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专题 6.3 反比例函数中三角形存在性问题
【例题精讲】
【例1】如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函
数 的图象的一个交点为 ，另一个交点为 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点 到直线 的距离；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得 为等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，
若不存在，请说明理由．【例2】如图，直线 与双曲线 相交于 ， 两点， 点的坐标为 ．
（1）求直线和双曲线的函数表达式；
（2）在 轴正半轴上是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数 和
的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点，
， ．
（1）求反比例函数 的表达式．
（2）连接 ， ， ，求 的面积．
（3） 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使
得 是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说
明理由．【题组训练】
3．如图，直线 与坐标轴交于 、 两点，以 为边在 右侧作正方形
，过 作 轴于 点，过点 的反比例函数 与直线 交于 、
两点．
（1）求反比例函数 表达式；
（2）根据图象，求出不等式 的解集；
（3）在 上是否存在一点 使 为等腰三角形，若存在，求出 点坐标，若不存在，
请说明理由．4．如图，平行四边形 的面积为12， 轴， ， 与 轴分别交于点 ，
，对角线 ， 的交点为坐标原点，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象
经过点 ， ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 为 轴上的点，连接 ，若 为等腰三角形，求满足条件的点 的坐标．6．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
，设直线 交 轴于点 ．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点 是反比例函数图象上的一点，且 是以 为底边的等腰三角形，求 点
的坐标．7．已知点 、点 在反比例函数 图象上，点 是 轴上的一个动点．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，试判断 的形状，并说明理由；
（3）若点 在 轴正半轴上，当 为等腰直角三角形时，求出点 的坐标．8．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， 和
点 ，且 ，点 是 轴正半轴上一点，过点 作 轴的垂线，与正比例函数图象
交于点 ，与反比例函数图象交于点 ．
（1）求正比例函数与反比例函数的表达式；
（2）当点 是 的中点时，求 点的坐标；
（3）是否存在点 ，使 是直角三角形，若存在，求出此时点 的坐标，若不存在，
说明理由．9．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于 ， 两点，直线 与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，
是 的中点，过点 的反比例函数 的图象交 于点 ，连接 ．若
， ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 在 轴上，且以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出
点坐标．11．如图，一次函数 经过点 ， ，与反比例函数 的图
象交于点 ， 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出当 时 的取值范围；
（3）点 在 轴上，是否存在 是以 为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，说明理由．12．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 ，
与 轴交于点 ．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点 作 轴于点 ，点 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线
与线段 交于点 ，当 时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 是直线 上的一个动点，当 是以 为斜边的直角
三角形时，求点 的坐标．13．已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）点 在 轴上，当 为等腰三角形时，直接写出点 的坐标．14．【模型建立】（1）如图一，在 中， ， ，直线 经过点
，过点 作 于 ，过点 作 于 ．求证： ．
【模型应用】（2）如图二，直线 与坐标轴交于点 、 ，将直线 绕点 顺
时针旋转 得到直线 ，求直线 的函数表达式；
【拓展探究】（3）如图三，一次函数 的图象与坐标轴分别相交于点 、 ，点
在反比例函数 的图象上，若 为等腰直角三角形，请直接写出 的所有
可能的值．15．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）观察图象写出不等式 的解集；
（3）若位于第三象限的点 在反比例函数 的图象上，且 是以 为底
的等腰三角形，请直接写出点 的坐标和 的面积．16．如图： 为等腰直角三角形，斜边 在 轴上，一次函数 的图象经过
点 ，交 轴于点 ，反比例函数 的图象也经过点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过 点作 于 点，求 值；
（3）若点 是 轴上的动点，点 在反比例函数的图象上使得 为等腰直角三角形？
直接写出所有符合条件的点 的坐标．17．如图1，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 ， 分别在 轴和 轴上，
顶点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过对角线 的中点 ，与矩形
的边 ， 分别交于点 ， ，设直线 的函数表达式为 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）利用图象，直接写出当 时 的取值范围；
（3）若点 在矩形的边 上，且 为等腰三角形，求点 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 放在第二象限，斜靠在两坐
标轴上，点 坐标为 ，点 的坐标为 ，一次函数 的图象经过点 ，
，反比例函数 图象也经过点 ．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）直接写出当 时， 的解集．
（3）若 是 轴正半轴一点，当 是等腰三角形时，求出点 的坐标．19．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
，设直线 交 轴于点 ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）直接写出 的解集．
（3）若点 是反比例函数图象上的一点，且 是以 为底边的等腰三角形，求 点
的坐标．20．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 的边 垂直于 轴，垂足为点
，反比例函数 的图象经过 的中点 ，交 于点 ，且 ．
（1）若点 的坐标为 ．
①求反比例函数 的表达式；
②求经过 ， 两点的直线所对应的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，设点 是 轴上的点，使 为以 为直角边的直角三角形，
求 点的坐标．21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于
和 两点，与 轴交于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 在 轴上，且 的面积为5，求点 的坐标；
（3）若点 在 轴上，是否存在点 ，使 是以 为一直角边的直角三角形？若存
在，求出所有符合条件的 点坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于点 、 ，与反比例函数
的图象在第二象限交于点 ， 的面积是1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若 轴上的点 与点 ， 是以 为直角边的直角三角形的三个顶点，求点 的
坐标．23．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在 轴上，顶点 在 轴上，
是 的中点，过点 的反比例函数图象交 于 点，连接 ．若 ，
．
（1）求过点 的反比例函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3） 轴上是否存在点 使 为直角三角形？若存在，请直接写出 点的坐标；若
不存在，请说明理由．24．如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点
是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且 ．
（1）求 的值并直接写出点 的坐标；
（2）点 是 轴上的动点，连接 ， ，求 的最小值；
（3） 是 轴上的一点，当 为直角三角形时，请求出符合条件的所有 点的坐标．25．已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点
，若 ，且 ．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点 为 轴上一点， 是等腰三角形，直接写出点 的坐标．
（3）若点 为 轴上一点， 是直角三角形，直接写出点 的坐标．
