文档内容
第90讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
知识点1、条件概率
(一)定义
P(AB)
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)= 为在事件A发生的条件
P(A)
下，事件B发生的条件概率．
注意：(1)条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件；(2)若P(A)=0，表示条件A不可能发
生，此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(A)>0的
情况下进行．
(二)性质
(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．
(2)必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．
(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)．
注意：(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基
nAB
本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)=
nA
nAB
=
nΩ
nA
nΩ
PAB
=
PA
．
知识点2、相互独立与条件概率的关系
(一)相互独立事件的概念及性质
(1)相互独立事件的概念
对于两个事件A，B，如果P(B|A)=P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的
P(AB)
概率．设P(A)>0，根据条件概率的计算公式，P(B)=P(B|A)= ，从而P(AB)=P
P(A)
(A)P(B)．
由此我们可得：设A，B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互
独立．
(2)概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)．
我们称上式为概率的乘法公式．
(3)相互独立事件的性质
如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．
(4)两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件
A ，A ，⋯，A 相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A A ⋯A )=P(A )(A )⋯P
1 2 n 1 2 n 1 2
(A )．
n
(二)事件的独立性
第 页 共 页
3230 3427(1)事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)⋅P(B)．
(2)当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A)．
P(AB) P(A)⋅P(B)
(3)如果P(A)>0，A与B独立，则P(B|A)= = =P(B)成立．
P(A) P(A)
知识点3、全概率公式
(一)全概率公式
(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)；
(2)定理1若样本空间Ω中的事件A ，A ，⋯，A 满足：
1 2 n
①任意两个事件均互斥，即AA =∅，i，j=1，2，⋯，n，i≠j；
i j
②A +A +⋯+A =Ω；
1 2 n
③PA i >0，i=1，2，⋯，n．
则对Ω中的任意事件B，都有B=BA +BA +⋯+BA ，且
1 2 n
n n
P(B)=P(BA)=P(A)P(B|A)．
i i i
i=1 i=1
注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单
事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
(2)什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在
这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
(二)贝叶斯公式
(1)一般地，当00时，有P A B
P(A)P(B|A)
= =
P(B)
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
(2)定理2若样本空间Ω中的事件A ，A ，⋯，A 满足：
1 2 n
①任意两个事件均互斥，即AA =∅，i，j=1，2，⋯，n，i≠j；
i j
②A +A +⋯+A =Ω；
1 2 n
③00，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】A，B，C相互独立,则满足PABC =PA PB PC ，
且PAB =PA PB ，PBC =PB PC ，PAC =PA PC ；
A，B，C两两独立则满足PAB =PA PB ，PBC =PB PC ，PAC =
PA PC ；
故而A，B，C相互独立则有A，B，C两两独立，但是A，B，C两两独立不能得出A，B，
C相互独立，故A正确．
故选：A
5005 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)已知事件A，B满足00时，可用P(B|A)=P(B)判断．
3 题型三：相互独立事件概率的计算
5010 (2024·天津·校联考一模)某产品的质量检验过程依次为进货检验(IQC)、生产过程检验
4
(IPQC)、出货检验(OQC)三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为 ，IPQC的单
5
3
独通过率为 ，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一
4
次(修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次)，且各类检验间相互独立，则
一件该产品能进入OQC环节的概率为 ．
9
【答案】 /0.9
10
【解析】设A 表示第i次通过进货检验，B 表示第i次通过生产过程检验(i=1,2)，C表
i i
示该产品能进入出货检验环节，由题意得
PC
=PAB +AA B +ABB +AA BB 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2
4 3 1 4 3 4 1 3
= × + × × + × × 5 4 5 5 4 5 4 4
1 4 1 3 9
+ × × × = ．
5 5 4 4 10
9
故答案为： .
10
5011 (2024·全国·高三专题练习)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手
若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的
概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下
一轮的概率为 .
144
【答案】 /0.04608
3125
【解析】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答
对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三
种情况：×××√√或×√×√√或√××√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选
手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为
0.2×0.2×0.2×0.8×0.8+0.2×0.8×0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.2×0.8×0.8=
0.04608
故答案为：0.04608
5012 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中
者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为
第 页 共 页
3237 34271 1
，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为 .
