， 时， 点 ，反比例函数解析式为 ， ， 点 ， 点 ，点 ，点 ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）如图，当 时，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，点 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 设 ， ， 点 ， ， ， （舍去）， ， ， 点 ； 如图，当 时，过点 作 轴于 ，过点 作 ，交 的延长线 于 ，过点 作 ，交直线 于 ，同理可得：点 ， ， 如图，当点 时，过点 作 轴于 ，过点 作 交， 的延长 线于 ， 同理可得：点 ， ， 综上所述：点 坐标为 或 ， 或 ， ． 8．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， 和 点 ，且 ，点 是 轴正半轴上一点，过点 作 轴的垂线，与正比例函数图象 交于点 ，与反比例函数图象交于点 ． （1）求正比例函数与反比例函数的表达式； （2）当点 是 的中点时，求 点的坐标； （3）是否存在点 ，使 是直角三角形，若存在，求出此时点 的坐标，若不存在， 说明理由．【解答】解：（1） 点 ， ， ， （舍去）或 ， ， 点 在正比例函数 的图象上， ， 正比例函数的解析式为 ， 点 在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； （2）正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ； 设点 ， ， 轴， ， ， 点 是 的中点， ，（舍去）或 ， ， ； （3）由题意知， ， 设 ， ， ， ， ， 是直角三角形， 当 时， ， ， ， 当 时， ， ， （舍去）或 ， ， ， 当 时， ， ， ，不符合题意，即 或 ， ． 9．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，直线 与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3）在 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 点 在直线 上， ， ， 点 在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； （2） 直线 ①与 轴交于点 ，， ， 由反比例函数的解析式为 ②， 联立①②解得， 或 ， ， ； （3）设 ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ①当 时， ， ， ， ； ②当 时， ， ， ， 或 ， ； ③当 时， ， 或 ， ；即点 的坐标为 ， 或 或 ， 或 ， ． 10．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， 是 的中点，过点 的反比例函数 的图象交 于点 ，连接 ．若 ， ． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 在 轴上，且以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出 点坐标． 【解答】解：（1）在 中， ， ， ， 根据勾股定理得， ， 四边形 是矩形， ， ， 点 在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； （2）由（1）知， ， 点 是 的中点，， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 点 的横坐标为8， 而 在反比例函数 的图象上， ， ， 点 在 轴上，且以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形， ， 点 的坐标为 ， 或 ， ， 即 ， 或 ， ． 11．如图，一次函数 经过点 ， ，与反比例函数 的图 象交于点 ， 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出当 时 的取值范围； （3）点 在 轴上，是否存在 是以 为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把 ， 代入 得， ， 一次函数表达式为 ； 当 时， ， 点坐标为 ． 把 代入 ，解得 ． 反比例函数表达式为 ； （2）由（1）知，一次函数表达式为 ①，反比例函数表达式为 ②， 联立①②解得， 或 ， ， 由图象知，当 时 的取值范围为 或 ； （3）存在，点 的坐标为 或 ，由（2）知， ， 设 ， ， ， ， ， 是以 为腰的等腰三角形， Ⅰ、当 时， ， ， 点 的坐标为 或 Ⅱ、当 时， ， ，此方程无解，即此种情况不存在， 即，满足条件的点 的坐标为 或 ． 12．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 ， 与 轴交于点 ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点 作 轴于点 ，点 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线 与线段 交于点 ，当 时，求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 是直线 上的一个动点，当 是以 为斜边的直角 三角形时，求点 的坐标．【解答】解：（1）将点 和 代入 得， ， ， ，反比例函数 ， 将点 代入 得， ， ， 一次函数 ； （2）如图，一次函数 中，当 时， ， ， ，， ， 解得 ， ， 直线 的解析式为 ， ， ， ， ， ； （3）如图，取 的中点 ，连接 ， ，， ， ， 点 ， ， ， 设 ， ， 解得 ， ， ， 或 ， ． 13．已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求 的面积； （3）点 在 轴上，当 为等腰三角形时，直接写出点 的坐标． 【解答】解：（1） 一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点． ， 反比例函数解析式为 ，当 时， ， ， ， 将 ， 代入 得， ， ， 一次函数解析式为 ； （2）由（1）知直线 的解析式为 ， 当 时， ， ； （3） ， ， 当 时， 作 于 ， ，， 当 时，则 ， ， 当 时，设 ， 则 ， ， 解得 ， ， ， 综上： 或 或 或 ， ． 