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第86讲 排列与组合
知识梳理
知识点1、排列与排列数
(1)定义：从n个不同元素中取出mm≤n 个元素排成一列，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出mm≤n 个元素的所有排列的个数，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Am表示．
n
(2)排列数的公式：Am n =nn-1 n-2 ⋯n-m+1
n!
= n-m ． !
特例：当m=n时，Am n =n!=nn-1 n-2 ⋯3⋅2⋅1；规定：0!=1．
(3)排列数的性质：
1 n
①Am=nAm-1；②Am= Am+1= Am ；③Am=mAm-1+Am ．
n n-1 n n-m n n-m n-1 n n-1 n-1
(4)解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，
特殊元素)．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，Am n =nn-1 ⋅⋅
⋅n-m+1
n!
常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用Am= ． n (n-m)!
知识点2、组合与组合数
(1)定义：从n个不同元素中取出mm≤n 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出mm≤n 个元素的所有组合的个数，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cm表示．
n
(2)组合数公式及其推导
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Am，可以按以下两步来考虑：
n
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数Cm；
n
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数Am；
n
根据分步计数原理，得到Am=Cm⋅Am；
n n m
Am nn-1
因此Cm= n =
n Am
m
n-2 ⋯n-m+1
．
m!
n!
这里n，m∈N ，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为Am=
+ n n-m
，所以组合
!
n!
数公式还可表示为：Cm=
n m!n-m
．特例：C0=Cn=1．
! n n
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题
时 ，一 般 都 是 按 先 取 后 排 ( 先 组 合 后 排 列 ) 的 顺 序 解 决 问 题 ． 公 式 C m =
n
n(n-1)(n-2)⋅⋅⋅(n-m+1) n!
常用于具体数字计算，Cm= 常用于含字母算式的
m! n m!(n-m)!
化简或证明．
(3)组合数的主要性质：①Cm=Cn-m；②Cm+Cm-1=Cm ．
n n n n n+1
(4)组合应用题的常见题型：
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912 1043①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点3、排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主
要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序
的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综
合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚
分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取
出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
【解题方法总结】
1、如图，在圆中，将圆分n等份得到n个区域M ，M ，M ，⋯，M (n≥2)，现取k(k≥2)
1 2 3 n
种颜色对这n个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(-1)n
(k-1)+(k-1)n种．
n (-1)i
2、错位排列公式D = +1
n n!
i=1
⋅n!
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制
条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的
方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素
影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为
特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
(1)以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排
其他元素；
(2)以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑
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913 1043其他位置；
(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排
在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当
作一个元素同其他元素一起排列，共有An-k+1种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”
n-k+1
进行排列，共有Ak种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有An-k+1⋅Ak
k n-k+1 k
种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个
元素互不相邻(k≤n-k+1)，求不同排法种数的方法是：先将(n-k)个元素排成一排，共
有An-k种排法；然后把k个元素插入n-k+1个空隙中，共有Ak 种排法．根据分步乘法
n-k n-k+1
计数原理可知，符合条件的排法共有An-k·Ak 种．
n-k n-k+1
必考题型全归纳
1 题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算
4694 (2024·全国·高三专题练习)若C2x+1=Cx+2，则实数x的值为 ( )
12 12
A.1 B.3 C.1或3 D.0
4695 (2024·全国·高三专题练习)C2+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 = ( )
2 3 4 18
A.C3 B.C3 C.C3 -1 D.C3 -1
18 19 18 19
4696 (2024·甘肃兰州·统考一模)A2=90，则n等于 ．
n
A2-A1
4697 (2024·全国·高三专题练习) 5 10 =
A3+A1
3 1
4698 (2024·全国·高三专题练习)A10-89A8-8A7= ．
10 8 7
4699 (2024·高三课时练习)已知Am-C2+0!=4，则m= .
3 3
4700 (2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末)若C3n+6=C4n-2，则Cn=
18 18 9
4701 (2024·全国·高三对口高考)计算C38-n+C3n 的值为 .
