第90讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第90讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 知识点1、条件概率 (一)定义 P(AB) 一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)= 为在事件A发生的条件 P(A) 下，事件B发生的条件概率． 注意：(1)条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件；(2)若P(A)=0，表示条件A不可能发 生，此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(A)>0的 情况下进行． (二)性质 (1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1． (2)必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)． 注意：(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)； (2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基 nAB 本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)=  nA  nAB =  nΩ  nA  nΩ  PAB =  PA  ． 知识点2、相互独立与条件概率的关系 (一)相互独立事件的概念及性质 (1)相互独立事件的概念 对于两个事件A，B，如果P(B|A)=P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的 P(AB) 概率．设P(A)>0，根据条件概率的计算公式，P(B)=P(B|A)= ，从而P(AB)=P P(A) (A)P(B)． 由此我们可得：设A，B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互 独立． (2)概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)． 我们称上式为概率的乘法公式． (3)相互独立事件的性质     如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件 A ，A ，⋯，A 相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A A ⋯A )=P(A )(A )⋯P 1 2 n 1 2 n 1 2 (A )． n (二)事件的独立性 第 页 共 页 960 1043(1)事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)⋅P(B)． (2)当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A)． P(AB) P(A)⋅P(B) (3)如果P(A)>0，A与B独立，则P(B|A)= = =P(B)成立． P(A) P(A) 知识点3、全概率公式 (一)全概率公式   (1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)； (2)定理1若样本空间Ω中的事件A ，A ，⋯，A 满足： 1 2 n ①任意两个事件均互斥，即AA =∅，i，j=1，2，⋯，n，i≠j； i j ②A +A +⋯+A =Ω； 1 2 n ③PA i  >0，i=1，2，⋯，n． 则对Ω中的任意事件B，都有B=BA +BA +⋯+BA ，且 1 2 n n n P(B)=P(BA)=P(A)P(B|A)． i i i i=1 i=1 注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单 事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． (2)什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在 这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． (二)贝叶斯公式 (1)一般地，当00时，有P A   B  P(A)P(B|A) = = P(B) P(A)P(B|A)   P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) (2)定理2若样本空间Ω中的事件A ，A ，⋯，A 满足： 1 2 n ①任意两个事件均互斥，即AA =∅，i，j=1，2，⋯，n，i≠j； i j ②A +A +⋯+A =Ω； 1 2 n ③00，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的 ( ) 第 页 共 页 962 1043A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5005 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)已知事件A，B满足00，i=1, 第 页 共 页 967 10432,⋯,n，则对任意的事件B⊆Ω，PB  >0，有P A i   B  PA i =  P B   A i  PB  = PA i  P B   A i  ∑n PA k=1 k  P B   A k  ，i=1,2,⋯,n.现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次 品率为6%，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零 件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的 零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X(分钟)的分布列和数学期望. 5036 (2024·全国·高三专题练习)为提升学生的综合素养能力，学校积极为学生搭建平台，组 织学生参与各种社团活动.在学校辩论队活动中，甲同学积极参与.为了更好的了解每个 同学的社团参与情况和能力水平，对每位参与辩论队的同学进行跟踪记录.社团老师了解 到，甲自加入辩论队以来参加过100场辩论比赛：甲作为一辩出场20次，其中辩论队获胜 14次；甲作为二辩出场30次，其中辩论队获胜21次；甲作为三辩出场25次，其中辩论队 获胜20次；甲作为四辩出场25次，其中辩论队获胜20次.用该样本的频率估计概率，则： (1)甲参加比赛时，求该辩论队某场比赛获胜的概率； (2)现学校组织6支辩论队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获 胜才可晋级.社团老师决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在辩论队顺利晋级，记其获胜 的场数为X，求X的分布列和数学期望. 5037 (2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测)某兴趣小组为研究一种地方性疾病与 当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，设A=“患有地方性  3  12 疾病”，B=“卫生习惯良好”.据临床统计显示，P(A|B)= ，P(B|A)= ，该地人群中 4 13 4 卫生习惯良好的概率为 . 5 (1)求P(A)和P(A|B)，并解释所求结果大小关系的实际意义； (2)为进一步验证(1)中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为 m(m∈N*)的样本，利用独立性检验，计算得K2=2.640.为提高检验结论的可靠性，现将 样本容量调整为原来的k(k∈N*)倍，使得能有99.9%的把握肯定(1)中的判断，试确定k 的最小值. n(ad-bc)2 参考公式及数据：K2= ；P(K2≥6.635)=0.010；P(K2≥ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 10.828)=0.001. 5038 (2024·江西宜春·高三统考开学考试)为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛 球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至 多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队 进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率 3 1 均为 ，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为 .(注：比赛结果没有平局) 4 2 (1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获 胜的概率； (2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； (3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率. 第 页 共 页 968 1043