第88讲随机事件、频率与概率_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第88讲 随机事件、频率与概率 知识梳理 知识点1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 知识点2、样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E 的样本空间，一般地，用．Ω．表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可 能结果ω ，ω ，⋯，ω ，则称样本空间Ω= ω,ω ,⋯,ω 1 2 n 1 2 n   为有限样本空间． 知识点3、随机事件、确定事件 (1)一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为 了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事 件称为基本事件．当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生． (2)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 Ω总会发生，我们称Ω为必然事件． (3)空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件． (4)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 知识点4、事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时 称事件B包含事件A(或者称事件A包含于事件B)，记作B⊇A或者A⊆B．与两个集合的 包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若B⊇A且A⊇B，称事件A与事件B相等．与两个集合的并集类 比，可用下图表示： ③并事件(和事件)：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事 件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A+B)．与两个集合的并集类比，可用 下图表示： 第 页 共 页 942 1043④交事件(积事件)：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事 件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．与两个集合的交集类比，可用下图 表示： 知识点5、互斥事件与对立事件 (1)互斥事件：在一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，即A∩B=∅，则称事件A 与事件B互斥，可用下图表示： 如果A ，A ，⋯，A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A ，．A ．，⋯，A 1 2 n 1 2 n 彼此互斥． (2)对立事件：若事件A和事件B在任何一次实验中有且只有一个发生，即A∪B=Ω不  发生，A∩B=∅则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为A． (3)互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生 外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的 必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 知识点6、概率与频率 (1)频率：在n次重复试验中，事件A发生的次数k称为事件A发生的频数，频数k与总 k 次数n的比值 ，叫做事件A发生的频率． n k (2)概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A发生的频率 总是接近于某个常数，并且 n 在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)． k (3)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率 随着试验次 n k 数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率 来估计概率P(A)． n 必考题型全归纳 1 题型一：随机事件与样本空间 第 页 共 页 943 10434905 (2024·全国·高三专题练习)已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B 的四个命题： ①若任取x∈A，则x∈B是必然事件； ②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件； ③若任取x∈B，则x∈A是随机事件； ④若任取x∉B，则x∉A是必然事件． 其中正确的命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4906 (2024·全国·高三专题练习)以下事件是随机事件的是 ( ) A.标准大气压下，水加热到100°C，必会沸腾 B.走到十字路口，遇到红灯 C.长和宽分别为a,b的矩形，其面积为ab D.实系数一元一次方程必有一实根 4907 (2024·全国·高三专题练习)袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2个，记为 B 、B ，白色球2个，记为W、W，从袋中任意取2个球，请写出该随机试验一个不等可能 1 2 1 2 的样本空间：Ω= . 4908 (2024·全国·高一专题练习)将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空 间为 . 4909 (2024·高一课时练习)设样本空间Ω={1，2，3}，则Ω的不同事件的总数是 . 4910 (2024·全国·高一专题练习)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数， 其样本空间为 ． 2 题型二：随机事件的关系与运算 4911 (2024·全国·高三专题练习)端午节是我国传统节日，记事件A=“甲端午节来宝鸡旅 1 3 游”，记事件B=“乙端午节来宝鸡旅游”，且P(A)= ，P(B)= ，假定两人的行动相互 3 4 之间没有影响，则P(A∪B)= ( ) 5 7 3 1 A. B. C. D. 6 12 4 4  4912 (2024·全国·高三专题练习)已知事件A与事件B互斥，记事件B为事件B对立事件.若  P(A)=0.6，P(B)=0.2，则P(A+B)= ( ) A.0.6 B.0.8 C.0.2 D.0.48 4913 (2024·全国·高三专题练习)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事 件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞 机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮 弹击中飞机”，则下列关系不正确的是 ( ) A.A⊆D B.B∩D=∅ C.A∪C=D D.A∪B=B∪D 4914 (2024·全国·高三专题练习)某家族有X,Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的 4 2 7 概率为 ，出现Y性状的概率为 ，X,Y两种性状都不出现的概率为 ，则该成员X, 15 15 10 第 页 共 页 944 1043Y两种性状都出现的概率为 ( ) 1 1 2 4 A. B. C. D. 15 10 15 15 4915 (2024·上海长宁·统考一模)掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是 奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为PA  ，事件B的概率为PB  ；则1- PA∩B  是下列哪个事件的概率 ( ) A.两个点数都是偶数 B.至多有一个点数是偶数 C.两个点数都是奇数 D.至多有一个点数是奇数 4916 (2024·全国·高三专题练习)如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M=“甲元件故 障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为 ( )     A.M∪N B.M∪N C.M∩N D.M∪N 4917 (2024·全国·高三专题练习)已知PA  =0.3，PB  =0.1，若B⊆A，则PAB  = ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3 题型三：频率与概率 4918 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)在一个口袋中放有m个白球和n个 红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放 回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机 摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．(小数点后保留一位小数) 4919 (2024·全国·高三对口高考)下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取 200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概 率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即 PA  趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出 9 现1点的频率是 ；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 . 50 4920 (2024·全国·模拟预测)在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答 复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、 质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸 到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你 是否在考试中做过弊．