14．【模型建立】（1）如图一，在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．求证： ． 【模型应用】（2）如图二，直线 与坐标轴交于点 、 ，将直线 绕点 顺 时针旋转 得到直线 ，求直线 的函数表达式； 【拓展探究】（3）如图三，一次函数 的图象与坐标轴分别相交于点 、 ，点 在反比例函数 的图象上，若 为等腰直角三角形，请直接写出 的所有 可能的值．【解答】解：（1）如图1， ， ， 又 ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ； （2） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 、 ，如图2，过点 作 交直线 于点 ，过点 作 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 点坐标为 ， 设 的解析式为 ， 将 ， 点坐标代入，得 ， 解得 ， 的函数表达式为 ； （3）分三种情况： ①如图3， ，过点 作 轴于 ，当 时， ， 当 时， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由（1）同理可得 ， ， ， ， ； ②如图4， ，过点 作 轴于 ， 由（1）同理可得 ， ， ， ， ； ③如图5， ，过点 作 轴，过点 作 轴，同（1）可得 ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 综上， 的所有可能的值是 或 ． 15．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ． （1）求点 ， 的坐标； （2）观察图象写出不等式 的解集； （3）若位于第三象限的点 在反比例函数 的图象上，且 是以 为底 的等腰三角形，请直接写出点 的坐标和 的面积．【解答】解：（1）由题意得： ， 解得： ， ， ， ； （2）如图 1，当 或 时，一次函数 的图象位于反比例函数 的图象上方， 不等式 的解集为 或 ； （3）设 ，且 ， 是以 为底的等腰三角形， ，即 ， ， 解得： ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 则 ， 解得： ， 直线 的解析式为 ，过点 作 轴，交 于点 ， 则 ， ， ， 故 ， ． 16．如图： 为等腰直角三角形，斜边 在 轴上，一次函数 的图象经过 点 ，交 轴于点 ，反比例函数 的图象也经过点 ． （1）求反比例函数的解析式；（2）过 点作 于 点，求 值； （3）若点 是 轴上的动点，点 在反比例函数的图象上使得 为等腰直角三角形？ 直接写出所有符合条件的点 的坐标． 【解答】解：（1）过点 分别作 轴于 ， 轴于 ， 是等腰直角三角形， ， 设点 ， 点 在直线 上， ， ，， 的图象也经过点 ， ， ， 反比例函数的解析式为 ； （2） ， ， 把 代入 ，得 ， ， ， 在 中， ①， 在 中， ②， ① ②得 ， 值为8；（3）①若 ， ，如图， ， ， ， ， ， 又 ， ， 即 ， ， ， 把 代入 得 ， ； ②若 ， ，如图， 过点 作 轴，过点 分别作 于 ，交 轴于 ，在 与 中， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ； 若 ， ，如图， 过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，在 与 中， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 由 ，得 ， ， ， 综上，所有符合条件的点 的坐标为 或 或 ． 17．如图1，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 ， 分别在 轴和 轴上， 顶点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过对角线 的中点 ，与矩形 的边 ， 分别交于点 ， ，设直线 的函数表达式为 ．（1）求 ， ， 的值； （2）利用图象，直接写出当 时 的取值范围； （3）若点 在矩形的边 上，且 为等腰三角形，求点 的坐标． 【解答】解：（1）过点 作 于点 ，如图： ， ， ， 点 为对角线 的中点， ， ， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点 ， ，即 ，， 点 ， 分别在矩形的边 ， 上， 设 ， ， 点 ， 在 上， ， ， ， ， ， ， 将 ， 分别代入 得： ，解得 ， ， ， ， ； （2）由图象可知：当 或 时， ； （3）设 ， ， ， ， ， ， 当 时， ， 解得： 或 （此时 不在边 上，舍去），， ； 当 时， ， 解得 ， ， ， 当 时， ， 解得 （此时 不在边 上，舍去）或 ， ， 综上，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ． 18．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 放在第二象限，斜靠在两坐 标轴上，点 坐标为 ，点 的坐标为 ，一次函数 的图象经过点 ， ，反比例函数 图象也经过点 ． （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出当 时， 的解集． （3）若 是 轴正半轴一点，当 是等腰三角形时，求出点 的坐标．【解答】解：（1）过点 作 轴于点 ， ， ． 又 ， ， ， ． ， ， ， 点 的坐标为 ， 将点 的坐标代入反比例函数解析式可得： ，解得： ， 故可得反比例函数解析式为 ； （2）结合点 的坐标及图象，可得： 当 时， 的解集为： ；（3）分三种情况求解：如图， ①当 时， 点 在 轴正半轴， 符合要求， 不符合要求， ， ， ， ， ， ； ②当 时， 在 轴负半轴，不符合题意，在正半轴上点 与点 重合，不符合题 意，故 时，不存在； ③当 时，设 ， ， 在 中，由勾股定理，得 ， 解得， ，， 综上所述，点 坐标为 或 ． 19．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ，设直线 交 轴于点 ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）直接写出 的解集． （3）若点 是反比例函数图象上的一点，且 是以 为底边的等腰三角形，求 点 的坐标． 