3 2
13
【答案】
27
【解析】记“乙获胜”为事件C，记甲第i次投篮投进为事件A，乙第i次投篮投进为事件
i
B，
i
由互斥事件仅有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，
P(C)=PAB 1 1
+PABA B 1 1 2 2
+PABA B A B 1 1 2 2 3 3
=PA 1 PB 1 +
PA 1
PB 1
PA 2 PB 2
+PA 1
PB 1
PA 2
PB 2
PA 3 PB 3
2 1 2
= × + 3 2 3
2
×
1
2
2 2
+
3
3 1
×
2
3 13
= .
27
13
故答案：
27
5013 (2024·全国·校联考模拟预测)已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛，比赛规则如
下：①每场比赛有两位选手参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛
的选手进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一位选手首先获胜两场，则本次比赛结束，该
1
选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为
3
3 1
，乙胜丙的概率为 ，且甲与乙先参加比赛，则甲获得第一名的概率为 .
4 2
25
【答案】
72
1 3
【解析】因为每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，
3 4
1
乙胜丙的概率为 ，
2
所以甲选手获胜的概率是PA
1 3 1 3
= × + ×1-
3 4 3 4
1 1 1
× × +1-
2 3 3
×
1
1-
2
3 1 25
× × = .
4 3 72
25
故答案为：
72
5014 (2024·山东·高三专题练习)无症状感染者被认为是新冠肺炎疫情防控的难点之一．国
际期刊《自然》杂志中一篇文章指出，30%~60%的新冠感染者无症状或者症状轻微，但他
们传播病毒的能力并不低，这些无症状感染者可能会引起新一轮的疫情大爆发．我们把
与病毒携带者有过密切接触的人群称为密切接触者．假设每名密切接触者成为无症状感
1
染者的概率均为 ，那么4名密切接触者中，至多有2人成为无症状感染者的概率为
3
．
8
【答案】
9
【解析】至多有2人成为无症状感染者包括0人成为无症状感染者，1人成为无症状感染
者，2人成为无症状感染者三种情况，且每种情况间是互斥的，所以所求概为
1 C01-
4 3
4 +C1× 1 ×1- 1
4 3 3
3 +C2× 1
4 3
2 1 ×1-
3
2 16+32+24 8 = =
81 9
8
故答案为：
9
5015 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)某电视台的夏日水上闯关节目一共有
2 3
三关，第一关与第二关的过关率分别为 ， ．只有通过前一关才能进入下一关，每一关
3 4
第 页 共 页
3238 3427都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的
概率为 ．
5
【答案】 .
6
2 1 2 8 3
【解析】该选手闯过第一关的概率为P = + × = ，闯过第二关的概率为P =
1 3 3 3 9 1 4
1 3 15
+ × = ，
4 4 16
8 15 5
所以该选手能进入第三关的概率为P= × = .
9 16 6
5
故答案为： .
6
5016 (2024·浙江·高三专题练习)2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委
紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美
逆行者”．武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新
冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，
强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者
的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳
性，则将该小区确定为“感染高危小区”．假设每人被确诊的概率均为p00，
2
当
98
，
100
2ln5+ln2 2×1.609+0.693
故n> ≈ ≈4.270，
ln5-ln2 1.609-0.693
所以至少要连续射击5次．
5019 (2024·河北沧州·校考三模)甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场
比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规
则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签
决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率
1 1 2
为 ，乙、丙比赛乙胜概率为 ，丙、甲比赛丙胜概率为 ，每局比赛相互独立且每局比赛
2 3 3
没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
【解析】(1)由题可知，甲、乙、丙各旁观1局的概率即为甲、乙、丙各胜1局的概率.
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件A，B，C，则A，B，C相互
独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各胜1局为事件M，则M=AC∪AB，
则PM =PAC
+PAB =PA PC
+PA
PB
1 2 1 2 2
= × + × = ，
2 3 2 3 3
2
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为 .
3
(2)设甲、乙、丙第i局比赛获胜分别为事件A，B，C，i=1,2,3,4,5，
i i i
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件D，则
D=BB A A A +BC A A A +AA B B A +AA B C A +AC C A A +
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
A 1 C 2 B 3 A 4 A 5 ,PB 1 B 2 A 3 A 4 A 5 =PB 1 PB 2 PA 3 PA 4 PA 5
1 1 1 1 1
= × × × × 2 3 2 3 2
1
= ，
72
第 页 共 页
3241 3427PB 1 C 2 A 3 A 4 A 5 =PB 1 PC 2 PA 3 PA 4 PA 5
1 2 1 1 1 1
= × × × × = ， 2 3 3 2 3 54
PA 1 A 2 B 3 B 4 A 5 =PA 1 PA 2 PB 3 PB 4 PA 5
1 1 1 1 1 1
= × × × × = ， 2 3 2 3 2 72
PA 1 A 2 B 3 C 4 A 5 =PA 1 PA 2 PB 3 PC 4 PA 5
1 1 1 2 1 1
= × × × × = ， 2 3 2 3 3 54
PA 1 C 2 C 3 A 4 A 5 =PA 1 PC 2 PC 3 PA 4 PA 5
1 2 2 1 1 1
= × × × × = ， 2 3 3 3 2 27
PA 1 C 2 B 3 A 4 A 5 =PA 1 PC 2 PB 3 PA 4 PA 5
1 2 1 1 1 1
= × × × × = ， 2 3 3 2 3 54
所以PD
1 1 1 1 1 1 13
= + + + + + = .
