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专题 6.3 中位线与多边形
已知三角形中位线求第三边
【例1】如图，在 中， ， ， ， 、 分别是 与
的中点，则 的长为
A．5 B．4 C． D．2
【变式训练1】如图，在 中， ， 于点 ， 在 上且
，连接 ， 为 的中点，连接 ，则 的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】如图， 中，点 ， 在边 上， 的平分线垂直 ，垂足
为点 ， 的平分线垂直 ，垂足为点 ，连接 ．若 ， ，则
的周长为A．17 B．18 C．19 D．20
【变式训练3】如图，在 中，点 、 分别是 、 的中点， ，点
是 上一点． ．连接 ， ．若 ，则 的长度为
A．18 B．16 C．14 D．12
【例2】如图，已知 中， 是 上一点， ， ，垂足是 ，
是 的中点．求证： ．
【变式训练1】如图，在 中， 是 的中点，且 ， ， 交
于点 ， ， ，求 的周长．求角度
【例3】如图，在四边形 中， 是对角线 的中点，点 、 分别是 、
的中点， ， ，则 的度数是 ．
【变式训练1】如图，在四边形 中， ，点 是对角线的中点，点 和点
分别是 与 的中点．若 ，则 的度数是 ．
【变式训练2】如图，在 中，点 ， 分别是 、 的中点，点 是 延长
线上一点， ， ，则 的度数为A． B． C． D．
【变式训练3】 中，点 ， 分别是 的边 ， 的中点，连接 ．若
，则
A． B． C． D．
常见的辅助线
【例4】如图， 为 的角平分线， 于 ， 为 中点，连接 ，若
， ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，四边形 中， ， ， ，点 ， 分别是
对角线 ， 的中点，则 的长为
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
【变式训练2】如图，在 中， 是中线， 是角平分线， 交 延长线于点 ， ， ，则 的长为
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【变式训练3】如图， 中， 是 中点， 平分 ， ， ，
，则 ．
【例5】已知：如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，且 ，
、 分别是 、 的中点， 分别交 、 于点 、 ．求证：
．【变式训练1】如图， 是 的中线， 是 的中点， 是 延长线与 的
交点，求证： ．
【变式训练2】如图，在四边形 中， ， 、 分别是 、 的中点，
延长 、 ， 分别交于点 、 ．求证： ．【变式训练3】在 中，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
证明题
【例6】如图，在 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线，
过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ．
（1）说明： ；（2）求线段 的长．
【变式训练1】如图，在 中， ， ， ， 平分 ，
于点 ，延长 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若点 为 的中点，求 的长．【变式训练2】如图，等边 的边长是2， 、 分别为 、 的中点，过点
作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求 的长．
【变式训练3】如图，在 中， 平分 ， 于点 ，点 是 的中
点．
（1）如图1， 的延长线与 边相交于点 ，求证： ；
（2）如图2， 中， ， ，求线段 的长．多边形与对角线
【例7】如图所示，从八边形 的顶点 出发，最多可以作出的对角线条数为
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式训练1】如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【变式训练2】十边形中过其中一个顶点有 条对角线．
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练3】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多
边形的边数为
A．7 B．6 C．5 D．4
求多边形的内角
【例8】正八边形的一个内角等于
A． B． C． D．
【变式训练1】八边形的外角和是
A． B． C． D．
【变式训练2】将一个正三角形、一个正方形、一个正五边形以 为公共边如图摆放，则 的度数是
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，四边形 中， ， ， 平分 ， 平
分 ，则 的值是
A． B． C． D．
求多边形的边数
【例9】一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是
A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形
【变式训练1】已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多 ，这个多边形
是
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
【变式训练2】若一个多边形的内角和与外角和之差是 ，则此多边形是 边形．
A．6 B．7 C．8 D．9【变式训练3】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 ，则原来
多边形的边数是
A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12
外角与边数
【例10】一个多边形的每个外角都等于 ，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线
的条数是
A．9条 B．8条 C．7条 D．6条
【变式训练1】一个正多边形的每个外角都等于 ，则这个多边形的边数和对角线的条
数分别是
A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，5
【变式训练2】一个多边形的每一个外角都为 ，这个多边形是
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【变式训练3】一个多边形的每一个外角都等于 ，则该多边形的内角和等于
A． B． C． D．
证明综合
【例11】如图，在四边形 中， ， ， 的平分线 交
于点 ．
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，求 的大小．【变式训练1】如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于点 ，且
．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，且 ， 平分 交 边于点 ，求
的值．【变式训练2】【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角
叫做多边形的外角．如图，将 中 的边 反向延长，与另一边 形成的
即为 的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相
邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如 图 ， 的 外 角 和
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
（1）将下列表格补充完整．
名称 图形 内角和 外角和
三角形
四边形
五边形
边形
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角
的度数．
