第01讲集合_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第1讲 集合 知识梳理 1、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图(venn图). (4)常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N∗或N Z Q R + 说明： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个 元素在不在这个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5}，可知1∈A,在该集合中，6∉A, 不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现 的. 集合A={a,b,c}应满足a≠b≠c. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和B={1,3,5,2,4}是 同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“  ”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 (1)子集(subset)：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 ，记作A⊆B(或B⊇ A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”). (2)真子集(proper subset)：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A 是集合B的真子集，记作A⊊B(或B⊋A).读作“A真包含于B”或“B真包含A ”. (3)相等：如果集合A是集合B的子集(A⊆B，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时， 集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B. (4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是 任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交 第 页 共 页 22 3427集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并 集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C A，即C A={x|x∈U,且x∉A}． U U 4、集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A． (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A． (3)A∩C U A  =∅，A∪C U A  =U，C UC U A  =A． 【解题方法总结】 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1 个，非空真子集有2n-2个． (2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集． (3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔C B⊆C A． U U (4)C (A∩B)=(C A)∪(C B),C (A∪B)=(C A)∩(C B)． U U U U U U 必考题型全归纳 1 题型一：集合的表示：列举法、描述法 1 (2024·广东江门·统考一模)已知集合A=-1,0,1  ，B=m|m2-1∈A,m-1∉A  ，则集 合B中所有元素之和为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D. 2 【答案】C 【解析】根据条件分别令m2-1=-1,0,1，解得m=0,±1,± 2， 又m-1∉A，所以m=-1,± 2，B=-1, 2,- 2  ， 所以集合B中所有元素之和是-1， 故选：C． 2 (2024·江苏·高三统考学业考试)对于两个非空实数集合A和B，我们把集合 x∣x=a+b,a∈A,b∈B  记作A∗B.若集合A=0,1  ,B=0,-1  ，则A∗B中元素的个 数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】A=0,1  ,B=0,-1  ，则A∗B=0,-1,1  ，则A∗B中元素的个数为3 故选：C 3 (2024·全国·高三专题练习)定义集合A+B=x+yx∈A 且y∈B  .已知集合A= 2,4,6  ，B=-1,1  ，则A+B中元素的个数为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.7 【答案】C 【解析】根据题意，因为A=2,4,6  ，B=-1,1  ， 第 页 共 页 23 3427所以A+B=1,3,5,7  . 故选：C. 【解题总结】 1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然. 2、描述法，注意代表元素. 2 题型二：集合元素的三大特征 4 (2024·北京海淀·校考模拟预测)设集合M=2m-1,m-3  ，若-3∈M，则实数m= ( ) A.0 B.-1 C.0或-1 D.0或1 【答案】C 【解析】设集合M=2m-1,m-3  ，若-3∈M， ∵-3∈M，∴2m-1=-3或m-3=-3， 当2m-1=-3时，m=-1，此时M=-3,-4  ； 当m-3=-3时，m=0，此时M=-3,-1  ； 所以m=-1或0. 故选：C 5 (2024·江西·金溪一中校联考模拟预测)已知集合A=1,a,b  ，B=a2,a,ab  ，若A=B， 则a2023+b2022= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【解析】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到  a2=1 或  a2=b ，又根据集合互 ab=b ab=1 a=-1 a=1 异性，可知a≠1，解得a=1(舍)，  和  (舍)，所以a=-1，b=0，则a2023+b2022 b=0 b=1 =(-1)2023+02022=-1， 故选：A 6 (2024·北京东城·统考一模)已知集合A= x   x2-2<0   ，且a∈A，则a可以为 ( ) 3 A.-2 B.-1 C. D. 2 2 【答案】B 【解析】∵x2-2<0，∴- 22，则2m-1>m+1，此时B=(m+1,2m-1)， 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故BÜA, 2m-1≤4  5 故m+1≥-3,∴22 若m<2，则2m-12. 2 第 页 共 页 26 3427故选：A 【解题方法总结】 1、注意子集和真子集的联系与区别. 2、判断集合之间关系的两大技巧： (1)定义法进行判断 (2)数形结合法进行判断 5 题型五：集合的交、并、补运算 14 (2024·广东广州·统考二模)已知集合A=xx=3n-2,n∈N∗  ，B=6,7,10,11  ，则集合 A∩B的元素个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】因为A=xx=3n-2,n∈N∗  ，B=6,7,10,11  ，则A∩B=7,10  ， 故集合A∩B的元素个数为2. 故选：B. 15 (2024·河北张家口·统考二模)已知集合A= x x-2  4-x    >0  1 ，B=x >0  3-x  ，则 ∁ R A  ∪∁ R B  = ( ) A. 2,3  B. 3,4  C. -∞,2 ∪   3,+∞  D. -∞,3 ∪   4,+∞  【答案】C 【解析】A= x x-2  4-x    >0  =x|20  3-x  =x|x<3  ， 即A=2,4  ，B=-∞,3  ， 所以，∁ R A=-∞,2  ∪4,+∞  ，∁ R B=3,+∞  ， 所以，∁ R A  ∪∁ R B  =-∞,2  ∪3,+∞  . 故选：C. 16 (2024·广东·统考一模)已知集合M= x∣xx-2   <0  ,N={x∣x-1<0}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x∣1≤x<2}的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】xx-2  <0⇒0100,0+2+4+6+8+10+ 12+14+16+18=90<100则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集 合A中元素个数最多不能超过10个， 故若要集合A满足：①A⊆N，②∀x,y∈A,x≠y，必有x-y  ≥2，③集合A中所有元素 之和为100，最多有10个元素， 例如A=0,2,4,6,8,10,12,15,18,25  . 故选：B. 第 页 共 页 29 3427【解题方法总结】 利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想 方法 7 题型七：集合的创新定义 21 (2024·全国·校联考模拟预测)对于集合A,B，定义A-B=xx∈A，且x∉B  ．若A= {x|x=2k+1,k∈N}，B={x|x=3k+1,k∈N}，将集合A-B中的元素从小到大排列得 到数列a n  ，则a +a = ( ) 7 30 A.55 B.76 C.110 D.113 【答案】C 【解析】因为A=1,3,5,7,9,11,⋯  ,B=1,4,7,10,13,16,19,22,25,⋯  ， 所以A-B=3,5,9,11,15,⋯  ，所以a =21．A-B相当于集合A中除去x=6n- 7 5n∈N*  形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以a =89． 30 则a +a =110， 7 30 故选：C. 22 (多选题)(2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测)由无理数引发的数学危机一直延续到 19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义 无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认 为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割， 是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M 中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称M,N  为戴德金分割.试判断下列选项 中，可能成立的是 ( ) A.M=xx<0  ,N=xx>0  是一个戴德金分割 B.M没有最大元素，N有一个最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【解析】对于A，因为M=xx<0  ,N=xx>0  ，M∪N={x|x≠0}≠Q，故A错误； 对于B，若M=x∈Q|x<0  ,N={x∈Q|x≥0}，则满足戴德金分割， 此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确； 对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则a