3n n+21
2 题型二：直接法
4702 (2024·江苏·高三校联考开学考试)甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰
好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为
( )
A.360 B.480 C.600 D.720
4703 (2024·重庆·高三统考阶段练习)雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结
束的2022到2024赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢
拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人(其中1人为队长)，教练组3人，站成
一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法
( )
A.A3A11 B.2A3A11 C.A3A4A7 D.2A3A4A7
3 11 3 11 3 4 7 3 4 7
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914 10434704 (2024·全国·高三专题练习)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每
天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为 ( )
A.120 B.60 C.40 D.30
4705 (2024·全国·高三对口高考)要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课
各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为
( )
A.24 B.72 C.144 D.288
4706 (2024·全国·高三对口高考)运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2
名女司机，到A，B，C，D，E这五个不同地区执行任务，要求A地只能派男司机，E地只
能派女司机，则不同的方案种数是 ( )
A.360 B.720 C.1080 D.2160
4707 (2024·全国·高三对口高考)从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A，
B，C，D的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法数是 ( )
A.24 B.48 C.54 D.96
4708 (2024·陕西·高三校联考阶段练习)甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有
2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，
要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为
( )
A.144 B.864 C.1728 D.2880
3 题型三：间接法
4709 (2024·全国·高三专题练习)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包括2个端点)为顶点
的三角形中钝角三角形有( )个
A.55 B.112 C.156 D.120
4710 (2024·湖北武汉·高二校联考期末)甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩
游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为 ( )
A.65 B.73 C.70 D.60.
4711 (2024·湖南长沙·雅礼中学校联考二模)从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构
成的正多边形的个数为 ( )
A.360 B.630 C.1170 D.840
4712 (2024·全国·高三专题练习)将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人
相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有( )．
A.1860种 B.3696种 C.3600种 D.3648种
4 题型四：捆绑法
4713 (2024·四川内江·高三期末)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙
相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有 ( )
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915 1043A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
4714 (2024·江西宜春·高三统考开学考试)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计
划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术
大师.浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已
知某班级有A,B,C,D,E共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一
位同学选择，则A同学选择浙江大学的不同方法共有 ( )
A.24种 B.60种 C.96种 D.240种
4715 (2024·全国·高三专题练习)某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每
天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月
1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有 ( )
A.504种 B.960种 C.1008种 D.1200种
4716 (2024·全国·高三专题练习)2024年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家
过年，若五辆车分别为A,B,C,D,E，五辆车随机排成一排，则A车与B车相邻，A车与C
车不相邻的排法有 ( )
A.36种 B.42种 C.48种 D.60种
4717 (2024·全国·高三专题练习)为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲、乙、丙、丁、
戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要
求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有( )种.
A.40 B.24 C.20 D.12
5 题型五：插空法
4718 (2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试)已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参
加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序
不相邻，则不同的演讲顺序的种数为 ( )
A.40 B.36 C.56 D.48
4719 (2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试)甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相
邻，排法种数为 ( )
A.12 B.36 C.48 D.72
4720 (2024·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试)五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成
语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，
排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，则可排成不同
的音序种数为 ( )
A.72 B.28 C.24 D.32
4721 (2024·全国·高三对口高考)2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两
端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 ( )
A.36 B.42 C.48 D.60
4722 (2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)某校举行文艺汇演，甲、乙、丙等
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916 10436名同学站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相邻，丙不在两端，则不同的排列方式共有
( )
A.72种 B.144种 C.288种 D.432种
4723 (2024·四川·校联考模拟预测)北京地处中国北部、华北平原北部，东与天津毗连，其余方
向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心、文化中心、国际
交往中心、科技创新中心.为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览
北京，计划6天游览故宫、八达岭长城、颐和园、“水立方”、“鸟巢”、798艺术区、首都博物
馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八
达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有 ( )
A.120种 B.240种 C.480种 D.960种
4724 (2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)一排有8个座位，有3人各不相邻而坐，则不同
的坐法共有 ( )
A.120种 B.60种 C.40种 D.20种
6 题型六：定序问题(先选后排)
4725 (2024·全国·高三专题练习)满足x ∈N*(i=1,2,3,4)，且x
