第01讲集合_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第1讲 集合 知识梳理 1、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图(venn图). (4)常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N∗或N Z Q R + 说明： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个 元素在不在这个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5}，可知1∈A,在该集合中，6∉A, 不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现 的. 集合A={a,b,c}应满足a≠b≠c. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和B={1,3,5,2,4}是 同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“  ”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 (1)子集(subset)：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 ，记作A⊆B(或B⊇ A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”). (2)真子集(proper subset)：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A 是集合B的真子集，记作A⊊B(或B⊋A).读作“A真包含于B”或“B真包含A ”. (3)相等：如果集合A是集合B的子集(A⊆B，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时， 集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B. (4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是 任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交 第 页 共 页 22 1043集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并 集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C A，即C A={x|x∈U,且x∉A}． U U 4、集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A． (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A． (3)A∩C U A  =∅，A∪C U A  =U，C UC U A  =A． 【解题方法总结】 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1 个，非空真子集有2n-2个． (2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集． (3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔C B⊆C A． U U (4)C (A∩B)=(C A)∪(C B),C (A∪B)=(C A)∩(C B)． U U U U U U 必考题型全归纳 1 题型一：集合的表示：列举法、描述法 1 (2024·广东江门·统考一模)已知集合A=-1,0,1  ，B=m|m2-1∈A,m-1∉A  ，则集 合B中所有元素之和为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D. 2 2 (2024·江苏·高三统考学业考试)对于两个非空实数集合A和B，我们把集合 x∣x=a+b,a∈A,b∈B  记作A∗B.若集合A=0,1  ,B=0,-1  ，则A∗B中元素的个 数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3 (2024·全国·高三专题练习)定义集合A+B=x+yx∈A 且y∈B  .已知集合A= 2,4,6  ，B=-1,1  ，则A+B中元素的个数为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.7 2 题型二：集合元素的三大特征 4 (2024·北京海淀·校考模拟预测)设集合M=2m-1,m-3  ，若-3∈M，则实数m= ( ) A.0 B.-1 C.0或-1 D.0或1 5 (2024·江西·金溪一中校联考模拟预测)已知集合A=1,a,b  ，B=a2,a,ab  ，若A=B， 则a2023+b2022= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 6 (2024·北京东城·统考一模)已知集合A= x   x2-2<0   ，且a∈A，则a可以为 ( ) 第 页 共 页 23 10433 A.-2 B.-1 C. D. 2 2 3 题型三：元素与集合间的关系 7 (2024·河南·开封高中校考模拟预测)已知A=x∣x2-ax+1<0  ，若2∈A，且3∉A，则a 的取值范围是 ( ) 5 A.  ,+∞ 2  5 10 B.  , 2 3  5 10 C.   ,  2 3  10 D. -∞, 3  8 (2024·吉林延边·统考二模)已知集合A= x   ax2-3x+2=0   的元素只有一个，则实数a 的值为 ( ) 9 9 A. B.0 C. 或0 D.无解 8 8 9 (2024·全国·高三专题练习)已知集合A= x,y    x2 y2  + ≤1,x∈Z,y∈Z 4 2  ，则A中元素的 个数为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 4 题型四：集合与集合之间的关系 10 (多选题)(2024·山东潍坊·统考一模)若非空集合M,N,P满足：M∩N=N,M∪P=P，则 ( ) A.P⊆M B.M∩P=M C.N∪P=P D.M∩∁ N=∅ p k 11 (2024·江苏·统考一模)设M=xx= ,k∈Z  2  1 ，N=xx=k+ ,k∈Z  2  ，则 ( ) A.M⊊N B.N⊊M C.M=N D.M∩N=∅ 12 (2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)已知集合A=x|x2-x-12≤0  ，B= x|x2-3mx+2m2+m-1<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值 范围为 ( ) A. -3,2  B. -1,3  5 C.  -1,  2  5 D.  2,  2  13 (2024·广东茂名·统考二模)已知集合A= x x    ≤1  ，B=x2x-a<0  ，若A⊆B，则实 数a的取值范围是 ( ) A. 2,+∞  B. 2,+∞  C. -∞,2  D. -∞,2  5 题型五：集合的交、并、补运算 14 (2024·广东广州·统考二模)已知集合A=xx=3n-2,n∈N∗  ，B=6,7,10,11  ，则集合 A∩B的元素个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 15 (2024·河北张家口·统考二模)已知集合A= x x-2  4-x    >0  1 ，B=x >0  3-x  ，则 ∁ R A  ∪∁ R B  = ( ) 第 页 共 页 24 1043A. 2,3  B. 3,4  C. -∞,2 ∪   3,+∞  D. -∞,3 ∪   4,+∞  16 (2024·广东·统考一模)已知集合M= x∣xx-2   <0  ,N={x∣x-1<0}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x∣1≤x<2}的是 ( ) A. B. C. D. 17 (2024·全国·高三专题练习)2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传： 看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感 召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青 春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只 观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人， 只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看 任何一支短视频的人数为 . 6 题型六：集合与排列组合的密切结合 18 (2024·全国·高三专题练习)设集合X=a,a ,a ,a 1 2 3 4  ⊆N∗，定义：集合Y=   a i +a j a i ,a j ∈X,i,j∈N*,i≠j  ，集合S=x⋅yx,y∈Y,x≠y  ，集合T=   x y x,y∈Y,x≠y  ，分别用|S|，|T|表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的 是 ( ) A.|S|=6 B.|S|=16 C.|T|=9 D.|T|=16 19 (2024·全国·模拟预测)已知集合A，B满足A∪B=1,2,3  ，若A≠B，且A&B  ，B&A  表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为 ( ) A.9 B.4 C.27 D.8 20 (2024·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知集合A满足：①A⊆N，②∀x,y∈ A,x≠y，必有x-y  ≥2，③集合A中所有元素之和为100，则集合A中元素个数最多为 ( ) A.11 B.10 C.9 D.8 7 题型七：集合的创新定义 21 (2024·全国·校联考模拟预测)对于集合A,B，定义A-B=xx∈A，且x∉B  ．若A= {x|x=2k+1,k∈N}，B={x|x=3k+1,k∈N}，将集合A-B中的元素从小到大排列得 第 页 共 页 25 1043到数列a n  ，则a +a = ( ) 7 30 A.55 B.76 C.110 D.113 22 (多选题)(2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测)由无理数引发的数学危机一直延续到 19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义 无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认 为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割， 是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M 中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称M,N  为戴德金分割.试判断下列选项 中，可能成立的是 ( ) A.M=xx<0  ,N=xx>0  是一个戴德金分割 B.M没有最大元素，N有一个最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M没有最大元素，N也没有最小元素 23 (2024·湖北·统考二模)已知X为包含v个元素的集合(v∈N*，v≥3)．设A为由X的一 些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰 好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称X,A  组成一个v阶的Steiner三元系．若 X,A  为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 ． 第 页 共 页 26 1043