专题6.3中位线与多边形（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 6.3 中位线与多边形 已知三角形中位线求第三边 【例1】如图，在 中， ， ， ， 、 分别是 与 的中点，则 的长为 A．5 B．4 C． D．2 【解答】解： ， ， ， ， ， 由勾股定理得： ； 、 分别是 与 的中点， 是 的中位线， ， 故选： ． 【变式训练1】如图，在 中， ， 于点 ， 在 上且 ， 连接 ， 为 的中点，连接 ，则 的长为A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， 是 的中位线， ， 故选： ． 【变式训练2】如图， 中，点 ， 在边 上， 的平分线垂直 ，垂足为 点 ， 的平分线垂直 ，垂足为点 ，连接 ．若 ， ，则 的周长为 A．17 B．18 C．19 D．20 【解答】解：在 和 中， ，， ， ， 同理， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长 ， 故选： ． 【变式训练3】如图，在 中，点 、 分别是 、 的中点， ，点 是 上一点． ．连接 ， ．若 ，则 的长度为 A．18 B．16 C．14 D．12 【解答】解： ，点 是 的中点， ， ， ， ， 点 、 分别是 、 的中点， ， 故选： ． 【例2】如图，已知 中， 是 上一点， ， ，垂足是 ， 是 的中点．求证： ．【解答】证明： ， ， ， 是 的中点， 是 的中位线， ． 【变式训练1】如图，在 中， 是 的中点，且 ， ， 交 于点 ， ， ，求 的周长． 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长为 ． 求角度 【例3】如图，在四边形 中， 是对角线 的中点，点 、 分别是 、 的 中点， ， ，则 的度数是 ． 【解答】解： 是 的中点， 是 的中点， 是 的中位线， ， 同理， ， ， ， ， 故答案为： ． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ，点 是对角线的中点，点 和点 分别是 与 的中点．若 ，则 的度数是 ．【解答】解： 点 和点 分别是 与 的中点， ， 同理可得： ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【变式训练2】如图，在 中，点 ， 分别是 、 的中点，点 是 延长线 上一点， ， ，则 的度数为 A． B． C． D． 【解答】解： ， 分别是 、 的中点， 为 的中位线， ， ， ， 故选： ． 【变式训练3】 中，点 ， 分别是 的边 ， 的中点，连接 ．若 ，则 A． B． C． D．【解答】解： 点 、 分别是 的边 、 的中点， ， ， ， ． 故选： ． 常见的辅助线 【例4】如图， 为 的角平分线， 于 ， 为 中点，连接 ，若 ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：延长 交 于 ，如图所示： 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 为 的中点， 是 的中位线，， ， ， ， ， ， 故选： ． 【变式训练1】如图，四边形 中， ， ， ，点 ， 分别是 对角线 ， 的中点，则 的长为 A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【解答】解： 取 中点 ，连结 、 ，如图所示： 点 ， 分别是对角线 ， 的中点， ， ， ， ， ，、 、 三点共线， 是 的中位线， ， ， ， 是 的中位线， ， ． 故选： ． 【变式训练2】如图，在 中， 是中线， 是角平分线， 交 延长线 于点 ， ， ，则 的长为 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【解答】解：延长 、 交于点 ， 是 的角平分线， ， 在 和 中， ， ， ， ， ，， ， ， 故选： ． 【变式训练3】如图， 中， 是 中点， 平分 ， ， ， ，则 ． 【解答】解：延长 交 于 ， 平分 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为： 【例5】已知：如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，且 ， 、 分别是 、 的中点， 分别交 、 于点 、 ．求证： ． 【解答】解：取 边的中点 ，连接 ， ， 、 分别是 、 的中点， ， ， 同理： ， ， ， ， ， 同理， ， ．【变式训练1】如图， 是 的中线， 是 的中点， 是 延长线与 的交 点，求证： ． 【解答】证明：如图，过 作 ，则 ， 是 的中线， 为 中点， 为 中点， ， 为 中点， ， 在 和 中， ， ， ， ．【变式训练2】如图，在四边形 中， ， 、 分别是 、 的中点， 延长 、 ， 分别交于点 、 ．求证： ． 【解答】证明：取 中点 ，连接 ， ， 点 ， ， 分别是边 ， ， 的中点， 、 分别是 与 的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练3】在 中，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ．（1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 【解答】解：（1）延长 交 于 ， 平分 ， 于点 ， ， ， 在 和 中， ， ． ， 点 是 的中点， ， 是 的中位线． ； （2） ， ， 是 的中位线． ， 故 的长为证明题 【例6】如图，在 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线， 过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ． （1）说明： ； （2）求线段 的长． 【解答】（1）证明： 是 的角平分线， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ． 【变式训练1】如图，在 中， ， ， ， 平分 ， 于点 ，延长 交 于点 ． （1）求证： ； （2）若点 为 的中点，求 的长． 【解答】（1）证明： 平分 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）在 中， ， ， ， ， ， ， 点 为 中点，点 为 中点，． 【变式训练2】如图，等边 的边长是2， 、 分别为 、 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ． （1）求证： ； （2）求 的长． 【解答】解：（1） 、 分别为 、 的中点， ， ， 四边形 是平行四边形， ． （2） 四边形 是平行四边形， ， 为 的中点，等边 的边长是2， ， ， ， ． 【变式训练3】如图，在 中， 平分 ， 于点 ，点 是 的中点． （1）如图1， 的延长线与 边相交于点 ，求证： ； （2）如图2， 中， ， ，求线段 的长．