72 54 72 54 27 54 108
13
所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 .
108
5020 (2024·贵州·校联考模拟预测)某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动中举办了
“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一局比赛
中甲组获胜的概率为p00，i=1,
2,⋯,n，则对任意的事件B⊆Ω，PB >0，有P A i B
PA i
=
P B A i
PB =
PA i P B A i
∑n PA
k=1 k
P B A
k
，i=1,2,⋯,n.现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次
品率为6%，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零
件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的
零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X(分钟)的分布列和数学期望.
【解析】(1)设B=“任取一个零件为次品”，A =“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，
i
则Ω=A ∪A ∪A ，且A,A ,A 两两互斥.
1 2 3 1 2 3
第 页 共 页
3251 3427根据题意，PA 1 =0.25,PA 2 =0.3,PA 3 =0.45,
PB|A 1 =0.06,PB|A 2 =PB|A 3 =0.05.
由全概率公式，得PB =PA 1 PB|A 1 +PA 2 PB|A 2 +PA 3 PB|A 3
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.
(2)由题意知X=35,32,30，则
PX=35 =PA 1 |B = PA 1 B PB = PA 1 PB|A 1 PB 0.25×0.06 2 = = ， 0.0525 7
同理得PX=32 =PA 2 |B
2
= ,PX=30 7 =PA 3 |B
3
= ， 7
所以加工这个零件耗时X的分布列为：
X 35 32 30
2 2 3
P
7 7 7
2 2 3
E(X)=35× +32× +30× =32(分钟).
7 7 7
5036 (2024·全国·高三专题练习)为提升学生的综合素养能力，学校积极为学生搭建平台，组
织学生参与各种社团活动.在学校辩论队活动中，甲同学积极参与.为了更好的了解每个
同学的社团参与情况和能力水平，对每位参与辩论队的同学进行跟踪记录.社团老师了解
到，甲自加入辩论队以来参加过100场辩论比赛：甲作为一辩出场20次，其中辩论队获胜
14次；甲作为二辩出场30次，其中辩论队获胜21次；甲作为三辩出场25次，其中辩论队
获胜20次；甲作为四辩出场25次，其中辩论队获胜20次.用该样本的频率估计概率，则：
(1)甲参加比赛时，求该辩论队某场比赛获胜的概率；
(2)现学校组织6支辩论队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获
胜才可晋级.社团老师决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在辩论队顺利晋级，记其获胜
的场数为X，求X的分布列和数学期望.
【解析】(1)设A =“甲担任一辩”；A =“甲担任二辩”；A =“甲担任三辩”；A =“甲担
1 2 3 4
任四辩”；B=“某场比赛中该辩论队获胜"；
则PA 1
20
= 100 =0.2,PA 2
30
= 100 =0.3,PA 3
25
= 100 =0.25,PA 4
25
= =0.25; 100
PB∣A 1
14
= 20 =0.7，PB∣A 2
21
= 30 =0.7，PB∣A 3
20
= 25 =0.8，PB∣A 4
20
= = 25
0.8.
由全概率公式可得：PB =PA 1 PB∣A 1 +PA 2 PB∣A 2 +PA 3 PB∣A 3 +
PA 4 PB∣A 4
=0.2×0.7+0.3×0.7+0.25×0.8+0.25×0.8=0.75.
所以甲参加比赛时，该辩论队某场比赛获胜的概率是0.75.