若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”．则问题二“考 试是否做过弊”回答“是”的百分比为(以100人的频率估计概率) ． 4921 (2024·全国·高三对口高考)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模 拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整 数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再以每三个随机数 为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 第 页 共 页 945 1043907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 . 4922 (2024·全国·高三专题练习)一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307 人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是 ． 4923 (2024·全国·高三专题练习)若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n m 很大时，可以用事件A发生的频率 来估计事件A的概率，即P(A)≈ ． n 4924 (2024·全国·高三专题练习)已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模 拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整 数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三 个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 321421292925274632800478598663531297396021506 318230113507965据此 估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 . 4925 (2024·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习)长时间玩手机可能影响视力．据调查，某 校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人 的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近 视的概率约为 ． 4926 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)袋中有10个球，其中有m个红球， n个蓝球，有放回地随机抽取1000次，其中有597次取到红球，403次取到蓝球，则其中红 球最有可能有 个． 4 题型四：生活中的概率 4927 (2024·全国·高三专题练习)某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能 预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：(ⅰ)摇号的初 始中签率为0.19；(ⅱ)当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请 到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需 要邀请 位好友参与到“好友助力”活动. 4928 (2024·江西吉安·江西省泰和中学校考一模)设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有 99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中 抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从 箱中取出的. 4929 (2024·全国·高三专题练习)有以下说法: 1 ①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是 ;②买彩票中奖的概率为0.001, 365 那么买1000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共 10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明 “昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的. 根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是 . 5 题型五：互斥事件与对立事件 第 页 共 页 946 10434930 (2024·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中 任取2个，则互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.至少有一个白球；红、黑球各一个 D.恰有一个白球；一个白球一个黑球 4931 (2024·全国·高三专题练习)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥 而不对立的事件是 ( ) A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少有一个红球 C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少有一个黑球与都是红球 4932 (2024·四川宜宾·统考三模)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点 数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”， 事件4表示“骰子向上的点数小于3”则 ( ) A.事件1与事件3互斥 B.事件1与事件2互为对立事件 C.事件2与事件3互斥 D.事件3与事件4互为对立事件 4933 (2024·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测)从数学必修一、二和政治必修一、二共 四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有一本政治与都是数学 B.至少有一本政治与都是政治 C.至少有一本政治与至少有一本数学 D.恰有1本政治与恰有2本政治 4934 (2024·全国·高二)袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的 两个事件是 ( ) A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.恰有一个白球；一个白球一个黑球 D.至少有一个白球；红、黑球各一个 4935 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)从1，2，3，⋯，9中任取三个不同的数，则在下述 事件中，是互斥但不是对立事件的有 ( ) A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数” B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数” C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数” 6 题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率 4936 (2024·全国·高三专题练习)已知事件A，B，C两两互斥，若PA  1 = ，PC 5  1 = ， 3 PA∪B  8 = ，则PB∪C 15  = ． 4937 (2024·全国·高三专题练习)在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名替队员 组成代表队参加比赛.如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为 . 2 1 4938 (2024·全国·模拟预测)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是 ，和棋的概率是 ，则甲不输 3 4 的概率为 ． 第 页 共 页 947 10434939 (2024·四川眉山·高三校考开学考试)一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑 球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么从盒中摸出 1个球，摸出黑球或红球的概率是 ． 4940 (2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一 样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含 有两种不同颜色的小球的概率为 . 4941 (2024·福建·校联考模拟预测)若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向 相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 . 4942 (2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试)位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个 单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为 2 1 ，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为 ，若粒 3 3 1 子A第一次向右移动一个单位长度的概率为 ，则粒子A第二次向左移动的概率为 3 . 4943 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)若三个元件A、B、C按照如图的方式连接成 一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件A正常工作且B、C中至 少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件A、B正常工作的概率依次为0.7、0.8，且 这个系统正常工作的概率为0.686，则元件C正常工作的概率为 . 第 页 共 页 948 1043