【解答】解：（1）将点 代入 得， ， ， 将点 代入 得， ， ， 将点 ， 代入 得， ， 解得 ，一次函数的解析式为 ； （2）由图象知：当 或 时， ； （3）当 时， ， ， ， ， 点 在 的垂直平分线上， 点 的横坐标为 ， ． 20．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 的边 垂直于 轴，垂足为点 ，反比例函数 的图象经过 的中点 ，交 于点 ，且 ． （1）若点 的坐标为 ． ①求反比例函数 的表达式； ②求经过 ， 两点的直线所对应的函数解析式； （2）在（1）的条件下，设点 是 轴上的点，使 为以 为直角边的直角三角形， 求 点的坐标． 【解答】解：（1）① 点 的坐标为 ， ， 点 的坐标为 ， 点 是 的中点，点 的坐标为 ， 把点 、 的坐标代入 ， 得 ， 解得： ， 则反比例函数的解析式为： ； ②设经过 ， 两点的直线所对应的函数解析式为： ， 由①可知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 则 ， 解得： ， 经过 ， 两点的直线所对应的函数解析式为： ； （2）设点 的坐标为 ， 由 勾 股 定 理 得 ： ， ， ， 当 时， ， ， 解得： ， 此时，点 的坐标为 ；当 时， ， ， 解得： ， 此时，点 的坐标为 ， ， 综上所述： 为以 为直角边的直角三角形时， 点的坐标为 或 ， ． 21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于 和 两点，与 轴交于点 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 在 轴上，且 的面积为5，求点 的坐标； （3）若点 在 轴上，是否存在点 ，使 是以 为一直角边的直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的 点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把点 代入 ，得 ， ， 把 代入反比例函数 ， ； 反比例函数的表达式为 ； （2） 一次函数 的图象与 轴交于点 ，， 设 ， ， ， 或 ， 的坐标为 或 ； （3）存在， 理由如下：联立 ， 解得： 或 ， 点坐标为 ， 点 在 轴上， 设 ， ， ， ， 若 为斜边， ， 即 ， 解得： ， ； 若 为斜边， ，即 ， 解得： ， ； 综上所述： 或 ． 22．如图，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于点 、 ，与反比例函数 的图象在第二象限交于点 ， 的面积是1． （1）求反比例函数的解析式； （2）若 轴上的点 与点 ， 是以 为直角边的直角三角形的三个顶点，求点 的 坐标． 【解答】解：（1）令 ， ， 点 的坐标为 ； 令 ，解得： ， 点 的坐标为 ． ， ， 当 时， ，点 的坐标为 ． 点 在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ． （2）依照题意找出点 并过点 作 轴于点 ，如图所示． 当 时， ， ， ， ． 点 ，点 ， 点 ， ， ， ， 点 的坐标为 ； 当 时，同理可由 求出点 的坐标为 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ．23．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在 轴上，顶点 在 轴上， 是 的中点，过点 的反比例函数图象交 于 点，连接 ．若 ， ． （1）求过点 的反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3） 轴上是否存在点 使 为直角三角形？若存在，请直接写出 点的坐标；若 不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 四边形 是矩形， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， 设过点 的反比例函数的解析式为： ， ， 反比例函数的解析式为： ； （2） 点 是 的中点， ， ， ，点在过点 的反比例函数图象上， ， ； （3）存在， 为直角三角形， 当 时， 轴于 ， ， ， 当 时， 如图，过 作 轴于 ， ， ． ， ， 存在点 使 为直角三角形， ， ， ． 24．如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点 是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且 ．（1）求 的值并直接写出点 的坐标； （2）点 是 轴上的动点，连接 ， ，求 的最小值； （3） 是 轴上的一点，当 为直角三角形时，请求出符合条件的所有 点的坐标． 【解答】解：（1） 在直线 上， ， 解得 ， ， 在 上， ， ， 直线 和双曲线 均关于原点对称， 、 关于原点对称， ； （2） ， 点是 的中点， 点的纵坐标为2， ， 作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，， ， 当 、 、 三点共线时， 的值最小， ， ， 的最小值为 ； （3）设 ， ， ， ， ①当 时， ， 解得 ， ， ； ②当 时， ， 解得 ， ， ； ③当 时， ， 解得 ， 或 ； 综上所述： 点坐标为 ， 或 ， 或 或 ．25．已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点 为 轴上一点， 是等腰三角形，直接写出点 的坐标． （3）若点 为 轴上一点， 是直角三角形，直接写出点 的坐标． 【解答】解：（1）如图，过点 作 轴于点 ， ， ，， ， ， 在 中， ． ， ， 经过点 ， ， ， 反比例函数表达式为 ； 经过点 ，点 ， ， 解得 ， 一次函数表达式为 ； （2）本题分三种情况： ①当以 为腰，且点 为顶角顶点时，如图：， 点 的坐标为 、 ， ②当以 为腰，且以点 为顶角顶点时，如图：点 关于 的对称点即为所求 ， ， ③当以 为底时，如图：作线段 的中垂线交 轴于点 ，交 于点 ，则点 即为 所求 由（1）得， ， 在 中， ， ，， ， ， ， ， ． 综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ， ； （3）如图，点 为 轴上一点， 是直角三角形， 设 ， ，①当 时， 点 ， 由（1）得， ， ， ， 解得 ； ， ； ②当 时， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， ．