(2)设C i =“5场中有i场获胜”i=3,4,5 ,D=“甲所在辩论队顺利晋级”，
PC 3 D 3 =C3 5 4 3 1 4 2 270 = 1024 ;PC 4 D 3 =C4 5 4 4 1 4 1 405 = 1024 ;PC 5 D 3 =C5 5 4 5 =
243
，
1024
则PD =PC 3 D +PC 4 D +PC 5 D
918
= ， 1024
PX=3 =PC 3 ∣D = PC 3 D PD 270 5 = = ， 918 17
第 页 共 页
3252 3427同理可得PX=4 =PC 4 ∣D = PC 4 D PD 405 15 = = ， 918 34
PX=5 =PC 5 ∣D = PC 5 D PD 243 9 = = ， 918 34
则X的分布列为：
X 3 4 5
5 15 9
P
17 34 34
EX
5 15 9 135
=3× +4× +5× = .
17 34 34 34
5037 (2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测)某兴趣小组为研究一种地方性疾病与
当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，设A=“患有地方性
3 12
疾病”，B=“卫生习惯良好”.据临床统计显示，P(A|B)= ，P(B|A)= ，该地人群中
4 13
4
卫生习惯良好的概率为 .
5
(1)求P(A)和P(A|B)，并解释所求结果大小关系的实际意义；
(2)为进一步验证(1)中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为
m(m∈N*)的样本，利用独立性检验，计算得K2=2.640.为提高检验结论的可靠性，现将
样本容量调整为原来的k(k∈N*)倍，使得能有99.9%的把握肯定(1)中的判断，试确定k
的最小值.
n(ad-bc)2
参考公式及数据：K2= ；P(K2≥6.635)=0.010；P(K2≥
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
10.828)=0.001.
3 1 1 1
【解析】(1)由题设P(A|B)= ，P(A|B)= ，PB|A)= ，P(B)= ，
4 4 13 5
1 1 1 13
所以P(A|B)⋅P(B)=P(B|A)⋅P(A)，则 P(A)= × ，可得P(A)= ，
13 4 5 20
7
所以P(A)= ，而P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)，
20
4 1 3 7 1
所以 ×P(A|B)+ × = ，则PA|B)= ，
5 5 4 20 4
P(A)和P(A|B)表示患有该地方性疾病与卫生习惯是否良好的关系.
(2) 不够良好 良好 总计
患有该病 ka kb ka+b
未患该病 kc kd kc+d
总计 ka+c
k
b+d
k
a+b+c+d
ka+b+c+d
K2=
k2ad-k2bc 2
ka+b ⋅kc+d ⋅ka+c ⋅kb+d
ka+b+c+d
=
(ad-bc)2
a+b c+d a+c b+d
=k⋅2.64≥
10.828⇒k≥4.10，故k =5.
min
5038 (2024·江西宜春·高三统考开学考试)为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛
球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至
多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队
第 页 共 页
3253 3427进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率
3 1
均为 ，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为 .(注：比赛结果没有平局)
4 2
(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获
胜的概率；
(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.
【解析】(1)事件B=“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件A =“甲队第j局获胜”，其中j=1,2,3,4,A 相互独立.
j j
又甲队明星队员M前四局不出场，故PA
j
1
= ,j=1,2,3,4，
2
B=A 1 A 2 A 3 A 4 +A 1 A 2 A 3 A 4 +A 1 A 2 A 3 A 4 ，所以PB 1 =C1 3 2 4 3 = . 16
(2)设C为甲3局获得最终胜利，D为前3局甲队明星队员M上场比赛，
由全概率公式知，PC =PC|D ⋅PD
+PC|D
⋅PD ，
因为每名队员上场顺序随机，故PD
C2A3 3
= 4 3 = ，PD
A3 5
5
3 2
=1- = ,
5 5
PC|D
1
=
2
2 3
×
4
3
= ,PC|D
16
1
=
2
3 1
= ，
8
所以PC
3 3 1 2 13
= × + × = .
16 5 8 5 80
(3)由(2)，PD|C
PCD
=
PC
PC|D
=
⋅PD
PC
3 3
×
16 5 9
= = .
13 13
80
40．(2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)新高考数学试卷中有多项选择题，每
道多项选择题有A，B，C，D这四个选项，四个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目
得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随
机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题专项训练
中，共有kk∈N*
1
道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为 ，并且规
3
定若第ii=1,2,⋅⋅⋅,k-1
1
题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为 ；
3
若第ii=1,2,⋅⋅⋅,k-1
1
题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为 .
3
(1)求第n题正确选项为两个的概率；
(2)请根据期望值来判断：第二题是选一个选项还是选两个选项，更能获得较高分.