【解答】（1）证明：在 和 中， ， ， ， ， ， ； （2）解：分别延长 、 交于点 ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． 多边形与对角线 【例7】如图所示，从八边形 的顶点 出发，最多可以作出的对角线条数为A．8 B．7 C．6 D．5 【解答】解：从八边边形的一个顶点出发，最多可以引出该五边形的对角线的条数是 ， 故选： ． 【变式训练1】如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是 A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【解答】解： 过一个多边形的一个顶点的对角线有5条， 多边形的边数为 ， 故选： ． 【变式训练2】十边形中过其中一个顶点有 条对角线． A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解： 从任意一个 边形的一个顶点出发可得的对角线的条数为 条， 十边形中过其中一个顶点有7条对角线． 故选： ． 【变式训练3】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多 边形的边数为 A．7 B．6 C．5 D．4 【解答】解：这个多边形的边数是 ． 故选： ． 求多边形的内角 【例8】正八边形的一个内角等于A． B． C． D． 【解答】解：八边形的内角和是： ， 则正八边形的一个内角是： ． 故选： ． 【变式训练1】八边形的外角和是 A． B． C． D． 【解答】解： 多边形的外角和都是 ， 正八边形的外角和为 ， 故选： ． 【变式训练2】将一个正三角形、一个正方形、一个正五边形以 为公共边如图摆放，则 的度数是 A． B． C． D． 【解答】解： 正五边形 的内角和为 ， ， 正三角形 的内角 ， 正方形的内角 ， ， ， ， ， 又 ， ，， 故选： ． 【变式训练3】如图，四边形 中， ， ， 平分 ， 平 分 ，则 的值是 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 四边形 中， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， 由三角形外角的性质可得， ， ， ， 故选： ． 求多边形的边数 【例9】一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形 【解答】解：设这个正多边的一个外角为 ，由题意得： ， 解得： ， ． 故选： ． 【变式训练1】已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多 ，这个多边形 是 A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形 【解答】解：设这个多边形为 边形，它的外角分别为 ， ， ， ，则对应的内角分 别为 ， ， ， ， 根据题意得， ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 【变式训练2】若一个多边形的内角和与外角和之差是 ，则此多边形是 边形． A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解： 一个多边形的内角和与外角和之差为 ，多边形的外角和是 ， 这个多边形的内角和为 ， 设多边形的边数为 ， 则 ，解得： ， 即多边形是八边形， 故选： ． 【变式训练3】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 ，则原来 多边形的边数是 A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12 【解答】解：设多边形截去一个角的边数为 ， 则 ， 解得 ， 截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， 原来多边形的边数是10或11或 故选： ． 外角与边数 【例10】一个多边形的每个外角都等于 ，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线 的条数是 A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【解答】解：多边形的边数： ， 从一个顶点出发可以引对角线的条数： （条 ， 故选： ． 【变式训练1】一个正多边形的每个外角都等于 ，则这个多边形的边数和对角线的条数 分别是 A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，5 【解答】解： 正多边形的每个外角都等于 ， ， 这个正多边形是正8边形， （条 ，这个正多边形的对角线是20条． 故选： ． 【变式训练2】一个多边形的每一个外角都为 ，这个多边形是 A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【解答】解： 一个多边形的每个外角都等于 ， 多边形的边数为 ． 故这个多边形的边数是 故选： ． 【变式训练3】一个多边形的每一个外角都等于 ，则该多边形的内角和等于 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得： ， ， 则该多边形的内角和等于 ， 故选： ． 证明综合 【例11】如图，在四边形 中， ， ， 的平分线 交 于点 ． （1）若 ，则 ； （2）若 ，求 的大小． 【解答】解：（1） ， ， ， ． 故答案为：60； （2） ， ， ．平分 ， ， ． 【变式训练1】如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于点 ，且 ． （1）求证： 平分 ； （ 2 ） 若 ， 且 ， 平 分 交 边 于 点 ， 求 的值． 【解答】解：（1）证明： ， ， 又 ， ， 平分 ； （2） ， ， ， 又 平分 交 边于点 ， ， 由 可得 ， ， ， ， ． 【变式训练2】【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将 中 的边 反向延长，与另一边 形成的 即为 的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相 邻的三个外角的和． 【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和． 如 图 ， 的 外 角 和 【自主探究】根据以上提示，完成下列问题： （1）将下列表格补充完整． 名称 图形 内角和 外角和 三角形 四边形 五边形 边形 （2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角 的度数．【解答】解：（1）内角和分别为： 四边形内角和是： ， ，五边形内角和是： ， 边形内角和是： ； 外角和分别为： 、 、 ； 故答案为： 、 、 ， 、 、 ； （2）这个八边形一个内角的度数是： 方法一： ， 方法二： ．