1
(1)设第n题正确选项为两个的概率为a ，则a = ，
n 1 3
当n≥2n∈N∗
1
时，有a n =a n-1 ⋅ 3 +1-a n-1
1
⋅1- 3
1 2 1
⇒a =- a + ⇒a - n 3 n-1 3 n 2
1 1
=- a -
3 n-1 2
，
1
因此数列a -
n 2
1 1 1 1
是以 - =- 为首项，- 为公比的等比数列，
3 2 6 3
1 1
所以a - =-
n 2 6
1
-
3
n-1 1 1
⇒a = ×-
n 2 3
n 1 1
+ ，a = 显然适合，
2 1 3
1 1
故a = ×-
n 2 3
n 1
+ .
2
5
(2)由(1)可知：a = ，
2 9
设选一个选项的得分为X，X=0,2，
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3254 3427PX=0
5 2 5
= × +1-
9 4 9
1 7
× = ，PX=2
4 18
7 11
=1- = ，
18 18
因此EX
7 11 11
=0× +2× = ，
18 18 9
设选二个选项的得分为Y，Y=0,2,5，
PY=0
5 5 5
= × +1-
9 6 9
3 37
× = ，
6 54
PY=2
5
=1-
9
3 2
× =
6 9
PY=5
5 1 5
= × = ，
9 6 54
所以EY
37 2 5 49
=0× +2× +5× = ，
54 9 54 54
因为EX >EY ，
所以第二题选一个选项更能获得较高分.
43．(2024·广东佛山·校联考模拟预测)某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单
位参赛，最终A学校和B学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有
4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两个环节组成，环节
一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环
节二：由A学校和B学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节按照相关比赛规则分别
累计得分，以累计得分的高低决定名次．
(1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道
从A学校抽取12人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从B学校抽取8人，其答对题目
的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙
箱中，然后B学校代表再从乙箱中抽取题目，已知B学校代表从乙箱中抽取的第一题是
选择题，求A学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
(1)设A学校答对题目的样本数据为x,x ,⋯,x ，B学校答对题目的样本数据为y,y ,
1 2 12 1 2
⋯,y ，
8
12 8
由题意得x=12×1=12，由题意得y =8×1.5=12，
i i
i=1 i=1
12 8
x+y
i i
12+12
所以这20人答对题目的均值为 i=1 i=1 = =1.2，
12+8 12+8
(x -1)2+(x -1)2+⋯+(x -1)2 12
由 1 2 12 =1，得(x-1)2=12，
12 i
i=1
(y -1.5)2+(y -1.5)2+⋯+(y -1.5)2 8
由 1 2 8 =0.25，得(y-1.5)2=2，
8 i
i=1
12 12
(x i -1.2)2= x i -1
i=1 i=1
+(1-1.2)
12
2= x i -1
i=1
2-0.4(x-1)+0.04 i
12
= x i -1
i=1
2-0.4x+0.44 i
12 12
=(x-1)2-0.4×x+12×0.44=12-0.4×12+12×0.44=12.48，
i i
i=1 i=1
8 8
(y i -1.2)2= y i -1.5
i=1 i=1
+(1.5-1.2)
8
2= y i -1.5
i=1
2+0.6(y-1.5)+0.09 i
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= y i -1.5
i=1
2+0.6y-0.81 i
8 8
=(y-1.5)2+0.6×y-8×0.81=2+0.6×12-8×0.81=2.72，
i i
i=1 i=1
12 8
(x-1.2)2+(y-1.2)2
i i
12.48+2.72
这20人答对题目的方差为 i=1 i=1 = =0.76.
12+8 20
(2)记B=“B学校代表从乙箱中抽取的第一道题是选择题”，
A =“A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道选择题”，
1
A =“A学校代表先从甲箱中依次抽取了一道选择题，一道填空题”，
2
A =“A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道填空题”，
3
易知A,A ,A 彼此互斥，A ∪A ∪A =Ω，
1 2 3 1 2 3
C2 2 C1C1 8 C2 1
P(A)= 4 = ，P(A )= 4 2 = ，P(A )= 2 = ，
1 C2 5 2 C2 15 3 C2 15
6 6 6
5 4 1 3
P(B|A)= ，P(B|A )= = ，PB|A )= ，
1 8 2 8 2 3 8
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )
1 1 2 2 3 3
2 5 8 1 1 3 13
= × + × + × = ，
5 8 15 2 15 8 24
2 5
×
P(A)P(B|A) 5 8 6
P(A|B)= 1 1 = = .
1 P(B) 13 13
24
6
所以A学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率为 .
13
【解题方法总结】
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那
么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个
阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般
用贝叶斯公式
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